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第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(题目word版) +答案

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第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2016 年 9 月 17 日 一、 (20 分)如图,上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为 R1、R2, 且两柱面外切; 其剖面 (平 面)分别平行于各自的轴线,且相互平行;各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点, 下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴,上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为?的可见光沿 Z 轴负 方向傍轴入射,分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉;借助于光学读数显微镜,逆着 Z 轴方向,可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。R1 和 R2 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n0 ?1.00。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程。 已知:a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧,折射率较大(小)的介质为光密(疏) 介质;光线在光密(疏)介质的表面反射时,反射波存在(不存在)半波损失。任何情形下,折 射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变。b. sinx?x,当 x??1。 二、 (20 分)某秋天清晨,气温为 4.0?C,一加水员到 实验园区给一内径为 2.00m、 高为 2.00m 的圆柱形不 锈 钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为 4.00cm 的透明圆柱形观察柱,底部与罐相连(连接 处 很短) ,顶部与大气相通,如图所示。加完水后, 加水 员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜(不溶于水, 与罐壁 无摩擦) ,并密闭了罐顶的加水口。此时加水 员通过观 察柱上的刻度看到罐内水高为 1.00m。 (1)从清晨到中午,气温缓慢升至 24.0?C,问此时 观察柱内水位为多少?假设中间无人用水, 水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 (2) 从密闭水罐后至中午, 罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少?求这个过程中罐内空 气 的热容量。 已知罐外气压始终为标准大气 压 p0 ? 1.01? 10 pa , 水 在 4.0?C 时的密度 为
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?0 ? 1.00 ? 103 kg ? m?3 ??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为??3.03?10?4K?1,重力加速度大
小为 g ? 9.80m ? s ,绝对零度为?273.15?C.
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?2

三、 (20 分)木星是太阳系内质量最大的行星(其质量约为地球的 318 倍) 。假设地球与木星均沿 圆 轨道绕太阳转动,两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点,忽略太阳系内其 它星 体的引力;且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为 ms 和 mj , 引力常量为 G。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是 re 和 rj。假设在某个时刻,地球与 太阳的 连线和木星与太阳的连线之间的夹角为?。这时若太阳质量突然变为零,求 (1)此时地球相对木星的速度大小 vej 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 v0。 (2)试讨论此后地球是否会围绕木星转动,可利用(1)中结果和数据 m ? 2.0?1030kg、 s 27kg、木星公转周期 T?12 y。 m? j 1.9? 10 j

四、 (20 分)蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程,现将一长 为 L、质量为 m、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性 绳的一端系在桥沿 b,绳的另一端系一质量为 M 的小物块(模拟蹦 极者) ;假设 M 比 m 大很多,以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和 蹦极者的重力向下拉时会显著伸长,但仍在弹性限度内。在蹦极者 从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过 程中,不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为 g。 (1)求蹦极者从静止下落距离 y(y?L )时的速度和加速度的

大小,蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 (2)求蹦极者从静止下落距离 y(y?L 处张力的大小。 )时,绳在其左端悬点 b

五、 (20 分)一种拉伸传感器的示意图如图 a 所示:它 由一半径为 r2 的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕 N (N??1) 圈的一层细绳组成; 绳柔软绝缘, 半径为 r1, 外 表面均匀涂有厚度为 t(t??r1??r2) 、 电阻率为?的 石墨烯 材料; 传感器两端加有环形电极 (与绳保持良好 接触) 。 未拉伸时,缠绕的绳可视为 N 个椭圆环挨在一 起放置; 该 椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹 角为?(见图 a) ,相邻两圈绳之间的接触电阻为 Rc。 现将整个传感器 沿塑料棒轴向朝两端拉伸, 绳间出现 n 个缝隙, 每个缝隙 中刚好有一整圈绳, 这圈绳被自动调
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节成由一个未封闭圆环和两段短直线段 (与塑料棒轴线平行) 串接而 成(见图 b) 。假设拉伸前后?、r1、r2、?、t 均不变。 (1)求拉伸后传感器的伸长率?(?是传感器两电极之间距离的伸 长 与其原长之比)和两环形电极间电阻的变化率; (2)在传感器两环形电极间通入大小为 I 的电流,求此传感器在未 拉伸及拉伸后,在塑料棒轴线 上离塑料棒中点 O 距离为 D ( D 远大于传感器长度)的 P 点(图中未画出)处沿轴向的磁感应 强度。 已知:长半轴和短半轴的长度分别为 a 和 b 的椭圆的周长为 ? (3

a?b ? ab ) ,其中 b ? 0 . 2

六、 (20 分)光电倍增管是用来将光信号转 化为电信号并加以放大的装置,其结构如 图 a 所示: 它主要由一个光阴极、n 个倍增 级和一个阳极构成;光阴极与第 1 倍增级、 各相邻倍增级及第 n 倍增级与阳极之间均 有电势差 V;从光阴极逸出的电子称为光 电子,其中大部分(百分比 ?)被收集到第 1 倍增级上,余下的被直接收集到阳极上; 每个被收集到第 i 倍增级(i?1,?,n)的电子在该电极上又使得?个电子(??1)逸出;第 i 倍增 级上 逸出的电子有大部分(百分比?)被第 i?1 倍增级收集,其他被阳极收集;直至所有电子被 阳极 收集,实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为 e。 (1)求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗,已知???1,n??1; (2)为使尽可能多的电子从第 i 倍增级直接到达第 i?1 倍增级而非阳极,早期的光电倍增管中, 会施加垂直于电子运行轨迹所在平面(纸面)的匀强磁场。设倍增级的长度为 a 且相邻倍增级间 的几何位置如图 b 所示,倍增级间电势 差引起的电场很小可忽略。所施加的匀 强磁场应取什么方向以及磁感应强度大 小为多少时, 才能使从第 i 倍增级垂直出 射 的 能 量 为 Ee 的 电 子 中 直接 打 到 第 i?1 倍增级的电子最多?磁感应强度大 小为多少时,可以保证在第 i?1 倍增级 上至少收集到一些从第 i 倍增级垂直出 射的能量为 Ee 的电子?
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图b

七、 (20 分)两根质量均匀分布的杆 AB 和 BC,质 量 均为 m, 长均为 l, A 端被光滑铰接到一固定点 (即 AB 杆可在竖直平面内绕 A 点无摩擦转动) 。 开始时 C 点有 外力保持两杆静止,A、C 在同一水平线 AD 上, A、 B、C 三点都在同一竖直平面内,?ABC?60?。 某时刻 撤去外力后两杆始终在竖直平面内运动。 (1)若两杆在 B 点固结在一起,求 (i)初始时两杆的角加速度; (ii)当 AB 杆运动到与水平线 AD 的夹角为?时,AB 杆绕 A 点转动的角速度。 (2)若两杆在 B 点光滑铰接在一起(即 BC 杆可在竖直平面内绕 B 点无摩擦转动) ,求初始时两 杆的角加速度以及两杆间的相互作用力。

八、(20 分)质子是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机(LHC)是高能质子质子对撞机,质子束内单个质子能量为 E?7.0TeV( 1TeV?103 GeV=1012eV) ,两束能量相同的 质 子相向而行对撞碎裂, 其中相撞的两个部分子 a、 b 相互作用湮灭产生一个新粒子。 设部分子 a、 b 的动能在质子能量中所占的比值分别为 xa、xb,且远大于其静能。 (1)假设两个部分子 a、b 对撞湮灭产生了一个静质量为 ms = 1.0 TeV/c2 的新粒子 S,求 xa 和

xb 的乘积 xa xb ;
(2)假设新粒子 S 产生后衰变到两个光子,在新粒子 S 静止的参考系中,求两光子的频率; (3) 假设新粒子 S 产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为 mA?1.0GeV/c2 的轻粒子 A, 每个 轻粒子 A 再衰变到两个同频率的光子,求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。 已知: sin???,当???1; 普朗克常量 h?6.63? 10?34 J?s, 电子电荷量绝对值 e?1.60? 10 ?19C。

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一、

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