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空间直角坐标系


空间直角坐标系

一.空间直角坐标系 为了确定空间点的位置,我们在空间中 取一点O作为原点,过O点作三条两两垂 直的数轴,通常用x、y、z 表示. 轴的方向 通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的 半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴 重合. 这时,我们在空间建立了一个直角 坐标系O-xyz,O叫做坐标原点.

如何理解空间直角坐标系


1.三条坐标轴两两垂直是建立空间直角 坐标系的基础; 2.在空间直角坐标系中三条轴两两垂直, 轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向 看,x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的半轴重合;

3.让右手拇指指向x轴的正方向,食指
指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正

方向,那么称这个坐标系为右手直角坐
标系,一般情况下,建立的坐标系都是 右手直角坐标系; 4.在平面上画空间直角坐标系O-xyz时, 一般情况下使∠xOy=135°, ∠yOz=90°.

z

y O x

z

O x

y

二.空间点的坐标 1.点P的x坐标:过点P作一个平面平行于 平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的 坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标; 2.点P的y坐标:过点P作一个平面平行于平 面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴,这 个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐 标为y,这个数y就叫做点P的y坐标;

3.点P的z坐标:过点P作一个平面平行于 平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的 坐标为z,这个数z就叫做点P的z坐标;
这样,我们对空间的一个点,定义了一 组三个有序实数作为它的坐标,记做P(x, y,z),其中x,y,z也可称为点P的坐标分 量.

z Pz P y O x Px Py

1.在空间直角坐标系中,每两条轴分别 确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平 面; 2.坐标平面上点的坐标的特征: xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是

坐标形如(x,y,0)的点构成的点集,
其中x、y为任意实数

同理:yOz平面(通过y轴和z轴的平面)
是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集, 其中y、z为任意实数; xOz平面(通过x 轴和z轴的平面)是坐 标形如(x,0,z)的点构成的点集,其 中x、z为任意实数;

3.坐标轴上点的特征:
x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成

的点集,其中x为任意实数;
y轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的 点集,其中y为任意实数; z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的 点集,其中z为任意实数。

4.卦限 在空间直角坐标系中,三个坐标平面把空 间分成八部分,每一部分称为一个卦限; 在坐标平面xOy上方的四个象限对应的 卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限; 在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、 第VIII卦限; 在每个卦限内,点的坐标的各分量的符 号是不变的,例如在第I卦限,三个坐标 分量x、y、z都为正数;在第II卦限,x为 负数,y、z均为正数;

III IV VII
x

O

VIII

八个卦限中点的坐标符号分别为: I: ( + ,+ ,+ ); II: ( - ,+ ,+ ); III: ( - ,- ,+ ); IV: ( + ,- ,+ ); V: ( + ,+ ,- ); VI: ( - ,+ ,- ); VII:( - ,- ,- ); VIII:( + ,- ,- );

例1.正方体的棱长为2,求各顶点的坐 标. 解:由图可知,正方体的各个顶点的坐 标如下: A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2), C1(2,2,2),D1(0,2,2),

例2.在空间直角坐标系中,写出点P(x,y, z)的对称点的坐标: (1)关于x轴的对称点是P1 (x, -y, -z) ; (2)关于y轴的对称点是P2 (-x, y, -z) ;

(3)关于z轴的对称点是P3 (-x, -y, z) ;
(4)关于原点的对称点是P4 (-x, -y, -; z)

(5)关于xOy坐标平面的对称点是
P5 (x,y,-z) ; (6)关于yOz坐标平面的对称点是

P6 (-x,y,z) . (x,-y,z)



(7)关于xOz坐标平面的对称点是P7

例3.有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的 坐标一定是(0,b,0); ②在空间直角坐标系中,在yOz平面上点 的坐标一定可以写成(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的 坐标可记为(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xOz平面上点 的坐标可写为(a,0,c). 其中正确的叙述的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

例4.点A(-3,1,5),点B(4,3,1)的 中点坐标是( B )
1 (B) ( , 2,3) 2 1 4 (C)(-12,3,5) (D)( , , 2) 3 3
7 (A) ( ,1, ?2) 2


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