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高考数学(理科)必考题型过关练:专题3 第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径

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第 10 练

化解抽象函数快捷有效的几个途径

题型一 与抽象函数有关的函数性质问题 例 1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减 函数”的( )

A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充

要条件 破题切入点 周期函数的概念,同时考查单调性及充要条件. 答案 D 解析 ①∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵f(x)为[0,1]上的增函数, ∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)的周期为 2, ∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数. ②∵f(x)为[3,4]上的减函数,且 f(x)的周期为 2, ∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(x)为[0,1]上的增函数. 由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.

题型二 与抽象函数有关的函数零点问题 例 2 设函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0, 则方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上的根的个数为( A.802 B.803 C.804 )

D.805

破题切入点 将条件转化为我们所熟悉的知识. 答案 D 解析 f(7-x)=f(7+x)=f(2+(5+x))=f(2-(5+x))=f(-3-x),

即 f(x+10)=f(x),所以函数的周期为 10,

且对称轴为 x=2,x=7,在[0,10]内, f(1)=f(3)=f(11)=f(13), 所以一个周期内只有 2 个零点, 在[0,2 011]内 2 011=201×10+1 有 201×2+1=403 个, 在[-2 011,0]内-2 011=201×(-10)-1, 有 201 个周期且 f(-1)≠0,此时有 201×2=402 个零点,合计 805,故选 D. 题型三 与抽象函数有关的新概念问题 例 3 设 V 是全体平面向量构成的集合.若映射 f:V→R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R,均有 f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b), 则称映射 f 具有性质 P, 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射的序号) 破题切入点 准确把握性质 P 的含义. 答案 ①③ 解析 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λa+(1-λ)b=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2). 对于①,∵f1(m)=x-y, ∴f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)· y2]=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2), 而 λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2), ∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b), ∴①具有性质 P. 对于②,f2(m)=x2+y,设 a=(0,0),b=(1,2),λa+(1-λ)b=(1-λ,2(1-λ)),f(λa+(1-λ)b)=(1-λ)2+2(1 -λ)=λ2-4λ+3, 而 λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(02+0)+(1-λ)(12+2) =3(1-λ), 又 λ 是任意实数, ∴f(λa+(1-λ)b)≠λf(a)+(1-λ)f(b), 故②不具有性质 P. 对于③,f3(m)=x+y+1, f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1 =λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1, 又 λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)

=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+λ+(1-λ) =λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1, ∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b). ∴③具有性质 P. 综上,具有性质 P 的映射的序号为①③. 总结提高 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法,因此学会赋值、判断并掌握函数单

调性和奇偶性是必须过好的两关,把握好函数的性质. (2)解答抽象函数问题时,学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错,要明确 抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数,因此掌握这类函数的关键是把握函数的性 质以及赋值的方法.

1.(2014· 浙大附中模拟)设 f(x)为偶函数,对于任意的 x>0,都有 f(2+x)=-2f(2-x),已知 f(-1)=4,那么 f(-3)等于( A.2 答案 D 解析 ∵f(x)为偶函数, ∴f(1)=f(-1)=4,f(-3)=f(3), 当 x=1 时,f(2+1)=(-2)· f(2-1), ∴f(3)=(-2)×4=-8,∴f(-3)=-8. 2.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若函数 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x).此时|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,因此 y=|f(x)|是偶函数,其 图象关于 y 轴对称,但当 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称时,未必能推出 y=f(x)为奇函数,故“y=|f(x)|的图象 关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要而不充分条件. 3. 函数 f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*), 定义: 使 f(1)· f(2)· ?· f(k)为整数的数 k (k∈N*)叫做企盼数, 则在区间[1,10] 内这样的企盼数共( A.2 个 答案 A 解析 依题意有 f(1)=log23, f(2)=log34, f(3)=log45, ?, f(k)=logk+1(k+2), 则有 f(1)· f(2)· f(3)· ?· f(k)=log2(k ) C.4 个 D.5 个 ) ) B.-2 C.8 D.-8

B.3 个

+2).令 log2(k+2)=m,则 k=2m-2,由 k∈[1,10]得 1≤2m-2≤10,∴3≤2m≤12,∵k∈N*,∴m=2,3, 故所求的企盼数共有 2 个. 4.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 答案 A 解析 由 f(x)是偶函数,可得 f(-x)=f(x),由 g(x)是奇函数可得 g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数, ∴f(x)+|g(x)|为偶函数. 5.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β 是钝角三角形的两个锐角, 则下列不等式中正确的是( A.f(sin α)>f(cos β) C.f(cos α)<f(cos β) 答案 B 解析 因为 f(x)为 R 上的偶函数,所以 f(-x)=f(x), 又 f(2-x)=f(x),所以 f(x+2)=f(2-(x+2))=f(-x)=f(x), 所以函数 f(x)以 2 为周期, 因为 f(x)在[-3,-2]上是减函数, 所以 f(x)在[-1,0]上也是减函数, 故 f(x)在[0,1]上是增函数, 因为 α,β 是钝角三角形的两个锐角, π π 所以 α+β< ,α< -β, 2 2 π ? 则 0<sin α<sin? ?2-β?=cos β<1, 故 f(sin α)<f(cos β),选 B. 6.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的定义域及值域均为[-a,a](常数 a>0),其图象如图所示,则方程 f(g(x))=0 根的个数为 ( ) ) B.f(sin α)<f(cos β) D.f(cos α)>f(cos β) )

A.2 答案 D

B.3

C.5

D.6

解析 由 f(x)的图象可知方程 f(x)=0 有三个根,分别设为 x1,x2,x3,因为 f(g(x))=0,所以 g(x)=x1,g(x) =x2 或 g(x)=x3,因为-a<x1<a,g(x)∈[-a,a],所以由 g(x)的图象可知 y=x1 与 y=g(x)的图象有两个交点, 即方程 g(x)=x1 有两个根,同理 g(x)=x2,g(x)=x3 各有两个根,所以方程 f(g(x))=0 有 6 个根. 7.如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M,奇函数 g(x)的图象如字母 N,若方程 f(f(x))=0,f(g(x))=0 的实根个 数分别为 m,n,则 m+n=________.

答案 12 解析 由图象可知偶函数 f(x)的 1 个零点是 0, 另外 2 个零点分别在区间(-2, -1)与(1,2)中, 值域是[-1,1]; 奇函数 g(x)的 1 个零点是 0, 另外 2 个零点分别在区间(-1,0)与(0,1)中, 值域是[-2,2]. ①只有当 f(x)=0 时, f(f(x))=0,故实根个数 m=3.②存在 3 个实数 x,使 g(x)=0,f(g(x))=0;存在 3 个实数 x,使 g(x)∈(-2, -1),f(g(x))=0;存在 3 个实数 x,使 g(x)∈(1,2),f(g(x))=0,故实根个数 n=9.从而 m+n=12. 8.设 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数 y =f(x)的判断: ①y=f(x)是周期函数; ②y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③y=f(x)在[0,1]上是增函数; 1 ④f( )=0. 2 其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上). 答案 ①②④ 解析 由 f(x+1)=-f(x)可得 f(x+2)=f(x),①正确;因为 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,可知 y=f(x)的图 1 1 1 1 1 象关于直线 x=1 对称,②正确;显然③错误;由 f(- +1)=-f(- )=-f( )=f( )得 f( )=0,④正确. 2 2 2 2 2 9.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)= 2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)

答案 ②③ 解析 当 f(x)=x2 时,不妨设 f(x1)=f(x2)=4,有 x1=2,x2=-2,此时 x1≠x2,故①不正确;由 f(x1)=f(x2) 时总有 x1=x2 可知,当 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2),故②正确;若 b∈B,b 有两个原象时,不妨设为 a1,a2,可 知 a1≠a2,但 f(a1)=f(a2),与题中条件矛盾,故③正确;函数 f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不 一定单调,因而 f(x)不一定是单函数,故④不正确.故答案为②③. 10.(2013· 湖南)设函数 f(x)=ax+bx-cx,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x) 的零点的取值集合为________. (2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是____________.(写出所有正确结论的序号) ①?x∈(-∞,1),f(x)>0; ②?x∈R,使 ax,bx,cx 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2),使 f(x)=0. 答案 解析 (1){x|0<x≤1} (2)①②③ (1)∵c>a>0,c>b>0,a=b 且 a,b,c 不能构成三角形的三边,

c ∴0<2a≤c,∴ ≥2. a c ?x 令 f(x)=0 得 2ax=cx,即? a ? ? =2. 1 c ∴x= log a 2 .∴ =log2 ≥1. x a ∴0<x≤1. (2)①∵a,b,c 是三角形的三条边长,∴a+b>c. a b ∵c>a>0,c>b>0,∴0< <1,0< <1. c c ∴当 x∈(-∞,1)时,
c

?a?x ?b?x ? f(x)=ax+bx-cx=cx? ??c? +?c? -1?
a b ? x a+b-c >cx? ?c+c-1?=c · c >0. ∴?x∈(-∞,1),f(x)>0.故①正确. ②令 a=2,b=3,c=4,则 a,b,c 可以构成三角形. 但 a2=4,b2=9,c2=16 却不能构成三角形,故②正确. ③∵c>a,c>b,且△ABC 为钝角三角形, ∴a2+b2-c2<0, 又 f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0, ∴函数 f(x)在(1,2)上存在零点,故③正确.

x1 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2 (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解 (1)令 x1=x2>0,

代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1、x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1. x2 ∵当 x>1 时,f(x)<0. x1 ∴f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,有 f(x1)<f(x2), x2 故函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. x1 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2), x2 9 得 f( )=f(9)-f(3). 3 而 f(3)=-1,∴f(9)=-2. ∵函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴原不等式为 f(|x|)<f(9). ∴|x|>9,∴x<-9 或 x>9, ∴不等式的解集为{x|x<-9 或 x>9}. 12.设集合 Pn={1,2,?,n},n∈N*,记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数: ①A?Pn;②若 x∈A,则 2x?A; ③若 x∈?PnA,则 2x??PnA. (1)求 f(4); (2)求 f(n)的解析式(用 n 表示). 解 (1)当 n=4 时,符合条件的集合 A 为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故 f(4)=4.

(2)任取偶数 x∈Pn,将 x 除以 2,若商仍为偶数,再除以 2,?,经过 k 次以后,商必为奇数,此时记商为 m,于是 x=m· 2k,其中 m 为奇数,k∈N*. 由条件知,若 m∈A,则 x∈A?k 为偶数; 若 m?A,则 x∈A?k 为奇数. 于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定. 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合,因此 f(n)等于 Qn 的子集个数. n n+1? 当 n 为偶数(或奇数)时,Pn 中奇数的个数是 ?或 , 2? 2 ?

?2 所以 f(n)=? ?2

n 2

,n为偶数, ,n为奇数.

n+1 2