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训练题(1)集合与函数、导数


《集合》训练题
一、选择题
1.方程组 {x ? y ?0 的解构成的集合是 A. {(1,1)} 2.下列表述正确的是 A. ? ? {0} B. ? ? {0} C. ? ? {0} B. {1,1} C. (1,1) D. {1} ( D. ? ? {0} )
x ? y ?2




r />3.集合 A={x x ? 2k , k ? Z } ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z } ,C={ x x ? 4k ? 1, k ? Z },又 a ? A, b ? B, 则有 ( ) A.(a+b) ? A B. (a+b) ? B C.(a+b) ? C D. (a+b) ? A、B、C 任一个 )

4.集合 A={1,2,x},集合 B={2,4,5},若 A ? B ={1,2,3,4,5},则 x=( A. 1 B. 3 C. 4 D. ( 5 )

? 5.满足条件{1,2,3} ? ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6.全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 },那么集 合 { 2 ,7 ,8}是( ) A. A ? B B. A ? B C.

CU A ? CU B

D. CU A ? CU B

7.设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤3},则M ? N ? ( ) A. ?0, B. ??1 C. ?0, D. ??1 1? , 01 , 1, 2? , 01 , , 2? ? 2 8. 如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是 ( A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定



二、填空题
b 0 3 9..含有三个实数的集合既可表示成 {a, ,1} , 又可表示成 {a 2 , a ? b,0} , 则 a2 a
0 4 ? b2

?

.

10.. 已 知 集 合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} , CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那 么 集 合
N?

, M ? (CU N ) ?

,M ? N ?

.

三、解答题
11. 已知集合 A ? {x x 2 ? 4 ? 0} ,集合 B ? {x ax ? 2 ? 0},若 B ? A ,求实数 a 的取值集合.

12.. 已知集合 A ? {x 1 ? x ? 7} ,集合 B ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 5} ,若满足 A ? B ? {x 3 ? x ? 7} ,求实数 a.
1

13. 已知集合 A ? {x ? 1 ? x ? 3} , B ? { y x 2 ? y, x ? A} , C ? {y y ? 2x ? a , x ? A} ,若满足 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

《函数的性质》训练题(1)
一、选择题:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ( ) 2 A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y= D.y=2x2+x+1 x 2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1) 等于 ( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) ax ? 1 4.函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) x?2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 5.函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内 ( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 6.若集合 A ? {x | 1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a} ,且 A ? B ? ? ,则实数 a 的集合( ) C {a | a ? 1} A {a | a ? 2} B {a | a ? 1} D {a | 1 ? a ? 2} 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t) =f(5-t),那么下列式子一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 8.若函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围 ( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 ( ) )

9. 函数 y ? x 2 ? 4x ? c ,则

A f (1) ? c ? f (?2)

B f (1) ? c ? f (?2)

C c ? f (1) ? f (?2) D c ? f (?2) ? f (1)

10.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 4] 上是减函数则 A. f (10) ? f (13) ? f (15) B. f (13) ? f (10) ? f (15)

2

C. f (15) ? f (10) ? f (13)

D. f (15) ? f (13) ? f (10)

.二、填空题
11.函数 y=(x-1)-2 的减区间是___ _. 2 12.函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈?-2,+??时是增函数,当 x∈?-?,-2?时是减函 数,则 f(1)= 。 13. 若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是_____________. 14.函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__ .

三、解答题
15. 已知函数 f ( x) ?
x ?1 , x ? ?3,5? , x?2

⑴ 判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; ⑵ 求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

16.已知函数 f ( x) 是定义域在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减,求满足

f ( x2 ? 2x ? 3) ? f (? x2 ? 4x ? 5) 的 x 的集合.

《函数的性质》训练题(2) 一、选择题:
1.函数 y ? 2x ? 1 ? 3 ? 4 x 的定义域为 A (? , )
1 3 2 4


1 2 3 4



B [? , ]

1 3 2 4

C (??, ] ? [ ,??)

D (? ,0) ? (0,??) ( )

1 2

2.下列各组函数表示同一函数的是 A. f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( x )2 C. f ( x ) ? 3 x 2 , g ( x ) ? ( 3 x ) 2 3.函数 f ( x) ? x ?1, x ???1,1,2? 的值域是
3

B. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 D. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?
x2 ?1 x ?1





A 0,2,3

B 0? y?3

C {0,2,3}

D [0,3] ( )

( x ? 6) ? x ?5 4.已知 f ( x) ? ? ,则 f(3)为 ? f ( x ? 2) ( x ? 6)
A 2 B 3 C 4 D 5 5.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a ? c ? 0 ,则函数的零点个数是 A 0个 B 1个 C 2个

( D 无法确定



6.函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上是单调递减的,则实数 a 的取值范围是( A a ? ?3 B 7.函数 f(x)=|x|+1 的图象是
y y
a ? ?3

) )

C
y

a?5

D
y

a?5



1
O A

1

x

1

O B

x

O C

1

x

O D

x

8.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2 , 3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是 ( 5 A. [0, ] B. [ ?1, 4] C. [ ?5,5] D. [ ?3, 7] 2 9.函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上递减,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3
2 2



) ) ( )

C. a ? 5

D. a ? 3

10.若函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是 ( A. 1 B. C. 3 D. 2 4 11.函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是 A. [?2, 2] B. [1, 2] C. [0, 2] D. [? 2, 2]

二、填空题
12.函数 y ? e x ? 1 的定义域为 13.若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? 14.若函数 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) = 15.函数 y ? x 2 ? ax ? 3(0 ? a ? 2)在[?1,1] 上的最大值是
新疆 源头学子小屋
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;

特级教师 王新敞
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特级教师 王新敞
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,最小值是

.

三、解答题
16.求下列函数的定义域: (1)y= x+1 x+2 (2)y= 1 + -x + x+4 x+3

4

(3)y=

1 6-5x-x2

(4)y=

2x-1 x-1

+(5x-4)0

20.已知 A= {x | a ? x ? a ? 3} ,B= {x | x ? 1, 或x ? ?6} . (Ⅰ)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围.

《基本初等函数》训练题(1)
一、选择题:
1 1 1. ? (?2) 4 ? (?2) ?3 ? (? ) ?3 ? (? ) 3 的值 ( 2 2 3 A 7 B 8 C -24 D -8 4 2.函数 y ? 4 ? 2 x 的定义域为 ( A (2,??) B ?? ?,2? C ?0,2? D ?1,??? 3.下列函数中,在 (??,??) 上单调递增的是 ( 1 x A y ?| x | B y ? log2 x C y ? x3 D y ? 0.5 x 4.函数 f ( x) ? log4 x 与 f ( x) ? 4 的图象 ( A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线 y ? x 对称 5.已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2 log3 6 用 a 表示为 ( 2 A a?2 B 5a ? 2 C 3a ? (a ? a) D 3a ? a 2 ? 1 6.已知 0 ? a ? 1 , loga m ? loga n ? 0 ,则 ( A 1? n ? m B 1? m ? n C m ? n ?1 D n ? m ?1 x 7.已知函数 f(x)=2 ,则 f(1—x)的图象为 (
y y y y



) ) )

) ) )

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C ② lg(lne)=0

D

8.有以下四个结论 ① lg(lg10)=0 x=e2, 其中正确的是 A. ① ③ B.② ④

③若 10=lgx,则 x=10 ④ 若 e=lnx,则 ( C. ① ② D. ③ ④ (
5

) )

9.若 y=log56·log67·log78·log89·log910,则有

A. y ? (0 , 1)
1 4

B . y ? (1 , 2 )
1 3

C. y ? (2 , 3 )

D. y=1 (
1 4
1 3

10.已知 f(x)=|lgx|,则 f( )、f( )、f(2) 大小关系为 A. f(2)> f( )>f( )
1 3



1 4

B. f( )>f( )>f(2)

1 4

1 3

C. f(2)> f( )>f( )

D. f( )>f( )>f(2) )

1 3

1 4

11.若 f(x)是偶函数,它在 ?0, ?? ? 上是减函数,且 f(lgx)>f(1),则 x 的取值范围是( A. (
1 ,1) 10

B. (0,

1 ) ? (1, ?? ) 10

C. (

1 ,10) 10

D. (0,1) ? (10, ?? ) ( )

12.若 a、b 是任意实数,且 a>b,则 A. a >b
2 2

a B. <1 b

C. lg ? a ? b ? >0

?1? ?1? D. ? ? < ? ? ?2? ?2?

a

b

二、填空题:
13. 当 x ? [-1,1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域为

? 2 ? x ( x ? 3), 14.已知函数 f ( x) ? ? 则 f (log2 3) ? _________. ? f ( x ? 1)(x ? 3),
15.已知 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围是_________ 16.若定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( f(log4x)>0 的解集是______________.
1 )=0,则不等式 2

三、解答题:
17. 已知 f(x)=log a
1? x (a>0, 且 a≠1) 1? x (1)求 f(x)的定义域 (2)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

18.

已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值。

1 2

19.已知 f ( x) ? 9 x ? 2 ? 3x ? 4, x ? ?? 1,2? (1)设 t ? 3x , x ? ?? 1,2? ,求 t 的最大值与最小值; (2)求 f ( x) 的最大值与最小值;

《基本初等函数》训练题(2)
一、选择题:
1、函数 y=log 2 x+3(x≥1)的值域是
6





A. ?2,??? A、100 ( )

B.(3,+∞) B、 10100

C. ?3,??? C、 lg10

D.(-∞,+∞) ( D、2 )

2、已知 f (10x ) ? x ,则 f ?100? =

] 连 续 不 断 , 且 f ?1? f ? 2? f ?3? ? 0 , 则 下 列 说 法 正 确 的 是 3. 已 知 函 数 f ? x ? 在 区 间 [1, 3 上

A.函数 f ? x ? 在区间 [1, 2] 或者 [2,3] 上有一个零点 B.函数 f ? x ? 在区间 [1, 2] 、 [2,3] 上各有一个零点 C.函数 f ? x ? 在区间 [1,3] 上最多有两个零点 4.设 f ?x ? ? 3 x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,3? 内近似解的过程 中取区间中点 x0 ? 2 ,那么下一个有根区间为 A. (1,2) A.(1,2) A.b<a<1 B. (2,3) B.(2,1) B. a<b<1
1? x

D.函数 f ? x ? 在区间 [1,3] 上有可能有 2006 个零点

( (

) ) )

C. (1,2)或(2,3) C.(-2,1) C. 1<b<a

D.不能确定

5. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点 D.(-1,1) 6. 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是 7. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是 A. y ? 2
1 x

( D. 1<a<b (



?1? B. y ? ? ? ?2?

C. y ? ( ) x ? 1

1 2

D. y ? 1 ? 2x (
3 ,2) 2 (

8.方程 x3 ? 3x ? 1 的三根 x1 , x2 , x3 ,其中 x1 < x2 < x3 ,则 x2 所在的区间为 A . (?2,?1) B . (0,1) C . (1,
3 ) 2



D . (

9.值域是(0,+∞)的函数是 A、 y ? 5 2? x
1



?1? B、 y ? ? ? ? 3?

1? x

C、 y ? 1 ? 2 x

?1? D、 ? ? ? 1 ?2?

x

10.函数 y= | lg(x-1)| 的图象是





11.函数 f ( x) ?| log1 x | 的单调递增区间是 2 1 A、 (0, ] B、 (0,1] 2

C

( C、 (0,+∞) D、 [1,??)

)

二、填空题:

7

? 1 1 12.计算: ( ) ?1 ? 4 ? (?2) ?3 ? ( ) 0 ? 9 2 = 2 4

1

. .

13.已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是 14.函数 f ( x) ?
1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)
2



15.函数 y ? log1 ( x 2 ? 2 x) 的单调递减区间是_______________.

三、解答题
17.求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?

1 log2 ( x ? 1) ? 3

(2) f ( x) ? log 2 x?1

3 x ?2

18. 已知函数 f ( x) ? lg

1? x , 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

19.

求函数 y=3 ? x

2

? 2 x ?3

的定义域、值域和单调区间.

20. 若 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值

《导数及其应用》训练题
一、选择题
1.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件
8



D 必要非充分条件

2.已知点 P(1,2)是曲线 y=2x2 上一点,则 P 处的瞬时变化率为 D. 3.设函数 f ( x) =x3﹣x2,则 f ?(1) 的值为( A.-1 B.0 A.2 B.4 C.6 ) C.1





D.5 )

3 2 4.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是(

A. (??,? 3] ? [ 3,??)1 B. [? 3, 3] 2 5. 一点沿直线运动 , 如果由始点起经过 t ( ) A.1 秒末 6.下列等于 1 的积分是 A. ?
1

C. (??,? 3) ? ( 3,??)

D. (? 3, 3)

1 5 s ? t 4 ? t 3 ? 2t 2 4 3 秒后的距离为 ,那么速度为零的时刻是

B.0 秒 ( B. ?
1

C.4 秒末 )

D.0,1,4 秒末

0

xdx

0

( x ? 1)dx

C.

? 1dx
0

1

? D.

1

0

1 dx 2

(e 7. ?
0

1

x

? e ? x )dx
1 e

=




2 C. e e? 1 e

A.

e?

B.2e

D.

二、填空题
' 6 5 3 8.设 f ( x) ? (1 ? x) (1 ? x) ,则函数 f ( x) 中 x 的系数是______________。

9.过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点的坐标为
x

,切线的斜率为 .

.

10. 曲线 y=x3 在点(1,1)切线方程为
f ( x) ?

11.函数

1 3 ax ? 2ax 2 ? x 3 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围为_________.

三、解答题
2 2 12.设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x)

(1)求函数 f ( x) 的单调区间;
9

1 x ? [ ? 1, e ? 1] e (2)若当 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
2 (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在区间 [0,2] 上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值

范围。

3 2 2 13.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m(a ? 0) .

(1)若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围;

x ???1,1? (2)若函数 f ( x) 在 内没有极值点,求 a 的取值范围;
(3)若对任意的

a ??3,6?

x ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x) ? 1 在 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

3 14.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点。

10

15.求函数 y ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 的导数。

16. ?

2

0

(3x 2 ? k )dx ? 10, 则k ?

17.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供 水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3 a 元和 5 a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管 费用最省?
A C D

B

《集合》训练题
一、ABBBCCBB 二、 9. -1 10 N ? {x | ?3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3} ;M ? (CU N ) ? {x | 0 ? x ? 1} ;M ? N ? {x | ?3 ? x ? 1

或 2 ? x ? 3} . 三、11 .{0.-1,1}; 12.
a ? 2;

13.

2? a ?3.

11

《函数的性质》训练题
一.C D B B DC CAB B 二. 11. (1,+∞) 12.13 13 (0,??) 14, ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

三.15.解:⑴ 设任取 x1 , x2 ?[3,5] 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?3 ? x1 ? x2 ? 5 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0


? x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2 ) x (2 ? 2 ) ? 0
即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在 [3,5] 上为增函数.
2 5

f ( x) max ? f (5) ?

4 7

f ( x)m i n? f ( 3? )

16.解: ? f ( x) 在 R 上为偶函数,在 (??, 0) 上单调递减

? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数

又 f (? x2 ? 4 x ? 5) ? f ( x2 ? 4 x ? 5)

? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 0 , x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 1 ? 0
由 f ( x2 ? 2x ? 3) ? f ( x2 ? 4x ? 5) 得 x2 ? 2 x ? 3 ? x 2 ? 4 x ? 5

? x ? ?1

? 解集为 {x | x ? ?1} .

《函数的性质》训练题(2)
一、选择题:BCCACADABBC 二、填空题:12. (0,?? ) 13. 12 14. ?1 ;

a2 15.4-a, 3 4

三、解答题:20.Ⅰ、 a ? 6 ? a ? ?2

?

?

Ⅱ、 a a ? 1 ? a a ? ?9

?

? ?

?

《基本初等函数》训练题(1)
一、C B C D A A C C B B C D 1 5 二、13、[— ,1] 14、 3 12
15、 a 1 ? a ? 2

?

?

16、x>2 或 0<x<

1 2

三、17.(1)函数的定义域为(—1,1) (2)当 a>1 时,x ? (0,1) 当 0<a<1 时,x ? (—1,0) 18. 解:若 a>1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最大值为 log a 8 , 最小值为 log a 2 ,依题意,有 loga 8 ? log a 2 ?
12

1 ,解得 a = 16; 2

若 0<a<1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0, a ?1) 在区间[1,7]上的最小值为
log a 8 ,最大值为 log a 2 ,依题意,有 loga 2 ? loga 8 ?

1 1 ,解得 a = 。 16 2

综上,得 a = 16 或 a =

1 。 16

19、解: (1)? t ? 3 x 在 ?? 1,2? 是单调增函数? t max ? 32 ? 9 , t min ? 3 ?1 ?

1 3

(2)令 t ? 3 x ,? x ? ?? 1,2? ,? t ? ? ,9? 原式变为: f ( x) ? t 2 ? 2t ? 4 , 3

?1 ? ? ?

?1 ? ? f ( x) ? (t ? 1) 2 ? 3 ,? t ? ? ,9? ,? 当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , f ( x) min ? 3 , 当 t ? 9 时,此时 x ? 2 , ?3 ?

f ( x) max ? 67 。

《基本初等函数》训练题(2)
一、C D D A D B B B B C D
12. 19/6 13. y ? x 5 14. ? 2, ??? 15. (2,3) ? (3, ??) (2)解:要使原函数有意义,须使:

17.(1)解:要使原函数有意义,须使:

? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, 即? ? ?log2 ?x ? 1? ? 3 ? 0, ? x ? 7,

2 ? ?x ? 3 , ? 3 x ? 2 ? 0, ? ? 1 ? ?2 x ? 1 ? 0, 得 ? x ? , 2 ? ?2 x ? 1 ? 1, ? ? x ? 1. ? ?
所以,原函数的定义域是: ( 19.略

所以,原函数的定义域是: (-1,7) ? (7, ? ? ). 18. (1) (-1,1) 20. 解: y ? 4
x? 1 2

2 ,1) ? (1, ? ? ). 3

(2) (0,1)

1 2 ? 3 ? 2 x ? 5 ? (2 x) ? 3? 2x ? 5 2
1 2 1 2 1 2
(1 ? t ? 4 )

2 2 令 2 x ? t ,因为 0≤x≤2,所以 1 ? t ? 4 ,则 y= t ? 3t ? 5 = (t ? 3) ?

2 因为二次函数的对称轴为 t=3,所以函数 y= t ? 3t ? 5 在区间[1,3]上是减函数,在区间[3,4]上是增函

1 2

数.

∴ 当 t ? 3 ,即 x=log 2 3 时

y min ?

1 2

当 t ? 1 ,即 x=0 时

y max ?

5 2

《导数及其应用》训练题
一、DBCBDCD
13

二、8.40

9.(1,e), e

10.3x-y-2=0

11. [ 0, ]

1 4

三、12.解析:因为 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? ln(1 ? x) 2 所以 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 1? x 2 2 1 x ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 (1)令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 1? x 1? x 1? x

? ?2 ? x ? ?1 或 x>0,所以 f(x)的单调增区间为(-2,-1)和(0,+∞) ;
令 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?

2 1 x 2 ? 2x ? 2[(1 ? x) ? ]?0? ?0 1? x 1? x 1? x

。 ? ?1 ? x ? 0或x ? ?2, 所以f ( x) 的单调减区间(-1,0)和(-∞,-2) (2)令 f ?( x) ? 0 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? x ? 0或x ? ?2 (舍) ,由(1)知,f(x)连续,

1 1 ? f ( ? 1) ? 2 ? 2, f (0) ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 2, e e 1 所以, 当x ? [ ? 1, e ? 1]时, f ( x)的最大值为e 2 ? 2. e
因此可得:f(x)<m 恒成立时,m>e2-2 (3)原题可转化为:方程 a=(1+x)-ln(1+x) 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根。
2

2 , 令g ?( x) ? 0, 解得 : x ? 1, 1? x 当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(0,1)单调递减, 令g ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x) 2 , 则g ?( x) ? 1 ? 当x ? (1,2)时, g ?( x) ? 0,? g ( x)在(1,2)单调递增 . ? g ( x)在x ? 0和x ? 2点处连续, 又 ? g (0) ? 1, g (1) ? 2 ? ln 4, g (2) ? 3 ? ln 9,
且 2-ln4<3-ln9<1,∴ g ( x) 的最大值是 1, g ( x) 的最小值是 2-ln4。 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的取值范围是: 2-ln4<a≤3-ln9
13.解析: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ,

??? (12分)

∵ f ( x) 有三个互不相同的零点, ∴ f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ? 0 即 m ? ? x3 ? x2 ? x 有三个互不相同的实数根. 令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ,则 g / ( x) ? ?3x2 ? 2x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1) ∵ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 均为减函数,在 ( ?1, ) 为增函数, ∴ g ( x)极小 ? g (?1) ? ?1, g ( x)极大 ? g ( ) ? 所以 m 的取值范围是 ( ?1,

1 3

1 3

1 3

5 27

5 ) 27
14

(2)由题设可知,方程 f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? 0 在 ??1,1? 上没有实数根,

? f / (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? ∴ ? f / (?1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ,解得 a ? 3 ?a ? 0 ? a (3)∵ f / ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a), 又 a ? 0 , 3 a a ∴当 x ? ?a 或 x ? 时, f / ( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f / ( x) ? 0 . 3 3 a a ∴函数 f ( x) 的递增区间为 ( ??, ? a )和( , ?? ), 单调递减区间为 ( ? a , ) 3 3 a ? ?1, 2? , ? a ? ?3 , 又 x ?? ?2, 2? ,∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 当 a ? ?3,6? 时, 3
而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a2 ? 0 ,∴ f ( x)max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1在 ? ?2, 2? 上恒成立,∴ f ( x)max ? 1 即? 8 ? 4a ? 2a2 ? m ? 1 , 即 m ? 9 ? 4a ? 2a2在a ??3,6? 上恒成立. ∵ 9 ? 4a ? 2a 2 的最小值为 ?87 ,
14.解析: (Ⅰ) f
'

∴ m ? ?87.

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? ? ? f ? 2? ? 8

(Ⅱ)∵ f ' ? x ? ? 3 x 2 ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,此时函数 f ( x) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? a 是 f ( x) 的极小值点

15.解析: y ? ( x ? a) ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)
' ' '

'

? ( x ? b) ( x ? c) ? ( x ? a) ( x? c)? ( x? a) ( x ? b)
15

16.1 17.解法一: 根据题意知, 只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置, 才能使总运费最省, 设 C 点距 D 点 x km, 则

∵BD=40,AC=50- x ,∴BC= BD2 ? CD2 ? x 2 ? 402 又设总的水管费用为 y 元,依题意有: y =3 a (50-x)+5 a y′=-3 a +
5ax x ? 40 2
2

x 2 ? 402 (0 ? x ? 50)

,令 y′=0,解得 x =30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x =30(km)处取得最小值,此时 AC=50- x =20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 40 ? 解法二:设∠BCD= ? ,则 BC= ,CD= 40 cot? , (0 ? ? ? ) , AC ? 50 ? 40 cot? 2 sin? 设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有 5 ? 3cos? 40 f (θ )=3 a (50-40·cotθ )+5 a ? =150 a +40 a · sin ? sin? ? ? (5 ? 3cos ? ) ? sin ? ? (5 ? 3cos ? ) ? (sin ? ) 3 ? 5cos ? ∴ f ? (θ )=40 a ? ? 40a ? sin 2 ? sin 2 ? 令 f ? (θ )=0,得 cosθ =

3 5

3 4 3 时,函数取得最小值,此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 5 4 ∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.
根据问题的实际意义,当 cosθ =

16


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