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圆锥曲线专题

时间:2015-01-29


〖专题复习〗椭圆、双曲线、抛物线
【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式: 1. 以选择、 填空的形式考查, 主要考查圆锥曲线的标准方程、 性质(特别是离心率 ), 以及圆锥曲线之间的关系, 突出考查基础知识、基本技能,属于基础题. 2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系, 常常在知识的交汇点处命

题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问 题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题,一般难度较大. 【主干知识梳理】 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准方程 椭圆 |PF1|+ |PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 双曲线 ||PF1|- |PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 抛物线 |PF|= |PM|点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M y2=2px (p>0)

图形

范围 顶点 几何 性质 对称性 焦点 轴

|x |≤ a, |y|≤ b (± a,0), (0, ± b)

|x |≥ a (± a,0)

x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b

1

离心率 几何 性质 准线 渐近线

c e= = a

b2 1- 2(0<e<1) a

c e= = a

b2 1+ 2(e>1) a

e=1

p x=- 2 b y= ± x a

【热点分类突破】 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 y2 例 1 (1)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一个交点,则 2 m 3 |PF1|· |PF2|的值等于________. (2)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k =________.

研究提高:
(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求 |PF1|+ |PF2|> |F1F2|,双 曲线的定义中要求 ||PF1|- |PF2||< |F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,提倡画出合理草图.

变式练习:
x2 y2 3 (1)(山东 )已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2- y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这 a b 2 四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 8 2 12 6 16 4 20 5 (2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l 于点 C, 若 |BC|=2|BF|,且 |AF|= 3,则此抛物线的方程为 ( ) 2 2 2 A. y = 9x B. y = 6x C. y = 3x D. y2= 3x 考点二 圆锥曲线的几何性质 x2 y2 例 2 (1)(辽宁 )已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A, a b
2

4 B 两点,连接 AF,BF.若 |AB|= 10, |BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 ( ) 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7 2 2 x y (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上,且 |PF1|=4|PF2|, a b 则双曲线的离心率 e 的最大值为________.

研究提高:
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等式, 再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.建立关于 a,b,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.

变式练习:
(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且BF=2 FD,则 C 的离心率为________. x2 y2 a2 2 2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x + y = 的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P, a b 4 若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,点 F 为椭圆的右焦点, a b 2 → → 点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,点 M 为椭圆的上顶点,且满足MF· FB= 2 -1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l,当直线 l 交椭圆于 P、Q 两点时,使点 F 恰为△PQM 的 垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.





研究提高:
(1)对于弦中点问题常用 “根与系数的关系 ”或“点差法 ”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件 Δ≥ 0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交. (2)涉及弦长的问题中, 应熟练地利用根与系数关系、 设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系 数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.

变式练习:

x2 2 (2013· 北京 )已知 A,B,C 是椭圆 W: + y =1 上的三个点,O 是坐标原点. 4
3

(1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

【规律方法总结】
1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方 程的基础. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+ By2= 1,其中 A、 B 是不等的常数, A>B>0 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆; B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆; AB<0 时表示双曲线. c 3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出 a, c,计算 e= ;方法二:根据已知条件确定 a, b, a c c 的等量关系,然后把 b 用 a, c 代换,求 . a 2b2 4.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径长为 ,过椭圆 a 焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通径最短. 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+ c,最短距离为 a- c. 5.抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2= 2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点, A(x1, y1)、 B(x2, y2). p2 2 (1)y1y2=- p , x1x2= ; 4 2p (2)|AB|= x1+ x2+ p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角 ); sin α p2 (3)S△ AOB= ; 2sin α 1 1 2 (4) + 为定值 ; p |FA| |FB| (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 .

4


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