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《平面解析几何初步》教材分析


必修 2《平面解析几何初步》教材分析

一、 《课程标准》关于平面解析几何初步的表述 解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数 形结合的重要数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数 方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想,初步形成

用代数方法解决几何问题的能力。 在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数 的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何 含义,最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合” 的思想方法。 平面解析几何初步(18 课时) (1)直线与方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜 率计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何量,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ,体会 斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。 (2)圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 (3)在平面解析几何的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。 (4)空间直角坐标系 ①通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系 刻画点的位置。 ②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公 式。 二、教学大纲与课程标准的比较 1、 《教学大纲》与《课程标准》的比较
《教学大纲》 《课程标准》 主要变化点 直线和圆的方程(22 课时) 平面解析几何初步(约 18 课时) 1. 平面解析几何分 直线的倾斜角和斜率。直线方 (1)直线与方程 层为三块: (必修) 初步 、 程的点斜式和两点式。直线方程的 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形, 圆锥曲线(必选)和坐 一般式。 探索确定直线位置的几何要素。 标系与参数方程(自 两条直线平行与垂直的条件。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历 选) 。 两条直线的交角。 点到直线的距离。用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两 2. 线性规划问题移 用二元一次不等式表示平面区 点的直线斜率的计算公式。 到《数学 5》“不等式” 域。简单线性规划问题。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 部分; 原立几 B 教材“空

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实习作业。 ④根据确定直线位置的几何要素,探索并 间直角坐标系”移至解 曲线与方程的概念。由已知条 掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及 几初步。 件列出曲线方程。 一般式),体会斜截式与一次函数的关系。 3.注重过程教学, 圆的标准方程和一般方程。圆 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点 加大了师生共同探索知 的参数方程。 坐标。 识的力度。 如“①在平面 教学目标 ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直 直角坐标系中,结合具 (1)理解直线的倾斜角和斜率的 线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。体图形,探索确定直线 概念,掌握过两点的直线的斜率公 (2)圆与方程 位置的几何要素;②理 式,掌握由一点和斜率导出直线方 ①回顾确定圆的几何要素,在平面直角 解直线的倾斜角和斜率 程的方法; 掌握直线方程的点斜式、坐标系中。探索并掌握圆的标准方程与一般 的概念,经历用代数方 两点式和直线方程的一般式,并能 方程。 法刻画直线斜率的过 根据条件熟练地求出直线的方程。 ②能根据给定直线、圆的方程,判断直 程,④根据确定直线位 (2)掌握两条直线平行与垂直的 线与圆、圆与圆的位置关系。 置的几何要素,探索并 条件,掌握两条直线所成的角和点 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的 掌握直线方程的几种形 到直线的距离公式;能够根据直线 问题。 式(点斜式、 两点式及一 的方程判断两条直线的位置关系。 (3)在平面解析几何初步的学习过程中, 般式), 体会斜截式与一 (3)会用二元一次不等式表示平 体会用代数方法处理几何问题的思想。 次函数的关系。” 面区域。 (4)空间直角坐标系 4. 删除了直线到直 (4)了解简单的线性规划问题, ①通过具体情境,感受建立空间直角坐 线的角、两直线夹角的 了解线性规划的意义,并会简单应 标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用 概念及相应公式。 用。 空间直角坐标系刻画点的位置。 5. 圆的参数方程移 (5)了解解析几何的基本思想, ②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐 至选修 4-5“坐标系及 了解用坐标法研究几何问题的方 标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点 参数方程”中。 法。 间的距离公式。 6. “曲线与方程” (6)掌握圆的标准方程和一般方 教学建议: 移至选修 2-1(文科不 程,了解参数方程的概念,理解圆 在平面解析几何初步的教学中,教师应 学) 。 的参数方程。 帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题 7、 由已知条件列出 (7)结合教学内容进行对立统一 代数化,用代数的语言描述几何要素及其关 曲线方程(求轨迹)部 观点的教育。 系,进而将几何问题转化为代数问题;处理 分的内容要求降低,不 (8)实习作业以线性规划为内 代数问题;分析代数结果的几何含义,最终 讲“纯粹性和完备性”, 容,培养解决实际问题的能力。 解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几 只是在选修内容部分讲 何教学的始终。帮助学生不断地体会“数形结 解“充分必要条件”。 合”的思想方法。 2、课时安排上的差异 《教学大纲》 《课程标准》 差异点 直线与方程 10 课时, 直线与方程 10 课时, 直线与方程和圆的方程两部分纲标课时一致, 线性规划 7 课时,曲线和 圆的方程 6 课时, 空间直角 “标准”中去掉了“曲线与方程”2 课时, 但安排了直线 圆的方程 6 课时,复习 2 坐标系 2 课时, 复习 2 课时,与圆、圆与圆和直线与圆的应用。 课时,共约 25 课时。 共约 18 课时。 3、新老教材内容和结构上的差异 老教材 新教材 差异 (1)先用“章头话”、本章研究对象 (1)用恩格斯的一句话 本章的章头页看似只有一 以及研究本章的重要的方法(坐标法) 点出本章的主题和本章的数 页,但它叙述了本章的灵魂,以 , 即用代数的方法研究几何问题(解析几何 学思想方法(数形结合) ; 初中的函数为依托,首先讲解方
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的本质) ,点出了数形结合这一重要的数 学思想方法。 (2)以一次函数为依托,引出“直线 的方程”和 “方程”的直线两个重要概念; 4、学生学习的知识背景 学生已经学过的知识

(2)描述了本章知识用 程与函数的关系,渗透函数与方 途; 程思想;其次重点复习初中阶段 (3) 曲线与方程的关系;一次函数的有关知识。 (4)本章的学习任务。

突出问题

初 中 阶 段

高 中 阶 段

1.函数及其图象。已经学习过一 1.斜率、两点间距离公式等是否可以用向量方法推 次函数、二次函数、反比例函数; 导?(必修4P135 题 9) ( 2. 锐角三角函数, 解直角三角形; 2.圆的参数方程有没有必要提早引入?(必修4P81 ( 3.三角形的相似和全等。 题 10) 3.可不可以用向量方法来求直线与直线的夹角?(必 ( 1.集合与基本初等函数; 修4P135 题 9) 2.平面向量; 4.线性规划要不要放回解几初步? 3. (函数、 三角 变形与解三角形) ; 5.联系不等式、函数知识是否过早? 4.立体几何初步; 6.空间直角坐标系为什么要与立体几何初步分离? 5.不等式。

三、浙江省数学学科关于《解析几何初步》的教学指导建议 第三章 直线与方程 教学要求 3.1 直线的倾斜角与斜率
1、 理解直线的斜率,掌握过两点的直线的斜率公式。 2、 理解直线的倾斜角的定义,掌握直线倾斜角的范围。 3、 掌握用判定两条直线平行和垂直的方法。 4、 能利用斜率解决具体问题。 三角知识已学,可以用三角函数描述斜率。

基本要求

发展要求 说 明

3.2 直线的方程 1、 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式,能根据条件熟练地求出直线的方程。 2、 了解直线方程的截距式。 3、 能正确理解直线方程一般式的含义。 4、 能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式,知道这几种形式的直 线方程的局限性。 1、 根据所给的条件灵活选取适当的形式和方法,熟练地求出直线方程。 2、 使学生感受到直线和直线方程之间的对应关系,知道要说明点在直线上,只要说明点的 坐标满足直线方程,反之与成立。 1、 直线与方程之间的关系只要了解即可,不必展开。 2、 截距式方程只作为两点式方程的一种应用例子,不必单独提出这种直线的形式。

基本要求

发展要求

说 明

3.3 直线的交点坐标与距离公式 1、 会求两条直线的交点坐标。 2、 理解两条直线的平行、 相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系。 3、 掌握平面上两点间的距离公式。 4、 掌握平面上两点的线段的中点坐标公式。 5、 能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题。
3

基本要求

6、 掌握点到直线的距离公式,能运用它解决一些简单问题。 1、 通过对点到直线距离公式的推导,渗透化归思想,并使学生进一步了解用代数方程研究 几何问题的方法。 2、 渗透数形结合的思想,对学生进行对立统一观点的教育。 3、 重视直线垂直时,斜率关系的运用。 两条平行线的距离公式不必记忆。

发展要求

说 明

教学建议 1、课时分配(9 课时) 内 3.1.1 倾斜角与斜率 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 复习小结 容 课时数 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时

2、重点难点 3.1.1 节重点是斜率的概念,用代数的方法刻画直线斜率的过程,过两点的直线斜率的计算公式。难 点是直线的斜率和倾斜角的关系。 3.1.2 节重点是根据斜率判定两条直线平行或垂直。难点是根据斜率判定两条直线垂直。 3.2.1 节重点是直线点斜式方程推导,直线的斜截式方程以及由已知条件求直线方程。难点是直线点 斜式方程的推导及适用范围的的讨论。 3.2.2 节重点是直线两点式方程推导,以及由已知条件求直线方程。难点是直线两点式方程的推导及 对这种形式的理解。 3.2.3 节重点是直线的一般式方程。难点是直线一般式方程的理解与应用。 3.3.1 节重点是两条直线交点坐标的求解,难点是根据直线方程判定两条直线的位置关系。 3.3.2 节重点是两点间距离公式的推导及坐标法的基本步骤,难点是两点间距离公式的应用。 3.3.3 节重点是两点间的距离公式,点到直线的距离公式。难点是点到直线距离公式的推导。 3、分析说明 由于直线的倾斜程度在初中研究一次函数图象的时候已经作过分析,建议让学生回忆这些内容,为 后面研究直线方程和一次函数的关系奠定基础。直线的倾斜角和直线的斜率一样,也是刻画直线倾斜程 度的量,直线的倾斜角侧重于直观形象,直线的斜率则侧重于数量关系。教学中要让学生知道:任何直 线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率。 通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念,得到研究直线倾斜程度的量――斜率。对于直线的斜率公 式要注意: (1)斜率公式与两点顺序无关; (2)对于不垂直于 x 轴的直线,直线的斜率是确定的,与所 选择的直线上的两点位置无关; (3)与 x 轴垂直的直线,它的斜率不存在。通过例子帮助理解经过两点 的直线的斜率公式。 在处理直线的斜率和倾斜角的关系时,可以通过计算机演示或计算器操作,使学生观察并体会直线 的倾斜角变化时,直线斜率的变化规律。 直线是点的集合,求直线的方程实际上是求直线上点的坐标之间所满足的一个等量关系。直线的方

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程是本章的一个核心概念,教学中要充分调动学生的学习积极性,建议将教学的过程设计成一个一个问 题链,引导学生自主探索解决。 在求直线方程的过程中,既要说明直线上点的坐标满足方程,也要说明以方程的解为坐标的点在直 线上,满足了这两点,我们就可以说这个方程是直线的方程,直线是这个方程的直线。让学生意识到这 一点就可以了,不必展开。 直线斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情形,教学过程中,要与一次函数进行比较,并注意 分析方程中 k 和 b 的几何意义。 由于两点决定了直线的斜率,将两点式方程转化为点斜式方程,体现了化归的思想。在教学中,可 以让学生讨论并独立得到结论。在求两点式方程时,学生有可能直接利用直线上的点和两个已知点的连 线的斜率相等获得方程,这种方法也应肯定,它体现了求轨迹方程的基本思想。要注意引导学生分析以 上三种形式应用时的局限性。 直线的截距式方程作为直线的两点式方程的特殊情形,不必单独提出。对于直线的一般式方程 Ax+ By+C=0(A,B 不全为 0) ,常常转为斜截式加以研究。在教学中,可以让学生直线方程的三种形式(点 斜式、斜截式、两点式)以及它们与直线的一般式方程的联系。由于垂直于 x 轴的直线斜率不存在,因 此,应提醒学生判断两直线平行和垂直时,要注意对斜率的存在性进行讲论。教材通过构造相似三角形 得到两直线垂直的条件。推证中实际上用到了有向线段的概念,只要求学生能够理解,不必作深入说明。 有了直线方程,对直线间的位置关系的研究就可以转化为对它们方程的研究。从两条直线的平行、相交、 重合问题转化为方程组是否有解、有惟一解、有无数个解的问题中,引导学生领会解析法的本质。在推 导点到直线的距离公式的过程中,要重视对推导过程的分析。建立坐标系是将几何问题转化为代数问题 的基础,合理地建立坐标系可以减少解题的计算量,教学中可引导学生在如何合理建立坐标系方面展开 讨论。 在直线与方程的这一章中,倾斜角是几何概念,直线的斜率是代数化概念,计算公式是又一次公式 代数化,它一次一次地重复解析几何的本质。 第四章 圆与方程 教学要求 4.1 圆的方程 1、 探索与掌握圆的标准方程和一般方程。 2、 会根据圆的方程求出圆心坐标和半径。 3、 能用代数方法判定点与圆的位置关系。 4、 会用待定系数法求圆的方程。 5、 体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法,概括其基本步骤。 认识圆的方程与二次项系数相同的二元二次方程之间的联系。

基本要求

发展要求 说 明

4.2 直线、圆的位置关系 1、 能判断直线与圆、圆与圆位置关系。 2、 有利用位置关系解决一些简单的问题。 3、 理解坐标法解决几何问题的一般步骤。 4、 初步会在已知直线与圆位置关系的条件下,求直线或圆的方程。 1、 研究圆上任意点与直线上任意点之间距离的最值问题,体会数形结合、化归转化的思 想方法。 2、 通过圆关于直线对称问题的研究,促进解析法思想的运用。 教学时不宜作太多引伸。

基本要求

发展要求 说 明

4.3 空间直角坐标系 基本要求 1、 了解空间直角坐标系,理解三维空间的点可以用三个量来表示。
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2、 通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标, 探索并得出空间两点间的距离公式。 3、 会用空间两点间的距离公式。 发展要求 说 明 能建立空间直角坐标系表示一些特殊的几何体(如正三棱锥、正三棱柱) 。 该内容主要为后续学习打下基础,重点应放在空间直角坐标系的理解。

教学建议 1、课时分配(9 课时) 4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆和圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 小结与复习 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式 小结与复习 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时 1 课时

2、重点难点 4.1 节教学重点是掌握圆的标准方程与一般方程,难点是圆的方程的应用。 4.2 节教学重点是能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆位置关系;能用直线和圆的方 程解决一些简单的问题。教学难点是直线与圆的方程的应用。 4.3 节教学重点、难点都是建立空间直角坐标系。 3、分析说明 圆的方程教学时,首先,通过回顾确定圆的几何要素,建立直角坐标系,探索并导出圆的标准方程。 对圆的标准方程,一、正确找出圆心和半径,一是要求学生能通过计算,解决点与圆的位置关系的判定 问题;二是能在已知三个条件的基础上,利用待定系数法求圆的标准方程。其次,通过对圆的标准方程 的展开,提出探索问题:二次项系数相等的二元二次方程是不是圆的方程?在学生独立探索基础上,导 出圆的一般方程。并引导学生理解两种圆方程各自的特点,能熟练进行两者的互化。会用选定系数法, 求圆的一般方程,并概括出求解的大致步骤。 直线与圆、圆与圆的位置关系教学时,要通过复习,使学生回忆起它们的几何特征,在此基础上, 运用解析思想,代数方法进行研究,研究方法:一是转化为方程解的个数,二是利用距离判定。对基础 好的学生,可以材料,让学生进行圆关于直线对称问题的研究。 空间直角坐标系教学时,首先要充分利用学生已有的空间感指出引入空间直角坐标系的必要性,其 次,借助模型使学生理解三维空间的点可以用三个量来表示,并用类比的方法建立空间直角坐标系。通 过写出特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)的顶点的坐标、各棱中点坐标,促进学生理解空间直角 坐标系。通过表示特殊长方体的顶点坐标,探索并得出空间两点间的距离公式,通过与平面直角坐标系 中两点间距离公式的类比,掌握公式。

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