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广东省梅县东山中学2014届高三上学期期中考试数学理试题


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广东梅县东山中学 2013-2014 学年度第一学期期中考 高三理科数学试题
一、选择题:每小题 5 分,共 40 分。 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B{x | x ? 1} ,则 A ? (CU B) ? ( A. {x | 0 ? x ? 1} B.

{x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} ) D. ?
1 2



D. {x | x ? 1}

? ? ? ? 2.已知向量 a ? ( x,1), b ? (3,6), a ? b ,则实数 x 的值为( 1 A. B. ? 2 C. 2 2

3. 若 0≤x≤2,则 f(x)= x?8 ? 3 x ? 的最大值( A. 5 4.如果 cos ? ? B.
4 3 3

) D.2

C.

16 3

?? 1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos ? ? ? ? =( 2? 5 ?
B.
1 5



A. ?

1 5

C. ?

2 6 5

D.

2 6 5

5.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20 D.25



1 1 6.设 x ? log 2 , y ? 2 2 , z ? 7 ? 2 , 则 x , y , z 间的大小关系为 4





A. y ? z ? x

B. z ? x ? y

C. x ? y ? z

D. x ? z ? y ( )
x

7. 下列函数中,既是偶函数又在 (0,??) 上是单调递增的是 A. y ? 2
x ?1

B. y ? x 2 ? 2 x ? 3

C. y ? cos x

D. y ? log 0.5

8.在 f ?m, n ? 中, m, n, f ?m, n ? ? N ? ,且对任意 m, n 都有: (1) f ?1,1? ? 1 , (2) f ?m, n ? 1? ? f ?m, n? ? 2 ,(3) f ?m ? 1,1? ? 2 f ?m,1? ; 给出下列三个结论:① f ?1,5? ? 9 ; 其中正确的结论个数是( )个 ② f ?5,1? ? 16 ; ③ f ?5,6? ? 26 ;

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A.

3

B.

2

C.

1

D.

0

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分。 9.写出命题“ ?x ?R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定 ? ? ? ? ? ? 10. 已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1, 0 ? , c ? ? 3, 4 ? .若 ? 为实数, a ? ? b // c ,

?

?

则? ?
b 11. 在△ ABC 中, 内角 A 、B 、 的对边分别为 a 、 、 , C b c 已知 a ? 5 , ?

则 cos B ? 12. 函数 y ? log 0.5 ( x 2 ? 4 x ? 3) 的单调递减区间是 .

5 2 ? ,A ? , 3 4

13.设曲线 y ? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令
an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为

14. 已知关于 x 的方程 x2?2tx+t2?1=0 在区间(-2,4)上有两个实根,则实数 t 的取值范围 为_____________ 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ?? ?? ? ? ?? ?? ? 15. (本小题满分 12 分)已知 e1 , e2 是夹角为 60°的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 ,
? ?? ?? ? b ? ?3e1 ? 2e2 。

? ? (1)求 a ? b ;

? ? ? ? (2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。

16、(本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ? ?2sin ?? ? x ? , cos x ? , n ? ? 3 cos x, 2sin( ? ? x) ? ,函数 f ( x) ? 1 ? m ? n . ? ?
? ? 2 ?

??

?? ?

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的单调递增区间; (3)说明 f ( x) 的图象可以由 g ( x) ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

17、(本小题满分 13 分)
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数列 {an } 对任意 n ? N * ,满足 an+ 1 = an + 1 , a3 ? 2 . (1)求数列 {an } 通项公式;
1 (2)若 bn ? ( ) an ? n ,求 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和. 3

18、 (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 ( x>0且x ? 1) x1nx

1 (2)已知 1n2>a1nx 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。 x

19、(本小题满分14分)已知奇函数f(x)在 - ?, ? 0, ?) ( ? 上 ( 0)( ? 上有意义,且在 0, ?) 单 调 递 减 , f (3) ? 0 。 又 g (? ) ? c o2? ? 2m c o? s 4m,? ? [0, ] 。 若 集 合 s ? 2
M ? {m g (? ) ? 0}, 集合N ? {m f [ g (? )] ? 0}

?

(1)x取何值时,f(x)<0; (2) 求M ? N 20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?
4a ? 1 5 ,且 an ? n ?1 an ?1 ? 2 2 (n ? 2, n ? N ? )

(1)设 bn ?

1 ,证明数列 ?bn ? 是等差数列; an ? 1

(2)求数列 ?bn ? 、 ?an ? 的通项公式; (3)设 cn ? an ? an ?1 , S n 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,证明 Sn ? n ? 6(1 ? ln n) .

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广东梅县东山中学高三理科数学中段考试答卷
班级:________ 姓名: _________ 座号:_________

一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 。 1 2 3 4 5 6 题号 答案 二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 。 9. 12. 三、解答题: 15. (本小题满分12分) 10. 13. 11. 14.

7

8

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16. (本小题满分 13 分)

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17. (本小题满分 13 分)

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18(本小题满分 14 分)

姓名: _________
19. (本小题满分 14 分)

座号:_________

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20. (本小题满分 14 分)

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广东梅县东山中学高三理科数学中段考试答案
一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 。 1 2 3 4 5 6 题号 B B B D B D 答案 二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 。 9. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1≥0 10.
1 2

7 B

8 A

11.

2 2 3

13.(3,+∞) 三、解答题:

13. -2

14. ?1 ? t ? 3

15. (本小题满分12分)
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解:( )由题可知e1 ? e2 ? 1 1 1 1 ? 2 2 ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 2 ?? ?? ?2 7 a ? b =( (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) =-6 e 1 + e1 ? e2 +2 e 2 = ? ;????4 分 2 ? ?? ?? ? ?? ?? 2 ? ? (2) | a |?| 2e1 ? e2 |? (2e1 ? e2 ) ? 7 ,同理得 | b |? 7 ,????8 分 e1.e2 ? e1 e2 cos 60。? 1?1?
? ? ? ? ? ? ? ? 2 a ?b 1 所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ,又 ? a, b ? ? [0, ? ] ,所以 ? a, b ? = ? 。??12 分 2 3 | a || b |

16. (本小题满分 13 分)
解: (1)∵m?n ? ?2sin ?? ? x ? 3 cos x ? 2 cos x sin ?

?? ? ? x? 2 ? ?

? ?2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ………2 分
∴ f ( x) ? 1 ? m?n ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ,…………………………………3 分 ∴ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? (2)由 ?

? ?

??

? 。…………………………………………4 分 6?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

(k ? Z ) ,
(k ? Z ) ,………………………6 分

解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?

3

? k?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? (3)法一:

?

, k? ? ], k ? Z 。………………………7 分 6 3

?

g ( x) ? sin x ?? ? ? ? ? y ? sin x - ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? 6
6

向右平移

?

个单位

?

1 纵坐标不变,横坐标缩 短为原来的 倍 2

y ? sin(2 x ? ) ?横坐标不变,纵坐标伸? ? ??? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? ? ? ? ? 长原来的 2 倍 6 6
…………………………………13 分(每一步变换 2 分) 法二:
2 12 g ( x) ? sin x ?? ? ? ? ? ? ? ??? y ? sin 2 x ?? ? ? ? ? ? ? 纵坐标不变,横坐标缩 短为原来的 1 向右平移

?

?

?

个单位长度

y ? sin(2 x ? ) ?横坐标不变,纵坐标伸? ? ? 倍 ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? ? ? ? ? 长原来的 2 ? 6 6
17. (本小题满分 13 分)

?

?

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解: (1)由 已 知 得

an+ 1 - an = 1
可 知 数 列

?an ? 是等差
数列,且公 差

d ?1
又 a3 ? 2 ,得 a1 ? 0 ,所以 (2)由(1)得, bn ? ( )

??

???2分

an ? n ? 1 ???????????????????????4分
n ?1

1 3

?n,

所以 Sn ? (1 ? 1) ? ( ? 2) ? ??? ? ( )

1 3

1 3

n ?1

1 1 1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) 3 3 3

?????????????????????????????????????6 分

1 1 ? ( )n 1? n 3 ? n(n ? 1) ? 3 ? 3 ? n(n ? 1) . ???????????13 分 Sn ? 1 2 2 2 1? 3

18(本小题满分 14 分) 19. (本小题满分 14 分)

(1) ? f ( x)是奇函数,且在(0,?)上单调递减 + ? f ( x)在(-?, 0)上也单调递减 又f (3) ? 0, 则f (?3) ? ? f (3) ? 0 ??3 ? x ? 0或x ? 3时,f ( x) ? 0
解法一:

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(2)由( )知,N ? {m | f [ g (? )] ? 0} ? {m | ?3 ? g (? ) ? 0或g (? ) ? 3} 1 ? M ? N ? {m | g (? ) ? 3} 又g (? )= cos 2? ? 2m cos ? ? 4m ? 3, 即 cos ? ? m cos ? ? 2m ? 2 ? 0 设 cos ? ? t , t ? [0,1] 则? (t ) ? t 2 ? mt ? 2m ? 2 ? (t ? m 2 m2 ) ? ? 2m ? 2 2 4 求M ? N即求? (t ) ? 0在t ? [0,1]上恒成立的m的取值集合 m <0,即m<0时,? (t )在[0,1]上单调递增,则? (t ) min =? (0) ? 2m ? 2 ? 0, 此时,m ? ? 2 m m m2 ②若0 ? <1时,即0 ? m<2时,? (t ) min =? ( ) ? ? ? 2m ? 2 ? 0 2 2 4 解得4-2 2 ? m ? 4+2 2, 此时m ? (4-2 2, 2) ①若 m ? 1 即m ? 2时,? (t )在[0,1]上单调递减,? (t ) min =? (1) ? m ? 1 ? 0, 得m ? 1, 此时m ? [2, +?) 2 综上所述,M ? N ? {m | m ? 4-2 2} ③若
2

解法二:

(2)g (? )= cos 2? ? 2m cos ? ? 4m ? 2 cos ? ? 2m cos ? ? 4m ? 1, ? ? [0, ] 2 设 cos ? ? t , t ? [0,1] g (t ) ? 2t 2 ? 2mt ? 4m ? 1, t ? [0,1] ? M ? {m | g (? ) ? 0}

2

?

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①g (? ) ? 0 ? g (t ) ? 0 ? 2t 2 ? 2mt ? 4m ? 1 ? 0 ? 2(2 ? t ) m ? 1 ? 2t 2 ? t ? [0,1],? 2 ? t ? 0, 则m ? 令h(t) ? 1 ? 2t 2 在t ? [0,1]上恒成立 2(2 ? t )

1 ? 2t 2 2t 2 ? 8t ? 1 , h '(t ) ? 2(2 ? t ) 2(2 ? t ) 2 4 ? 14 14 ? 2? 2 2

h '(t ) ? 0 ? 2t 2 ? 8t ? 1 ? 0 ? t ? 2?

14 14 ? 3, 2 ? ? (0,1). 2 2 14 14 14 14 ? h '(t ) ? 0 ? t ? 2 ? 或t ? 2 ? , h '(t ) ? 0 ? h '(t ) ? 0 ? 2 ? ?t ? 2? 2 2 2 2 14 14 14 则h(t)在[0, ? 2 ]上单调递增,[2 ? ,上单调递减 ? h(t ) max ? h(2 ? 1] ) ? 4 ? 14, 2 2 2 故m>4 ? 14, M ? (4 ? 14, ??) 由(1)知,N ? {m | f [ g (? )] ? 0} ? {m | ?3 ? g (? ) ? 0或g (? ) ? 3} ②g (? ) ? ?3 ? g (t ) ? ?3 ? 2t 2 ? 2mt ? 4m ? 1 ? ?3 ? (2 ? t ) m ? ?t 2 ? 1,? t ? [0,1],? 2 ? t ? 0 ?t 2 ? 1 t 2 ? 1 ? 在t ? [0,1]上恒成立 2?t t ?2 t2 ?1 t 2 ? 4t ? 1 令V (t ) ? , V '(t ) ? t ?2 (t ? 2) 2 m? V '(t ) ? 0 ? 2 ? 5 ? t ? 2 ? 5,?V (t )在(2 ? 5, 2 ? 5)上单调递减,即V (t )在[0,1]上单调递减 1 1 V(t)max ? V (0) ? ? ,? m ? ? 2 2 1 ? 2t 2 ③g (? ) ? 0 ? g (t ) ? 0 ? m ? 在t ? [0,1]上恒成立 2(2 ? t ) 1 ? 2t 2 1 1 1 的最小值为h(0)或h(1),又 ? h(0)= ,h(1)=- ,? m ? ? 2(2 ? t ) 4 2 2 ??3 ? g (t ) ? 0 ? m ? ? 由①h(t) ?

④g (? ) ? 3 ? g (t ) ? 3 ? 2t 2 ? 2mt ? 4m ? 1 ? 3, t ? [0,1] t 2 ? mt ? 2m ? 2 ? 0 ? (2 ? t )m ? 2 ? t 2 ? t ? [0,1],? 2 ? t ? 0, m ? 2 ? t2 t2 ? 2 = 在t ? [0,1]上恒成立 2?t t ?2 t2 ? 2 t 2 ? 4t ? 2 令u (t ) ? , u '(t ) ? t ?2 (t ? 2) 2

? u '(t ) ? 0 ? t ? 2 ? 2或t ? 2 ? 2, u '(t ) ? 0 ? h '(t ) ? 0 ? 2 ? 2 ? t ? 2 ? 2 则u(t)在[0, ? 2]上单调递增,[2 ? 2,上单调递减,? h(t ) max ? h(2 ? 2) ? 4 ? 2 2, 2 1]

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? m ? 4 ? 2 2,? N ? (4 ? 2 2, ??) 综上所述,M ? N ? (4 ? 2 2, ?? )

20. (本小题满分 14 分)
解:(1) 解法一: an ? 1 ?

3(an ?1 ? 1) a ?2 1 1 1 ,? ? n ?1 ? ? an ?1 ? 2 an ? 1 3(an ?1 ? 1) an ?1 ? 1 3
4分

1 2 ? bn ? bn?1 ? , b1 ? , ??bn ? 为等差数列 3 3
解法二:

bn ? bn ?1 ?

1 1 1 1 ? ? ? an ? 1 an ?1 ? 1 4an ?1 ? 1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 2

?

an ?1 ? 2 3 1 ? ? 3(an ?1 ? 1) 3(an ?1 ? 1) 3

又b1 ?

1 2 2 1 ? ,?{bn }是以 为首相, 为公差的等差数列。 a1 ? 1 3 3 3

??4 分

(2)由(1) bn ? b1 ? (n ? 1) ?

1 n ?1 n?4 ,从而 an ? ? n ?1 3 3

6分

(n ? 4)(n ? 5) n 2 ? 9n ? 20 n?3 ? 2 ? 1? 6? 2 (3)解法一: cn ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 3n ? 2 n ? 3n ? 2

? cn ? 1 ?

6(n ? 3) 6 6分 ? 1? , 2 n ? 3n n 1 1 1 Sn ? n ? 6(1 ? ? ? ... ? ) 当 n ? 1 时, S1 ? 5 ,不等式的左边=7,不等式成立 2 3 n 1 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, Sn ? n ? 6(1 ? ? ? ... ? ) 故只要证 1 ? ? ? ... ? ? 1 ? ln n(n ? 2) , 2 3 n 2 3 n
如下用数学归纳法给予证明: ①当 n ? 2 时, ln 2 ?

1 2 ? ln ? 0 ,? n ? 2 时,不等式成立; 2 e

1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ln k (k ? 2) 成立 2 3 k 1 1 1 1 1 当 n ? k ? 1 时, 1 ? ? ? ... ? ? ? 1 ? ln k ? 2 3 k k ?1 k ?1 1 k ?1 1 只需证: 1 ? ln k ? ? ? 1 ? ln(k ? 1) ,即证: ln k k ?1 k ?1 1 1 令 ? x ? ? 0,1? ,则不等式可化为: ln ?x k ?1 1? x ?1 ?x 即 ln(1 ? x) ? ? x, x ? (0,1) 令 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,则 f ?( x) ? ?1 ? ?0 1? x 1? x
②假设当 n ? k 时, 1 ?

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? f ( x) 在 (0,1) 上是减函数又 f ( x) 在 ? 0,1? 上连续, ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,故 ln(1 ? x) ? ? x
当x?

1 k ?1 1 时,有 ln ? ?当 n ? k ? 1 时,所证不等式对 n ? 2 的一切自然数均成立综上 k ?1 k k ?1
14 分

所述, Sn ? n ? 6(1 ? ln n) 成立. 解法二:同一法可得: cn ? 1? 下面证明: ln 记

6 n

n 1 ? , n ? N *成立 n ?1 n

1 ? x, x ? (0,1),同一法可证成立 n

? cn ? 1 ?

6 n ? 1 ? 6 ln ? 1 ? 6[ln n ? ln(n ? 1)] n n ?1 n ? 1时,s1 ? 5 ? 1 ? 6(1 ? 0) ? 7, 成立

n ? 2时,sn ? c1 ? c2 ? ?? ? cn ? n ? 6[1 ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ?? ? ln n ? ln(n ? 1))] ( ? n ? 6(ln n ? 1) ? sn ? n ? 6(1 ? ln n)成立

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