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求数列通项公式的十种方法

时间:2012-06-08


求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)

总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) 、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、 数学归纳法、 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、 特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、

等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数 列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法 1.适用于: an?1 ? an ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解法一:由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 解法二: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则
n ?1

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an an ?1 a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a1 ?( n ? ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? )? n ?2 ?2 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 31 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2

练 习 1. 已 知 数 列 答案: n ? n ? 1
2

?an ? 的 首 项 为

1,且

an?1 ? an ? 2n (n ? N * ) 写 出 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 .

练 习 2. 已 知 数 列

{an } 满 足 a1 ? 3 ,
1 n

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) ,求此数列的通项公式.

答案:裂项求和

an ? 2 ?

a ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函 评注:已知 a1 ? a , n?1
数、分式函数,求通项

an .

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

例 3.已知数列

{an } 中, an ? 0 且

Sn ?

1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {an } 的通项公式.

Sn ?
解:由已知

1 n 1 n (a n ? ) S n ? ( S n ? S n ?1 ? ) 2 an 得 2 S n ? S n ?1 ,

化简有

2 2 2 2 Sn ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以

2 Sn ?

n(n ? 1) a ? 0 , sn ? 2 ,又 n

2n(n ? 1) 2 ,



an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法 1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若

an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5 例 5.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 则它的通项公式是 an =________.

? n!.
3,?) ,

?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0 ( n =1,2,

解:已知等式可化为:

(an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0
a n ?1 n ? a n ?1 即 n

* ? a n ? 0 ( n ? N )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 ,

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1 an ? a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 n ? 1 ? n ? 2 ? ? 1 ? 1 1 a n ?1 a n ?2 a1 n ?1 2 =n. = n

?

评注:本题是关于

a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到

a n 与 a n ?1 的更为明显的关系式,从而求出 a n .
练习.已知

an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.

答案:

a n ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) -1.
a n?1 ? nan ? n ?1, 转化为

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应用累乘法求
出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一 个函数。 1.形如

an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{

a n }为等差数列; a n }为等比数列;

(2)若 d=0 时,数列{

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.

待定系数法:设

an?1 ? ? ? c(an ? ? ) ,



an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?

所以

an ?

d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1

即:

a n ? (a1 ?

d d ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1.

a ? can ? d 化为 规律: 将递推关系 n?1
{a n ?

a n ?1 ?

d d ? c(a n ? ) c ?1 c ? 1 ,构造成公比为 c 的等比数列

d d d } a n ?1 ? ? c n ?1 (a1 ? ) c ? 1 从而求得通项公式 1? c c ?1

逐项相减法(阶差法) :有时我们从递推关系 两式相减有

an?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 an ? can?1 ? d ,

an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {an?1 ? an },进而求得通项公式.

an?1 ? an ? c n (a2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 6 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)
又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1
解法二:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an?1 ? 2an ? 1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1 )(n ? 2) ,故数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 2,公比为 2 的等 比数列,再用累加法的??

练习.已知数列

{an } 中,

a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 an ? , 2 2 求通项 a n 。

1 a n ? ( ) n ?1 ? 1 2 答案:

2.形如:

a n?1 ? p ? an ? q n

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即:

a n?1 ? an ? q n ,累加即可.
n

a ? p ? an ? q , ②若 p ? 1 时,即: n?1
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p
n ?1

.目的是把所求数列构造成等差数列

a n ?1
即:

p

n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n 1 p bn ?1 ? bn ? ? ( ) n ?( ) bn ? n p q ,然后类型 1,累加求通项. p q ,令 p ,则

ii.两边同除以 q

n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。

a n ?1
即:

q

n ?1

?

p an 1 ? ? q qn q ,
bn ?1 ? p 1 ? bn ? q q .然后转化为类型 5 来解,

bn ?


an q ,则可化为
n

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设

a n?1 ?? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。 例 7 已知数列

{an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

解法一(待定系数法) :设

an?1 ? ?13n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1 ),比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 , a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比为 2 的等比数列,

?a 则数列
所以

n

? 4 ? 3n ?1?

是首项为

an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 3 3 3 ,下面解法略 得: 3

解法二(两边同除以 q

n ?1

) : 两边同时除以 3

n ?1

解法三(两边同除以 p

n ?1

) : 两边同时除以 2

n ?1

a n ?1 a n 4 3 n ? n ? ?( ) n ?1 3 2 ,下面解法略 2 得: 2

练习.(2003 天津理)
n?1 设 a0 为 常 数 , 且 an ? 3 ? 2an?1 (n ? N ) . 证 明 对 任 意 n ≥ 1 ,

1 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 5 ;

3.形如

a n?1 ? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法 1:逐项相减法(阶差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤: 1、确定 f ( n) =kn+b

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ;

2、设等比数列

bn ? (an ? xn ? y) ,公比为 p (an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ,即 bn ? pbn?1

3、列出关系式

4、比较系数求 x,y 5、解得数列

(an ? xn ? y) 的通项公式

6、解得数列

?an ? 的通项公式
{an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n, 求通项 a n .(逐项相减法)


例 8 在数列 解:? ,

a n?1 ? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, an ? 3an?1 ? 2(n ?1) ,
两式相减得

an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? a n?1 ? a n ,则 bn ? 3bn?1 ? 2

利用类型 5 的方法知

bn ? 5 ? 3n?1 ? 2
5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.



an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1
an ?



再由累加法可得

an ?

亦可联立 ① ②解出

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

例 9. 在数列 { an } 中,

a1 ?

3 ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 a 2 ,求通项 n .(待定系数法)

解:原递推式可化为

2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为

2bn ? bn?1
9 1 9 1 ? bn ? ( ) n ?1 2 , 公比为 2 . 2 2

所以

?bn ? 是一个等比数列,首项

b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

即:

1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 1 a n ? 9 ? ( ) n ? 6n ? 9 2 故 .
4.形如

a n?1 ? pan ? a ? n 2 ? b ? n ? c

(其中 a,b,c 是常数,且 a ? 0 )

基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 比较系数得 x ? 3, y ? 10, z ? 18 , 所以 an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ?1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ?18) 由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 ,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 an ? 3n2 ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。

5.形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f ( n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ? )(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列

?an?1 ? ?an ? 为等比数列。
例 11 已知数列

{an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:设

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )

比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , (取-3 结果形式可能不同,但本质相同)



an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则 ?an?1 ? 2an ? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列

?an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
a ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 练习.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 n? 2
答案:

an ? 11 ? 3n .
r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

四、迭代法

例 12 已知数列

3( n ?1)2 {an } 满足 an?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。

n

3( n ?1)2 a ? an 解:因为 n?1 ,所以

n

3 n?2 3( n ?1)?2 an ? an ? [an ]3n?2 ?1 ?2 3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3 n?3 2

n?1

n?2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1



a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2



注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例 13.(2005 江西卷)

{a }的各项都是正数 , 且满足 : 已知数列 n
(1)证明

a 0 ? 1, a n ?1 ?

1 a n (4 ? a n ), n ? N 2 ,

an ? an?1 ? 2, n ? N ;

(2)求数列

{an } 的通项公式 an.

解: (1)略(2)

a n ?1 ?

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2 ??? 2 n ?1 2 n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ( ? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 又 bn=-1,

1 n 1 n bn ? ?( ) 2 ?1 , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2 所以 .

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c n 面类型(1)来解

? ?bn ,则 c

n

?

1 2 c n ?1 2 ,转化为上

五、对数变换法 适用于

r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

p>0,

an ? 0

例 14. 设正项数列

2 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2an a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?

an an ? 1 an an ? 1 b ? log2n ? 1 ,则 解:两边取对数得: log2 ? 1 ? 2 log2 , log2 ? 1 ? 2(log2 ? 1) ,设 n

a

bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log1 2?1 ? 1
n ?1

bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,

2 an n?1 n?1 n loga ? 1 ,∴ a n ? 2 2 ?1? 2 , log2 ? 2

?1

练习 数列

?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2
2?n

a n ?1

(n≥2) ,求数列

?a n ? 的通项公式.

a ? 2 2? 2 答案: n

5 例 15 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 比较系数得, x ? 由 lg a1 ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 lg an ? n? ? ? 0, 4 16 4 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
则 an ? 7
5n?1
5 n ?1 1 1 1
n?1

n

1

1

?3

5 n ? 4 n ?1 16

?2

5n?1 ?1 4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , 2 a1 an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ?

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例 17 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 代入 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 , 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数列,因此 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 an ? 2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳 法加以证明。 例 18 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?

由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2k ? 1)2 ? 1 (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2
ak ?1 ? ak ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 ? (2k ? 3) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有 Sn ,又有 an

分析:把已知关系通过 an ? ? 方法求解。

? S1 , n ? 1 转化为数列 ?an ? 或 Sn 的递推关系,然后采用相应的 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
1 (an ? 1)(an ? 2) ,且 a2 , a4 , a9 成 6

例 19 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 等比数列,求数列 {an } 的通项公式。
? 解:∵对任意 n ? N 有 Sn ?

1 (an ? 1)(an ? 2) 6



∴当 n=1 时, S1 ? a1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6

当 n≥2 时, S n ?1 ?

1 (an ?1 ? 1)( an ?1 ? 2) 6



⑴-⑵整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3
2 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2a9 成立

2 当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

所以 an ? 3n ? 2 练习。已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ? 答案: S n ? S n?1 ? an 2、对无穷递推数列 例 20 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 求 {an } 的通项公式。 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . ② ①

1 (a n ? 1) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 2

(an ? 1) 2 ? (an?1 ? 1) 2

an ? 2n ? 1

则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an

所以 an ?

an an?1 a n! ? ??? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) , 取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知 a1 ? 1 , 则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ? 所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

十、不动点法

目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法

不动点的定义:函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在 f ( x) x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为

f ( x) 的不动点或称 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的不动点。
分析:由 f ( x) ? x 求出不动点 x0 ,在递推公式两边同时减去 x0 ,在变形求解。 类型一:形如 an?1 ? qan ? d 例 21 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为 f ( x) ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) ? x 得,不动点为-1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,?? 类型二:形如 an ?1 ?

a ? an ? b c ? an ? d
a?x?b c?x ? d

分析:递归函数为 f ( x) ?

( 1 )若有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q ,再将两式相除得

an?1 ? p a ?p a ? pc (a q ? pq)k n?1 ? (a1 p ? pq) ,其中 k ? ,∴ an ? 1 ?k? n a ? qc an ?1 ? q an ? q (a1 ? p)k n?1 ? (a1 ? q)
(2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用 1 除,得

2c 1 1 。 ? ? k ,其中 k ? a?d an?1 ? p an ? p
例 22. 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

5a n ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式. 2a n ? 7

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 an ? 5a n ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 , ?t ? ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7
7t ? 4 , 解之得 t=1,-2 2t ? 5
代入 a n ?1 ? t ? (2t ? 5)

令t ?

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 a ?2 , a n ?1 ? 2 ? 9 n , 2a n ? 7 2a n ? 7

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 a ?1 a ?1 1 ,即{ n }是首项为 1 ? ? ? , a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 an ? 2 a1 ? 2 4 a n ? 1 1 1? n 1 4 ? 3 n ?1 ? 2 的等比数列, = ? 3 , 解得 a n ? . 3 an ? 2 4 4 ? 3 n ?1 ? 1 an ? 1 , 2a n ? 7
1 a n ?1 ? 1 ? 2a n ? 7 2(a n ? 1) ? 9 2 3 , ? ? ? 3(a n ? 1) 3(a n ? 1) 3 an ? 1
2 ? 3bn , ?, 转化为累加法来求. 3

公比为

方法 2: ?,

a n ?1 ? 1 ? 3

两边取倒数得

令 bn?

1 ,则 b n ? an ? 1

例 23 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x ? 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 的两个不 4x ?1 4x ?1

动点。因为

21an ? 24 ?2 ?a ? 2? an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 ? n ?是 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 ? an ? 3 ? 4an ? 1


a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 为公比的等比数列,故 n ? ?2 为 首 项 , 以 ? 2( )n?1 , 则 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9

an ?

1 ? 3。 13 n?1 2( ) ? 1 9
an?1 ? 2 (n ? 2) ,求 {an } 的通项 an 2an?1 ? 1

练习 1:已知 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

3n ? (?1)n 答案:? an ? n 3 ? (?1)n
练习 2。已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 4an ? 6

答案:? an ?

13 ? 5n 10n ? 6

练习 3.(2009 陕西卷文)

1’ a2 ? 2, an+2= 已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 答案: (1) ?bn ? 是以 1 为首项, ? 十一。特征方程法

1 5 2 1 n ?1 * 为公比的等比数列。 (2) an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 2 3 3 2

形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列

形如 a1 ? m1, a2 ? m2 , an? 2 ? pan? 1 ? qan ( p, q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

an ,其特征方程为 x2 ? px ? q ?①
若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1 , c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数) 再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an 例 24 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 解:其特征方程为 x ? 3x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,令 an ? c1 ?1n ? c2 ? 2n ,
2

?c1 ? 1 ? a1 ? c1 ? 2c2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1, c2 ? ? a2 ? c1 ? 4c2 ? 3 ? ? 2
例 25

?an ? 1 ? 2n?1

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an
2

解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x2 ?

1 ?1? ,令 an ? ? c1 ? nc2 ? ? ? , 2 ?2?
3n ? 2 2n ?1

n

1 ? a1 ? (c1 ? c2 ) ? ? 1 ? ?c1 ? ?4 ? 2 由? ,得 ? , ? c2 ? 6 ? a ? ( c ? 2c ) ? 1 ? 2 2 1 2 ? ? 4

? an ?

练习 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an ?1(n ? N ) ,求数列 {an } 的通项
*

练习 2.已知数列 {an } 满足

a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an ? n ? 4(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项

说明:(1)若方程 x2 ? px ? q 有两不同的解 s , t, 则 an?1 ? tan ? s(an ? tan?1 ) , an?1 ? sa n ? t (an ? sa n?1 ) , 由等比数列性质可得 an?1 ? tan ? (a2 ? ta1 )s n?1 ,

an?1 ? san ? (a2 ? sa1 )t n?1 ,

? t ? s, 由上两式消去 a n ?1 可得 a n ?

?a2 ? ta1 ? n a2 ? sa1 n . .s ? .t s?s ? t ? t ?s ? t ?

(2)若方程 x2 ? px ? q 有两相等的解 s ? t ,则

an?1 ? tan ? s?an ? tan?1 ? ? s 2 (an?1 ? tan?2 ) ? ? ? s n?1 ?a2 ? ta1 ? ,
? a n ?1 a n a 2 ? ta 1 ? an ? ? n ? ,即 ? n ? 是等差数列, n ?1 2 s s s ?s ?
由等差数列性质可知

a n a1 a ? sa ? ? ?n ? 1?. 2 2 1 , n s s s

? a1 a 2 ? sa1 ? a 2 ? sa1 ? n . 所以 a n ? ? .n? s ?? ?? s ? s2 s2 ? ?? ?

25 4 求数列 {a } 的通项。 n 29 2an ? 4 25 29 25 2 2 an ? an ? 2? an ? ? ? 4 ?? ? 4 4 ??① 解: an ?1 ? ? ? an ?1 ? 29 29 2an ? 2an ? 4 4 29? ? 25 25 2 令? ? ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? ,将它们代回①得, 4 4
5 例 26、数列 {an } 满足 a1 ? ? ,且 an ?1 ? 12
2 an ?

25 ? ? an ? ? 2 ? a ? 1 ? ? ??②, a ? 25 ? ? 4 ? an ?1 ? 1 ? n ??③, n ?1 29 29 4 2 an ? 2an ? 4 4
25 ? 25 ? an ? ? 4 ? 4 ? , ③÷②,得 ? ? an ?1 ? 1 ? an ? 1 ? ? ? an ?1 ?
2

2

25 25 25 ? ? an ? an ? ? ? 4 ? 2 lg 4 ,∴数列 lg 4 成等比数列,首项为 1,公比 q=2 则 lg ? ? an ?1 ? 1 an ? 1 a ? 1 n ? ? ? ? an ?1 ?

25 25 25 2n?1 an ? ? 10 4 ? 2n ?1 ,则 4 ? 102n?1 ,? a ? 4 所以 lg n?1 n an ? 1 an ? 1 102 ? 1 an ?
十二、四种基本数列 1.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 2.形如 等差数列的广义形式,见累加法。

a n ?1 ? f (n) 型 等比数列的广义形式,见累乘法。 an

3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2, 其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加来求出通 项;或用逐差法(两式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项. 例 27. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式. 分析 1:构造 转化为 an?1 ? an ? f (n) 型 解法 1:令 bn ? (?1) n an 则 bn?1 ? bn ? (?1) n?1 an?1 ? (?1) n an ? (?1) n?1 (an?1 ? an ) ? (?1) n?1 ? 2n .

n?2



,

?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?







加: bn ? 2 (?1) n (n ? 1) ? (?1) n?1 (n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1 当 n 为 偶 数 时 , bn ? 2?(n ? 1) ? (?1) ?

?

?

? ?

n ? 2? ? n . 此 时 an ? bn ? n 当 n 为 奇 数 时 , 2 ? ?

bn ? 2(?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2
, 所 以

此 时 bn ? ?a n

an ? n ? 1 . 故

?n ? 1, n为奇数, 解 法 an ? ? ?n, n为偶数.

2 :

? an?1 ? an ? 2n

? n ? 2 时, a n ? a n?1 ? 2(n ? 1) ,两式相减得: an?1 ? an?1 ? 2 . ? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;
a2 , a4 , a6 , ?, 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

? a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
?n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ?n, n为偶数.
1 2

a2k ? a2 ? (k ?1)d ? 2k .
评注:结果要还原成 n 的表达式.

例 28.(2005 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足
n ?1 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ?

解:方法一:因为 S n ? S n ?2 以下同上例,略

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 ? an ? an?1所以 an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3), 2

答案

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数, ? ? 2 an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

4.形如 a n?1 ? a n ? f (n) 型 (1)若 a n ?1 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其 通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 an ? an?1 ? f (n ?1) ,两式相除后,分奇偶 项来分求通项. 例 29. 已知数列 {an }满足 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) , ( n ? N ) ,求此数列的通项公式.
n *

1 2

注:同上例类似,略.

5.形如 psn ? f (an ) 型 (1)若 f (an ) 是常数,同题型 1. (2)若 f (an ) 是一次式同题型 1 (3)若 f (an ) 是二次式。 例 1.(2006 年陕西理 20)已知正项数列 {an } ,其前 n 项和 S n 满足 a1 , a3 , a15 成等比 数列,且 10 S n = an ? 5an ? 6 ,求数列 {an } 的通项公式 an . 解:∵10 S n = an ? 5an ? 6
2

2

2



∴ 10a1 ? a1 ? 5a1 ? 6, 解得a1 ? 2或a1 ? 3.

又 10 S n ?1 = an ?1 ? 5an?1 ? 6 ( n ? 2),
2 2

2



① - ②,得 10an ? (an ? an?1 ) ? 5(an ? an?1 ) , 即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 5) ? 0 . ∵ an ? an?1 ? 0, ∴ an ? an?1 ? 5(n ? 2) . 当 a1 ? 3时,a3 ? 13, a15 ? 73.此时 a1 , a3 , a15 不成等比数列,∴ a1 ? 3 . 当 a1 ? 2时,a3 ? 12, a15 ? 72 .此时有 a3 ∴ an ? 5n ? 3 . 评 注 : 该 题 用
?S1 ( n ? 1) an ? ? 即 ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)
2

? a1a15 .∴ a1 ? 2 .

a n 与S n







,

an ? S n ? S n?1 ? f (an) ? f(an?1 ) .
消去 S n , 求出an ,也可用 S n ? f (S n ) ? f (S n?1 )消去an 的方法求出 S n再求an . 例 2. (2007 年重庆理科 21) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S1 ? 1 , 且 6Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 an (2bn ?1) ? 1 ,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和, 求证: 3Tn ?1 ? log2 (an ? 3),n ? N .
1 解: (I)解由 a1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 , 6

由假设 a1 ? S1 ? 1 ,因此 a1 ? 2 ,
1 1 又由 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 6 6

得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0 ,即 an?1 ? an ? 3 ? 0 或 an?1 ? ?an , 因 an ? 0 ,故 an?1 ? ?an 不成立,舍去. 因此 an?1 ? an ? 3 ,从而 ?an ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列, 故 ?an ? 的通项为 an ? 3n ? 1 .

? 1? 3n (II)证法一:由 an (2bn ?1) ? 1 可解得 bn ? log 2 ?1 ? ? ? log 2 ; a 3 n ? 1 ? 2 ?
3n ? ?3 6 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ? ? ??? ?. 3n ? 1 ? ?2 5

3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3) ? log 2 ? ? ??? . ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5 3n ? 2 ?3 6 令 f (n) ? ? ? ??? , ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

3

3

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3)2 . ? ?? ? ? f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2)2

3

因 (3n ? 3)3 ? (3n ? 5)(3n ? 2)2 ? 9n ? 7 ? 0 ,故 f (n ? 1) ? f (n) . 特别地 f (n) ? f (1) ?
27 ? 1 ? ,从而 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) ? log2 f (n) ? 0 . 20

即 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) . 证法二:同证法一求得 bn 及 Tn , 由二项式定理知,当 c ? 0 时,不等式 (1 ? c)3 ? 1 ? 3c 成立.

? 1? 由此不等式有 3Tn ? 1 ? log 2 2 ?1 ? ? ? 2?

3

1 ? ? 1? ? ?1 ? ? ??1 ? ? ? 5 ? ? 3n ? 1 ?

3

3

3 ? ? 3 ?? 3 ? ? ? log 2 2 ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? 2 ?? 5 ? ? 3n ? 1 ?

5 8 3n ? 2 ? log 2 2 ? ? ?? ? 2 5 3n ? 1 ? log 2 (3n ? 2) ? log 2 (an ? 3)
证法三:同证法一求得 bn 及 Tn .
3 6 3n 4 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ,Bn ? ? ?? ? 令 An ? ? ?? ? , Cn ? ? ? ? ? . 2 5 3n ? 1 3 6 3n 4 7 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 2 ? ? 因 . 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n +2 3 ? An BnCn ? 因此 An . 2

3n ? ?3 6 3 从而 3Tn ? 1 ? log 2 2 ? ? ??? ? ? log 2 2 An ? log2 2 An BnCn 3n ? 1 ? ?2 5

3

? log2 (3n ? 2) ? log2 (an ? 3) .
证法四:同证法一求得 bn 及 Tn . 下面用数学归纳法证明: 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) . 当 n ? 1 时, 3T1 ? 1 ? log 2
27 , log2 (a1 ? 3) ? log2 5, 4

因此 3T1 ? 1 ? log2 (a1 ? 3) ,结论成立. 假设结论当 n ? k 时成立,即 3Tk ? 1 ? log2 (ak ? 3) . 则当 n ? k ? 1 时,

3Tk ?1 ? 1 ? log2 (ak ?1 ? 3) ? 3Tk ? 1 ? 3bk ?1 ? log2 (ak ?1 ? 3) ? log2 (ak ? 3) ? log2 (ak ?1 ? 3) ? 3bk ?1
(3k ? 3)3 ; ? log 2 (3k ? 5)(3k ? 2)2
因 (3k ? 3)3 ? (3k ? 5)(3k ? 2)2 ? 9k ? 7 ? 0 .故 log 2

(3k ? 3)3 ?0. (3k ? 5)(3k ? 2)2

从而 3Tk ?1 ? 1 ? log2 (ak ?1 ? 3) .这就是说,当 n ? k ? 1 时结论也成立. 综上 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) 对任何 n ? N+ 成立. 例 3. ( 2008 年全国理科 2 ) 设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1 ,

an?1 ? f (an ) .
1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x) 在区间 (0,

(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥
a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

解: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x ,

f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0
故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数. (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1 .
由函数 f ( x) 在区间 (0, 1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增 函数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得:

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得:

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k



1、若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则 ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0 . 2、若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则:

a ? b ? a ? b ? a ln a k ? 1 k k k
? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b
i ?1 i ?1 k k

? a1 ? b ? k ln b ? a1 ? b ? (a1 ? b) ? 0, 即a1ak ?1 ? b 成立.
例 4.已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ?
1 n (a n ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 2 an

解:由已知 S n ?

1 n 1 n (a n ? ) 得 S n ? ( S n ? S n ?1 ? ), 2 an 2 S n ? S n ?1

2 2 2 2 化简有 S n ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

2 ? 又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以 S n

n(n ? 1) ,又 an ? 0 , s n ? 2

2n(n ? 1) , 2

则 an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) . 2

6. 形如 a n?1 ? f (n)an ? g (n) 型 例1. (2008 年湖南理科) (本小题满分 12 分) n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2 2 2 (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
1 a2 n?1 Sn ? 2 ? . , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n a2 n

解 (Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以a3 ? (1 ? cos 2

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

an ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
一般地,当 n ? 2k ?1(k ? N* ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos 2 = a2k ?1 ? 1 ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k. 当 n ? 2k (k ? N* ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos 2
2k ? )a2 k ? 2a2 k . 2 (2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N , 故数列 ?an ? 的通项公式为 a2 ? ? ? n * 2 ? 2 , n ? 2k ( k ? N .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?
Sn ?

a2 n ?1 n ? 2, a2 n 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2

① ②

1 1 2 [1 ? ( ) ] 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n . ①-②得, Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 Sn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n( n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k

证法一(1)当 n = 6 时,

则当 n =k+1 时,

(k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k
n(n ? 1) 1 ? 1 ,即当 n ? 6 时, S n ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n ? 6 时, 证法二

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) ,则 cn?1 ? cn ? ? ? n?1 ? 0. 令 cn ? 22 2n?1 22 2
6?8 3 ? ?1. 64 4 n( n ? 2) 1 ? 1 .综上所述,当 n ? 6 时, S n ? 2 ? . 于是当 n ? 6 时, 2 n 2

所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ?

7. 形如 a n ? a n ?1 2 a n ? 2 型 例 1 .( 2008 年 重 庆 理 科 22 ) 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 { an } 满 足
2 a1 ? 2 , a a n n ? a a ? 1 ? a 2 (? 3

3

.) N *

(Ⅰ)若 a2 ?

1 ,求 a3 , a4 ,并猜想 a2008 的值(不需证明) ; 4

(Ⅱ)记 bn ? a3a2 ??? an (n ? N*), 若bn ? 2 2 对 n ? 2 恒成立,求 a2 的值及数列{bn}的通项 公式. 解:(Ⅰ)因 a1 ? 2, a2 ? 2?2 , 故 a3 ?
0 1 2

a1 a
3 ? 2 2

? 24



a4 ?

a2 a3
? 3 2

? 2?8

由此有 a1 ? 2( ?2) , a2 ? 2( ?2) , a3 ? 2( ?2) , a4 ? 2( ?2) , 故猜想 an 的通项为 an ? 2( ?2) (n ? N ? ) .∴ a2008 ? 2( ?2)
n?1 2008?1

3

? 2( ?2) .

2007

(Ⅱ)令 xn ? log2 an , Sn 表示xn的前n项和,则bn ? 2Sn . 由题设知 x1=1 且 xn ?
3 xn ?1 ? xn ? 2 (n ? N* ) 2 Sn ? x 1 ? x2 ? ? ? xn ?



① ② ③

3 (n ? 2) 2 3 1 因②式对 n=2 成立,有 ? x1 ? x2 , 又x1 ? 1得 x2 ? 2 2 下面用反证法证明: 3 1 由①得 xn ? 2 ? 2 xn ?1 ? ( xn ? 2 ? xn ?1 ) ? ( xn ?1 ? 2 xn ) . 2 2

因此数列 xn?1 ? 2 xn 是首项为 x2 ? 2 ,公比为

又由①知

1 的等比数列.故 2 1 1 1 xn ?1 ? xn ? ( x2 ? ) n ?1 (n ? N* ). 2 2 2 1 3 1 1 xn ? 2 ? xx ?1 ? ( xn ? xn ?1 ) ? xn ?1 ? ?2( xn ?1 ? xn ), 2 2 2 2



1 1 因此是 xn?1 ? xn 是首项为 x2 ? ,公比为-2 的等比数列,所以 2 2 1 1 xn ? ( x2 ? )(?2) n ?1 (n ? N* ). 2 2 5 1 1 由④-⑤得 Sn ? ( x2 ? 2) n ?1 ? ( x2 ? )(?2) n ?1 (n ? N* ). 2 2 2 xn ?1 ?

⑤ ⑥ ⑦

5 1 1 1 ? (?2)2 (n ? N* ). 对 n 求和得 xn ? ( x2 ? 2)(2 ? n?1 ) ? ( x2 ? ) 2 2 2 3
3 1 由题设知 S2 k ?1 ? , 且由反证假设x2 ? 有 2 2

(x2 ? 2)(2 ?

1 1 22 k ?1 ? 1 15 ) ? ( x ? ) ? (k ? N * ). 2 2k 2 2 3 4 2 k ?1 1 2 ?1 1 15 1 从而( x2 ? ) ? ? ( x2 ? 2)(2 ? 2 k ) ? ? 2 x2 ? (k ? N * ). 2 3 2 4 4
2k+1

3 4 ? 1 ,对 k ? N ? 恒成立.但这是不可能的,矛盾. 即不等式 2 < 1 x2 ? 2 1 1 因此 x2 ? ,结合③式知 x 2 = , 2 2 1 1 因此 a2 ? 2?2 ? 2 将x2 ? 代入⑦式得 Sn = 2- n ?1 ( n ? N ? ), 2 2 6 x2 ?
所以 bn = 2 = 2
Sn

2?

1 2n?1

( n? N? )

8. 形如 f (n)S n?1 ? g (n)S n = 0 型 例 1. (2008 年天津理科 22)在数列 ?an ?与 ?bn ?中,a1 ? 1, b1 ? 4 ,数列 ?an ?的前 n 项 和 S n 满足 nSn?1 ? ?n ? 3?S n ? 0 , 2a n ?1 为 bn 与 bn ?1 的等比中项, n ? N * . (Ⅰ)求 a2 , b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (Ⅲ)设 Tn ? ?? 1? 1 b1 ? ?? 1? 2 b2 ? ? ? ?? 1? n bn , n ? N * .证明 Tn ? 2n 2 , n ? 3 .
a a a

本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 n 项和公式、等比数列的概念、等

比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论 的思想方法.满分 14 分 解: (Ⅰ)由题设有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 0 , a1 ? 1 ,解得 a2 ? 3 .由题设又有 4a22 ? b2b1 ,

b1 ? 4 ,解得 b2 ? 9 .
(Ⅱ)解法一:由题设 nSn?1 ? (n ? 3)Sn ? 0 , a1 ? 1 , b1 ? 4 ,及 a2 ? 3 , b2 ? 9 ,进 一步可得 a3 ? 6 , b3 ? 16 , a4 ? 10 , b4 ? 25 ,
n(n ? 1) , bn ? (n ? 1)2 , n ? N * . 2 n(n ? 1) 先证 an ? , n? N* . 2 1? (1 ? 1) 当 n ? 1 时, a1 ? ,等式成立.当 n ? 2 时用数学归纳法证明如下: 2 2 ? (2 ? 1) (1 当 n ? 2 时, a2 ? ,等式成立. 2 k (k ? 1) (2)假设 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,k ? 2. 2

猜想 an ?

由题设,

kSk ?1 ? (k ? 3 S )k

1 ○

2 (k ? 1 Sk) ? k ?( Sk ?2 ) 1○ ①的两边分别减去②的两边,整理得 kak ?1 ? (k ? 2)ak ,从而
ak ?1 ? k ?2 k ? 2 k (k ? 1) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1] ak ? ? ? . k k 2 2 n(n ? 1) 对任何 2

这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an ? 的 n ? 2 成立. 综上所述,等式 an ?
n(n ? 1) n(n ? 1) 对任何的 n ? N * 都成立 an ? 2 2

再用数学归纳法证明 bn ? (n ? 1)2 , n ? N * . (1)当 n ? 1 时, b1 ? (1 ? 1)2 ,等式成立. ( 2 ) 假 设 当
n?k

时 等 式 成 立 , 即

bk ? (k ? 1)2

, 那 么

bk ?1 ?

4ak ?12 (k ? 1)2 (k ? 2)2 ? ? [(k ? 1) ? 1]2 . 2 bk (k ? 1)

这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 bn ? (n ? 1)2 对任何的 n ? N * 都成立.

解法二:由题设 nSn?1 ? (n ? 3)Sn

1 ○

2 (n ?1)Sn ? (n ? 2)Sn?1 ○ ①的两边分别减去②的两边,整理得 nan?1 ? (n ? 2)an , n ? 2 .所以

2a3 ? 4a2 ,

3a4 ? 5a3 ,??

(n ?1)an ? (n ? 1)an?1 , n ? 3 .
(n ? 1)! a2 , 6

将以上各式左右两端分别相乘,得 ( n ? 1)! an ? 由(Ⅰ)并化简得 an ? 止式对 n ? 1, 2 也成立.

n(n ? 1) n(n ? 1) a2 ? ,n ? 3. 6 2

由题设有 bn?1bn ? 4an?12 ,所以 bn?1bn ? (n ? 2)2 (n ? 1)2 , 即
bn b ? n ?1 2 ? 1 , n ? N * . 2 (n ? 1) (n ? 2) bn 1 ,则 xn xn?1 ? 1 ,即 xn ?1 ? . 2 (n ? 1) xn bn ? 1,即 bn ? (n ? 1)2 , n ? 1 . (n ? 1) 2

令 xn ?

由 x1 ? 1 得 xn ? 1 , n ? 1 .所以

解法三:由题设有 nSn?1 ? (n ? 3)Sn , n ? N * , 所以 S2 ? 4S1 , 2S3 ? 5S2 ,?? (n ?1)Sn ? (n ? 2)Sn?1 , n ? 2 . 将以上各式左右两端分别相乘,得 1? 2 ??? (n ?1)Sn ? 4 ? 5 ??? (n ? 2)S1 ,化简得
Sn ? n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)(n ? 2) a1 ? ,n ? 3. 2?3 6 n(n ? 1) ,n ? 2. 2

由(Ⅰ) ,上式对 n ? 1, 2 也成立.所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? 上式对 n ? 1 时也成立. 以下同解法二,可得 bn ? (n ? 1)2 , n ? 1 . (Ⅲ)证明:

Tn ? (?1) b1 ? (?1) b2 ? ? ? (?1) bn ? ?2 ? 3 ? ? ? (?1)
a1 a2 an 2 2

n ( n ?1) 2

(n ? 1)2 .

当 n ? 4k , k ? N * 时,

Tn ? ?22 ? 32 ? 42 ? 52 ??? (4k ? 2)2 ? (4k ?1)2 ? (4k )2 ? (4k ?1)2 .
注意到 ?(4k ? 2)2 ? (4k ?1)2 ? (4k )2 ? (4k ? 1)2 ? 32k ? 4 ,

故Tn ? 32 ? (1 ? 2 ? ? ? k ) ? 4 ? 32 ?

k (k ? 1) ?4 2

? 4k (4k ? 4) ? 4 ? (4k )2 ? 3? 4k ? n2 ? n ? 4 .
当 n ? 4k ? 1 , k ? N * 时,

Tn ? (4k )2 ? 4 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? 4 ? (n ? 1)2 ? 4(n ? 1) ? (n ? 2)2 ? 4 ? 2n ? 1
当 n ? 4k ? 2 , k ? N * 时,

Tn ? (4k )2 ? 4 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? (4k )2 ? 4 ? 4(n ? 2) ? (n ? 3)2 ? 4 ? ?n2 ? 2n ? 4 .
当 n ? 4k ? 3 , k ? N * 时,

Tn ? 4 ? 4k ? (4k ? 1)2 ? (4k ? 1)2 ? 4(n ? 3) ? (n ? 4)2 ? (n ? 2)2 ? 4 ? ?4 .
??4,     n ? 4k ? 3, k ? N * ? 2 * ??n ? 2n ? 4,   n ? 4k ? 2, k ? N 所以 Tn ? ? . * ?2n ? 1,      n ? 4k ? 1, k ? N ?n2 ? n ? 4,     n ? 4k , k ? N * ?
? 4 ?? n 2 ? 0, ? ??1 ? 2 ? 4 ? 2, |T | ? n n2 从而 n ? 3 时,有 n ? ? n2 ? 2 ? 1 ? 2, ? n n2 ? 1 4 ?1 ? ? 2 ? 2, ? n n
总之,当 n ? 3 时有
| Tn | ? 2 ,即 | Tn |? 2n2 . 2 n

n ? 5,9,13,? n ? 6,10,14,? n ? 3, 7,11,? n ? 4,8,12,?


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