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直线的位置关系2016


河南省实验中学

宋苗珂

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数学的眼光看问题

十字路口两条路所在直线相交 立交桥两条路所在直线不相交 不平行

数学的眼光看世界
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异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
定义辨析

如何理解:不同在任何一个平面内

平面内直线不平行即相交,于是理解为空间中
既不平行、又不相交的直线 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? b b 利用平面作为衬托

?
b a

?

a

?

a

?

异面直线的定义:
深度辨析 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行

b a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线位置关系分类
相交直线 同在一个平面内
平行直线

平面
不同在任何一个平面内 异面直线
相交直线 平行直线

有一个公共点

公共点
无 公 共 点

异面直线

空间直线位置关系辨析
在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那 么这两条直线互相平行。在空间中,是否有类似规律?
将一张纸如图 折叠,折痕为 空间直线

d e b c a

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号语言:若a∥b,b∥c则a∥c 空间中,如果两条直线都与第三条直线垂 E 直,是否也有类似的规律? 不能!AD 和AB垂直,AD和AE垂直,但是 A AB与AE不平行反而垂直.
H F D B G

C

空间直线夹角

异面直线夹角

思考:平面内“ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢? 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
A

?
C

答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 定理(等角定理):空间中,如果 两个角的两边分别对应平行,那么 A1
E

D B 1
D F

C1
?

B1
?

B

D

A
C

C B
?

这两个角相等或互补.

A
F

D

异面直线夹角
定义:已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作 a ′ ∥a,b ′ ∥b , a ′与b ′所成的锐角或直角,叫做 异面直线a、b所成的角(或叫做夹角)
b′
b

O

a

a′

异面直线夹角
思考:异面直线所成角的范围是

? ? (0,90 ]
?

特殊情况:异面直线所成角为直角时,我们说
两条直线互相垂直,记作a⊥b. 思考: a、b 所成角的大小与点O的位置有关吗? 没有!为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上。
b α a b1 b a1 α θ O a

O

正方体探究
问题1:与AE平行的棱有几条?
问题2:与AE异面的棱有几条? 问题3:与AE异面的面对角线有几条? 问题4:与AE异面的体对角线有几条?
H E F G A D B

C

问题5:与AE垂直的棱有几条? 问题6:AE与各面对角线的夹角是多少度?

问题7:AE与各体对角线的夹角的余弦值是多少?
问题8:BE与各棱的夹角是多少度? 问题9:BE与各面对角线的夹角是多少度? 问题10:BE与各体对角线的夹角的余弦值是多少?

课堂小结
异面直线

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线
相交直线 平行直线 异面直线

空间两直线的位置关系
公理4

在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间中,如果两个角的两边分别对应平 行, 那么这两个角相等或互补. 构造(中点平移)、说明、计算

等角定理

异面直线所成的角

正方体中的异面夹角问题


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