2013届揭阳二模文数试题及参考答案

广东省揭阳市 2013 届高中毕业班第二次高考模拟考试试题 数学(文科)
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．函数

y ? 1 ? 2x

的定义域为 B. ( ??, 0] C.

A. [0, ??) 2．若 1 ? 2ai

(0, ??)

D.

(??, 0)

? (1 ? bi)i ，其中 a、b∈R，i 是虚数单位，则 | a ? bi | =

A．

1 ?i 2

B．

5

C．

5 2

D．

5 4

3．已知点 A (?1,5) 和向量 a =（2,3），若 A.(7,4) 4．设函数 A. B.(7,14)

?

??? ? ? AB ? 3a ，则点 B 的坐标为
C.(5,4) D.(5，14)

f ( x) ? cos(2? ? x) ? 3 cos(
B. ?

?
2

? x) ，则函数的最小正周期为
C. 2? D. 4?

?
2

5．以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 4 3
B. x
2

A.

y2 ? x2 ? 1 3

?

y2 ?1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

6．在等差数列

?an ? 中，首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ，若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 ，则 m 的值为
B．36 C．20 D．19

A．37

7．设定义在[-1，7]上的函数

y ? f ( x) 的图象如图（1）示，
图（1）

则关于函数

y?

1 f ( x)

的单调区间表述正确的是

A.在[-1,1]上单调递减 C.在[5,7]上单调递减

B.在 (0,1]

单调递减，在 [1,3) 上单调递增；

D.在[3, 5]上单调递增

8. 一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(2)示，则该几何体的体积为

正视图

侧视图

A.7

B.

22 3

C.

47 6

D.

23 3
俯视图

图（2）

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9. 若 直 线 A. ( ??,

ax ? by ? 1 ? 0
1 ] 4

平分圆

C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0
C. (0,

的周长，则 D. (0,

ab

的取值范围是

B. (??,

1 ] 8

1 ] 4

1 ] 8

10．已知点 P( x, y) 满足 ? A. 1

?0 ? x ? 1, 则点 Q( x ? y, y) 构成的图形的面积为 ?0 ? x ? y ? 2.
B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（9－13 题） 11．若点 (a, ?1) 在函数

y ? log 1 x 的图象上，则 tan
3

4? a

的值为

．

12．已知函数 的取值范围为

f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 ．若命题：“ ?x0 ? (0,1) ，使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题，则实数 a
.

13 ． 对 于 集 合 M ， 定 义 函 数

??1, x ? M , f M ( x) ? ? ?1, x ? M .
已知 ．

对于两个集合 A，B，定义集合

A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} .
集合

A = {2, 4, 6,8,10}， B ? {1, 2, 4,8,12} ，则用列举法写出

A?B 的结果为

（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线 l 过圆 C： ? 心 C，且与直线 OC 垂直，则直线 l 的极坐标方程为 ．
D C

? 2 2 cos(? ? ) 的圆 4

?

15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示， C , D 是半圆周上的两 个三等分点，直径

AB ? 4 ， CE ? AB ，垂足为 E ， BD 与 CE 相交于点 F ，则 BF 的长为 ．

F A o 图3 E B

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）

已知函数

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 ， f ( x) ? cos x
f ( x) 的定义域；
?? 4 ，求 f (? ) 的值． 3

?

（1）求函数

（2）设 ? 是第四象限的角，且 tan ?

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频率/组距
0.0170

17. （本小题满分 12 分） 某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试， 规定：成绩大于或等于 90 分的有参赛资格，90 分以下(不包括 90 分)的则被淘汰．现有 100 人参 加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）. (1)求获得参赛资格的人数； (2)根据频率分布直方图，估算这 100 名学生测试 的平均成绩； (3)现在成绩 [110,130) 、 [130,150] （单位：分） 的同学中采用分层抽样机抽取 5 人，按成绩从低到 高编号为
0.0140

0.0065 0.0050 0.0045 0.0030 0

30

50

70

90

110

130

150

(分数)

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ，从这 5 人中任选 2 人，求至少有 1 人的成绩在 [130,150] 的概率．

18．（本小题满分 14 分） 数列

2 3， ?an ? 中， a1 ? 3 ， an?1 ? an ? cn （ c 是常数， n ? 1，，? ），且 a1，a2，a3 成公比不为

1 的等比数列．
（1）求 c 的值； （2）求

?an ? 的通项公式．

C

19．（本小题满分 14 分） 如图（5），已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长 为 1 的正方形，M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上，且 AM=EN． （1）求证：平面 ABCD ? 平面 ADE； （2）求证： MN//平面 BCF； （3）若点 N 为 EC 的中点，点 P 为 EF 上的动点，试求 PA+PN 的最小值．
E 图 （5） D N F M A B

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20. （本小题满分 14 分） 如图(6)已知抛物线 C :

y l t

y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ，焦点为 F，
2

圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上，且与 y 轴相切．过原点作倾斜角 为

B

? 的直线 t，交 l 于点 A，交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 3

．
A

X
O F

M

（1）求圆 M 和抛物线 C 的方程； （2）试探究抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线

图（6） 的方程，若不存在，说明理由.

m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称？若存在，求出直线 m

21．（本小题满分 14 分） 已知 a （1）求

? 0 ，函数 f ( x) ? ax2 ? ln x .

f ( x) 的单调区间； 1 2 （2）当 a ? 时，证明：方程 f ( x) ? f ( ) 在区间（2， ?? ）上有唯一解； 8 3
（3）若存在均属于区间[1，3]的 ? , ? 且 ? 证明：

? ? ? 1，使 f (? ) = f ( ? ) ，

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? ． 5 3

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揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(文科)参考答案及评分说明
一．选择题：BCDCB 解析：2．由 1 ? 2ai ABDBB

? (1 ? bi)i 得 ? a ?

1 5 , b ? 1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? ,选 C 2 2

，

3．设 B( x, y) ，由

??? ? ? ?x ?1 ? 6 ，所以选 D AB ? 3a 得 ? ?y ?5 ? 9
?

4．函数

f ( x) ? 2sin( x ? ) ，故其最小正周期为 2? ，故选 C. 6

6．由 am

? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ，选 A．
1 f ( x)
当 x=0，x=3，x=6 时无定义，故排除 A、C、D，选 B.

7. 函数

y?

8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为. 2

3

1 1 23 ? 2 ? ? ? 1? 1? 1 ? ，故选 D. 3 2 3
a ? 2b ? 1 ，由
v 2 v=u v=u-1

9．依题意知直线 ax ? by ? 1 ? 0 过圆 C 的圆心（-1,2），即

1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ?

1 ，故选 B. 8

?0 ? u ? v ? 1, 10．令 x ? y ? u , y ? v ，则点 Q (u , v ) 满足 ? ，在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.
出点 Q (u , v ) 所构成的平面区域如图，易得其面积为 2.故选 B. 二．填空题：11.

o 1 -1 2 u=2

u

1 3 ;12. a ? 1 (或 a ? ( , ??) )；13. 2 2

{1，6，10，12}；

14.

? 2 3 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 （或 ? cos(? ? ) ? 2 ）；15. 4 3
? 3 ，则 tan

解析：11．依题意得 a 12．由“ ?

4? 4? ? 3。 = tan a 3

x0 ? (0,1) ，使得 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题，得 f (0) ? f (1) ? 0 ?
?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0
或 ?a ? 0

(1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ?a ? 0 ?
13．要使

? ?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0

?a? 1 .
2

f A ( x) ? f B ( x) ? ?1 ，必有 x ?{x | x ? A 且 x ? B} ? {x | x ? B 且 x ? A} ={1，6，10，
A?B ={1，6，10，12}

12，16} ，所以 14．把 ?

? 2 2cos( ? ? ) 4

?

化为直角坐标系的方程为 x

2

? y 2 ? 2x ? 2 y ，圆心 C 的坐标为（1，1），

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与直线 OC 垂直的直线方程为

x ? y ? 2 ? 0, 化为极坐标系的方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或

? ? cos(? ? ) ? 2 .
4
15.依题意知 ?DBA ? 30 ,则 AD=2，过点 D 作 DG ?
?

AB 于 G，则 AG=BE=1，所以 BF ?

2 3 . 3

三．解答题： 16．解：（1）函数 即

f ( x) 要有意义，需满足： cos x ? 0 ，解得 x ?

?
2

? k? , k ? Z ，------2 分

f ( x) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分

（2）∵

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 f ( x) ? cos x
1 ? 2( 2 2 sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 ? cos x cos x

?

?

--------6 分

2cos 2 x ? 2sin x cos x ? cos x
由 tan ?

? 2(cos x ? sin x ) ----------------------8 分

4 4 2 2 ，得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin ? ? cos ? ? 1 3 3 9 3 4 2 ∴ cos ? ? ，∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? ， sin ? ? ? ------------------------10 分 25 5 5 ??
∴

f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ?

14 ．---------------------------------------------------12 分 5

17.解： (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为： 100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25 人．----------------3 分 (2)设 100 名学生的平均成绩为 x ，则 x ＝[ 30＋50 50＋70 70＋90 90＋110 110＋130 ×0.0065＋ ×0.0140＋ ×0.0170＋ ×0.0050＋ ×0.0045＋ 2 2 2 2 2

130＋150 ×0.0030]×20＝78.4 分．------------------------------------6 分 2 (3) 成绩在 [110,130) 的人数为 100×0.0045×20=9 人，成绩在 [130,150) 的人数为 100×0.0030×20=6 人 ， 所 以 应 从 成 绩 在 [130,150) 中 抽 取 6 9 ×5=2 人 ， 从 成 绩 在 [110,130) 中 抽 取 ×5=3 人 ， 故 15 15

A4 , A5 ?[130,150) ，----------------------------------8 分
从

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 中任取两人，共有 ( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, A4 ),( A1, A5 ),( A2 , A3 ),

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( A2 , A4 ),( A2 , A5 ),( A3 , A4 ),( A3 , A5 ),( A4 , A5 ) 十种不同的情况，-----------10 分
其中含有

A4 , A5 的共有 7 种，所以至少有 1 人的成绩在 [130,150) 的概率为10．-----12 分
? 3 ， a2 ? 3 ? c ， a3 ? 3 ? 3c ，
2

7

18．解：（1） a1

--------------------------------1 分

∵ a1 ， a2 ， a3 成等比数列，∴ (3 ? c) 解得 c 当c

? 3(3 ? 3c) ，

--------------------------------3 分

? 0 或 c ? 3．

--------------------------------4 分

? 0 时， a1 ? a2 ? a3 ，不符合题意舍去，故 c ? 3 ．-------------------------------6 分

（2）当 n ≥ 2 时，由 a2

? a1 ? c ， a3 ? a2 ? 2c ，?? an ? an?1 ? (n ?1)c ，-------------8 分
n(n ? 1) c 2 an ? a1 ? [1 ? 2 ? L ? (n ? 1)]c ? n(n ? 1) c 2
．

an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

-------------------------------10 分

3 3 3， ? 3 ， c ? 3 ，∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n 2 ? n ? 2)(n ? 2， ?) ．------------------12 分 2 2 3 2 ? 当 n ? 1 时，上式也成立，∴ an ? ( n ? n ? 2)( n ? N ) ．--------------------------------14 分 2
又 a1 19．解：（1）∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形 ∴ EF

? DE, EF ? AE, 又 DE ? EA ? E ,

∴ EF

? 平面 ADE ，---------------2 分

/ / AB ，∴ AB ? 平面 ADE ∵ AB ? 平面 ABCD，∴平面 ABCD ? 平面 ADE-------------------------4 分
又∵ EF （2）证法一：过点 M 作 MM1 过点 N 作 NN1

C N1

? BF 交 BF 于 M 1 ，
D N

? CF 交 BF 于 N1 ，连结 M1N1 ,------------5 分

F M

M1

B

∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1

E

A

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? 又∵ AB FA CE EF

∴ MM1

? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形，---------------------------------------------8 分

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF . ----------10 分
CN FM FG ? ? , [法二：过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G，连结 NG，则 NE MA GE ? NG / / CF -----------------------------------------------------------6 分
C

D

N

F M

B

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ，------------7 分
同理可证得 MG // 面BCF ，又 MG ? NG ∵MN ? 平面 MNG,

G E A

?G,

∴平面 MNG//平面 BCF--------9 分

? MN // 面BCF ．--------------------------------------------10 分]
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（3）如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内，则当点 A、P、N 在同一直线上时，PA+PN 最小，------------------------------------11 分

C
在△AEN 中，∵ ?AEN

F

B

? 135? , AE ? 1, NE ?

2 2
D

N

P E A

由余弦定理得

AN 2 ? AE 2 ? EN 2 ? 2 AE ? EN cos135? ，------13 分
即 ( PA ? PN ) min

∴

AN ?

10 2

?

10 2

．-----------------------14 分

20. 解：(1)∵

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ，即 p ? 2 ， 2 2

∴所求抛物线的方程为

y2 ? 4x

--------------------------------3 分

∴设圆的半径为 r，则 r ? (2) 设 P ∵

2 2 OB 1 ? ? 2 ，∴圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .--------------6 分 ? 2 cos 60

?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称，且 PQ 中点 D?x0 , y0 ? ----------------------7 分

2 2 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上，∴ y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4 -----------------------8 分

两式相减得：

? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? --------------------------------9 分
x3 ? x4 4 ? ? ?4k ，∴ y0 ? ?2k -----------------------11 分 y3 ? y4 kPQ

∴

y3 ? y4 ? 4 ?

∵D ∴ x0

?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上
? ?1 ? 0 ，点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外--------------------------------13 分

∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称. --------------------------14 分 21．解：（1）函数

f ( x) 的定义域 (0, ??)

， f ?( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 -------------2 分 ? x x

2a 2a ----------4 分 ，令 f ?( x) ? 0 得： 0 ? x ? 2a 2a 2a 2a ) ，单调递增区间为 ( , ??) -------------5 分 ∴函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, 2a 2a 1 1 2 （2）证明：当 a ? 时， f ( x ) ? x ? ln x ，由（1）知 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, 2) ，单调递增 8 8 区间为 (2, ??) ，--------------------------------------------6 分 2 令 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( ) ，则 g ( x ) 在区间 (2, ??) 单调递增且 3 2 e4 1 2 g (2) ? f (2) ? f ( ) ? 0, g (e2 ) ? ? 2 ? ? ln ? 0 ，-----------------8 分 3 8 18 3
?a ? 0
令

f ?( x) ? 0 得： x ?

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2 f ( x) ? f ( ) 在区间（2， ?? ）上有唯一解．----------------------9 分 3 （注：检验 g ( x ) 的函数值异号的点选取并不唯一）
∴方程 （3）证明：由 从而

f (? ) ? f ( ? ) 及（1）的结论知 ? ?

f ( x) 在 [? , ? ] 上的最大值为 f (? ) （或 f ( ? ) ），---------------------11 分 又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ?[1,3], 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3. --------------------------12 分 ? f (1) ? f (? ) ? f (2) ?a ? 4a ? ln 2 故? ，即 ? -----------------------13 分 ? f (3) ? f ( ? ) ? f (2) ?9a ? ln 3 ? 4a ? ln 2 ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? 从而 ．--------------------------------------------14 分 5 3

2a ? ? ，-------------10 分 2a

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