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1.2应用举例


1.2.1 应用举例

对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解
(1)坡角:坡向与水平方向的夹角,如图.

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第一章 解三角形

栏目导

(2)仰角和俯角:在视线和水平线所成角中,视线在水平线
上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角,如图.

r />
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第一章 解三角形

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(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角,
如图中B点的方位角为α.

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第一章 解三角形

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(4)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90° 的水
平角,如南偏西60° ,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋 转60° .如图中∠ABC为北偏东60° 或为东偏北30° .

正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广,主要学习它 们在测量 距离 、 高度 、 角度 等问题中的一些应用.

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第一章 解三角形

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例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)

分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形
AB sin C = AC sin B

解:根据正弦定理,得
AB sin ? A C B AB ? ? ? AC sin ? A B C ? 5 5 sin ? A C B sin ? A B C ? 5 5 sin 7 5 sin 5 4
? ?

A C sin ? A C B sin ? A B C 5 5 sin 7 5
? ? ?

sin (1 8 0 ? 5 1 ? 7 5 )

?

? 6 5 .7 ( m )

答:A,B两点间的距离为65.7米。

例2.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计 一种测量两点间的距离的方法。

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在?ADC和? BDC中,应用正弦定理得
AC ? a sin ( ? ? ? ) sin ?1 8 0 ? ( ? ? ? ? ? ) ? ? ?
?

?

a sin ( ? ? ? ) sin ( ? ? ? ? ? ) a sin ? sin (? ? ? ? ? )

BC ?

a sin ? sin ?1 8 0 ? ( ? ? ? ? ? ) ? ? ?
?

?

计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ?

A C ? B C ? 2 A C ? B C co s ?
2 2

测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度,解直 角三角形即可求出AB的长。

例1、如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱

底部在同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分
是 ? ? 45 ? 和 ? ? 60 ? CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 想一 想 图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么, 求什么?

分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解: ? BC 1 D 1中 , ? C 1 BD 1 ? 60 ? ? 45 ? ? 15 ? , 在
由正弦定理可得 C 1 D1 sin B ? BC 1 ?
? A1 B ?

B

:

?

?

?

BC 1 sin D 1 C 1 D 1 ? sin D 1 sin B
2 2

C1 C
? 12 ? sin 120 ? sin 15 ?

D1 D

A1
A

? 18 2 ? 6 6

BC 1 ? 18 ? 6 3 ? 28 . 4

? AB ? A1 B ? AA 1 ? 28 . 4 ? 1 . 5 ? 29 . 9 ( m )

答:烟囱的高为 29.9m.

例 4 .如图 , 在山顶 铁塔上 B 处测得地 面上一点 A 的俯角

? ? 54 40 ' , 在塔底
0

C 处测得 A 处的俯 角 ? ? 50 1'.已知铁
0

塔 BC 部分的高为 27 . 3 m , 求出山高 C D ( 精确到 1 m ).

分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或AC的长

解:在⊿ABC中,∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理,
BC sin( ? ? ? )
所以, AB ?

?

AB sin( 90 ? ? )
?
?

BC sin( 90 ? ? ) sin( ? ? ? )

?

BC cos ? sin( ? ? ? )

解 Rt ? ABD , 得 BD ? AB sin ? BAD ?
? ' ?

BC cos ? sin ? sin( ? ? ? )
'

?

27 . 3 cos 50 1 sin 54 40 sin( 54 40 ? 50 1 )
? ' ? '

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米。

? 177 ( m )

例3:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析:要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件,可以计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8°,求此山 的高度CD.

解:在⊿ABC中, ∠A=15°,

? ∠C= 25° 15°=10°.
根据正弦定理,

BC sin A

?

AB sin C

BC ?

AB sin A sin C

?

5 sin 15 sin 10
?

?

? 7 . 4524 ( km ).

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。

一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出 求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获 悉后,即测出该商船在方位角为45° 距离10海里的C处,并沿方 位角为105° 的方向,以9海里/时的速度航行.“黄山”舰立即以

21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最
少时间及所经过的路程.

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第一章 解三角形

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解斜三角形应用题的一般步骤是:
1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解。

实际问题→数学问题(三角形) →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解

1.如图,为测量河对岸 A,B 两点的距离,在河的这边 3 测出 CD 的长为 2 km, ∠ADB=∠CDB=30° ∠ACD=60° , , ∠ACB=45° ,求 A,B 两点间的距离.

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第一章 解三角形

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如图所示,A、B是水平面上的两个点,相距800 m,在A 点测得山顶C的仰角为45° ,∠BAD=120° ,又在B点测得∠ABD =45° ,其中D点是点C到水平面的垂足,求山高CD.

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第一章 解三角形

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[解题过程] 由于 CD⊥面 ABD,∠CAD=45° , 所以 CD=AD, 因此,只需在△ABD 中求出 AD 即可. 在△ABD 中,∠BDA=180° -45° -120° =15° , AB AD 由sin 15° sin 45° = 2 800× 2 AB· 45° sin 得 AD= = =800( 3+1)(km) sin 15° 6- 2 4 答:山高 CD 为 800( 3+1)km.

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第一章 解三角形

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某观测站C在城A的南偏西20°的 方向,由城出发的一条公路,走 向是南偏东40°,在C处测得公路 上有一人距C为31km正沿公路向A 城走去,走了20km后到达D处,此 时C、D间的距离为21km,问这人 还要走多少千米可到达A城?

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第一章 解三角形

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某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南偏 东 60° 相距 20( 3+1)海里的海面上有一台风中心, 影响半径 为 20 海里,正以每小时 10 2海里的速度沿某一方向匀速直 线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3+1 小时 后开始影响基地持续 2 小时.求台风移动的方向.

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第一章 解三角形

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[规范作答]

如图所示,设预报时台风中心为 B,开始

影响基地时台风中心为 C,基地刚好不受影响时台风中心为 D,则 B、C、D 在一直线上,且 AD=20、AC=20. 由题意 AB=20( 3+1),DC=20 2, BC=( 3+1)· 2.4 分 10 在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90° ,∠ADC=45° 分 .6 在△ABC 中,

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第一章 解三角形

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AC2+AB2-BC2 3 由余弦定理得 cos∠BAC= = 2 .8 分 2AC· AB ∴∠BAC=30° ,又∵B 位于 A 南偏东 60° , 60° +30° +90° =180° , ∴D 位于 A 的正北方向, 又∵∠ADC=45° , ∴台风移动的方向为北偏西 45° 方向.10 分 答:台风向北偏西 45° 方向移动.12 分
[题后感悟] 在充分理解题意的基础上画出大致图形,由问

题中的有关量提炼出三角形中的元素.用余弦定理、勾股定理

解三角形.

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第一章 解三角形

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应用举例(二)

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