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2013第十届东南数学奥林匹克


第十届东南数学奥林匹克
第一天 2013 年 7 月 27 日 上午 8:00-12:00

江西 鹰潭
2a 3 ? 3ab ? 3a 1.实数 a, b 使得方程 x ? ax ? bx ? a ? 0 有三个正实数根.求 的最 b ?1
3 2

小值. 2.如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ,内

切 圆 I 与 BC 边切于点 D , AD 交内切圆 I 于另一点 E ,圆 I 的切线 EP 交 BC 的延 长线于点 P , CF 平行 PE 交 AD 于点 直线 BF 交圆 I 于点 M , N , M 在 点 F, 线段 BF 上, 线段 PM 与圆 I 交于另一点
Q .证明: ?ENP ? ?ENQ .
2 an ? (?1) n (n ? 2,3,?) .证明:该数列 3.数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ?1 ? an ?1

A E I F D N Q C P

M B

任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项. 4.十二个杂技演员编号分别为 1, 2,?,12 ,将他们按适当方式分别围成 A, B 两个 圈,每圈 6 人,其中 B 圈的每个演员分别站在 A 圈相邻两个演员的肩膀上.如果 就称这样搭配成的 B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和, 结构为一个“塔” ,问总共能搭起多少个结构不相同的“塔”? (注:旋转或对称后的塔属于同一个结构.以 8 个人的情况为例,画一个圈,将 底层演员编号填在圈内,上层演员编号填在圈外,那么以下三个图均是“塔” , 但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得,故它们属于同一种结构. )

第十届东南数学奥林匹克
第二天 2013 年 7 月 28 日 上午 8:00-12:00

江西 鹰潭
?x? ? x ? ? x ? 1. f ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 , x ? 表示不超过 x 的最大整数. 对于整数 n , ? ?1!? ? 2!? ? 2013!? ?

若关于 x 的方程 f ( x) ? n 有实数解,则称 n 为好数.求集合 {1,3,5,?, 2013} 中好数 的个数. 2. n 为大于 1 的整数. 设 将前 n 个素数从小到大依次记为 p1 , p2 ,?, pn(即 p1 ? 2 ,
p2 ? 3 ,?) ,令 A ? p1p1 p2p2 ? pnpn .求所有正整数 x ,使得

A A 为偶数,且 恰有 x x x

个正约数. 3.将 3 ? 3 正方形任意一个角上的 2 ? 2 正方形挖去,剩下的图形称为“角形” (例 如,图 1 就是一个角形) .现于 10 ?10 方格表(图 2)中放置一些两两不重叠的角 形,要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合.求正整数 k 的最大值,使得 无论以何种方式放置了 k 个角形之后,总能在方格表中再放入一个完整的角形.

4.设整数 n ? 3 , ? , ? , ? ? (0,1) , ak , bk , ck ? 0(k ? 1, 2,?, n) 满足

? (k ? ? )ak ? ? , ? (k ? ? )bk ? ? , ? (k ? ? )ck ? ? .
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

若对任意满足上述条件的 ak , bk , ck (k ? 1, 2,?, n) , 均有 ? (k ? ? )ak bk ck ? ? , ? 的 求
k ?1

n

最小值.


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