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2003年高考天津卷文科数学试题及答案


2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.不等式 4 x ? x ? x 的解集是 A.(0,2) B. (2,+∞)
2
2

C. (2,4)

D. (-∞,0)∪(

2,+∞)

2.抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为 A. 3.

1 8 1 ? 3i
( 3 ? i) 2

B. ?

1 8

C.8

D.-8

?
B. ?

1 3 1 3 1 3 ? i i i C. ? D. ? ? 4 4 2 2 2 2 ? 4 4.已知 x ? ( ? , 0) , cos x ? ,则 tan 2x ? 5 2 7 7 24 24 A. B. ? C. D. ? 24 7 24 7 1 5.等差数列 {an } 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,则 n 为 3
A. A.48 B.49 C.50 D.51 6.双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为 F1 , F2 , ?F1MF2 ? 120? ,则双曲线的离心 率为

1 3 ? i 4 4

6 6 3 C. D. 2 3 3 ?x ?2 ? 1, x ? 0 ? 7.设函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 1 ? x 2, x ? 0 ?
A. 3 B. A. (-1,1) B. (-1,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 8. O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 动 点 P 满 足

???? ??? ? ??? ??? ? ? AC AB ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? , ? ? [0 , ??) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 | AB | | AC |
B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心

x ?1 9.函数 y ? ln , x ? (1 , ??) 的反函数为 x ?1 ex ?1 ex ? 1 A. y ? x , x ? (0 , ??) B. y ? x , x ? (0 , ??) e ?1 e ?1

ex ?1 ex ? 1 , x ? (?? , 0) D. y ? x , x ? (?? , 0) ex ? 1 e ?1 10.棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为 a3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 3 4 6 12 11.已知长方形的四个顶点 A(0 ,0) , B (2 ,0) ,C (2 ,1) 和 D (0 ,1) .一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P 后, 依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的 1 点 P2 , P3 和 P4 (入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 (x4 , 0) ,若 1 ? x4 ? 2 ,则 tan ?
C. y ? 的取值范围是 A.

1 3

B.

2 5

C.

1 2

D.1

12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是_____________. 2x

14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆,为检验该公司 的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ______、_________、__________辆. 15.在平面几何里,有勾股定理: “设 ?ABC 的两边 AB , AC 互相垂直,则 AB ? AC
2 2

? BC 2 .”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间 的关系,可以得出的正确结论是: “设三棱锥 A ? BCD 的三个侧面 ABC 、 ACD 、 ADB
两两相互垂直,则_____________________________________.” 16.将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种植 同一作物,不同的种植方法共有___________种.(以数字作答)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 , AB ? 1, AA1 ? 2 ,点 E 为 CC1 中点,点 P 为 BD1 中 点. ⑴证明: EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; ⑵求点 D1 到面 BDE 的距离.

18.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C1 : y ? x ? 2 x 和 C2 : y ? ? x ? a ,如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,称 l
2 2

是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段. ⑴ a 取什么值时, C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; ⑵若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分. 19.(本题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 3 ⑴求 a2 , a3 ; ⑵证明: an ?
n ?1

? an ?1 (n ? 2) .

3n ? 1 . 2

20. (本小题满分 12 分) 有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,现从三种产品中各抽取一件进行检验. ⑴求恰有一件不合格的概率; ⑵求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001) 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点

M(

3? ? , 0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数.求 ? 和 ? 的值. 4 2
?
?

22.(本小题满分 14 分)

已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0,a) , i ? (1 , 0) ,经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直 线与经过定点 A(0,a) 以 i ? 2? c 为方向向量的直线相交于点 P ,其中 ? ? R .试问:是 否存在两个定点 E、F ,使得 | PE | ? | PF | 为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存 在,说明理由.

?

?

?

?

2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学试题(文史类)参考解答 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分。 13. ?

21 2

14.6,30,10 15.S △ABC+ S △ACD + S △ADB = S △BCD

2

2

2

2

16.42

三、解答题 17.本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识,考查空间想象能力和推理能力,满 分 12 分。 (1)证法一:取 BD 中点 M.连结 MC,FM . ∵F 为 BD1 中点 , 又 EC ∴FM∥D1D 且 FM=

1 D1D . 2

1 CC1 且 EC⊥MC ,∴四边形 EFMC 是矩形 2

∴EF⊥CC1. 又 CM⊥面 DBD1 .∴EF⊥面 DBD1 . ∵BD1 ? 面 DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线. 证法二:建立如图的坐标系,得 B(0,1,0) 1(1,0,2) ,D ,F(

1 1 , ,1) 1(0,0,2) ,C ,E(0,0,1). 2 2

1 1 ? EF ? ( , ,0), CC1 ? (0,0,2). ? BD1 ? (1,?1,2). 2 2 ? EF ? CC1 ? 0, BD1 ? EF ? 0,
即 EF⊥CC1,EF⊥BD1 . 故 EF 是为 BD1 与 CC1 的公垂线. (Ⅱ)解:连结 ED1,有 VE-DBD1=VD1-DBE . 由(Ⅰ)知 EF⊥面 DBD1 ,设点 D1 到面 BDE 的距离为 d.

则S ?DBE ? d ? S ?DBD1 ? EF . ? AA1 ? 2, AB ? 1. ? BD ? BE ? ED ? 2 , EF ? 2 1 ,? S ?DBD1 ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2 2 2? 1 3 3 2 ? 2 3. S ?DBE ? ? ? ( 2)2 ? ?? d ? 2 2 2 3 3 2 2 3 故点 D1 到平面 DBE 的距离为 . 3
2

18. 本小题主要考查导数、 切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力, 满分 12 分。 (Ⅰ)解:函数 y=x +2x 的导数 y′=2x+2,曲线 C1 在点 P(x1,x 1 +2x1)的切线方程是: y-(x 1 +2x1)=(2x1+2)(x-x1),即 y=(2x1+2)x-x 1
2 2 2



函数 y=-x +a 的导数 y′=-2x, 曲线 C2 在点 Q(x2,-x 2 +a)的切线方程是 即 y-(-x 2 +a)=-2x2(x-x2). y=-2x2x+x 2 +a . ② 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线,则①式和②式都是 l 的方程, x1+1=-x2 所以 - x 1 =x 2 +a. 消去 x2 得方程 2x 1 +2x2+1+a=0.
2 2 2 2 2

2

2

1 1 时解得 x1=- ,此时点 P 与 Q 重合. 2 2 1 1 即当 a=- 时 C1 和 C2 有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为 y=x- . 2 4 1 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知.当 a<- 时 C1 和 C2 有两条公切线 2
若判别式△=4-4×2(1+a)=0 时,即 a=- 设一条公切线上切点为:P(x1,y1), 其中 P 在 C1 上,Q 在 C2 上,则有 x1+x2=-1,
2 2 2

Q(x2 , y2 ).

y1+y2=x 1 +2x1+(-x 2 +a)= x 1 +2x1-(x1+1) +a=-1+a . 线段 PQ 的中点为 (?

2

1 ?1? a , ). 2 2

同理,另一条公切线段 P′Q′的中点也是 (?

1 ?1? a , ). 2 2

所以公切线段 PQ 和 P′Q′互相平分. 19.本小题考查数列,等比数列,等比数列求和等基础知识,考查运算能力,满分 12 分. 2 (Ⅰ)∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=3 +4=13 . n-1 (Ⅱ)证明:由已知 an-an-1=3 ,故

a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1 ? 3 n ?1 ? 3 n ? 2 ? ? ? 3 ? 1 ?
3n ? 1 所以证得 a n ? . 2
20.本小题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分 12 分. 解:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. (Ⅰ)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95. P ( A ) =0.10 , P (B ) =P (C ) =0.05. 因为事件 A,B,C 相互独立,恰有一件不合格的概率为 P(A·B· C )+P(A· B ·C)+P( A ·B·C)

3n ? 1 . 2

=P(A) ·P(B) ·P( C )+P(A) ·P( B ) ·P(C)+P( A ) ·P(B) ·P(C) =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95 =0.176 答:恰有一件不合格的概率为 0.176. (Ⅱ)解法一:至少有两件不合格的概率为 P(A· B · C )+P( A ·B· C )+P( A · B ·C)+ P( A · B · C ) 2 2 =0.90×0.05 +2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05 =0.012. 答:至少有两件不合格的概率为 0.012. 解法二:三件产品都合格的概率为 P(A·B·C)=P(A) ·P(B) ·P(C) 2 =0.90×0.95 =0.812. 由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为 0.176,所以至少有两件不合格的概率为 1-P(A·B·C)+0.176 =1-(0.812+0.176) =0.012 答:至少有两件不合格的概率为 0.012. 21.本小题主要考查三角函数的图象和单调性,奇偶性等基本知识,以及分析问题和推 理计算能力,满分 12 分. 解:由 f(x)是偶函数,得 f(-x)= f(-x). 即: sin(??x ? ? ) ? sin(?x ? ? ). 所以- cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意 x 都成立,且 ? ? 0, 所以得 cos? =0. 依题设 0 ? ? ? ? ,所以解得 ? ?

?
2



3? 3? ? x) ? ? f ( ? x) . 4 4 3? 3? 3? 取 x=0,得 f ( ) =- f ( ) ,所以 f ( ) =0. 4 4 4
由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f (

3? 3?? ? 3?? ) ? sin( ? ) ? cos . 4 4 2 4 3?? 3?? ? ? cos ? 0, 又? ? 0, 得 ? ? k? , k ? 0,1,2 ?. 4 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, ? 3 2 2 ? ? 当k ? 0时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 ? f( 当k ? 1时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? 当k ? 2时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? )在[0, ]上不是单调函数. 3 2 2 2 所以, 综合得? ? 或? ? 2. 3

)在[0, ]上是减函数; 2 2

?

22.本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用 方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力, 满分 14 分。 解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得 点 P 到两定点距离的和为定值. ∵ i ? (1 , 0) , c ? (0 , a )

?

?

∴ c ? ? i ? (? , a ) , i ? 2? c ? (1 , ?2? a) 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 ? y ? ax 和 y ? a ? ?2? ax 消去参数 ? ,得点 P( x , y ) 的坐标满足方程 y ( y ? a) ? ?2a x
2 2

?

?

?

?

a ( y ? )2 x2 2 ?1 整理得 ① ? 1 a 2 ( ) 8 2 因为 a ? 0 ,所以得: 2 ⑴当 a ? 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F ; 2 1 1 1 1 a a 2 ? a 2 , ) 和 F (? ? a2 , ) ⑵当 0 ? a ? 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 2 2 2 2 2 2 2
为合乎题意的两个定点; ⑶当 a ?

1 1 1 1 2 2 2 时, 方程①表示椭圆, 焦点 E(0 , ?a ? a ? )) 和 F (0 , ?a ? a ? )) 2 2 2 2 2

为合乎题意的两个定点.


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