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02 第二章 基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用(学生)


第二章 基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用

第1讲
★知识梳理 分数指数幂 根式

指数与指数函数

如果 x ? a(n ? 1, n ? N ) ,那么 x 称为 a 的 n 次实数方根;
n n 式子 a 叫做根式,其中 n 叫做根指数, a 叫做被开方数

?

r />?a ? ?a 方根的性质:当 n 为奇数时, a =a.当 n 为偶数时, a =|a|= ?
n n
n n

(a ? 0), (a ? 0).

2.分数指数幂

1
(1)分数指数幂的意义:a = a (2)有理数指数幂的性质:
m n

n

m

,a

m ? n

=a

m n

1
m = a (a>0,m、n 都是正整数,n>1). n

a r ? a s ? a r ?s ; (a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r b r

(a ? 0, b ? 0, r ? R, s ? Q)

二、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数. ②指数函数的图像

1 O x



y

x y = a a > 1 (

x y y = a ( 0 < a < 1 )

1 O

x

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 y 轴对称. ④指数函数的性质:定义域:R; 值域: (0,+∞) ;过点(0,1) ;即 x=0 时,y=1. 当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. 画指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像时,应该抓住两点:一是过定点(0,1) ,二是 x 轴 是其渐近线 ★重、难点突破 重点:有理指数幂的定义及性质,指数函数的概念、图像与性质 难点:综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重难点:1.指数型函数单调性的判断,方法主要有两种: (1)利用单调性的定义(可以作差,也可以作商) (2)利用复合函数的单调性判断形如 y ? a
f ( x)

的函数的单调性:若

f ( x) a ? 1 ,则 y ? f ( x) 的单调增(减)区间,就是 y ? a 的单调增

-1-

f ( x) (减)区间;若 0 ? a ? 1 ,则 y ? f ( x) 的单调增(减)区间,就是 y ? a 的单调减(增)

区间; 2. 指数函数的图像与性质 (Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 , (1)y=ax (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 则0 ? c ? d ?1? a ? b 在

y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小 ;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变 y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
x ?x

小,即无论在

y (Ⅱ) 指数函数的图像 y ? a 与 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象关于 轴对称
3.指数型的方程和不等式的解法 (Ⅰ)形如 a
f ( x)

? b, a f ( x) ? b, a f ( x) ? b 的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解
2x

决,或“取对数”等方法; (Ⅱ)形如 a
2x

? Ba x ? C ? 0 或 a

? Ba x ? C ? 0(? 0) 的形式,可借助于换元法转化为二次

方程或不等式求解。 ★热点考点题型探析 考点 1 指数幂的运算
1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 [例 1]计算:

[新题导练]
3 6

1.(高州中学 09 届月考)经化简后,
3

a9 ? 6

3

a 9 (a ? 0) 的结果是

2.

a ?6 ?a ?

考点 2 指数函数的图象及性质的应用 题型 1:由指数函数的图象判断底数的大小 [例 2] 下图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 的图 像,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( ) A. d ? c ? 1 ? b ? a ; B. c ? d ? 1 ? a ? b ; C. 1 ? d ? c ? b ? a ;D. d ? c ? 1 ? a ? b
-2-

题型 2:解简单的指数方程

1 ? 3? x ?3 x [例 3] 方程 1 ? 3 的解是_________
题型 3:利用函数的单调性求函数的值域
x2 ? x

[例 4] 已知 2

1 -x x-2, ≤( 4 ) 求函数 y=2x-2 的值域.

[新题导练] 3.不等式 6
x 2 ? x ?2

? 1 的解集是___________

王新敞
奎屯

新疆

y ? a x ? 1 ( a ? 0且a ? 1) 4.若直线 y ? 2a 与函数 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是
_______. 5.不论 a 为何正实数,函数 y ? a
x ?1

? 2 的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________

6.已知函数

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其 中 a ? b ) 的 图 象 如 下 面 右 图 所 示 , 则 函 数
)

g ( x) ? a x ? b 的图象是(

A.

B.

C.

D.

x g (0) 、 7. 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? e , 则 f (3) 、

f (2) 的大小关系为

考点 3 与指数函数有关的含参数问题 [例 5] 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围.

-3-

第2讲

对数及对数函数

知识梳理 对数的概念 如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b ? ab=N logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 二、对数的运算性质

loga(MN)=logaM+logaN.

M loga N =logaM-logaN.

logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)

三、对数换底公式:logbN=

log a N log a b

(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).

四、对数函数的图像及性质 ①函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,图像如下
y l o g y = x a > 1 ( ) a 1 O 1 x O x l o g y = x < a < a ( 1 ) 0 y

②对数函数的性质:定义域: (0,+∞) ; 值域:R; 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0. 当 a>1 时,在(0,+∞)上是增函数;当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数。 五、对数函数与指数函数的关系 对数函数

y ? loga x 与指数函数 y ? a x 互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称.。

★重、难点突破 重点:掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。 难点:综合运用对数函数的图像与性质解决问题。 重难点:1.对数函数性质的拓展 (Ⅰ)同底数的两个对数值

loga f ( x) 与 loga g ( x)(a ? 0, a ? 1) 的大小比较

loga f ( x) ? loga g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 若 a ? 1, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 ,则


0 ? a ? 1, f ( x) ? 0, g ( x) ? 0
a





l

fo ( x) ? l g a go ( x) ? 0 g ? f ( x) ? g ( x)

(Ⅱ)同真数的对数值大小关系如图 对应关系为 (1) (3)

y ? logb x , y ? loga x , (2) y ? logc x , y ? logd x (4)
-4-

则作直线 y ? 1 得 0 ? c ? d ? 1 ? a ? b 即图象在 x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大 2.常见对数方程或对数不等式的解法 (1)形如 对于

loga f ( x) ? loga g ( x)(a ? 0, a ? 1) 转为 f ( x) ? g ( x) ,但要注意验根

loga f ( x) ? loga g ( x) ,则

? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) f ( x ) ? g ( x ) a ? 1 0 ? a ? 1 ? 当 时,得 ;当 时,得 ?
(2)形如 解。 (3)形如

F (loga x) ? 0 或 F (loga x) ? 0( F (loga x) ? 0) 的方程或不等式,一般用换元法求

log f ( x) g ( x) ? c

c log f ( x) g ( x) ? c 的方程化为 [ f ( x)] ? g ( x) 求解,对于 的形式可

以考虑利用对数函数的单调性来解决 考点 1 对数式的运算 [例 1]已知 lg 2 ? a,lg 3 ? b, 用 a , b 表示

log12 45

[新题导练]

1.

log 5

1 1 ? log 4 4 5 的结果是

2.若

x log3 4 ? 1 ,求 4 x ? 4? x 的值. log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是(

3.如果



A.4;B. 4 3 ;C.9;D.18

-5-

考点 2 对数函数的图像及性质 题型 1:由函数图象确定参数的值 [例 2] 函数 y=log2|ax-1|(a≠0)的图象的对称轴方程是 x=-2,那么 a 等于( )

1 1 A. 2 ;B.- 2

;C.2; D.-2

题型 2:求复合函数值域及单调区间 [例 3] 已知 f(x)=log [3-(x-1)2] ,求 f(x)的值域及单调区间. [新题导练] 4.若函数 则函数
1 3

f ? x ? ? a? x (a ? 0, a ? 1)

是定义域为 R 的增函数, )

f ? x ? ? loga ? x ?1?

的图象大致是 (

5.设 m, n ? R ,函数

y ? m ? logn x 的图象如图 2,则有
C. m ? 0,0 ? n ? 1 ;D. m ? 0, n ? 1

A. m ? 0,0 ? n ? 1 ;B. m ? 0, n ? 1

考点 3 指数、对数函数的综合应用 题型 1:利用对数函数的复合函数的单调性求值域
2x

[例 4] 已知 x 满足 a

? a6 ? a x ? 2 ? a x ? 4 ( a ? 0, a ? 1 ) , 函数 y=

log a

1 ? log 1 (ax) a2 x a2

的值

1 [ ? , 0] 域为 8 , 求 a 的值

-6-

题型 2:指数函数与对数函数的反函数关系

1 ( )x [例 5]设函数 f(x)是函数 g(x)= 2 的反函数,则 f(4-x2)的单调递增区间为(
A.[0,+∞) ;B.(-∞,0] ;C.[0,2) ;D.(-2,0]



[新题导练] 5.已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 A. a ? b ? c
0.1

, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(
C. a ? c ? b D. b ? c ? a



B. c ? a ? b

1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则( 6.若 x ? (e ,,
3

?1



A. a < b < c ;B. c < a < b ;C. b < a < c ;D. b < c < a

-7-

第3讲
★知识梳理 一、幂函数的概念

幂函数

一般地,形如 y ? x ( x ?R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 二、幂函数的图像及性质
1 2

?

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 的增减性
?

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y?x

y ? x ?1

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减

幂函数 y ? x ( x ?R, ? 是常数)的图像在第一象限的分布规律是: ①所有幂函数 y ? x ( x ?R, ? 是常数)的图像都过点 (1,1) ;
?

? ? 1,2,3,
②当

1 ? 2 时函数 y ? x 的图像都过原点 (0,0) ;
?

③当 ? ? 1 时, y ? x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 c2 ) ;
? ④当 ? ? 2,3 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 )

??
⑤当

1 ? 2 时, y ? x 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3 )
?

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x 的的图像不过原点 (0,0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c4 ) ★重、难点突破 重点:幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。 难点:综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。 重难点:幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。
-8?

当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与

?

y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近;

(4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,
?

?

越大,图象下落的速度越快。

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。 ★热点考点题型探析 考点 幂函数的概念、图象和性质 题型 1:利用幂函数的单调性比较大小

1 ( )? , 0.2? , 2? [例 1]已知 ? ? 0 ,试比较 2 的大小;

[例 2] 已知函数 f(x)=x

1 3 ? p2 ? p? 2 2

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域上是偶函数。

(1)求 p 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式。 (2) 对于 (1) 中求得的函数 f(x), 设函数 g(x)=-qf[f(x)]+(2q-1)f(x)+1, 问是否存在实数 q(q<0), 使得 g(x)在区间(-∞,-4 ] 上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数。若存在,请求出来;若 不存在,请说明理由。

-9-

[新题导练]
?1 1. 幂函数① y ? x ,② y ? x 及直线③ y ? 1 , ④ x ? 1 将直角坐

y

y ? x ?1
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ

y?x

标系第一象限分成八个“卦限” : Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示) , 那么幂函数 y ? x 的图象在第一象限中经过的“卦限”是 ( ) A.Ⅳ,Ⅶ ;B. Ⅳ,Ⅷ;C.Ⅲ,Ⅷ;D. Ⅲ,Ⅶ
3 ? 2

y ?1
Ⅴ Ⅵ O Ⅶ Ⅷ

x ?1

x

2.若 (a ? 1)

?

1 2

? (3 ? 2a) ,则 a 的取值范围是

?

1 2

3.求函数 y ? x

m2 ?m?1

(m ? N ) 的定义域、值域,并判断其单调性

- 10 -

第4讲
★知识梳理 一、函数的零点

函数与方程

方程 f ( x) ? 0 的实数根又叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点; ②如果函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上的图像是连续不断的,且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数

y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有零点。
二、二分法 1.如果函数 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上的图像是连续不断的一条曲线,且 f (m) ? f (n) ? 0 , 通过不断地把函数 y ? f ( x) 的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2.给定精度 ? ,用二分法求函数 y ? f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [m, n] ,验证 f (m) ? f (n) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 [m, n] 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) :①若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数 y ? f ( x) 的零点;②若 f (m) f ( x1 ) ? 0 ,

x ? (m, x1 ) ) 则令 n ? x1 (此时零点 0 ;③若 f ( x1 ) f (n) ? 0 ,则令 m ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , n) )
(4)判断是否达到精度 ? ; 即若

m?n ??

,则得到零点值 m (或 n ) ;否则重复步骤(2)-(4)

★重、难点突破 重点:函数零点的概念,掌握用二分法求函数 y ? f ( x) 零点的近似值 难点:用二分法求函数 y ? f ( x) 的零点近似值 重难点:1.函数零点的理解 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的根、函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标,实质 是同一个问题的三种不同表达形式,方程 f ( x) ? 0 根的个数就是函数 y ? f ( x) 的零点的个 数,亦即函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点的个数
- 11 -

变号零点与不变号零点

x ①若函数 f ( x) 在零点 0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f ( x) 的变号零点 x ②若函数 f ( x) 在零点 0 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 f ( x) 的不变号零点
③若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线,则 f (a) ? f (b) ? 0 是 f ( x) 在区间

(a,b) 内有零点的充分不必要条件。
用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根 (2)求曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的交点的横坐标,实际上就是求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零 点,即求方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的根 3.关于用二分法求函数 y ? f ( x) 的零点近似值的步骤须注意的问题: (1) 第一步中要使: ①区间长度尽量小; ② f (a)、f (b) 的值比较容易计算且 f (a) ? f (b) ? 0 ; (2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求 方 程 f ( x ) ? g ( x ) 的 根 , 可 以 构 造 函 数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x ) , 函 数 F ( x ) 的 零 点 即 方 程

f ( x) ? g ( x) 的根。
★热点考点题型探析 考点 1 零点的求法及零点的个数 题型 1:求函数的零点. [例 1] 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点.
3 2

题型 2:确定函数零点的个数. [例 2] 求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数.

- 12 -

题型 3:由函数的零点特征确定参数的取值范围 [ 例 3] (2007· 广东 )已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ? 在区间
2

?? 1,1?上有零点,求 a 的取值范围。

[新题导练] 1.函数 A.

f ? x ? ? mx2 ? 2x ?1

有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是(



? ??,1? ;B. ? ??,0? ?1? ;C. ? ??,0? ? 0,1?;D. ? ??,1?

2.方程 2

?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为 _______

考点 2 用二分法求方程的近似解 [例 4](斗门一中 09 届模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表: x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

? ? ?

y ? 2x y ? x2

1.149 0.04

1.516 0.36

2.0 1.0

2.639 1.96

3.482 3.24 ).

4.595 4.84

6.063 6.76

8.0 9.0

10.556 11.56

x 2 那么方程 2 ? x 的一个根位于下列区间的(

A.(0.6,1.0) ;B.(1.4,1.8) ;C.(1.8,2.2) ;D. (2.6,3.0)

- 13 -

[新题导练]
3 3.用二分法研究函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 的零点时,第一次经计算 f (0) ? 0 , f (0.5) ? 0 ,

可得其中一个零点

x0 ?

,第二次应计算

,这时可判断

x0 ?

考点 3 根的分布问题 [例 4] 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求 实数 m 的取值范围

[新题导练] 3.已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________.

4.若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值 范围.

5.若关于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有实数根,求实数 a 的取值范围.

- 14 -


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