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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训6-4数列的综合问题与数列的应用试题

时间:2013-05-30


1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 a6+a7>0 是 S9≥S3 的 ( ) A.充分但不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] ∵S9≥S3?a4+a5+a6+a7+a8+a9≥0?3(a6+a7)≥0?a6+a7≥0,∴a6+a7>0? B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a6+

a7≥0,但 a6+a7≥0? / a6+a7>0,故选 A.
2.(2011·淄博模拟)已知{an}是递增数列,且对任意 n∈N 都有 an=n +λ n 恒成立, 则实数 λ 的取值范围是( 7 A.(- ,+∞) 2 C.[-2,+∞) [答案] C λ 2 λ 2 [解析] an=n +λ n=(n+ ) - , 2 4 ∵对任意 n∈N ,an+1>an, λ ∴- ≤1,∴λ ≥-2,故选 C. 2 3.(文)设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f ′(x)=2x+1,则数列{ 项和是( A. C. ) B. D.
m
* 2 * 2

) B.(0,+∞) D.(-3,+∞)

1

f? n?

}(n∈N )的前 n

*

n n+1 n n-1

n+2 n+1 n+1 n

[答案] A [解析] f ′(x)=mx ∴f(x)=x(x+1),
m-1

+a=2x+1,∴a=1,m=2, =

1

f? n?

n?

1 1 1 = - , n+1? n n+1

1 ? n ? 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=?1- ?+? - ?+…+? - ?=n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{an},定义向量 cn=(an,an+1),

bn=(n,n+1),n∈N*.则下列命题中为真命题的是(

)

A.若对于任意 n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等差数列 B.若对于任意 n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等比数列 C.若对于任意 n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等差数列 D.若对于任意 n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等比数列 [答案] A [解析] 若对任意 n∈N ,有 cn∥bn,则 = 2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列. 4.(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,过点 P(n,Sn)和 Q(n +1,Sn+1)(n∈N )的直线的斜率为 3n-2,则 a2+a4+a5+a9 的值等于( A.52 C.26 [答案] B B.40 D.20
* * * * *

*

an an+1 an+2 = ,所以 an+1-an=an+2-an+1,即 n n+1 n+2

)

Sn+1-Sn [解析] 由题意得 =3n-2,∴Sn+1-Sn=3n-2,即 an+1=3n-2,∴an=3n ? n+1? -n
-5,因此数列{an}是等差数列,a5=10,而 a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=4a5=40,故选 B. 7 x y (理)两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 2 3,且 a<b,则双曲线 2- 2=1 2 a b 的离心率 e 等于( A. C. 3 4 5 4 ) B. D. 5 3 15 2
2 2

[答案] D [解析] ∵a+b=7,a·b=12,b>a>0, ∴a=3,b=4.∴e= =

c a

a2+b2 5 = . a 3

sinA 2cosC+cosA 5.(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中, = 是角 A、B、C 成等差数 cosA 2sinC-sinA 列的( ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 [答案] A [解析]

sinA 2cosC+cosA 2 2 = ? 2sinAsinC-sin A=2cosAcosC+cos A? 2cos(A+C)+1 cosA 2sinC-sinA

1 π sinA =0? cosB= ? B= ? A+C=2B? A、B、C 成等差数列.但当 A、B、C 成等差数列时, 2 3 cosA 2cosC+cosA π π π = 不一定成立,如 A= 、B= 、C= .故是充分非必要条件.故选 A. 2sinC-sinA 2 3 6 6.(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{an}满足 a1=2,an+1=1- {an}的前 n 项之积为 Tn,则 T2010 的值为( A.1 C. 1 3 ) B.2 D. 2 3 2

an+1

,记数列

[答案] D [解析] ∵a1=2,a2=1- 2 1 2 1 2 = ,a3=1- =- ,a4=1- =-3, a5=1 2+1 3 1 2 1 +1 - +1 3 2



2 =2. -3+1 1 1 ∴ an + 4 = an ,∴{an}是以 4 为周期的数列, T4 =2× ×(- )×(-3)=1.∴ T2010 = 3 2

T2008×a2009×a2010= ,故选 D.
7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( )

2 3

A.8 [答案] D

B.9

C.10

D.11

[解析] 由程序框图可知,S=1+2+2 +…+2 =2 ∴k≤9.

2

k

k+1

-1,由 S<2014 得,2

k+1

<2015,

∵1+2+2 +…+2 =1023, ∴S 的值加上 2 后,变为 S=1023<2014,此时 k 的值增加 1 变为 k=10, 再执行一次循环体后,
9

2

9

S=1023+210=2047,k=10+1=11,此时不满足 S<2014,输出 k 的值 11 后结束.
[点评] 这是最容易出错的地方, 解这类题时, 既要考虑等比数列求和, k 取何值时, 在 恰满足 S≥2014,又要顾及 S 与 k 的赋值语句的先后顺序. 8.(文)已知数列{an}的通项公式为 an=2 (n∈N ),把数列{an}的各项排列成如图所示 的三角形数阵: 2 2 2 2
7 4 2

n

*

2 2
5

3

2
9

6

2

8

2

2

10

…… 记 M(s,t)表示该数阵中第 s 行的第 t 个数,则 M(11,2)对应的数是________(用 2 的 形式表示,n∈N). [答案] 2
57

n

[解析] 由数阵的排列规律知,第 m 行的最后一个数是数列{an}的第 1+2+3+…+m =

m? m+1?
2

10×11 项,且该行有 m 项,由此可知第 11 行的第 2 个数是数列{an}的第 +2= 2
57

57 项,对应的数是 2 . (理)若数列{an}满足 1

an+1 an

1 * - =d(n∈N ,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数

1 列{ }为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________.

xn

[答案] 20 [解析] 1 1 由题意,若{an}为调和数列,则{ }为等差数列,∵{ }为调和数列,∴数列

an

xn

200 {xn}为等差数列, 由等差数列的性质可知, 5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11= =20. x 10 故填 20. 9.(文)(2011·江苏镇江市质检)已知 1,x1,x2,7 成等差数列,1,y1,y2,8 成等比数列, 点 M(x1,y1),N(x2,y2),则线段 MN 的中垂线方程是________. [答案] x+y-7=0 [解析] 由条件得 x1=3,x2=5,y1=2,y2=4, ∴MN 的中点(4,3),kMN=1,∴MN 的中垂线方程为 y-3=-(x-4),即 x+y-7=0.

(理)已知双曲线 an-1y -anx =an-1an(n≥2,n∈N )的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程是

2

2

*

y= 2x,其中数列{an}是以 4 为首项的正项数列,则数列{an}的通项公式是________.
[答案] an=2
n+1

[解析] 双曲线方程为 - = 2, 又 a1=4,∴an=4×2
n-1

y2 x2 an =1, ∵焦点在 y 轴上, 又渐近线方程为 y= 2x, ∴ an an-1 an-1

=2

n+1

.

10.(文)(2011·北京海淀)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,且 Sn=Sn-1+2n(n≥2,

n∈N*).
(1)求 Sn; (2)是否存在等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在,则求出数列{bn}的通项 公式;若不存在,则说明理由. [解析] (1)因为 Sn=Sn-1+2n, 所以有 Sn-Sn-1=2n 对 n≥2,n∈N 成立. 即 an=2n 对 n≥2 成立.又 a1=S1=2×1, 所以 an=2n 对 n∈N 成立. 所以 an+1-an=2 对 n∈N 成立. 所以{an}是等差数列. 所以 Sn=n +n,n∈N . (2)存在.由(1)知 an=2n 对 n∈N 成立, 则 a3=6,a9=18.又 a1=2, 所以由 b1=a1,b2=a3,b3=a9,得 = =3. 即存在以 b1=2 为首项,公比为 3 的等比数列{bn},其通项公式为 bn=2·3
n-1
* 2 * * * *

b2 b3 b1 b2

.

(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:n=a(Sn-an+1)(a S 为常数,且 a≠0,a≠1). (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=an+Sn·an,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值. (3)在满足条件(2)的情形下,设 cn= 1 1 - ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: bn+1 bn+1-1
2

Tn>2n- .
[解析] (1)S1=a(S1-a1+1),∴a1=a, 当 n≥2 时,Sn=a(Sn-an+1),

1 2

Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),

两式相减得 an=a·an-1,

an =a, an-1
n-1

即{an}是等比数列,∴an=a·a (2)由(1)知 an=a ,Sn=
n 2 n

=a .

n

a? an-1? , a-1

a? an-1? n ∴bn=(a ) + a a-1
= ? 2a-1? a -aa , a-1
2 2n

n

若{bn}为等比数列,则有 b2=b1b3, 而 b1=2a ,b2=a (2a+1),b3=a (2a +a+1), 故[a (2a+1)] =2a ·a (2a +a+1), 1 解得 a= , 2 1 1 n 再将 a= 代入,得 bn=( ) 成立, 2 2 1 所以 a= . 2 1 n (3)证明:由( 2)知 bn=( ) , 2 所以 cn= 1 ? ? 2
n
3 2 2 4 2 2 3 4 2

1

- 1 n +1 ? ? 2

1
n+1

-1



2 2 1 1 + n+1 =2- n + n+1 , 2 +1 2 -1 2 +1 2 -1
n

n+1

1 1 所以 cn>2- n+ n+1, 2 2

Tn=c1+c2+…+cn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 >(2- + 2)+(2- 2+ 3)+…+(2- n+ n+1)=2n- + n+1>2n- . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 能力拓展提升 11.在圆 x +y =10x 内,过点(5,3)有 n 条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{an} 1 2 的首项 a1,最长弦长为 an,若公差 d∈( , ],那么 n 的取值集合为( 3 3 A.{4,5,6} C.{3,4,5} [答案] A [解析] ∵圆 x +y =10x,∴(x-5) +y =5,圆心为(5,0),半径为 5.故最长弦长 an
2 2 2 2 2 2

)

B.{6,7,8,9} D.{3,4,5,6}

=10,最短弦长 a1=8,∴10=8+(n-1)d,∴d= 1 2 1 2 2 ∵d∈( , ],∴ < ≤ ,∴4≤n<7, 3 3 3 n-1 3 又∵n∈N ,∴n 的取值为 4,5,6,故选 A.
*

2 , n-1

12.(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为

a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系是(
A.ab=AG C.ab≤AG [答案] C

) B.ab≥AG D.不能确定

[解析] 由条件知,a+b=2A,ab=G ,∴A= 故选 C.

2

a+b
2

≥ ab=G>0,∴AG≥G ,即 AG≥ab,

2

[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式, 不等式与数列交汇的题目要特别注意等 差(等比)数列的公式及性质的运用. 1 (理)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,设 P= (log0.5a5+log0.5a7),Q= 2 log0.5

a3+a9
2

,P 与 Q 的大小关系是(

) B.P<Q D.P>Q

A.P≥Q C.P≤Q [答案] D

[解析] P=log0.5 a5a7=log0.5 a3a9,Q=log0.5 ∵q≠1,∴a3≠a9,∴

a3+a9
2



a3+a9
2

> a3a9

又∵y=log0.5x 在(0,+∞)上递减, ∴log0.5

a3+a9
2

<log0.5 a3a9,即 Q<P.故选 D.

13.(2011·湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗 流感的人数依次构成数列{an},已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1) 医院 30 天入院治疗流感的人数共有________人. [答案] 255 [解析] ∵an+2-an=1+(-1)
n n

(n∈N ),则该

*

(n∈N ),∴n 为奇数时,an+2=an,n 为偶数时,an+2

*

-an=2,即数列{an}的奇数项为常数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列. 15×14 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15+(15×2+ ×2)=255 人. 2

14.(2011·江苏,13)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数 列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. [答案] 3 3

[解析] ∵a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,且 a1=1, ∴a3=q,a5=q ,a7=q , ∵a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列, ∴a4=a2+1,a6=a2+2, ∵a2≥1,q=a3≥a2≥1, ∴q =a5≥a4=a2+1≥2,q =a7≥a6=a2+2≥3, 3 3 ∵q≥1,∴q≥ 2且 q≥ 3,∴q≥ 3, 3 ∴q 的最小值为 3. 15.(2011·蚌埠质检)已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. [解析] (1)b1=a2-a1=1,当 n≥2 时,
2 3 2 3

an+an+1
2

,n∈N .

*

an-1+an 1 1 bn=an+1-an= -an=- (an-an-1)=- bn-1,
2 2 2 1 所以{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2

? 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=?- ? , ? 2?
当 n≥2 时,

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

? 1?n-1 1-?- ? ? 2? ? 1? ? 1?n-2 =1+1+?- ?+…+?- ? =1+ ? 2? ? 2? ? 1? 1-?- ? ? 2?
2? ? 1?n-1? 5 2? 1?n-1 =1+ ?1-?- ? ?= - ?- ? , 3? ? 2? ? 3 3? 2? 5 2? 1?1-1 当 n=1 时, - ?- ? =1=a1. 3 3? 2? 5 2? 1?n-1 * 所以 an= - ?- ? (n∈N ). 3 3? 2? 16.(文)(2011·山东文,20)等比数列{an}中,a1、a2、a3 分别是下表第一、二、三行

中的某一个数,且 a1、a2、a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1) lnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [解析] (1)依次验证知 a1=2,a2=6,a3=18 时符合题意,∴an=2·3 (2)∵bn=an+(-1) lnan=2·3 (-1) nln3 ∴S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+3 [-1+2-3+…+(-1) ·2n]ln3 1-3 2n =2× +nln3=3 +nln3-1. 1-3 (理)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设, 提高社会效益和经济效益, 某市计划用若 干年时间更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车.替换车为电力型和 混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆;计划以后电 力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划 7 年内完成全部更换,求 a 的最小值. [解析] (1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型公交车的数量, 依题意, 3 {an}是首项为 128,公比为 1+50%= 的等比数列, 2 {bn}是首项为 400,公差为 a 的等差数列. 3 128×[1-? ? 2 {an}的前 n 项和 Sn= 3 1- 2 3 n =256[( ) -1]. 2 {bn}的前 n 项和 Tn=400n+
n
2n 2n 2n-1

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

n

n-1

.

n

n-1

+(-1) ln(2·3

n

n-1

)=2·3

n-1

+(-1) (ln2-ln3)+

n

n

)+[-1+1-1+…+(-1) ](ln2-ln3)+

2n

]

n? n-1?
2

a,

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数为: 3 n? n-1? S(n)=Sn+Tn=256[( )n-1]+400n+ a. 2 2

(2)若计划 7 年内完成全部更换, 所以 S(7)≥10000, 3 7 7×6 所以 256[( ) -1]+400×7+ a≥10000, 2 2 16 即 21a≥3082,所以 a≥146 . 21 又 a∈N ,所以 a 的最小值为 147.
*

1 2 2 1. x 的方程 x -x+a=0 和 x -x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为 的等差数列, 若 4 则 b 的值可以为( A. C. 3 8 13 24 ) B. D. 11 24 35 144

[答案] D 1 1 1 1 1 3 1 3 3 5 7 35 [解析] 由题意四个根为 、 + 、 + 、 ,则 b= × = ,或 b= × = ,选 4 4 6 4 3 4 4 4 16 12 12 144 D. 2.(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{an}的前 n 项之积为 Tn,且

T10=32,则 + 的最小值为( a5 a6
A.2 2 C.2 3 [答案] B [解析]

1

1

) B. 2 D. 3

1 1 5 由条件知, T10 = a1a2…a10 =(a5a6) =32,∵ an>0,∴ a5a6 =2,∴ + =

a5

a6

1 1 1 1 1 ·a5a6·( + )= (a5+a6)≥ ×2 a5a6= 2,等号在 a5=a6= 2时成立. 2 a5 a 6 2 2 3.(2011·银川一中三模)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列{ A. C. 2009 2010 2011 2012 1
2

f? n?

}的前 n 项和为 Sn,则 S2012 的值为( B. D. 2010 2011 2012 2013

)

[答案] D

[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识;由于 f ′(x)=2x+b,据题意则 有 f ′(1)=2+b=3,故 b=1,即 f(x)=x +x,从而
2

1

f? n?



n?

1 1 1 = - , n+1? n n+1

1 1 1 1 1 1 n 2012 其前 n 项和 Sn=(1- )+( - )+…+( - )=1- = ,故 S2012= . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 2013 4.(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的前 20 项的和是 100, 那么 a6·a15 的最大值是( A.25 C.100 [答案] A [解析] 由 条 件 知 , a6 + a15 = a1 + a20 = 1 1 S20 = ×100 = 10 , a6>0 , a15>0 , ∴ 10 10 ) B.50 D.不存在

a6+a15 2 * a6·a15≤( ) =25,等号在 a6=a15=5 时成立,即当 an=5(n∈N )时,a6·a15 取最大值
2 25. 5.(2011·黄冈月考)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1) (n≥2,n∈N ),则 的 值是( A. C. 15 16 3 4 ) B. D. 15 8 3 8
n
*

a3 a5

[答案] C [解析] ∵a1=1,anan-1=an-1+(-1) , ∴a2a1=a1+1,∴a2=2, ; 1 ∵a3a2=a2-1,∴a3= ; 2 ∵a4a3=a3+1,∴a4=3; 2 a3 3 ∵a5a4=a4-1,∴a5= ,∴ = . 3 a5 4 6.(2012·北京海淀期中)已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质
n

P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai 与 aj-ai 两数中至少有一个是该数列中的一项:现给
出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1, a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2.

其中真命题有( A.4 个 C.2 个 [答案] B

) B.3 个 D.1 个

[解析] 数列 0,1,3 中 a3-a2=2,a3+a2=4 都不是该数列中的一项,即其不具有性质

P,得命题①不正确;数列 0,2,4,6 经验证满足条件,即其具有性质 P,得命题②正确;若
数列 A 具有性质 P,因 n≥3,故其最大项 an>0,则有 an+an=2an>an 不是数列中的项,故 an -an=0 必为数列中的一项,即 a1=0,得命题③正确;若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有 性质 P,则 a1=0,0<a2<a3, 2+a3>a3 不是数列中的项,必有 a3-a2=a2, a3=2a2,因 a1=0, a 即 故 a1+a3=2a2,得命题④正确,综上可得真命题共有 3 个,故应选 B. 7.(2011·杭州二检)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,

b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α 、β ,使得 an=logα bn+β 对每一个正整数 n 都成立,
则 α =________. [答案] 4
?2+d=q ? [解析] 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则? 2 ? ?2? 2+3d? =q
β

,解得?

?q=2 ? ? ?d=0

(舍

去)或?

? ?q=4 ? ?d=2

,所以 an=2n,bn=4
n-1

n-1

.若 an=logα bn+β 对每一个正整数 n 都成立,则满

足 2n=logα 4 所以 α =4.
β

+β ,即 2n=(n-1)logα 4+β ,因此只有当 α =2,β =2 时上式恒成立,

8. (2011·天津市二十区县联考)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 向量 a=(an-1, -2),

S5 b=(4,Sn)满足 a⊥b,则 =________. S3
[答案] 31 7

[解析] ∵a=(an-1,-2),b=(4,Sn)满足 a⊥b, ∴a·b=0, ∴4an-4-2Sn=0,即 Sn=2an-2, ∴Sn-1=2an-1-2(n≥2). 两式相减得 an=2an-1,∴
*

an =2. an-1

由 Sn=2an-2(n∈N ),得 a1=2. ∴{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴an=2 .
n

1-2 ? 1-2 S5 31 ∴ = = . S3 2? 1-23? 7 1-2 2? 9 . (2011· 苏 州 检 测 ) 正 整 数 按 下 列 方 法 分 组 : {1} , {2,3,4} , {5,6,7,8,9} , {10,11,12,13,14,15,16},…,记第 n 组中各数之和为 An;由自然数的立方构成下列数组: {0 1 },{1 2 },{2 3 },{3 4 },…,记第 n 组中后一个数与前一个数的差为 Bn,则 An+
3, 3 3, 3 3, 3 3, 3

5

Bn=________.
[答案] 2n
3

[解析] 由题意知,前 n 组共有 1+3+5+…+(2n-1)=n 个数,所以第 n-1 组的最 后一个数为(n-1) ,第 n 组的第一个数为(n-1) +1,第 n 组共有 2n-1 个数,所以根据等 差数列的前 n 项和公式可得
2 2

2

An=

[? n-1?
3

2

+1]+[? n-1? 2

2

+2n-1]

(2n-1)=[(n-1) +n](2n-1),而 Bn=n

2

3

-(n-1) , 所以 An+Bn=2n .
3

? 1? x 10.已知点?1, ?是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前 n ? 3?
项和为 f(n)-c, 数列{bn}(bn>0)的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列?
?

1 ? 1000 ?前 n 项和为 Tn,问使 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 2009 ?bnbn+1?

1 ? 1? x [解析] (1)∵点?1, ?是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点,∴f(1)=a= . 3 ? 3? 已知等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则当 n≥2 时,an=[f(n)-c]-[f(n-1)-

c]=an(1-a-1)=- n.
1 ∵{an}是等比数列,∴{an}的公比 q= . 3 2 1 ∴a2=- =a1q=[f(1)-c]× , 9 3 2 解得 c=1,a1=- . 3 2 故 an=- n(n≥1). 3 由题设知{bn}(bn>0)的首项 b1=c=1, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1(n≥2),

2 3

由 Sn-Sn-1= Sn+ Sn-1? Sn- Sn-1=1,且 S1= b1=1. ∴{ Sn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 即 Sn=n? Sn=n . ∵bn=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), 又 b1=1=2×1-1, 故数列{bn}的通项公式为:bn=2n-1(n≥1). (2)∵bn=2n-1(n≥1), ∴ 1 ? 1? 1 - = ? ?. bnbn+1 2?2n-1 2n+1? 1
n
2

∴Tn= ?
k=1

1

bkbk+1

1??1 1? ?1 1? ? 1 - 1 ?? = ?? - ?+? - ?+…+? ?? 2??1 3? ?3 5? ?2n-1 2n+1?? =

n . 2n+1

1000 n 1000 1000 1 要 Tn> ? > ?n> =111 , 2009 2n+1 2009 9 9 故满足条件的最小正整数 n 是 112. 1 an x 11.(2011·焦作模拟)已知函数 f(x)=a 的图象过点(1, ),且点(n-1, 2)(n∈N+) 2 n 在函数 f(x)=a 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<5. 2 1 x [解析] (1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ), 2 1 1 x ∴a= ,f(x)=( ) . 2 2
x

an an 1 n x 又点(n-1, 2)(n∈N+)在函数 f(x)=a 的图象上,从而 2= n-1,即 an= n-1. n n 2 2
? n+1? (2)由 bn= n 2
2

2

n 2n+1 - n= n 得, 2 2

2

Sn= + 2+…+

3 2

5 2

2n+1 , n 2

1 3 5 2n-1 2n+1 则 Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 , 2 2 2 2 2

1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3+…+ n)- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2n+5 ∴Sn=5- n ,∴Sn<5. 2


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