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直线与椭圆的位置关系


直线与椭圆的位置关系
y

O

x

彭水一中 何博

课堂引入:
问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

相离

相切

相交

怎么判断它们之间的位置关系?
几何法:d>r 代数

法:?<0 d=r ?=0 d<r ?>0

一、椭圆与直线的位置关系
问题2:椭圆与直线有哪些位置关系?
y 相交 相交

相离

相切 相切


相离

x

一、椭圆与直线的位置关系
判断方法

直线与椭圆方程组成方程组 得到一元二次方程,求?

?<0,相离

?=0,相切

?>0,相交

一、直线与圆的位置关系
2 2 y ? x ? m 4 x ? y ?1 例1. 已知直线 与椭圆

(1)当直线和椭圆有交点时,求实数 m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦的长度.

解:由方程组

2 2 ?y ? x ? m 5 x ? 2 mx ? m ?1 ? 0 ,得 ? 2 2 4 x ? y ?1 ?

(1)直线与椭圆有交点,那么有
? ? 4m2 ? 20(m2 ?1) ? 20 ?16m2 ? 0
5 5 ?m? 2 2

解得,?

一、直线与圆的位置关系
变式:已知直线 l : y ? kx ?1 ? 0(k ? R) 与椭圆
x2 y2 ? ?1 5 4

,求证 l 与椭圆恒有公共点.

法一:用判别式法(代数法)

y

法二:由于直线过定点(0,1) 在椭圆内,故直线与椭圆相交。
? 5

2 1

数形 结合
5
x

-2

二、椭圆与直线相切
x2 y2 ? ?1 25 9

例2、已知椭圆 和直线l:4x-5y+40=0, 试推断椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最 小?最小距离是多少? y 数形结合 l m x O

m

二、椭圆与直线相切
解:设平行于直线l的直线m方程为:
4x ? 5 y ? k ? 0
?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 9 ? 25



,得

最大距离呢?

25x 2 ? 8kx ? k 2 ? 225 ? 0

根据

? ? 64k 2 ? 4 ? 25(k 2 ? 225) ? 0

解得

k1 ? 25, 或k2 ? ?25

经判断,k=25时直线m与直线l的距离最小 距离为:d ? 40 ? 25 ? 15 41
4 2 ? 52 41

所以最小距离为

15 41

41

三、椭圆弦长
问题3:如何求圆的弦长?

法一:几何法,利用垂径定理.
AB ? 2 AD ? 2 r 2 ? d 2
O D B A

思考:求椭圆弦长能用这个方法吗?

三、椭圆弦长
法二:代数法,弦长公式
AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) (两点距离公式 )
2 2

A(x1,y1)

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) ? k ( x1 ? x2 )(k ? ) x1 ? x2
2 2 2

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 或 ? 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 k

B(x2,y2)

思考:其中 x1, x2 , y1, y2 , k 表示什么?那么怎么利用这 个公式?这个公式适用于椭圆中吗? 韦达定理

三、椭圆弦长
解椭圆弦长的一般方法:
(1)联立直线与椭圆方程; (2)消去一个未知数; (3)利用弦长公式.
AB ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2 2

A(x1,y1)

B(x2,y2)

1 或 ? 1 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 k

思考:此时k存在,当k不存在呢?
AB ? y1 ? y2

设而不求 韦达定理

三、椭圆弦长

y A( x1 , y1 )


B( x2 , y2 )

x

三、椭圆弦长
例4:过椭圆 使弦被点M平分,求这条弦所在直线的方程.
y
(x2 , y2) (x1 , y1)

x2 y2 ? ? 1 内一点M ( 2,1) 引一条弦, 16 4

o

x

三、椭圆弦长

三、椭圆弦长


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