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第二章 函数、导数及其应用


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第二章? ? 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示

?

1.函数与映射的概念 函数 两集合 A,B 对应 关系 F:A→B 设 A,B 是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定

的数 f(x)和它对应 称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应 称对应 f:A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射

名称 记法 2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

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[小题体验]
1.下列函数中,与函数 y= 1 sin x 1 3 x ln x B.y= x D.y= sin x x 定义域相同的函数为( )

A.y=

C.y=xex 答案:D

2.已知函数 f(x)满足 f(2x)=2f(x),且当 1≤x<2 时,f(x)=x2,则 f(3)=( 9 A. 8 9 C. 2 9 B. 4 D.9

)

3? ?3?2=9. 解析:选 C ∵f(2x)=2f(x),且当 1≤x<2 时,f(x)=x2,∴f(3)=2f ? = 2 × ?2? ?2? 2 3. 若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2}, 值域为 N={y|0≤y≤2}, 则函数 y=f(x) 的图象可能是( )

答案:B 4.(教材习题改编)函数 f(x)= 答案:[4,5)∪(5,+∞) x-4 的定义域是________________. |x|-5

1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A,B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几个函数组成.

[小题纠偏]
1.函数 y= ln?1-x? 1 + 的定义域是( x+1 x ) B.[-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1)

A.[-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(0,1]

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1-x>0, ? ? 解析:选 D 由题意得?x+1>0, ? ?x≠0, 解得-1<x<0 或 0<x<1. 所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1). 2.设函数 f(x)=? A.-3 C.-1

? x,x≥0, ? -x,x<0,

若 f(a)+f(-1)=2,则 a=( B.± 3 D.± 1

)

解析:选 D 若 a≥0,则 a+1=2,得 a=1; 若 a<0,则 -a+1=2,得 a=-1. 1? 2 3.已知 f? ?x?=x +5x,则 f(x)=________. 1 1 1 5 解析:令 t=x,∴x= t .∴f(t)= 2+ t . t ∴f(x)= 答案: 5x+1 (x≠0). x2

5x+1 (x≠0) x2

考点一

函数的定义域

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分,研 究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴. 常见的命题角度有: (1)求给定函数解析式的定义域; (2)求抽象函数的定义域; (3)已知定义域确定参数问题.

[题点全练]
角度一:求给定函数解析式的定义域 1.(2015· 德州期末)y= x-1 -log2(4-x2)的定义域是( 2x )

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A.(-2,0)∪(1,2) C.(-2,0)∪[1,2)

B.(-2,0]∪(1,2) D.[-2,0]∪[1,2]

解析:选 C

x-1 ? ? 2x ≥0, 要使函数有意义,必须? x≠0, ? ?4-x >0,
2

∴x∈(-2,0)∪[1,2). 2.函数 f(x)= 1-|x-1| (a>0 且 a≠1)的定义域为____________________. ax-1

?1-|x-1|≥0, ?0≤x≤2, ? ? 解析:由? x ?? ?0<x≤2, ?a -1≠0 ? ? ?x≠0

故所求函数的定义域为(0,2]. 答案:(0,2] 角度二:求抽象函数的定义域 3.若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 016],则函数 g(x)= A.[0,2 015] C.(1,2 016] f?x+1? 的定义域是( x-1 )

B.[0,1)∪(1,2 015] D.[-1,1)∪(1,2 015]

解析:选 B 令 t=x+1,则由已知函数的定义域为[1,2 016],可知 1≤t≤2 016.要使函数 f(x+1)有意义, 则有 1≤x+1≤2 016, 解得 0≤x≤2 015, 故函数 f(x+1)的定义域为[0,2 015]. 所
? ?0≤x≤2 015, 以使函数 g(x)有意义的条件是? 解得 0≤x<1 或 1<x≤2 015.故函数 g(x)的定 ?x-1≠0, ?

义域为[0,1)∪(1,2 015] 4.若函数 f(x2+1)的定义域为[-1,1],则 f(lg x)的定义域为( A.[-1,1] C.[10,100] B.[1,2] D.[0,lg 2] )

解析:选 C 因为 f(x2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故 0≤x2≤1,所以 1≤x2 +1≤2.因为 f(x2+1)与 f(lg x)是同一个对应法则,所以 1≤lg x≤2,即 10≤x≤100,所以函 数 f(lg x)的定义域为[10,100]. 角度三:已知定义域确定参数问题 5.(2016· 合肥模拟)若函数 f(x)= ______________________. 解析:因为函数 f(x)的定义域为 R,所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立,即 2x2+ 2ax-a≥20,x2+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

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[方法归纳]
函数定义域的 2 种求法 方法 解读 适合题型 已知函数的具体表达式,求 f(x)的定义域 已知 f(x)的定义域,求 f(g(x)) 的定义域 已知 f(g(x))的定义域,求 f(x) 的定义域

直接法

构造使解析式有意义的不等式(组)求解. 若 y = f(x) 的定义 域为 (a , b) ,则 解不等式

转移法

a<g(x)<b 即可求出 y=f(g(x))的定义域 若 y= f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x) 在(a,b)上的值域即得 f(x)的定义域

考点二

求函数的解析式

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
1 1 x+ ?=x2+ 2,求 f(x)的解析式; (1)已知 f ? ? x? x 2 ? (2)已知 f ? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x); 1? (4)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f? ?x?· x-1,求 f(x). 1 ? 2 1 ? 1? 2 解:(1)由于 f? ?x+x?=x +x2=?x+x? -2, 所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2. 2 2 2 (2)令x+1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg ,x>1. x-1 (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

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即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
? ?2a+b=b+1, 1 所以? 解得 a=b= . 2 ?a+b=1, ?

1 1 所以 f(x)= x2+ x,x∈R. 2 2 1? (4)在 f(x)=2f ? ?x? x-1 中, 1? 1 1 用x代替 x,得 f ? ?x?=2f(x) x-1, 1? 2f?x? ?1? 将f ? ?x?= x -1 代入 f(x)=2f ?x? x-1 中, 可求得 f(x)= 2 1 x+ . 3 3

[由题悟法]

[即时应用]
1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 解:法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2,t≥1,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1,x≥1. 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1, x+1≥1, 即 f(x)=x2-1,x≥1.

2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

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则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,解得 c=1.故 f(x)=x2+2x+1.

考点三

分段函数

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
? ?log3x,x>0, 1.已知 f(x)=? x 且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( ?a +b,x≤0, ?

)

A.-2 C.3 解得 b=1.

B.2 D.-3

解析:选 B 由题意得 f(0)=a0+b=1+b=2, 1 - - f(-1)=a 1+b=a 1+1=3,解得 a= . 2 1?-3 故 f(-3)=? ?2? +1=9, 从而 f(f(-3))=f(9)=log39=2.
? ?3x-1,x<1, 2. (2015· 山东高考)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 的取值范围是 ?2 , x≥1, ?

(

) 2 ? A.? ?3,1? 2 ? C.? ?3,+∞? B.[0,1] D.[1,+∞)

解析:选 C 由 f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1. 2 2 当 a<1 时,有 3a-1≥1,∴a≥ ,∴ ≤a<1. 3 3 当 a≥1 时,有 2a≥1,∴a≥0,∴a≥1. 2 综上,a≥ ,故选 C. 3

[由题悟法]
分段函数 2 种题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. [提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.

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[即时应用]
? ?2x+1,x≥0, 1.已知函数 f(x)=? 2 且 f(x0)=3,则实数 x0 的值为 ?3x ,x<0, ?

A.-1 C.-1 或 1

B.1 D.-1 或- 1 3

解析:选 C 由条件可知,当 x0≥0 时,f(x0)=2x0+1=3,所以 x0=1;当 x0<0 时,f(x0)
2 =3x0 =3,所以 x0=-1,所以实数 x0 的值为-1 或 1.

1 ? ?2x+1,x≤0, 2.已知 f(x)=? 使 f(x)≥-1 成立的 x 的取值范围是________. 2 ? ?-?x-1? ,x>0, x≤0, ? ? ? ?x>0, 解析:由题意知?1 或? 2 ?-?x-1? ≥-1, ? ?2x+1≥-1 ? 解得-4≤x≤0 或 0<x≤2,故 x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

1.函数 f(x)= x+3+log2(6-x)的定义域是( A.(6,+∞) C.(-3,+∞) B.(-3,6) D.[-3,6)

? ?x+3≥0, 解析:选 D 要使函数有意义应满足? ? ?6-x>0,

解得-3≤x<6. 1 ? 2.已知 f ? ?2x-1?=2x-5,且 f(a)=6,则 a 等于( A.- 4 C. 3 7 4 7 B. 4 D.- 4 3 )

1 解析:选 B 令 t= x-1,则 x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,则 4a-1=6,解得 2

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7 a= . 4

3.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( A.g(x)=2x -3x C.g(x)=3x +2x
2 2

)

B.g(x)=3x -2x D.g(x)=-3x2-2x

2

解析:选 B 设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点, a+b+c=1, ? ? ∴?a-b+c=5, ? ?c=0, ∴g(x)=3x2-2x.
? ??a-1?x+1,x≤1, 1 4.已知函数 f(x)=? x-1 若 f(1)= ,则 f(3)=________. 2 ?a ,x>1, ?

a=3, ? ? 解得?b=-2, ? ?c=0,

1 1 解析:由 f(1)= ,可得 a= , 2 2 1?2 1 所以 f(3)=? ?2? =4. 答案: 1 4

?x2+2ax,x≥2, ? 5.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ?2 +1,x<2, ?

解析:由题意知 f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a, 若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2, 即 a2-2a-3<0, 解得-1<a<3. 答案:(-1,3) ? 二保高考,全练题型做到高考达标

10+9x-x2 1.函数 f(x)= 的定义域为( lg?x-1? A.[1,10] C.(1,10]

)

B.[1,2)∪(2,10] D.(1,2)∪(2,10] 10+9x-x ≥0, ? ? 要 使 函 数 f(x) 有 意 义 , 则 x 须 满 足 ?x-1>0, ? ?lg?x-1?≠0,
2

解析:选 D



?x+1??x-10?≤0,① ? ? ?x>1, ? ?x≠2,

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解①得,-1≤x≤10. 所以函数 f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10].
2 ? ?sin?πx ?,-1<x<0, ? 2.(2016· 武汉调考)函数 f(x)= x-1 满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可 ?e ,x≥0 ?

能值为(

) 2 2 B.- 2 2 2 2

A.1 或- C.1

D.1 或


解析:选 A 因为 f(1)=e1 1=1 且 f(1)+f(a)=2, 所以 f(a)=1, 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2)=1, ∵0<a2<1,∴0<πa2<π, π 2 ∴πa2= ?a=- ; 2 2 当 a≥0 时,f(a)=ea 1=1?a=1.


3.(2016· 福建四地六校联考)若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(1) =( ) A.2 C.1 B.0 D.-1

解析:选 A 令 x=1,得 2f(1)-f(-1)=4,① 令 x=-1,得 2f(-1)-f(1)=-2, 联立①②得 f(1)=2. 4 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) = ②

? x,x<a, ?c ? a,x≥a,
A.75,25 C.60,25

c

(a,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 a 件产品用

时 15 分钟,那么 c 和 a 的值分别是(

) B.75,16 D.60,16

解析:选 D 因为组装第 a 件产品用时 15 分钟, 所以 c =15,① a

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所以必有 4<a,且

c c = =30.② 4 2

联立①②解得 c=60,a=16. 1? 5. 已知具有性质: f ? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x,0<x<1, ? ? 1 1 0,x=1, ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x ?-1 ? x,x>1. 其中满足“倒负”变换的函数是( A.①② C.②③ 解析:选 B ) B.①③ D.① 1? 1 1 ?1? 1 对于①,f(x)=x- ,f ? ?x?=x-x=-f(x),满足;对于②,f ?x?=x+x x 1 1 x,0<x<1,

? ? 1 ?= 0,1=1, =f(x),不满足;对于③,f ? ?x? ? x ? >1, ?-x,1 x
-f(x),满足.

?x,x>1, 1? ? ? 即 f ?x?=?0,x=1, ? ?-x,0<x<1,

1

1? 故f ? ?x?=

综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.

?x2,x∈[0,+∞?, 6.已知 f(x)=? π ? ?|sin x|,x∈? ?- 2,0?,

1

1 若 f(a)= ,则 a=________. 2

1 1 1 1 解析:若 a≥0,由 f(a)= 得,a = ,解得 a= ; 2 2 2 4 π 1 π - ,0?,解得 a=- . 若 a<0,则|sin a|= ,a∈? 2 ? ? 2 6 1 π 综上可知,a= 或- . 4 6 1 π 答案: 或- 4 6 7.已知函数 y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数 y=f(x)的定义域为________. 解析:∵y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3], ∴x∈[- 3, 3 ],x2-1∈[-1,2], ∴y=f(x)的定义域为[-1,2]. 答案:[-1,2] 8.已知函数 f(x)=2x+1 与函数 y=g(x)的图象关于直线 x=2 成轴对称图形,则函数 y =g(x)的解析式为________.

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解析:设点 M(x,y)为函数 y=g(x)图象上的任意一点,点 M′(x′,y′)是点 M 关于直
?x′=4-x, ? 线 x=2 的对称点,则? ? ?y′=y.

又 y′=2x′+1, ∴y=2(4-x)+1=9-2x, 即 g(x)=9-2x. 答案:g(x)=9-2x 1 ? ?1 ? ?1? ?2? 9.已知函数 f(x)满足对任意的 x∈R 都有 f ? ?2+x?+f ?2-x?=2 成立,则 f ?8?+f ?8? 7? +?+f ? ?8?=________. 1 ? ?1 ? 解析:由 f ? ?2+x?+f ?2-x?=2, 1? ?7? 得f ? ?8?+f ?8?=2, 2? ?6? f ? ?8?+f ?8?=2, 3? ?5? f ? ?8?+f ?8?=2, 4? 1? ?4? ?4??=1×2=1, 又f ? = f + f ?8? 2? ?8? ?8?? 2 1? ?2? ?7? ∴f ? ?8?+f ?8?+?+f ?8?=2×3+1=7. 答案:7
? ?ax+b,x<0, 10.设函数 f(x)=? x 且 f(-2)=3,f(-1)=f(1). ?2 ,x≥0, ?

(1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图象.

解:(1)由 f(-2)=3,f(-1)=f(1)得
? ?-2a+b=3, ? 解得 a=-1,b=1, ?-a+b=2, ? ?-x+1,x<0, ? 所以 f(x)=? x ? ?2 ,x≥0.

(2)f(x)的图象如图:

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?

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

??1-2a?x+3a,x<1, ? 1.(2016· 唐山期末)已知 f(x)=? 的值域为 R,那么 a 的取值范围 ? ?ln x,x≥1

是(

) A.(-∞,-1] 1? C.? ?-1,2? 1? B.? ?-1,2? 1? D.? ?0,2?

解析:选 C 要使函数 f(x)的值域为 R,
? ?1-2a>0, 需使? ?ln 1≤1-2a+3a, ?

1 ? ?a<2, ∴? ?a≥-1, ? 1 ∴-1≤a< . 2 1? 即 a 的取值范围是? ?-1,2?. 2.(2015· 北京二模)已知 f 是有序数对集合 M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映射,正 整数数对(x,y)在映射 f 下的象为实数 z,记作 f(x,y)=z.对于任意的正整数 m,n(m>n),映 射 f 由下表给出: (x,y) f(x,y) (n,n) n (m,n) m-n (n,m) m+n

则 f(3,5)=________,使不等式 f(2x,x)≤4 成立的 x 的集合是________. 解析:由表可知 f(3,5)=5+3=8. ∵?x∈N*,都有 2x>x,∴f(2x,x)=2x-x, 则 f(2x,x)≤4?2x-x≤4(x∈N*)?2x≤x+4(x∈N*), 当 x=1 时,2x=2,x+4=5,2x≤x+4 成立;

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当 x=2 时,2x=4,x+4=6,2x≤x+4 成立; 当 x≥3(x∈N*)时,2x>x+4. 故满足条件的 x 的集合是{1,2}. 答案:8 {1,2} 3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距 离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车 的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关系: y= x2 +mx 200

+n(m,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时) 的关系图. (1)求出 y 关于 x 的函数表达式; (2)如果要求刹车距离不超过 25.2 米,求行驶的最大速度.

解:(1)由题意及函数图象,得

? ? 60 ?200+60m+n=18.6,
2

402 +40m+n=8.4, 200

解得 m= 所以 y= (2)令

1 ,n=0, 100

x2 x + (x≥0). 200 100

x2 x + ≤25.2, 200 100

得-72≤x≤70. ∵x≥0,∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是 70 千米/时.

第二节

函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 定义 自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函

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说函数 f(x)在区间 D 上是增函数

数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 (3)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值 自左向右看图象是下降的

[小题体验]
1.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)
3

B.y=x

C.y=ln x 答案:B

D.y=|x|

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( 1 A.k> 2 C.k>- 答案:D 3.(教材习题改编)已知函数 f(x)= 答案:2 1 2 1 B.k< 2 1 D.k<- 2

)

2 (x∈[2,6]),则函数的最大值为________. x-1

1.易混淆两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具 备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. 2.若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成并集.例 如,函数 f(x)在区间(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不一定 1 是减函数,如函数 f(x)=x.

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3.两函数 f(x),g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x?

[小题纠偏]
1.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增 答案:C ) B.递增函数 D.先递增再递减

2. 设定义在[-1,7]上的函数 y=f(x)的图象如图所示, 则函数 y=f(x)的增区间为________.

答案:[-1,1],[5,7]

考点一

函数单调性的判断

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x C.f(x)=- 1 x+1 B.f(x)=x2-3x D.f(x)=-|x| )

解析:选 C 当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 3? 2 当 x∈? ?0,2?时,f(x)=x -3x 为减函数, 3 2 ? 当 x∈? ?2,+∞?时,f(x)=x -3x 为增函数; 1 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 为增函数; x+1 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数. 2.讨论函数 f(x)= ax (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x -1
2

解:法一(定义法): 设-1<x1<x2<1,

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则 f(x1)-f(x2)=

ax1 ax2 - 2 x2 - 1 x 1 2-1

2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 = 2 ?x2 1-1??x2-1?

a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 ?x2 1-1??x2-1? ∵-1<x1<x2<1,a>0,
2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x2 1-1)(x2-1)>0.

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. 法二(导数法): f′(x)= a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? = 2 . ?x2-1?2 ?x -1?2

又 a>0, 所以 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

[谨记通法]
判断或证明函数的单调性的 2 种重要方法及其步骤 (1)定义法,其基本步骤: 取值 作差?商? 变形 确定符号 ?与1的大小? 得出 结论

(2)导数法,其基本步骤: 求导函数 确定符号 得出结论 ?重点保分型考点——师生共研?

考点二

求函数的单调区间

[典例引领]
求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=log 1 (x2-3x+2).
2

?-x2+2x+1,x≥0, ? 解:(1)由于 y=? 2 ? ?-x -2x+1,x<0, ?-?x-1?2+2,x≥0, ? 即 y=? 2 ? ?-?x+1? +2,x<0.

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和 [1,+∞).

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(2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x2-3x+2 的复合函数. 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y=log 1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2 2

3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 ∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而 y=log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数,
2

∴y=log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
2

[由题悟法]
确定函数的单调区间的 3 种方法

[提醒]

单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分

别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

[即时应用]
1.若将[典例引领](1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何? 解:函数 y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.

由图象可知,函数 y=|-x2+2x+1|的单调递增区间为(1- 2,1)和(1+ 2,+∞);单 调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1+ 2). 1? 2 2.函数 y=? ?3?2x -3x+1 的单调递增区间为( A.(1,+∞) 1 ? C.? ?2,+∞? 3? B.? ?-∞,4? 3 ? D.? ?4,+∞? )

3? 2 1 解析:选 B 令 u=2x2-3x+1=2? ?x-4? -8.

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3?2 1 ? 3? ?1?u 因为 u=2? ?x-4? -8在?-∞,4?上单调递减,函数 y=?3? 在 R 上单调递减. 1? 2 3? ? 所以 y=? ?3?2x -3x+1 在?-∞,4?上单调递增.

考点三

函数单调性的应用

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某 一问中. 常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)利用单调性求参数的取值范围或值.

[题点全练]
角度一:求函数的值域或最值 1 ? ?x,x≥1, 1.函数 f(x)=? 的最大值为________. 2 ? ?-x +2,x<1 1 解析:当 x≥1 时,函数 f(x)=x为减函数,所以 f(x)在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1; 当 x<1 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 答案:2 角度二:比较两个函数值或两个自变量的大小 2.(2016· 哈尔滨联考)已知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)- 1? f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a=f ? ?-2?,b=f(2),c=f(e),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

1? ?5? 解析: 选 D 因 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 由此可得 f ? ?-2?=f ?2?.由 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,知 f(x)在(1,+∞)上单调递减. 5? 5 ∵1<2< <e,∴f(2)>f ? ?2?>f(e), 2 ∴b>a>c. 角度三:解函数不等式 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x

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-8)≤2 时,x 的取值范围是( A.(8,+∞) C.[8,9]

) B.(8,9] D.(0,8)

解析:选 B 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9),因 x>0, ? ? 为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?x-8>0, ? ?x?x-8?≤9, 解得 8<x≤9. 角度四:利用单调性求参数的取值范围或值 4.如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围 是( ) 1 ? A.? ?-4,+∞? 1 ? C.? ?-4,0? 1 ? B.? ?-4,+∞? 1 ? D.? ?-4,0?

解析:选 D 当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上 单调递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=-a, 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0, 且- ≥4,解得- ≤a<0. a 4 1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是? ?-4,0?.
??a-2?x-1,x≤1, ? 5.已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a ? ?logax,x>1,

的取值范围为________. 解析:要使函数 f(x)在 R 上单调递增, a>1, ? ? 则有?a-2>0, ? ?f?1?≤0, 解得 2<a≤3, 即实数 a 的取值范围是(2,3]. 答案:(2,3] a>1, ? ? 即?a>2, ? ?a-2-1≤0,

[方法归纳]
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

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(1)求函数值域或最值.常用方法有:单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元 法. (2)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数 的单调性解决. (3)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将 “f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (4)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单 调区间,与已知单调区间比较求参数. [提醒] ①若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;

②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

1.(2016· 珠海摸底)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=2
-x

B.y=x 1 D.y=- x
-x

C.y=log2 x 解析: 选 B 由题知, 只有 y=2

与 y=x 的定义域为 R, 且只有 y=x 在 R 上是增函数. ) B.[-1,0] D.[2,+∞)

2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2] 解析:选 A

2 ? ?x -2x,x≥2, ? 由于 f(x)=|x-2|x= 2 ?-x +2x,x<2. ?

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 3.(2016· 长春市质量检测)已知函数 f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则 a 的取 值范围是( ) B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

A.(-∞,1] C.[-1,+∞)

解析:选 A 因为函数 f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,解得 a≤1. 4.函数 f(x)= 1 1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1

解析:易知 f(x)在[a,b]上为减函数,

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f?a?=1, ?a-1=1, ? ? ∴? 即? 1 1 1 ? ?f?b?=3, = , 3 ? b-1 ∴a+b=6. 答案:6

1

? ?a=2, ∴? ?b=4. ?

5 .已知函数 f(x) = x2 - 2ax - 3 在区间 [1,2] 上具有单调性,则实数 a 的取值范围为 ________________. 解析:函数 f(x)=x2-2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a, 画出草图如图所示. 由图象可知,函数在(-∞,a]和[a,+∞)上都具有单调性,因此要使 函数 f(x)在区间[1,2]上具有单调性,只需 a≤1 或 a≥2,从而 a∈(-∞,1] ∪[2,+∞). 答案:(-∞,1]∪[2,+∞) ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1 1 + 1.给定函数:①y=x ;②y=log (x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1.其中在区间(0,1)上单 2 2 调递减的函数序号是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 B ①是幂函数,在(0,+∞)上为增函数,故此项不符合要求;②中的函数图 1 1 象是由 y=log x 的图象向左平移 1 个单位得到的,函数 y=log x 是(0,+∞)上的减函数, 2 2 1 所以函数 y=log (x+1)是(-1,+∞)上的减函数,故此项符合要求;③中的函数在(-∞, 2 1)上为减函数,(1,+∞)上为增函数,符合要求;④中的函数在 R 上为增函数,不符合要求. 2.已知函数 f(x)= x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( A.(-∞,1] C.(-∞,-1]
2

)

B.[3,+∞) D.[1,+∞)

解析:选 B 设 t=x -2x-3,由 t≥0, 即 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3. 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 因为函数 t=x2-2x-3 的图象的对称轴为 x=1,所以函数 t 在(-∞,-1]上单调递减, 在[3,+∞)上单调递增. 所以函数 f(x)的单调递增区间为[3,+∞).

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3.(2016· 安徽师大附中第二次月考)函数 f(x)= A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数

x 在( 1-x

)

解析:选 C 函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)=

x 1 1 = -1,根据函数 y=-x的 1-x 1-x

单调性及有关性质,可知 f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数. 4.定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x -(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 ) B.1 D.12

解析:选 C 由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6.
? ??3a-1?x+4a,x<1, 5.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?logax,x≥1 ?

(

) A.(0,1) 1 1? C.? ?7,3? 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?7,1?

解析:选 C 当 x=1 时,loga1=0,若 f(x)为 R 上的减函数,则(3a-1)x+4a>0 在 x<1 时恒成立, 令 g(x)=(3a-1)x+4a,则必有
?3a-1<0, ?3a-1<0, ? ? 1 1 ? 即? ? ≤a< . 7 3 ?g?1?≥0, ? ? ?3a-1+4a≥0

此时,logax 是减函数,符合题意. 6.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 1? 2 1 1 1 解析:令 t= x,则 t≥0,所以 y=t-t2=-? ?t-2? +4,结合图象知,当 t=2,即 x=4 1 时,ymax= . 4 答案: 1 4

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7.已知函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,若 f(a2-a)>f(a+3),则实数 a 的取值范围为 ________. a -a>0, ? ? 解析:由已知可得?a+3>0, ? ?a2-a>a+3, 3,-1)∪(3,+∞). 答案:(-3,-1)∪(3,+∞) 1,x>0, ? ? 8.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0,
2 2

解得-3<a<-1 或 a>3.所以实数 a 的取值范围为(-

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________.

x ,x>1, ? ? 解析:由题意知 g(x)=?0,x=1, ? ?-x2,x<1. 函数图象如图所示,其递减区间是[0,1). 答案:[0,1) 1 1 9.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 ? 1 ,2 上的值域是? ,2?,求 a 的值. (2)若 f(x)在 ? ?2 ? ?2 ? 解:(1)证明:任取 x1>x2>0, 1 1 1 1 x1-x2 则 f(x1)-f(x2)=a- -a+ = , x1 x2 x1x2 ∵x1>x2>0, ∴x1-x2>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 ? (2)由(1)可知 f(x)在? ?2,2?上为增函数, 1? 1 1 1 1 ∴f ? ?2?=a-2=2,f(2)=a-2=2, 2 解得 a= . 5 10.已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增;

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(2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1].

?

三上台阶,自主选做志在冲刺名校 f?x? 在区间 I 上是 x

1.(2015· 浦东一模)如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,且函数 y=

减函数,那么称函数 y=f(x)是区间 I 上的“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”.若函数 1 3 f(x)= x2-x+ 是区间 I 上的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为( 2 2 A.[1,+∞) C.[0,1] B.[0, 3 ] D.[1, 3 ] )

1 3 解析:选 D 因为函数 f(x)= x2-x+ 的对称轴为 x=1,所以函数 y=f(x)在区间[1,+ 2 2 f?x? 1 3 1 3 1 ∞)上是增函数,又当 x≥1 时, = x-1+ ,令 g(x)= x-1+ (x≥1),则 g′(x)= - x 2 2x 2 2x 2
2 f?x? 1 3 x -3 3 ,由 g′(x)≤0 得 1≤x≤ 3,即函数 = x-1+ 在区间[1, 3]上单调递减, 2= x 2x 2x2 2 2x

故“缓增区间”I 为[1, 3 ]. x1? 2. 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f ? ?x2?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 解:(1)令 x1=x2>0,

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代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0, 故 f(1)=0. (2)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2, x1 则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1? 所以 f ? ?x2?<0,即 f(x1)-f(x2)<0, 因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? 由f ? ?x2?=f(x1)-f(x2)得, 9? f ? ?3?=f(9)-f(3), 而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

第三节

函数的奇偶性及周期性

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=- f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+ T)=f(x),那么就称函数 f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

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[小题体验]
1.(2015· 北京高考)下列函数中为偶函数的是( A.y=x sin x C.y=|ln x| 答案:B 2.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(8)-f(14)=________. 答案:-1 3.(教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 答案:x(1-x)
2 2
-x

)

B.y=x cos x D.y=2

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x)或 f(-x) =f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)或 f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在 整个定义域上的奇偶性.

[小题纠偏]
1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 C. 2 1 3 1 B. 3 D.- 1 2 )

解析:选 B ∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a= .又 f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3 2 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ∈ [ - 1,1) 时 , f(x) =
?-4x2+2,-1≤x<0, ? ? 则f ?x, 0≤x<1, ?

?3?=________. ?2?

3? ?-1?=-4×?-1?2+2=1. 解析:由题意得,f ? = f ?2? ? 2? ? 2? 答案:1

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考点一

函数奇偶性的判断

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x;


(4)(易错题)f(x)=

4-x2 ; |x+3|-3

2 ? ?x +x,x>0, (5)(易错题)f(x)=? 2 ?x -x,x<0. ? 2 ? ?x -1≥0, 解:(1)∵由? 得 x=± 1, 2 ?1-x ≥0, ?

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
?3? (2)∵函数 f(x)= 3-2x+ 2x-3的定义域为?2?, ? ?

不关于坐标原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(-x)=3 x-3x=-(3x-3 x)=-f(x),
- -

所以 f(x)为奇函数.
?4-x2≥0, ? (4)∵由? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ?|x+3|-3≠0,

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], ∴f(x)= 4-x2 4-x2 4-x2 = = x , |x+3|-3 ?x+3?-3

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时, f(x)=x2+x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x);

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当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.

[谨记通法]
判定函数奇偶性的 3 种常用方法 (1)定义法:

(2)图象法:

(3)性质法: ①设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”. [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有对各段上的 x 都满 足相同的关系时,才能判断其奇偶性.如“题组练透”第(5)题.

考点二

函数的周期性

?题点多变型考点——纵引横联?

[典型母题]
设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x) =2x-x2. (1)求函数的最小正周期; (2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015). [解] (1)∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的最小正周期为 4. (2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数,

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∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)=0.

[类题通法]
1.判断函数周期性的 2 个方法 (1)定义法. (2)图象法. 2.周期性 3 个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; f?x?

1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x?

[越变越明]
[变式 1] 若母题中条件变为“f(x+2)=- 解:∵对任意 x∈R,都有 f(x+2)=- ∴f(x+4)=f(x+2+2)=- 1 ”,求函数 f(x)的最小正周期. f?x?

1 , f?x?

1 1 =- =f(x), 1 f?x+2? - f?x?

∴f(x)的最小正周期为 4. [变式 2] 若母题条件改为:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1

时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.求 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)的值. 解:∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0) =0, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)

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=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1+2-1+0-1=1. ∴f(1)+f(2)+?+f(2 015)=335+1=336. [变式 3] 在母题条件下,求 f(x)(x∈[2,4])的解析式. 解:当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 故 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. [破译玄机] 利用函数的周期性,求函数的解析式,应把问题转化为已知区间上的相应问题,即把区 间[2,4]转化为[-2,0]上.

考点三

函数性质的综合应用

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起 命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性 求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现. 常见的命题角度有: (1)奇偶性的应用; (2)单调性与奇偶性结合; (3)周期性与奇偶性结合; (4)单调性、奇偶性与周期性结合.

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[题点全练]
角度一:奇偶性的应用 1. 已知 f(x)是 R 上的偶函数, 且当 x>0 时, f(x)=x2-x-1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 解析:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴当 x<0 时,-x>0. 由已知 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=f(x), ∴f(x)=x2+x-1. 答案:x2+x-1 2.设函数 f(x)= ?x+1??x+a? 为奇函数,则 a=________. x

?x+1??x+a? 解析:∵f(x)= 为奇函数, x ∴f(1)+f(-1)=0, ?1+1??1+a? ?-1+1??-1+a? 即 + =0,∴a=-1. 1 -1 答案:-1 角度二:单调性与奇偶性结合 3.(2015· 昆明统考)下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的 函数是( ) B.f(x)=2|x| D.f(x)=sin x

A.f(x)=x2 1 C.f(x)=log2 |x|

解析:选 C 函数 f(x)=x2 是偶函数,但在区间(-∞,0)上单调递减,不合题意;函数 1 f(x)=2|x|是偶函数,但在区间(-∞,0)上单调递减,不合题意;函数 f(x)=log2 是偶函数, |x| 且在区间(-∞,0)上单调递增,符合题意;函数 f(x)=sin x 是奇函数,不合题意. 4. (2015· 刑台摸底考试)已知定义在(-1,1)上的奇函数 f(x), 其导函数为 f′(x)=1+cos x, 如果 f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数 a 的取值范围为( A.(0,1) C.(-2,- 2) )

B.(1, 2) D.(1, 2)∪(- 2,-1)

解析:选 B 依题意得,f′(x)>0,则 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数、增函数.不等式 f(1- a)+ f(1-a2)<0 等价于 f(1-a2)<-f(1-a)= f(a-1),则-1<1-a2<a- 1<1,由此解得 1<a< 2.

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角度三:周期性与奇偶性结合 5.已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= 的取值范围为( A.(-1,4) C.(-1,0) ) B.(-2,0) D.(-1,2) 2a-3 ,则实数 a a+ 1

解:选 A ∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),∵f(1)<1,f(5)= -1<a<4. 角度四:单调性、奇偶性与周期性结合 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 解析:选 D 因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x-8)=f(x),所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80) =f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在 R 上是奇函数, 所以 f(x)在区间[-2,2]上是增函数, 所以 f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11). ) 2a-3 2a-3 a-4 ,∴ <1,即 <0,解得 a+1 a+1 a+1

[方法归纳]
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的 对称性. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区 间,然后利用奇偶性和单调性求解.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

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1.(2015· 福建高考)下列函数为奇函数的是( A.y= x C.y=cos x B.y=ex

)

D.y=ex-e

-x

解析:选 D 对于 A,定义域不关于原点对称,故不符合要求;对于 B,f(-x)≠-f(x), 故不符合要求;对于 C,满足 f(-x)=f(x),故不符合要求;对于 D,∵f(-x)=e x-ex=-


(ex-e x)=-f(x),∴y=ex-e


-x

为奇函数,故选 D. )

2.已知 f(x)=3ax +bx-5a+b 是偶函数,且其定义域为[6a-1,a],则 a+b=( 1 A. 7 C.1 B.-1 D.7

2

1 解析:选 A 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 6a-1+a=0,所以 a= .又 f(x) 7 1 为偶函数,所以 3a(-x)2-bx-5a+b=3ax2+bx-5a+b,解得 b=0,所以 a+b= . 7 3.(2015· 石家庄一模)设函数 f(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则 f(- 2) =( ) A.- C.2 1 2 1 B. 2 D.-2

1 解析:选 B 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(- 2)=f( 2)=log2 2= . 2 4.函数 f(x)=lg|sin x|是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 解析:选 C ∵f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|sin x|, ∴函数 f(x)为偶函数. ∵f(x+π)=lg|sin(x+π)|=lg|sin x|, ∴函数 f(x)的周期为 π. 5.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. )

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答案:- -x-1 ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

1. 下列函数中, 与函数 y=-3|x|的奇偶性相同, 且在(-∞, 0)上单调性也相同的是( A.y=- 1 x B.y=log2|x| D.y=x3-1

C.y=1-x2

解析: 选 C 函数 y=-3|x|为偶函数, 在(-∞, 0)上为增函数, 选项 A 的函数为奇函数, 不符合要求;选项 B 的函数是偶函数,但其单调性不符合;选项 D 的函数为非奇非偶函数, 不符合要求;只有选项 C 符合要求. 2.已知 f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)· g(x),则 “f(x),g(x)均为偶函数” 是“h(x)为偶函数”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 一方面,若 f(x),g(x)均为偶函数,则 f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),因此, h(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=h(x), ∴h(x)是偶函数; 另一方面, 若 h(x)是偶函数, 但 f(x), g(x)不一定均为偶函数,事实上,若 f(x),g(x)均为奇函数,h(x)也是偶函数,因此,“f(x), g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件. 3.(2016· 广东省阳东一中、广雅中学高三联考)已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的 奇函数,若对于任意的实数 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时 f(x)=log2(x+1),则 f(-2 013)+f(2 014)的值为( A.-1 C.2 ) B.-2 D.1

解析: 选 A 因为 f(x)是奇函数, 且周期为 2, 所以 f(-2 013)+f(2 014)=-f(2 013)+f(2 014)=-f(1)+f(0).又当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),所以 f(-2 013)+f(2 014)=-1+0= -1. 4.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-2)=-f(x),且在[0,1]上是增函数,则有( 1? ? 1? ?3? A.f ? ?4?<f ?-4?<f ?2? 1? ?1? ?3? B.f ? ?-4?<f ?4?<f ?2? 1? ?3? ? 1? C.f ? ?4?<f ?2?<f ?-4? 1? ?3? ?1? D.f ? ?-4?<f ?2?<f ?4? 解析:选 B 由题设知 f(x)=-f(x-2)=f(2-x),所以函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 )

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称. 又函数 f(x)是奇函数,其图象关于坐标原点对称, 由于函数 f(x)在[0,1]上是增函数,故 f(x)在[-1,0]上也是增函数, 综上函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数. 3? ? 3? ?1? 又f ? ?2?=f ?2-2?=f ?2?, 1? ?1? ?1? ?3? 所以 f ? ?-4?<f ?4?<f ?2?=f ?2?. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是( ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

解析:选 C ∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x.作 出函数 f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知 f(x)是 R 上的 增函数,由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a,解得-2<a<1. 1? 6.定义在 R 上的奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f ? ?2?=0,则满足 f(x)>0 的 x 的 集合为________. 1? 解析:由奇函数 y=f(x)在(0,+∞)上递增,且 f ? ?2?=0,得函数 y=f(x)在(-∞,0)上 1? 递增,且 f ? ?-2?=0, 1 1 ∴f(x)>0 时,x> 或- <x<0. 2 2 即满足 f(x)>0 的 x 的集合为
? ? 1 1 ? ?x - <x<0或x> ?. 2 2 ? ? ? ? 1 1 ? - <x<0或x> ? 答案:?x? 2 ? 2 ? ?

1? x 7.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 1?x 解析:在 f(x)-g(x)=? ?2? 中,用-x 替换 x, 得 f(-x)-g(-x)=2x, 由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

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因此得-f(x)-g(x)=2x. 联立方程组解得 f(x)= 2 x-2x 2 x+2x ,g(x)=- , 2 2
- -

3 5 于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- , 4 4 故 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 8.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2); 1? ?3? ?5? ③当 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则 f ? ?2?+f(1)+f ?2?+f(2)+f ?2?=________. 解析:依题意知:函数 f(x)为奇函数且周期为 2, 1? ?3? ?5? ∴f ? ?2?+f(1)+f ?2?+f(2)+f ?2? 1? ? 1? ?1? =f ? ?2?+f(1)+f ?-2?+f(0)+f ?2? 1? ?1? ?1? =f ? ?2?+f(1)-f ?2?+f(0)+f ?2? 1? =f ? ?2?+f(1)+f(0) 1 =2 -1+21-1+20-1 2 = 2. 答案: 2 9.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 从而可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

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设当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4. -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图象(如图所示)知? ? ?a-2≤1,
2

是奇函数.

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

?

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.(2016· 河南模拟)已知函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),函
3 ? ?x ,x≤0, ? 数 f(x)= 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是( ?g?x?,x>0, ?

)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(1,2) 解析:选 D 设 x>0,则-x<0. ∵x<0 时,g(x)=-ln(1-x), ∴g(-x)=-ln(1+x).

B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-2,1)

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又∵g(x)是奇函数, ∴g(x)=ln(1+x)(x>0),
?x3,x≤0, ? ∴f(x)=? 其图象如图所示.由图象知,函数 f(x)在 R 上是增函数. ?ln?1+x?,x>0. ?

∵f(2-x2)>f(x),∴2-x2>x,即-2<x<1. 所以实数 x 的取值范围是(-2,1).

2. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2, 且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x, 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是(-15,1)∪(1,17).

第四节

函数的图象

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1.描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: (1)①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性). (2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点). (3)描点,连线.

2.图象变换 (1)平移变换 ①y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x-a)的图象; a<0,左移|a|个单位 ②y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x)+b 的图象. b<0,下移|b|个单位 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― →y=-f(x)的图象; ②y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― →y=f(-x)的图象; ③y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― →y=-f(-x)的图象; ④y=ax(a>0 且 a≠1)的图象― ― ― ― ― ― ― ― →y= logax(a>0 且 a≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y=f(x)的图象
关于直线y=x对称 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称 b>0,上移b个单位 a>0,右移a个单位

????????????? ? y=f(ax)的图象;
②y=f(x)的图象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=af(x)的图象. 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a,横坐标不变 (4)翻转变换 ①y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=|f(x)|的图象; x轴及上方部分不变 ②y=f(x)的图象― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|)的图象. 原y轴左侧部分去掉,右侧不变
y轴右侧部分翻折到左侧 x轴下方部分翻折到上方 a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变

1 a>1,横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变 a 1 0<a<1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 a

[小题体验]
1.(教材习题改编)甲、乙二人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到两地的中点再改

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为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达 B 地.已知甲骑车比乙骑车的 速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开 A 地的距离 s 与所用时间 t 的函数 关系用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是( )

A.甲是图①,乙是图② C.甲是图③,乙是图② 答案:B

B.甲是图①,乙是图④ D.甲是图③,乙是图④

2.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(

)

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 答案:C

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

3.(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1,4),则 a=________. 解析:∵f(x)=ax3-2x 的图象过点(-1,4), ∴4=a×(-1)3-2×(-1),解得 a=-2. 答案:-2

1.函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言,如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象 1 1 是向右平移 个单位,其中是把 x 变成 x- . 2 2 2.明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同,前者是 自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系.

[小题纠偏]
1.将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数________的图象. 答案:y=f(-x+1) 2.把函数 y=f(2x)的图象向右平移________个单位得到函数 y=f(2x-3)的图象. 答案: 3 2

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考点一

作函数的图象

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1.
? ?lg x,x≥1, 解:(1)y=? 图象如图 1. ?-lg x,0<x<1. ?

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图 2.

2 ? ?x -2x-1,x≥0, (3)y=? 2 图象如图 3. ?x +2x-1,x<0. ?

[谨记通法]
画函数图象的 2 种常用方法 (1)直接法: 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征 直接作出. (2)图象变换法: 若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换 作出,但要注意变换顺序.

考点二

识图与辨图

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
1.(2015· 安徽高考)函数 f(x)= 列结论成立的是( ) ax+b 的图象如图所示,则下 ?x+c?2

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0

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D.a<0,b<0,c<0 解析:选 C 函数定义域为{x|x≠-c}, 结合图象知-c>0,∴c<0. b 令 x=0,得 f(0)= 2,又由图象知 f(0)>0,∴b>0. c b b 令 f(x)=0,得 x=-a,结合图象知-a>0,∴a<0. 故选 C. 2.已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为( )

解析:选 B 法一:由 y=f(x)的图象知,
?x,0≤x≤1, ? f(x)=? ?1,1<x≤2. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
? ?1,0≤x≤1, 所以 f(2-x)=? ?2-x,1<x≤2, ? ? ?-1,0≤x≤1, 故 y=-f(2-x)=? ?x-2,1<x≤2. ?

法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各选项,可知应选 B.

[由题悟法]
识图 3 种常用的方法

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[即时应用]
1. (2015· 贵州七校一联)已知函数 f(x)的图象如图所示, 则 f(x)的解析 式可以是( )

ln|x| A.f(x)= x ex B.f(x)= x 1 C.f(x)= 2-1 x 1 D.f(x)=x-x 1 解析:选 A 由函数图象可知,函数 f(x)为奇函数,应排除 B,C.若函数为 f(x)=x-x, 则 x→+∞时,f(x)→+∞,排除 D,故选 A. 2.如图, 不规则四边形 ABCD 中: AB 和 CD 是线段, AD 和 BC 是圆弧, 直线 l⊥AB 交 AB 于 E,当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时,把四 边形 ABCD 分成两部分,设 AE=x,左侧部分的面积为 y,则 y 关于 x 的图 象大致是( )

解析:选 C 当 l 从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了 D 点后面积 保持匀速增加,图象呈直线变化,过了 C 点后面积的增加速度又逐渐减慢,故选 C. 3. 如图, 函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O, A, B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1), 1 则 f ? f ?3??的值等于________. ? ?

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解析:∵由图象知 f(3)=1, ∴ 1 1 =1.∴f?f?3??=f(1)=2. ? ? f?3?

答案:2

考点三

函数图象的应用

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 常见的命题角度有: (1)研究函数的性质; (2)确定方程根的个数; (3)求参数的值或取值范围; (4)求不等式的解集.

[题点全练]
角度一:研究函数的性质 1.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) 解析:选 C 将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=
?x2-2x,x≥0, ? ? 画出函数 f(x)的图象 ,如图 ,观察图象可知 ,函数 2 ? ?-x -2x,x<0,

)

f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数,且在 (-1,1)上单调递减. 角度二:确定方程根的个数
?|lg x|,x>0, ? 2.已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是________. ? 2 , x ≤ 0 , ?

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1 解析:方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1.作出 y=f(x)的图象,由图象知零点的 2 个数为 5.

答案:5 角度三:求参数的值或取值范围 3.(2015· 安徽高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 象只有一个交点,则 a 的值为________. 解析:函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示,因为直线 y=2a 与函数 y 1 =|x-a|-1 的图象只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=- . 2 1 答案:- 2 角度四:求不等式的解集 4.(2015· 北京高考)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解 集是( )

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析:选 C 令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)图象如图.
? ? ?x+y=2, ?x=1, 由? 得? ?y=log2?x+1?, ? ? ?y=1.

∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.

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[方法归纳]
函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质: ①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值. ②从图象的对称性,分析函数的奇偶性. ③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性. ④从图象与 x 轴的交点情况,分析函数的零点等. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数 图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解. (3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时, 常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

?x2,x<0, ? 1.函数 y=? x 的图象大致是( ? ?2 -1,x≥0

)

解析:选 B 当 x<0 时,函数的图象是抛物线;当 x≥0 时,只需把 y=2x 的图象在 y 轴 右侧的部分向下平移 1 个单位即可,故大致图象为 B. 2.(2016· 湖南岳阳一中月考)函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致是( )

解析: 选 A 由于函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是偶函数, 故其图象关于 y 轴对称. 当 x>0 时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是减函数;当 x<0 时,f(x)=loga|x|+1(0<a<1)是增函数.再由图 象过点(1,1),(-1,1),可知应选 A. 3.为了得到函数 y=2x 3-1 的图象,只需把函数 y=2x 的图象上所有的点(


)

A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

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B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 解析:选 A y=2x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=2x 3― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=2x 3-1.
- -

向右平移3个单位长度

向下平移1个单位长度

4.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)=log 是________. 解析:当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log
2f(x)有意义,

2f(x)的定义域

由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 时,x∈(2,8]. 答案:(2,8] 5.若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________.

解析:由题意 a=|x|+x
?2x,x≥0, ? 令 y=|x|+x=? 图象如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解, ? ?0,x<0,

则 a>0. 答案:(0,+∞) ? 二保高考,全练题型做到高考达标 x3 的图象大致是( 3 -1
x

1.(2016· 贵阳监测)函数 y=

)

x3 解析:选 C 由题意得,x≠0,排除 A;当 x<0 时,x3<0,3x-1<0,∴ x >0,排除 B; 3 -1 x3 又∵x→+∞时, x →0, 3 -1 ∴排除 D,故选 C. 1? 2.下列函数 f(x)图象中,满足 f ? ?4?>f(3)>f(2)的只可能是( )

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1? ?1? 解析:选 D 因为 f ? ?4?>f(3)>f(2),所以函数 f(x)有增有减,排除 A,B.在 C 中,f ?4? 1? <f(0)=1,f(3)>f(0),即 f ? ?4?<f(3),排除 C,选 D. 3.(2016· 洛阳统考)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴方程 是( ) A.x=-1 C.x= 1 2 B.x=- D.x=1 1 2

解析:选 C ∵f(2x+1)是偶函数,其图象关于 y 轴,即关于 x=0 对称,而 f(2x+1) 1 ? 1?? =f ? ?2?x+2??,∴f(2x)的图象可由 f(2x+1)的图象向右平移2个单位得到,即 f(2x)的图象的 1 对称轴方程是 x= . 2 f?x?-f?-x? 4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集为 x ( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

f?x?-f?-x? f?x? 解析:选 D 因为 f(x)为奇函数,所以不等式 <0 可化为 <0,即 xf(x)<0, x x f(x)的大致图象如图所示.所以 xf(x)<0 的解集为(-1,0)∪(0,1).

x ? ?2 -1,x≤0, ? 5.已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)= 若方程 f(x)=x+a 有两个不 ?f?x-1?,x>0, ?


同实根,则 a 的取值范围为( A.(-∞,1) C.(0,1)

) B.(-∞,1] D.(-∞,+∞)
-x

解析:选 A x≤0 时,f(x)=2 -1, 0<x≤1 时,-1<x-1≤0, f(x)=f(x-1)=2
-(x-1)

-1.

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故 x>0 时,f(x)是周期函数, 如图所示.

若方程 f(x)=x+a 有两个不同的实数根,则函数 f(x)的图象与直线 y=x+a 有两个不同 交点, 故 a<1,即 a 的取值范围是(-∞,1). x+1 6.函数 f(x)= x 的图象的对称中心为________. x+1 1 解析:因为 f(x)= x =1+x,故 f(x)的对称中心为(0,1). 答案:(0,1) 7.若函数 y=f(x+3)的图象经过点 P(1,4),则函数 y=f(x)的图象必经过点________. 解析:函数 y=f(x)的图象是由 y=f(x+3)的图象向右平移 3 个单位长度而得到的. 故 y=f(x)的图象经过点(4,4). 答案:(4,4) 8.设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实 数 a 的取值范围是________. 解析:如图作出函数 f(x)=|x+a|与 g(x)=x-1 的图象,观察图 象可知:当且仅当-a≤1,即 a≥-1 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立, 因此 a 的取值范围是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞) 9.已知函数 f(x)=
2 ? ?3-x ,x∈[-1,2], ? ?x-3,x∈?2,5]. ?

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知, 函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].

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(3)由图象知当 x=2 时,f(x)min=f(2)=-1, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=3. 10.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.
??x-2?2-1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ? 解:f(x)=? 2 ? ?-?x-2? +1,x∈?1,3?.

作出函数图象如图.

(1)由图象知函数的单调增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的单调减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象, 使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.对于函数 f(x)=lg(|x-2|+1),给出如下三个命题:①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间 (-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;③f(x)没有最小值.其中正确的个数为 ( ) A.1 C.3 B.2 D.0

解析:选 B 因为函数 f(x)=lg(|x-2|+1),所以函数 f(x+2)=lg(|x|+1) 是偶函数; 因 y=lg x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=lg(x+1)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=lg(|x|+1)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=lg(|x-2|+1),如图,可知 f(x)在(-∞,2)上是减函 数,在(2,+∞)上是增函数;由图 象可知函数存在最小值为 0. 所以①②正确. 1 2.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式;
图象向右平移2个单位长度 去掉y轴左侧的图象,以y轴为对称轴,作y轴右侧的对称图象 图象向左平移1个单位长度

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a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x 解:(1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x) 的图象上, 1 即 2-y=-x-x+2, 1 ∴y=f(x)=x+ (x≠0). x a+1 a (2)g(x)=f(x)+ =x+ , x x g′(x)=1- a+1 . x2

∵g(x)在(0,2]上为减函数, a+1 ∴1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成立, x 即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立, ∴a+1≥4,即 a≥3, 故实数 a 的取值范围是[3,+∞).

命题点一

函数的概念及其表示

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:中、低

?1- x,x≥0, 1.(2015· 陕西高考)设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=( ?2 ,x<0,
A.-1 1 C. 2 1 B. 4 3 D. 2

)

1 - 解析:选 C 因为-2<0,所以 f(-2)=2 2= >0, 4 1? 所以 f? ?4?=1- 1 1 1 =1- = . 4 2 2 1 的定义域为( ?log2x?2-1 B.(2,+∞) )

2.(2014· 山东高考)函数 f(x)= 1? A.? ?0,2?

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1? C.? ?0,2?∪(2,+∞) 解析:选 C

1? D.? ?0,2?∪[2,+∞)

1 (log2x)2-1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2 或 0<x< ,故所求的定 2

1? 义域是? ?0,2?∪(2,+∞). 3.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 解析: 选 C B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x 对于选项 A , f(2x) = |2x| = 2|x| = 2f(x) ;对于选项 B , f(x) = x - |x| = )

?0,x≥0, ? ? 当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x) ? ?2x,x<0,

=2f(x);对于选项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.
2 ? ?x +x,x<0, ? 4.(2014· 浙江高考)设函数 f(x)= 若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是 2 ?-x ,x≥0, ?

________.

解析:f(x)的图象如图,由图象知.满足 f(f(a))≤2 时,得 f(a)≥-2,而满足 f(a)≥-2 时,a≤ 2.

答案:(-∞, 2 ] 命题点二 难度:中 函数的基本性质 命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2015· 广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y= 1+x2 C.y=2x+ 1 2x 1 B.y=x+x D.y=x+ex

)

解析:选 D A 选项定义域为 R,由于 f(-x)= 1+?-x?2= 1+x2=f(x),所以是偶函 1 数.B 选项定义域为{x|x≠0},由于 f(-x)=-x-x=-f(x),所以是奇函数.C 选项定义域

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为 R,由于 f(-x)=2 x+


1 1 x - = x+2 =f(x),所以是偶函数.D 选项定义域为 R,由于 f(- 2 x 2

1 - x)=-x+e x= x-x,所以是非奇非偶函数. e 2.(2014· 湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x) =x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 C.1 ) B.-1 D.3

解析:选 C 用“-x”代替“x”,得 f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得 f(x)+ g(x)=-x3+x2+1,令 x=1,得 f(1)+g(1)=1,故选 C. 3.(2015· 湖南高考)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 )

? ?1+x>0, 解析:选 A 由? 得-1<x<1, ? ?1-x>0,

则函数的定义域为(-1,1). 又∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. f′(x)= 1 1 + ,当 x∈(0,1)时,f′(x)>0, 1+x 1-x

故 f(x)在(0,1)上为增函数. 4.(2014· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析:选 C f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故 f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数, 1 , 则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值 1+ x2 f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选 C. 5. (2015· 全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 范围是( ) 1? B.? ?-∞,3?∪(1,+∞) )

1 ? A.? ?3,1?

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1 1? C.? ?-3,3?

1? ?1 ? D.? ?-∞,-3?∪?3,+∞? 1 =f(x), 1+?-x?2

解析:选 A ∵f(-x)=ln(1+|-x|)- ∴函数 f(x)为偶函数. ∵当 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)-

1 , 1+x2

1 在 (0,+∞)上 y=ln(1+x)递增,y=- 也递增, 1+x2 根据单调性的性质知,f(x)在 (0,+∞)上单调递增. 1 综上可知:f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x-1)2?3x2-4x+1<0? 3 <x<1.故选 A. 6.(2014· 四川高考)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时, f(x)=
2 ? ?-4x +2, -1≤x<0, ? 则f ?x, 0≤x<1, ?

?3?=________. ?2?

3? ? 1? ? 1? ? 1?2 解析:f ? ?2?=f ?2-2?=f ?-2?=-4×?-2? +2=1. 答案:1 命题点三 函数的图象 命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题 )

难度:高、中

?x2+1,x>0, ? 1.(2014· 福建高考)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ? ?cos x,x≤0,

A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数 解析:选 D

B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

2 ? ?x +1,x>0, 函数 f(x)=? 的图象如图所示,由 ?cos x,x≤0 ?

图象知只有 D 正确.

1? 2.(2015· 浙江高考)函数 f(x)=? ?x-x?cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

)

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1? 解析:选 D 函数 f(x)=? ?x-x?cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数,排除选项 A,B;当 1? 1 x=π 时,f(x)=? ?π-π?cos π=π-π<0,排除选项 C,故选 D. 3.(2013· 北京高考)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex C.e
+1

) B.ex D. e
-1

-x+1

-x-1

解析:选 D 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e x,函数 y=e x 的图象向左平移
- -

一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象,即 f(x)=e

-(x+1)

=e

-x-1

.

4.(2013· 湖南高考)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为 ( ) A.3 C.1 B.2 D.0

解析:选 B 由已知 g(x)=(x-2)2+1,所以其顶点为(2,1),又 f(2)=2ln 2∈(1,2),可知 点(2,1)位于函数 f(x)=2ln x 图象的下方,故函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象有 2 个交点.

5.(2012· 天津高考)已知函数 y=

|x2-1| 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, x-1

则实数 k 的取值范围是________________.
?x+1,x≤-1或x>1, |x2-1| ? 解析:因为函数 y= =? 又函数 y=kx-2 的图象恒过点(0, x-1 ? ?-x-1,-1<x<1,

-2),根据图象易知,两个函数图象有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4.

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答案:(0,1)∪(1,4)

第五节

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图象与性质 函数 特征 性质 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质 f(x)=ax2 +bx+c 图象 定义域 值域 单调性 x∈R a>0 a<0 R R 奇 增 R {y|y≥0} 偶 (-∞,0)减, (0,+∞)增 R R 奇 增 (1,1) {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 增 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递减,在

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递增,在

2

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?- b ,+∞?上递增 ? 2a ?
奇偶性

?- b ,+∞?上递减 ? 2a ?
b ; 2a
2

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 ①对称轴:x=-

图象特点

b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

[小题体验]
1 . ( 教 材 习 题 改 编 ) 已 知 幂 函 数 y = f(x) 的 图 象 过 点 (2 , 2 ) , 则 函 数 的 解 析 式 为 ________________.
1

答案:f(x)=x 2 (x≥0) 2.函数 y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则 y 的最小值是________. 3 解析:函数 y=2x2-6x+3 的图象的对称轴为 x= >1, 2 ∴函数 y=2x2-6x+3 在 x∈[-1,1]上为单调递减函数, ∴ymin=2-6+3=-1. 答案:-1

1.对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未 说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现 在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

[小题纠偏]
1.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1? A.? ?0,20? 1 ? C.? ?20,+∞? 1? B.? ?-∞,-20? 1 ? D.? ?-20,0? )

? ? ?a>0, ?a>0, 1 解析:选 C 由题意知? 即? 解得 a> . 20 ?Δ<0, ? ? ?1-20a<0,

2.给出下列命题: ①函数 y=2x 是幂函数; ②如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点;

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③当 n<0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数; 4ac-b2 ④二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是 . 4a 其中正确的是________. 答案:②

考点一

幂函数的图象与性质

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( )

解析:选 C 令 f(x)=xα,则 4α=2, 1 ∴α= ,∴f(x)=x 2 . 2 2.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)xn2 减函数,则 n 的值为( )
-3n

1

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是

A.-3 C.2

B.1 D.1 或 2

解析:选 B 由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1, 解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意. 3? 5 ?2? 5 ,c=?2? 5 ,则 a,b,c 的大小关系是________. 3.设 a=? , b = ?5? ?5? ?5? 2 解析:∵y=x (x>0)为增函数,∴a>c. 5 2? x ∵y=? ?5? (x∈R)为减函数,∴c>b. ∴a>c>b.
2 3 2

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答案:a>c>b 4.(易错题)若(a+1) 解析:不等式(a+1) -2a. 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3? 答案:(-∞,-1)∪? ?3,2?

1 3

<(3-2a) <(3-2a)



1 3

,则实数 a 的取值范围是________________. 等价于 a+1>3-2a>0 或 3-2a<a+1<0 或 a+1<0<3



1 3



1 3

[谨记通法]
幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是 y=x (α∈R),其中只有一个参数 α,因此只需一个条件即可确定其 解析式. (2)若幂函数 y=xα(α∈R)是偶函数,则 α 必为偶数.当 α 是分数时,一般将其先化为根 式,再判断. (3)若幂函数 y=xα 在(0,+∞)上单调递增,则 α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则 α<0. 如“题组练透”第 4 题易错.
α

考点二

求二次函数的解析式?重点保分型考点——师生共研? [典例引领]

已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函 数的解析式. 解:法一(利用一般式): 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.

∴所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2

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1? 2 ∴y=f(x)=a? ?x-2? +8. 1?2 ∵f(2)=-1,∴a? ?2-2? +8=-1,解得 a=-4, 1?2 2 ∴f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 法三(利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8. 4a 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

[由题悟法]
求二次函数解析式的方法

[即时应用]
已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3), 它在 x 轴上截得的线段长为 2, 并且对任意 x∈R, 都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立, ∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2, ∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1. ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)(x-3), 即 f(x)=x2-4x+3.

考点三

二次函数的图象与性质

?常考常新型考点——多角探明?

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[命题分析]
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不 等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象 与性质的应用. 常见的命题角度有: (1)二次函数的单调性问题; (2)二次函数的最值问题; (3)二次函数中恒成立问题.

[题点全练]
角度一:二次函数的单调性问题 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解:(1)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单 调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0], ?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 角度二:二次函数的最值问题 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为 x=a. 当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. 当 0≤a≤1 时,f(x)max=f(a)=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,即 a2-a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍去). 2 当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(x),求 g(x).

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解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1, 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2 -2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最小 值,即 ymin=-1.
2 ? ?a -2a,-2<a≤1, ? 综上,g(x)= ? ?-1,a>1.

角度三:二次函数中恒成立问题 4.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,求实数 a 的取值范 围. 解:由题意知 2ax2+2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,-3<0,适合; 3 1 1?2 1 - - , 当 x≠0 时,a< ? 2?x 3? 6 1 因为x∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 1 1 当 x=1 时,右边取最小值 ,所以 a< . 2 2 1? 综上,实数 a 的取值范围是? ?-∞,2?.

[方法归纳]
1.二次函数最值问题的三种类型及解题思路 (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动. (2)思路:抓“三点一轴”,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 (1)两大思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)一个关键:两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参 数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 )

2? ?1 1.(2016· 济南诊断)已知幂函数 f(x)=k· xα 的图象过点 , ?2 2 ?,则 k+α=( 1 A. 2 B.1

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3 C. 2

D.2

1? 2 2 1 ?1?α 解析:选 C 由幂函数的定义知 k=1.又 f ? ?2?= 2 ,所以?2? = 2 ,解得 α=2,从而 k 3 +α= . 2 2.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-∞,-2]时, f(x)是减函数,则 f(1)的值为( A.-3 C.7 ) B.13 D.5

m 解析: 选 B 函数 f(x)=2x2-mx+3 图象的对称轴为直线 x= , 由函数 f(x)的增减区间 4 m 可知 =-2,∴m=-8,即 f(x)=2x2+8x+3,∴f(1)=2+8+3=13. 4 3.函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函数,则实数 m 的值 是( ) A.-1 C.3 B.2 D.-1 或 2

解析:选 B f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数?m2-m-1=1?m=-1 或 m=2.又 x∈(0, +∞)上是增函数,所以 m=2. 4 . 二 次 函 数 的 图 象过 点 (0,1) , 对 称 轴 为 x = 2 , 最 小 值 为 - 1 , 则 它的 解析 式 为 ________________. 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1, ∵图象过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 ∴f(x)= (x-2)2-1. 2 1 答案:f(x)= (x-2)2-1 2 5.对于任意实数 x,函数 f(x)= (5-a)x2-6x+ a+ 5 恒为正值,则 a 的取值范围是 ________.
? ?5-a>0, 解析:由题意可得? ?Δ=36-4?5-a??a+5?<0, ?

解得-4<a<4. 答案:(-4,4) ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1 1 ? ? 1.设 α∈?-2,-1,-2,2,1,2?,则使 f(x)=xα 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递
? ?

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减的 α 的值的个数是( A.1 C.3

) B.2 D.4
α

解析:选 A 由 f(x)=x 在(0,+∞)上单调递减,可知 α<0.又因为 f(x)=xα 为奇函数, 所以 α 只能取-1. 2.若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线 x=0 对称,则 f(x)的最大值是( A.-4 C.4 或-4 B.4 D.不存在 )

解析:选 B 依题意,函数 f(x)是偶函数,则 y=x2+ax-5 是偶函数,故 a=0,f(x)= (1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当 x2=3 时,f(x)取最大值为 4. 3.(2015· 泰安检测)若幂函数 y=(m2-3m+3)· xm2-m-2 的图象不过原点,则 m 的取 值是( ) B.m=1 或 m=2 D.m=1

A.-1≤m≤2 C.m=2

解析:选 B 由幂函数性质可知 m2-3m+3=1,∴m=2 或 m=1.又幂函数图象不过原 点,∴m2-m-2≤0,即-1≤m≤2,∴m=2 或 m=1. 4.设函数 f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+?+g(20)=( A.56 C.0 B.112 D.38 )

解析:选 B 由二次函数图象的性质得,当 3≤x≤20 时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+g(2) +?+g(20)=g(1)+g(2)=112. 25 ? 5.(2015· 济宁统考)若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为? ?- 4 ,-4?,则 m 的取值范围是( A.[0,4] 3 ? C.? ?2,+∞? ) 3 ? B.? ?2,4? 3 ? D.? ?2,3?

3? 3 25 解析:选 D 二次函数图象的对称轴为 x= ,且 f ? ?2?=- 4 ,f(3)=f(0) 2 3 ? =-4,由图得 m∈? ?2,3?. 6.若函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=________. a+2 a+b 解析:由已知得- =1,解得 a=-4.又因为 =1,所以 b=2-a=6. 2 2 答案:6

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7.设二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在[-3,2]上有最大值 4,则实数 a 的值为________. 解析:此函数图象的对称轴为直线 x=-1.当 a>0 时,图象开口向上,所以 x=2 时取得 3 最大值,f(2)=4a+4a+1=4,解得 a= ;当 a<0 时,图象开口向下,所以 x=-1 时取得最 8 大值,f(-1)=a-2a+1=4,解得 a=-3. 答案:-3 或 3 8

1 2

8.已知幂函数 f(x)=x 解析:∵f(x)=x

1 2

,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________.



1 (x>0),易知 x∈(0,+∞)时为减函数,又 f(a+1)<f(10-2a), x a>-1, ? ? 解得?a<5, ? ?a>3,

a+1>0, ? ? ∴?10-2a>0, ? ?a+1>10-2a, ∴3<a<5. 答案:(3,5)

9.(2016· 南昌二中)已知函数 f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞) 上单调递增. (1) 求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)g(x)=log2[3-2x-f(x)],求 g(x)的定义域和值域. 3 解: (1)因为 f(x)在(0, +∞)单调递增, 由幂函数的性质得-2m2+m+3>0, 解得-1<m< . 2 因为 m∈Z,所以 m=0 或 m=1. 当 m=0 时,f(x)=x3 不是偶函数; 当 m=1 时,f(x)=x2 是偶函数, 所以 m=1,f(x)=x2.
2 (2)由(1)知 g(x)=log2(-x -2x+3),

由-x2-2x+3>0,得-3<x<1, 所以 g(x)的定义域为(-3,1). 设 t=-x2-2x+3,x∈(-3,1),则 t∈(0,4], 此时 g(x)的值域就是函数 y=log2t,t∈(0,4]的值域. 又 y=log2t 在区间(0,4]上是增函数,所以 y∈(-∞,2], 所以函数 g(x)的值域为(-∞,2]. 10.(2015· 山东阶段测试)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数 f(x)的图象过点(-2,1),且方程 f(x)=0 有且只有一个根,求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(-2)=1,即 4a-2b+1=1,所以 b=2a.

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因为方程 f(x)=0 有且只有一个根,所以 Δ=b2-4a=0. 所以 4a2-4a=0,所以 a=1,b=2. 所以 f(x)=(x+1)2. ?k-2?2 k-2?2 (2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=?x- +1- . 4 2 ? ? k-2 k-2 由 g(x)的图象知,要满足题意,则 ≥2 或 ≤-1,即 k≥6 或 k≤0, 2 2 ∴所求实数 k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a,

b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联
区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为 ________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零 点. 在同一直角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图 9 ? 所示,结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈? ?-4,-2?,故当 m∈

?-9,-2?时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点. ? 4 ?
9 ? 答案:? ?-4,-2? 2.(2016· 浙江瑞安四校联考)已知函数 f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|. (1)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值. 解:(1)不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 恒成立,即 x2-1≥a|x-1|(*)对 x∈R 恒成立. ①当 x=1 时,(*)显然成立,此时 a∈R; x2-1 ②当 x≠1 时,(*)可变形为 a≤ , |x-1|
?x+1,x>1, x2-1 ? 令 φ(x)= =? |x-1| ? ?-?x+1?,x<1.

因为当 x>1 时,φ(x)>2,当 x<1 时,φ(x)>-2, 所以 φ(x)>-2,故此时 a≤-2. 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. -x -ax+a+1,0≤x<1, ? ? (2)h(x)=?0,x=1, ? ?x2+ax-a-1,1<x≤2.
2

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a ①当- ≤0 时,即 a≥0,(-x2-ax+a+1)max=h(0)=a+1, 2 (x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3. 此时,h(x)max=a+3. a a2 a - ?= +a+1,(x2+ax-a ②当 0<- ≤1 时,即-2≤a<0,(-x2-ax+a+1)max=h? ? 2? 4 2 -1)max=h(2)=a+3. 此时 h(x)max=a+3. a ③当 1<- ≤2 时,即-4≤a<-2,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0, 2
?0,-4≤a<-3, ? (x2+ax-a-1)max=max{h(1),h(2)}=max{0,3+a}=? ? ?3+a,-3≤a<-2. ? ?0,-4≤a<-3, 此时 h(x)max=? ?3+a,-3≤a<-2. ?

a ④当- >2 时,即 a<-4,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0, 2 (x2+ax-a-1)max=h(1)=0. 此时 h(x)max=0.
?3+a,a≥-3, ? 综上:h(x)max=? ?0,a<-3. ?

第六节

指数与指数函数

1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂:a
m n

n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1).
m n

②负分数指数幂:a-

= a

1
m n



1 n am

(a>0,m,n∈N*,且 n>1).

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③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 2.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

R (0,+∞) 过定点(0,1)

性质

当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 在区间(-∞,+∞)上是增函数

当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 在区间(-∞,+∞)上是减函数

[小题体验]
1.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是(
1

)

A.f(x)=x 2 1? x C.f(x)=? ?2?

B.f(x)=x3 D.f(x)=3x

解析:选 D 根据各选项知,选项 C、D 中的指数函数满足 f(x+y)=f(x)· f(y).又 f(x) =3 是增函数,所以 D 正确. 2.(教材习题改编)已知 0.2m<0.2n,则 m______n(填“>”或“<”). 答案:> 3 6 3.(教材习题改编)(1)2 3× 1.5× 12=________.
2 1 ? ? ? ?? (2)? ?2a 3 b 2 ??-6a 2 b 3 ?÷ ?-3a 6 b 6 ?=________. 1 1
1 5

x

答案:(1)6 (2)4a

1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根 号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.

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2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1.

[小题纠偏]
1 1.化简[(-2)6] -(-1)0 的结果为( 2 A.-9 C.-10 答案:B 2.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是__________. 答案:(1,2) ) B.7 D.9

考点一

指数幂的化简与求值

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
求值与化简: 3 ?21? - 2 -(0.01)0.5; 2 ?0+2-2· (1)? ? 5? ? 4?
1 5 - ? - ? ? 2 - ? 2 (2)(易错题) a 3 · b 2· 2 -1 ÷ b 3? ; ?-3a b ? ?4a 3 · 6 1

1

1

(3)

? 2 - ? b 1? ?a 3 ·
6



1 2

· a
5



1 2

· b

1 3

. a· b
1 1

1 4? 2 ? 1 ? 2 1 2 1 1 1 16 解:(1)原式=1+ ×? -?100? =1+ × - =1+ - = . 4 ?9? 4 3 10 6 10 15 5 1 - 2 -3 (2)原式=- a- b 3÷ (4a · b ) 2 6 3
- 5 - - =- a 6 b 3÷ (a 3 b 2 ) 4
1

1 2

1

3

- 5 - =- a 2 · b 2 4

1

3

5 ab 5 1 =- · 3=- . 4 ab 4ab2 (3)原式= a

1 3

b · a a b
1 6

1 2


5 6

1 2

b

1 3

=a



1 1 - 3 2

-6

1

· b

1 2

+3 -6

1

5

1 =a.

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[谨记通法]
指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答. [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数, 也不能既有分母又含有负指数. 如“题 组练透”第(2)题易错.

考点二
1.函数 f(x)=ax 是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0

指数函数的图象及应用
-b

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
的图象如图,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的

C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:选 D 由 f(x)=ax 以 0<a<1,函数 f(x)=a
x-b
-b

的图象可以观察出,函数 f(x)=ax
x

-b

在定义域上单调递减,所

的图象是在 y=a 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

2.若曲线 y=|2x-1|与直线 y=b 有两个公共点,求 b 的取值范围. 解:曲线 y=|2x-1|与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得,如果曲线 y=|2x-1|与 直线 y=b 有两个公共点,则 b 的取值范围是(0,1).

[由题悟法]
指数函数图象的画法及应用 1? (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?.

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对 称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.

[即时应用]

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1.函数 f(x)=1-e|x|的图象大致是(

)

解析:选 A 将函数解析式与图象对比分析,因为函数 f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是 (-∞,0],只有 A 满足上述两个性质. 2.若函数 y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,求 k 的取值范围. 解:函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于 x 轴下 方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所示.

由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以 k 的取值范围是(-∞,0].

考点三

指数函数的性质及应用

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用,难度偏小,属中低档题. 常见的命题角度有: (1)比较指数式的大小; (2)简单指数不等式的应用; (3)探究指数型函数的性质.

[题点全练]
角度一:比较指数式的大小 3? - 3 ?3? - 4 ,c=?3? - 4 ,则 a,b,c 的大小关 1.(2015· 河南信阳二调)已知 a=? , b = ?5? ?5? ?2? 系是( ) B.a<b<c D.c<b<a
1 1 3 1 1 3

A.c<a<b C.b<a<c

3? - 3 ?3? - 4 ?3?0 1 1 ?3? - 4 <?3?0 解析:选 D 因为- <- <0,所以? > > = 1 ,即 a > b >1 ,且 ?5? ?5? ?5? ?2? ?2? 3 4 =1,所以 c<1,综上,c<b<a.

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角度二:简单指数不等式的应用 2.(2015· 江苏高考)不等式 2x2-x<4 的解集为________. 解析:∵2x2-x<4,∴2x2-x<22, ∴x2-x<2,即 x2-x-2<0,∴-1<x<2. 答案:{x|-1<x<2}(或(-1,2)) 角度三:探究指数型函数的性质 1? 2-4x+3 3.已知函数 f(x)=? . ?3?ax (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.
2 1? -4x+3 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=? - x , ?3?

令 g(x)=-x2-4x+3, 1? t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调 递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增 区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). 1?g(x) (2)令 g(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? , 由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1, a>0, ? ? 因此必有?3a-4 ? ? a =-1, 解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知, 1?g(x) 要使 y=? ?3? 的值域为(0,+∞). 应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值域不可能为 R). 故 f(x)的值域为(0,+∞)时,a 的值为 0.

[方法归纳]
应用指数函数性质的常见 3 大题型及求解策略 题型 比较幂值的大小 求解策略 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小; (2)

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不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小 解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不 等式求解 与研究一般函数的定义域、单调性 (区间 )、奇偶性、最值 (值域 ) 等性质的方法一致

探究指数型函数的性质 [提醒]

在研究指数型函数的单调性时, 当底数与“1”的大小关系不明确时, 要分类讨论.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快
-1|

1.函数 f(x)=2|x

的大致图象是(

)

2 ,x≥1, ? ? 解析:选 B f(x)=??1?x-1 ? ??2? ,x<1. 所以 f(x)的图象在[1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数. 1?2.5 2.设 a=22.5,b=2.50,c=? ?2? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b C.b>a>c B.c>a>b D.a>b>c )

x- 1

解析:选 D a>1,b=1,0<c<1,所以 a>b>c. 3.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 f(x)的值域为(


)

A.[9,81] C.[1,9]

B.[3,9] D.[1,+∞)
-2

解析: 选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b=2, 因为 f(x)=3x =f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故 f(x)的值域为[1,9].

在[2,4]上是增函数, 所以 f(x)min

4.(2016· 皖北协作区联考)函数 f(x)= 1-ex的值域为________. 解析: 由 1-ex≥0, ex≤1, 故函数 f(x)的定义域为{x|x≤0}. 所以 0<ex≤1, -1≤-ex<0,0≤1 -ex<1,函数 f(x)的值域为[0,1). 答案:[0,1) 5.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________.

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解析:当 a>1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为增函数, 则 a2-1=2,∴a=± 3.又∵a>1,∴a= 3. 当 0<a<1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为减函数, 又∵f(0)=0≠2,∴0<a<1 不成立. 综上可知,a= 3. 答案: 3 ? 二保高考,全练题型做到高考达标


1.函数 f(x)=ax 2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( A.(0,1) C.(2,0) 答案:D 2.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c C.c>a>b ) B.(1,1) D.(2,2)

)

B.a>c>b D.b>c>a

解析:选 A 由 0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即 b>c;因为 a =20.2>1,b=0.40.2<1,所以 a>b.综上,a>b>c. 3.已知函数 f(x)= 1 A. 2 1 C. 4 ex-e x 1 -x,若 f(a)=- ,则 f(-a)=( x 2 e +e


)

B.-

1 2 1 4

D.-

解析:选 A ∵f(x)= ea-e a 1 ∴ a -a=- . 2 e +e


ex-e x 1 - ,f(a)=- , 2 ex+e x


e a-ea ea-e a 1? 1 ∴f(-a)= -a a=- a -a=-? ?-2?=2. e +e e +e
- -

1?x ? ?? -7,x<0, ? 4.设函数 f(x)=? 2? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是( ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) B.(1,+∞)

)

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C.(-3,1)

D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

1?a ?1?a ?1?a ?1?-3 解析:选 C 当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为? ?2? -7<1,即?2? <8,即?2? <?2? , 1 因为 0< <1,所以 a>-3,此时-3<a<0; 2 当 a≥0 时,不等式 f(a)<1 可化为 a<1, 所以 0≤a<1. 故 a 的取值范围是(-3,1). 5. 当 x∈(-∞, -1]时, 不等式(m2-m)· 4x-2x<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( A.(-2,1) C.(-1,2) B.(-4,3) D.(-3,4) )

1?x 解析:选 C 原不等式变形为 m2-m<? ?2? , 1? x ∵函数 y=? ?2? 在(-∞,-1]上是减函数, 1?x ?1?-1 ∴? ?2? ≥?2? =2, 1? x 2 当 x∈(-∞,-1]时,m2-m<? ?2? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. a? 6.已知函数 f(x)=ln? ?1-2x?的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. a 解析:由题意得,不等式 1- x>0 的解集是(1,+∞), 2 a 由 1- x>0,可得 2x>a,故 x>log2a, 2 由 log2a=1 得 a=2. 答案:2 7.已知函数 f(x)=a|x ________. 解析:∵|x+1|≥0,函数 f(x)=a|x
+ +1| +1|

(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)的大小关系是

(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),∴a>1.由于函数 f(x)

=a|x 1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线 x=-1 对称,则函数在(-∞,-1) 上是减函数,故 f(1)=f(-3),f(-4)>f(1). 答案:f(-4)>f(1) 8.(2016· 福建四地六校联考)y=2· a|x
-1|

-1(a>0,a≠1)过定点________.

解析: 由题根据指数函数性质令|x-1|=0, 可得 x=1, 此时 y=1, 所以函数恒过定点(1,1). 答案:(1,1) 9.化简下列各式:

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2

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7 10 - 37 2 ?0.5+0.1-2+?2 ? 3 -3π0+ ; (1)? ? 9? ? 27? 48 3 (2) a · a 3÷


7 2

3
1

a 3· a 1.
- -

25? 2 1 ?64? - 3 -3+37 解:(1)原式=? + 2+ ?9? 0.1 ?27? 48 5 9 37 = +100+ -3+ =100. 3 16 48 3 (2)原式= 3 =
7 7
7 2 ? 3 2

2

3 ÷ a

a · a 3 a
8

?

3 2

· a

?

1 2

a2 ÷
- 1 6

?

1 2 4

=a 6 ÷ a

=a 6 =a 3 .
+b|

10.(2016· 上海松江区期末)已知函数 f(x)=a|x (1)若 f(x)为偶函数,求 b 的值;

(a>0,b∈R).

(2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求 a,b 应满足的条件. 解:(1)∵f(x)为偶函数, ∴对任意的 x∈R,都有 f(-x)=f(x). 即 a|x b|=a|
+ -x+b|

,|x+b|=|-x+b|,解得 b=0.

? ?x+b,x≥-b, (2)记 h(x)=|x+b|=? ?-x-b,x<-b. ?

①当 a>1 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 即 h(x)在区间[2,+∞)上是增函数, ∴-b≤2,b≥-2.

②当 0<a<1 时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即 h(x)在区间[2,+∞)上是减函数, 但 h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故不存在 a,b 的值,使 f(x)在区间[2,+∞)上是增 函数. ∴f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b 应满足的条件为 a>1 且 b≥-2. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1 1.(2015· 唐山二模)当 x∈[1,2]时,函数 y= x2 与 y=ax(a>0)的图象有交点,则 a 的取值 2 范围是( )

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1 ? A.? ?2,2? 1 ? C.? ?4,2?

1 ? B.? ?2, 2? 1 ? D.? ?4, 2?

1 2 解析:选 B 当 a>1 时,如图①所示,使得两个函数图象有交点,需满足 · 2 ≥a2,即 2 1<a≤ 2;

1 1 2 1 ? 当 0<a<1 时,如图②所示,需满足 · 1 ≤a1,即 ≤a<1,综上可知,a∈? ?2, 2?. 2 2

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- 3 (1)若 f(x)= ,求 x 的值; 2

1 . 2|x|

(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x, 2 1 3 由 2x- x= , 2 2 得 2· 22x-3· 2x-2=0, 将上式看成关于 2x 的一元二次方程, 1 解得 2x=2 或 2x=- , 2 ∵2x>0,∴x=1. 1? 2t ? t 1? (2)当 t∈[1,2]时,2t? ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, 即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0, ∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故实数 m 的取值范围是[-5,+∞).

第七节

对数与对数函数

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1.对数 概念 如果 ax=N(a>0, 且 a≠1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,logaN 叫做对数式 对数式与指数式的互化:ax=N?x=logaN loga1=0,logaa=1,alogaN=N loga(M· N)=logaM+logaN 运算 法则 M loga =logaM-logaN N logaMn=nlogaM(n∈R) 换底公式 换底公式:logab= logcb (a>0,且 a≠1,c>0,且 c≠1,b>0) logca a>0,且 a≠1,M>0,N>0

性质

2.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1

图象

定义域为(0,+∞) 值域为 R 性质 过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0 在区间(0,+∞)上是增函数 3.反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图象 关于直线 y=x 对称. 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0 在区间(0,+∞)上是减函数

[小题体验]
1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是( 2? A.? ?0,3? C.(1,0) 答案:C 2 ? B.? ?3,0? D.(0,1) )

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2.(教材习题改编)计算: (1)log35-log315=______. (2)log23· log34· log45· log52=______. 答案:(1)-1 (2)1

3.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象可能是______(填序号).

答案:②

1.在运算性质 logaMα=αlogaM 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMα =αloga|M|(α∈N*,且 α 为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围.

[小题纠偏]
1.函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为______. 3 ? 答案:? ?4,1? 2.函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是______. 答案:(-∞,0)

考点一

对数式的化简与求值

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1.(易错题)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac logcb 解析:选 B 利用对数的换底公式进行验证,logab· logca= · logca=logcb. logca )

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2.(2015· 浙江高考)计算:log2 解析: log2 3×2log2
3

2 =________,2log2 3+log4 3=________. 2

2 1 log 3 log 3 2 1 log 3· log 3=3×2 log 3= =log2 2-log2 = -1=- ; 2 2 + 4 =2 2 2 4 4 2 2 2

=3 3. 3 3
1

1 答案:- 2

1 ? 100 - 2 =______. 3.计算? ?lg 4-lg 25?÷
1

解析:原式=(lg 2 2-lg 52)×100 2 =lg


1 - ×10=lg 10 2×10=-2×10=-20. 22· 52

答案:-20 1 32 4 4.(2016· 山东乳山市模拟) lg - lg 8+lg 245=________. 2 49 3 1 32 4 1 41 1 1 解析: lg - lg 8+lg 245= (5lg 2-2lg 7)- · · 3lg 2+ (lg 5+2lg 7)= (lg 2+lg 5) 2 49 3 2 32 2 2 1 = . 2 答案: 1 2

[谨记通法]
对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简; (2)将同底对数的和、差、倍合并; (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用 及变形应用.如“题组练透”第 1 题易错.

考点二

对数函数的图象及应用

?题点多变型考点——纵引横联?

[典型母题]
作函数 y=|log2(x-1)|的图象. [解] 先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向右平移 1 个单位,保留 x 轴上方的部分,将 x

轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2(x-1)|的图象,如图.

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[类题通法]
应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、 对称变换作出其图象的对数型函数, 在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

[越变越明]
[变式 1] 试写出函数 y=|log2(x-1)|的减区间________. 解析:由母题图象知,函数的减区间为(1,2). 答案:(1,2) [变式 2] 函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是( )

解析:选 B 当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,故选 B. [变式 3] (2014· 山东高考)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象 ) 如图,则下列结论成立的是(

A.a>1,c>1

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B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析:选 D 由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c)的图象在 c>0 时是 由函数 y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的,所以根据题中图象可知 0<c<1. [变式 4] 设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( A.x1x2<0 C.x1x2>1 x1<0,x2<0. 不妨设 x1<x2, 则 x1<-1<x2<0, 所以 10x1=lg(-x1), 10x2=-lg(-x2), 此时 10x1<10x2, 即 lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得 lg(x1x2)<0, 所以 0<x1x2<1. [破译玄机] 与指数、对数综合有关的方程根的问题,求解时常数形结合,作出图象可得结论. B.x1x2=0 D.0<x1x2<1 )

解析:选 D 作出 y=10x,与 y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然

考点三

对数函数的性质及应用

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
高考对于对数函数的性质及其应用考查, 多以选择题或填空题的形式考查, 难度低、 中、 高档都有. 常见的命题角度有: (1)求函数的定义域; (2)比较对数值的大小; (3)简单对数不等式的解法; (4)对数函数的综合问题.

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[题点全练]
角度一:求函数的定义域 x2-5x+6 1.(2015· 湖北高考)函数 f(x)= 4-|x|+lg 的定义域为( x-3 A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4] B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6] )

4-|x|≥0, ? ? ? 2 ?-4≤x≤4, 解析:选 C 由?x -5x+6 得? 故函数定义域为(2,3)∪(3,4], ?x>2且x≠3, >0, ? ? ? x-3 故选 C. 角度二:比较对数值的大小 1 1 2.已知 a=3 2 ,b=log 3 ,c=log2 ,则( 2 3 A.a>b>c C.c>b>a 解析:选 A ∵a=3 >1,0<b=log 角度三:简单对数不等式的解法 3.若 f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则 g(lg x)>g(1)时,x 的取值范围是__________. 解析:当 g(lg x)>g(1)时,f(|lg x|)>f(1),由 f(x)为增函数得|lg x|>1,从而 lg x>1 或 lg x< 1 -1,解得 0<x< 或 x>10. 10 1? 答案:? ?0,10?∪(10,+∞)
1 2 1 3 1 1

)

B.b>c>a D.b>a>c 1 1 =log32<1,c=log2 =-log23<0,∴a>b>c. 2 3

角度四:对数函数的综合问题 4.若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) C.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞) )

解析:选 A 令函数 g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为 x=a,要使函
?g?1?>0, ?2-a>0, ? ? 数在(-∞,1]上递减,则有? 即? 解得 1≤a<2,即 a∈[1,2). ? ? ?a≥1, ?a≥1,

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? ?-x+6,x≤2, 5.(2015· 福建高考)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞), ?3+logax,x>2 ?

则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 x≤2 时,y=-x+6≥4. ∵f(x)的值域为[4,+∞), ∴当 a>1 时,3+logax>3+loga2≥4,∴loga2≥1, ∴1<a≤2; 当 0<a<1 时,3+logax<3+loga2,不合题意. 故 a∈(1,2]. 答案:(1,2]

[方法归纳]
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 log 2 ?2x-1?的定义域是(
3

1.(2015· 南昌一模)函数 y= A.[1,2] 1 ? C.? ?2,1?

)

B.[1,2) 1 ? D.? ?2,1?

2 1 解析:选 D 由 log (2x-1)≥0?0<2x-1≤1? <x≤1. 3 2

2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A.log2x 1 C.log x 2 解析:选 A 由题意知 f(x)=logax, ∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2. ∴f(x)=log2x. 1 B. x 2 D.2x
-2

)

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3.(2016· 石家庄模拟)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( A.a=b<c C.a<b<c ) B.a=b>c D.a>b>c

3 解析: 选 B 因为 a=log23+log2 3=log23 3= log23>1, b=log29-log2 3=log23 3= 2 a,c=log32<log33=1. 1? - 1 5 4.(2015· 安徽高考)lg +2lg 2-? ?2? =________. 2 1?-1 5 解析:lg +2lg 2-? ?2? =lg 5-lg 2+2lg 2-2 2 =(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 答案:-1 5.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为______,单调递增区间为______. 解析:作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y= log2|x|的图象,再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+ 1|的图象(如图所示).由图知,函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为(- ∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞). 答案:(-∞,-1) (-1,+∞) ? 二保高考,全练题型做到高考达标

1 1.(2014· 天津高考)函数 f(x)=log (x2-4)的单调递增区间是( 2 A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

)

解析:选 D 函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数 y=f(x)是由 y =log 1 t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成,又 y=log 1 t 在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-
2 2

2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
? ?log2x,x>0, 1 log3 ? 的值是 2 . (2016· 江西八校联考 ) 已知函数 f(x) = ? -x 则 f(f(1)) + f ? 2? ? ?3 +1,x≤0, ?

(

) A.5 C.-1 B.3 7 D. 2

解析:选 A 由题意可知 f(1)=log21=0,

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f(f(1))=f(0)=30+1=2, 1? - log 3 2 log 2 f ? +1=3 3 +1=2+1=3, ?log32?=3 1? 所以 f(f(1))+f ? ?log32?=5. 2 2 2 3.(2016· 皖北联考)设 a=log3 ,b=log5 ,c=log7 ,则( 3 5 7 A.c>b>a C.a>c>b 解析:选 D B.b>c>a D.a>b>c 2 2 2 因为 log3 =log32-1,log5 =log52-1,log7 =log72-1, 3 5 7 )
1

log32>log52>log72,故 a>b>c. 4.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的 关系是( )
-1

A.0<a <b<1 B.0<b<a 1<1


C.0<b 1<a<1


D.0<a 1<b 1<1
- -

解析:选 A 令 g(x)=2x+b-1,这是一个增函数, 而由图象可知函数 y=logag(x)是单调递增的, 所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间, 即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0, 故 a 1<b<1,因此 0<a 1<b<1.
- -

3 ? 2 ?1 ? 5.若函数 f(x)=loga? ?x +2x?(a>0,a≠1)在区间?2,+∞?内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调 递增区间为( )

A.(0,+∞) C.(1,+∞)

B.(2,+∞) 1 ? D.? ?2,+∞?

1 3 ,+∞?时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以 a>1.所 解析:选 A 令 M=x2+ x,当 x∈? 2 ? ? 2 3 3 9 x+ ?2- ,因此 M 的单调递增区间为?- ,+∞?.又 以函数 y=logaM 为增函数,又 M=? 4 4 ? ? 16 ? ?

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3 3 x2+ x>0,所以 x>0 或 x<- .所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 2 2 6.计算:log2.56.25+lg 0.001+ln
2

e+2-1+log23=______.
-3

解析:解析:原式=log2.5(2.5) +lg 10 +ln e +2 答案:1

1 2

3

log 2 2

3 1 3 log2 =2-3+ + =1. 2 2 2

?log2x,x>0, ? 7.已知函数 f(x)=? x 关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有 ? ?3 ,x≤0,

且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是______. 解析: 问题等价于函数 y=f(x)与 y=-x+a 的图象有且只有一个交 点,结合函数图象可知 a>1. 答案:(1,+∞) 8.函数 f(x)=log2 x· log 2(2x)的最小值为______. 1?2 1 1 1 解析:依题意得 f(x)= log2x· (2+2log2x)=(log2x)2+log2x=? ?log2x+2? -4≥-4, 2 1 2 当且仅当 log2x=- ,即 x= 时等号成立, 2 2 1 因此函数 f(x)的最小值为- . 4 1 答案:- 4 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=log 1 x.
2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x2-1)>-2. 1 解:(1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=log (-x). 2 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为

? f(x)=?0,x=0, ?log ?-x?,x<0.
log 1 x,x>0,
2 1 2

(2)因为 f(4)=log 1 4=-2,f(x)是偶函数,
2

所以不等式 f(x2-1)>-2 可化为 f(|x2-1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,

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所以|x2-1|<4,解得- 5<x< 5, 即不等式的解集为(- 5, 5). 10.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),(a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 解:(1)要使函数 f(x)有意义.
?x+1>0, ? 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?

故所求函数 f(x)的定义域为(-1,1). (2)由(1)知 f(x)的定义域为(-1,1), 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是(0,1). ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1 2? 1. 已知函数 f(x)=loga(2x-a)在区间? 则实数 a 的取值范围是( ?2,3?上恒有 f(x)>0, 1 ? A.? ?3,1? 2 ? C.? ?3,1? 1 ? B.? ?3,1? 2 ? D.? ?3,1?

)

1 2? ?4 ? 解析:选 A 当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间? ?2,3?上是减函数,所以 loga?3-a?>0,即 4 1 4 1 0< -a<1,解得 <a< ,故 <a<1; 3 3 3 3 1 2? 当 a>1 时, 函数 f(x)在区间? 所以 loga(1-a)>0, 即 1-a>1, 解得 a<0, ?2,3?上是增函数, 此时无解. 1 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是? ?3,1?. 2.已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.

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(1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 f(x2)· f( x)>k· g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 解:(1)h(x)=(4-2log2x)· log2x=-2(log2x-1)2+2, 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2], 故函数 h(x)的值域为[0,2]. (2)由 f(x2)· f( x)>k· g(x), 得(3-4log2x)(3-log2x)>k· log2x, 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k· t 对一切 t∈[0,2]恒成立, ①当 t=0 时,k∈R; ?3-4t??3-t? ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立, t 9 即 k<4t+ t -15, 9 9 3 因为 4t+ ≥12,当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号, t t 2 9 所以 4t+ -15 的最小值为-3. t 综上,实数 k 的取值范围为(-∞,-3).

第八节

函数与方程

1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0

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图象

与 x 轴的交点 零点个数

(x1,0),(x2,0) 2

(x1,0) 1

无交点 0

[小题体验]
1.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) 答案:B 2.函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则 k 的取值范围是________. 1? 答案:? ?-1,-2? 3.(教材习题改编)函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点个数是______. 答案:1 ) B.(-1,0) D.(1,2)

1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交 点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数 还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

[小题纠偏]
1.函数 f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为______. 答案:- 2, 2,1,2 2.若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内: ①函数 f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内; ②函数 f(x)在(3,5)内无零点; ③函数 f(x)在(2,5)内有零点; ④函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点; ⑤函数 f(x)的零点必在(1,5)内. 以上说法错误的是______(填序号). 答案:①②③

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考点一

函数零点所在区间的判定
[题组练透]

?基础送分型考点——自主练透?

1.(易错题)(2015· 太原模拟)已知实数 a>1,0<b<1,则函数 f(x)=ax+x-b 的零点所在的 区间是( ) B.(-1,0) D.(1,2)
x

A.(-2,-1) C.(0,1) 1 ∴f(-1)= -1-b<0,f(0)=1-b>0, a

解析:选 B ∵a>1,0<b<1,f(x)=a +x-b,

由零点存在性定理可知 f(x)在区间(-1,0)上存在零点. 2.设 f(x)=ln x+x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

解析:选 B 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)=ln x,h(x)=-x+2 图象 交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:

可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2). 3.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点. 解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)· f(8)<0, 又 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]的图象是连续的, 故 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点. 法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0, ∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点. 答案:存在

[谨记通法]
确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 (1)定义法: 使用零点存在性定理, 函数 y=f(x)必须在区间[a, b]上是连续的, 当 f(a)· f(b)<0 时,函数在区间(a,b)内至少有一个零点,如“题组练透”第 1 题. (2)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求 解,如 f(x)=g(x)-h(x),作出 y=g(x)和 y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数 f(x)的零 点.

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考点二

判断函数零点个数

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
? ?2-|x|,x≤2, 1.(2015· 天津高考)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=3-f(2-x),则函数 y= 2 ??x-2? ,x>2, ?

f(x)-g(x)的零点个数为( A.2 C.4

) B.3 D.5

?|x-2|+1,x≥0, ? 解析: 选 A 由已知条件可得 g(x)=3-f(2-x)=? 函数 y=f(x)-g(x) 2 ? ?3-x , x<0.

的零点个数即为函数 y=f(x)与 y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数 y=

f(x)与 y=g(x)的图象如图所示.

由图可知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有 2 个交点,所以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数

为 2.
?-2,x>0, ? 2.(2015· 南宁二模)已知函数 f(x)=? 若 f(0)=-2,f(-1)=1,则 2 ? ?-x +bx+c,x≤0,

函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为______.
? ?c=-2, 解析:依题意得? ?-1-b+c=1, ?

由此解得 b=-4,c=-2.由 g(x)=0 得 f(x)+x=0,
?x>0, ?x≤0, ? ? 该方程等价于? ①或? ②解①得 x=2,解②得 x=-1 2 ?-2+x=0, ? ? ?-x -4x-2+x=0.

或 x=-2. 因此,函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为 3.

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答案:3

[由题悟法]
判断函数零点个数的 3 种方法 (1)解方程法:若对应方程 f(x)=0 可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定 函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其 交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.

[即时应用]
1.函数 f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( A.3 C.5 B.4 D.6 )

解析:选 C 令 f(x)=0,得 πcos x=kπ(k∈Z)?cos x=k,所以 k=0,1,-1.若 k=0, π 3π 则 x= 或 x= ;若 k=1,则 x=0 或 x=2π;若 k=-1,则 x=π,故零点个数为 5. 2 2 1 2.函数 f(x)=ex+ x-2 的零点有______个. 2 1 解析:∵f′(x)=ex+ >0,∴f(x)在 R 上单调递增, 2 3 又 f(0)=1-2<0,f(1)=e- >0, 2 ∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个. 答案:1

考点三

函数零点的应用

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
? ?log2?x+1?,x>0, 已知函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取 2 ?-x -2x,x≤0, ?

值范围是______. 解析:函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,转化为 f(x)-m=0 的根有 3 个,进而转化为 y =f(x),y=m 的交点有 3 个.画出函数 y=f(x)的图象,则直线 y=m 与其有 3 个公共点.又 抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数 m 的取值范围是(0,1).

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答案:(0,1)

[由题悟法]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的 3 种方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数 形结合求解.

[即时应用]
? ?0,x≤0, 1. 已知函数 f(x)=? x 则使函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点的实数 m 的取值范围 ?2 ,x>0, ?

是(

) A.[0,1) C.(-∞,0]∪(1,+∞) B.(-∞,1) D.(-∞,1]∪(2,+∞)

解析: 选 C 函数 g(x)=f(x)+x-m 的零点就是方程 f(x)+x=m 的
? ?x,x≤0, 根,作出 h(x)=? x 的图象,如图所示,观察它与直线 y=m ?2 +x,x>0 ?

的交点,得知当 m≤0 或 m>1 时有交点,即函数 g(x)=f(x)+x-m 有零 点的实数 m 的取值范围是(-∞,0]∪(1,+∞).

2.(2016· 吉林实验中学)函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析:求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,因为 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,所以 f(3)>0, 所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2

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第九节

函数模型及其应用

1.几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函 数模型 二次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) k f(x)=x+b(k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

指数函数模型

对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 y=ax (a>1)

y=logax (a>1) 单调递增 越来越慢 随 x 的增大 逐渐表现为 与 x 轴平行

y=xn (n>0) 单调递增 相对平稳 随 n 值变化 而各有不同

单调递增 越来越快 随 x 的增大

图象的变化

逐渐表现为 与 y 轴平行

值的比较 3.解函数应用问题的四步骤

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的函数模型; (3)解模:求解函数模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题. 以上过程用框图表示如下:

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[小题体验]
1.(教材习题改编)一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的( ) cm,燃烧时剩下的高度

答案:B 2.已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog3(x+1),设这种动物第 2 年 有 100 只,到第 8 年它们发展到________只. 答案:200

1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以要正确理解题意,选择适当的函数模 型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

[小题纠偏]
据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存车费是每辆 一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元.若普通车存车量为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系式是__________. 答案:y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)

考点一

二次函数模型

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数,且日销售量

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1 112 1 近似地满足 g(t)=- t+ (1≤t≤100, t∈N). 前 40 天价格为 f(t)= t+22(1≤t≤40, t∈N), 3 3 4 1 后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最 2 小值. 解:当 1≤t≤40,t∈N 时, 1 112??1 ? S(t)=g(t)f(t)=? ?-3t+ 3 ??4t+22? =- 112×22 1 2 1 2 500 t +2t+ =- (t-12)2+ , 12 3 12 3 2 500 . 3

所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= 当 41≤t≤100,t∈N 时,

1 112?? 1 ? S(t)=g(t)f(t)=? ?-3t+ 3 ??-2t+52? 112×52 1 1 8 = t2-36t+ = (t-108)2- , 6 3 6 3 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= . 2 2 500 所以,S(t)的最大值为 ,最小值为 8. 3

[由题悟法]
二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决, 但一定要密切注意函数的定义 域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

[即时应用]
A,B 两城相距 100 km,在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A,B 两城供电,为 保证城市安全,核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与 供电量(亿度)之积的 0.25 倍,若 A 城供电量为每月 20 亿度,B 城供电量为每月 10 亿度. (1)求 x 的取值范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电总费用 y 最少? 解:(1)由题意知 x 的取值范围为[10,90]. 5 (2)y=5x2+ (100-x)2(10≤x≤90). 2

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100 5 15 15 50 000 x- ?2+ (3)因为 y=5x2+ (100-x)2= x2-500x+25 000= ? , 3 ? 2 2 2? 3 所以当 x= 100 50 000 时,ymin= . 3 3

100 故核电站建在距 A 城 km 处,能使供电总费用 y 最少. 3

考点二

a 函数y=x+x模型的应用
[典例引领]

?重点保分型考点——师生共研?

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系 C(x)= k (0≤x≤10), 3x+5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费 用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 解:(1)由已知条件得 C(0)=8,则 k=40, 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (2)f(x)=6x+10+ 800 (0≤x≤10). 3x+5 800 ?6x+10?· -10=70(万元), 3x+5

800 -10≥2 3x+5 800 , 3x+5

当且仅当 6x+10=

即 x=5 时等号成立. 所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值为 70 万元.

[由题悟法]
a 应用函数 y=x+x模型的关键点 b (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)=x叠加而成的. b (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)=ax+x的模型,有时可以将所列函数关系式 b 转化为 f(x)=ax+x的形式. b (3)利用模型 f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成 x 立的条件.

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[即时应用]
“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题,近年来,某企业每年需要 向自来水厂所缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水 净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平 方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供 水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位:万 元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位:平方米 )之间的函数关系是 C(x)= k 50x+250

(x≥0,k 为常数).记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之 和. (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (2)当 x 为多少平方米时,y 取得最小值,最小值是多少万元? 解:(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元, ∵C(0)= k =4,∴k=1 000, 250 1 000 80 ×4=0.2x+ (x≥0). 50x+250 x+5

∴y=0.2x+

80 (2)y=0.2(x+5)+ -1≥2 0.2×80-1=7, x+5 当 x+5=20,即 x=15 时,ymin=7, ∴当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元.

考点三

分段函数模型

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升 血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效,求服药一次 后治疗疾病有效的时间. kt,0≤t≤1, ? ? 解:(1)由题图,设 y=??1?t-a ??2? ,t>1, ?

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当 t=1 时,由 y=4 得 k=4, 1?1-a 由? ?2? =4 得 a=3. 4t,0≤t≤1, ? ? 所以 y=??1?t-3 ??2? ,t>1. ?

? ?0≤t≤1, ? ? (2)由 y≥0.25 得? 或??1?t-3 ? ?4t≥0.25 ≥0.25, ?
t>1,

??2?

解得

1 ≤t≤5. 16 1 79 = (小时). 16 16

因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5-

[由题悟法]
解决分段函数模型问题的 3 个注意点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出, 而是由几个不同的关系式构 成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解; (2)构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理、不重不漏; (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).

[即时应用]
国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在 30 人或 30 人以下,飞机票每张 收费 900 元;若每团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,机票每张减少 10 元,直到达 到规定人数 75 人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解:(1)设旅行团人数为 x 人,由题得 0<x≤75(x∈N*) 飞机票价格为 y 元,
?900, 0<x≤30, ? 则 y=? ?900-10?x-30?,30<x≤75, ? ?900, 0<x≤30, ? 即 y=? ? ?1 200-10x,30<x≤75.

(2)设旅行社获利 S 元,
? ?900x-15 000,0<x≤30, 则 S=? ?x?1 200-10x?-15 000,30<x≤75, ?

第 102 页 ? ?900x-15 000,0<x≤30, 即 S=? 2 ?-10?x-60? +21 000,30<x≤75. ?

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因为 S=900x-15 000 在区间(0,30]上为单调增函数, 故当 x=30 时,S 取最大值 12 000 元, 又 S=-10(x-60)2+21 000 在区间(30,75]上, 当 x=60 时,取得最大值 21 000. 故当 x=60 时,旅行社可获得最大利润.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间 加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )

解析:选 C 出发时距学校最远,先排除 A,中途堵塞停留,距离没变,再排除 D,堵 塞停留后比原来骑得快,因此排除 B. 2.(2015· 北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时 的情况. 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A.6 升 C.10 升 B.8 升 D.12 升 )

解析:选 B 因为每次都把油箱加满,第二次加了 48 升油,说明这段时间总耗油量为 48 升, 而行驶的路程为 35 600-35 000=600(千米), 故每 100 千米平均耗油量为 48÷ 6=8(升). 3.已知某矩形广场的面积为 4 万平方米,则其周长至少为( A.800 米 C.1 000 米 解析:选 A 设这个广场的长为 x 米, B.900 米 D.1 200 米 )

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则宽为

40 000 米. x

40 000? 所以其周长为 l=2? ?x+ x ?≥800, 当且仅当 x=200 时取等号. 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运, 据市场分析, 每辆客车营运的总利润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线 的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为( A.3 C.5 B.4 D.6 )

解析:选 C 由题图,易求得 y 与 x 的关系式为 25? y y=-(x-6)2+11,则x=12-? ?x+ x ?≤12-10=2, y ∴x有最大值 2,此时 x=5. 5.(2016· 辽宁五校联考)一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽 车 25 米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间 t 1 内的路程为 s= t2 米,那么,此人( 2 A.可在 7 秒内追上汽车 B.可在 9 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但期间最近距离为 14 米 D.不能追上汽车,但期间最近距离为 7 米 1 解析:选 D 已知 s= t2,车与人的间距 d=(s+25)-6t 2 1 1 = t2-6t+25= (t-6)2+7. 2 2 当 t=6 时,d 取得最小值 7. ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

1.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货 价),则该家具的进货价是( A.118 元 C.106 元 ) B.105 元 D.108 元

解析:选 D 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%· a,解得 a=108. 2. 某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件, 根据市场预测, 销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为 每件( )

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A.100 元 C.150 元

B.110 元 D.190 元

解析:选 D 设售价提高 x 元,利润为 y 元,则依题意得 y=(1 000-5x)×(20+x)=- 5x2+900x+20 000=-5(x-90)2+60 500.故当 x=90 时,ymax=60 500,此时售价为每件 190 元. 3.(2016· 北京朝阳统一考试)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每 年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,x∈N*)人去进行新 开发的产品 B 的生产. 分流后, 继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的 基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( A.15 C.17 B.16 D.18 )

解析:选 B 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,每年创造的 产值为(100-x)(1+1.2x%)t,
?0<x<100,x∈N*, ? 则由? ? ??100-x??1+1.2x%?t≥100t,

解得 0<x≤

50 . 3

因为 x∈N*,所以 x 的最大值为 16. 4. (2016· 青岛模拟)世界人口在过去 40 年内翻了一番, 则每年人口平均增长率是(参考数 据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( A.1.5% C.1.7% ) B.1.6% D.1.8%

解析:选 C 设每年人口平均增长率为 x,则(1+x)40=2,两边取以 10 为底的对数,则 40lg(1+x)=lg 2,所以 lg(1+x)= x=1.7%. 5.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 y a =aent.假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ,则 m 的值 8 为( ) A.7 C.9 1 解析:选 D 根据题意知 =e5n, 2 1 1 令 a=aent,即 =ent, 8 8 B.8 D.10 lg 2 ≈0.007 5,所以 100.007 5=1+x,得 1+x=1.017,所以 40

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1 1 因为 =e5n,故 =e15n, 2 8 比较知 t=15,m=15-5=10. 6.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内, 根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= (x>0).则当年广告费投入______万元时,该公司的年利润最大. 4 51 x 8? 43 1? 4 x- ?2(x>0).当 x- =0,即 x=4 时,L + = - 解析:由题意得 L= -? 2 ?2 x? 2 2? x? x 取得最大值 21.5. 故当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大. 答案:4 7.某人根据经验绘制了 2015 年春节前后,从 12 月 21 日至 1 月 8 日 自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象, 如图所 示,则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿______千克. 解析:前 10 天满足一次函数关系,设为 y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析
? ?10=k+b, 20 70 20 70 190 式得? 解得 k= ,b= ,所以 y= x+ ,则当 x=6 时,y= . 9 9 9 9 9 ?30=10k+b, ?

51 ?x 8? - + 2 ?2 x?

答案:

190 9

8.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七 月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、 八月份销售总额相等. 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元, 则 x 的最小值是______. 解析:由题意知七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,则一 月份到十月份的销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,即 25(1+x%)+25(1+ x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 解得 t≥ 或 t≤- (舍去), 5 5 6 故 1+x%≥ , 5 解得 x≥20.故 x 的最小值为 20. 答案:20 9.如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE =4 米,CD=6 米.为合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE 内截取一个矩 形 BNPM,使点 P 在边 DE 上.

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(1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解:(1)作 PQ⊥AF 于 Q, 所以 PQ=(8-y)米, EQ=(x-4)米. 又△EPQ∽△EDF, x-4 4 EQ EF 所以 PQ=FD,即 = . 8-y 2 1 所以 y=- x+10, 2 定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米, x 1 10- ?=- (x-10)2+50, 则 S(x)=xy=x? 2? ? 2 S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为 x=10,所以当 x∈[4,8]时,S(x) 单调递增. 所以当 x=8 米时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,为 48 平方米. 10.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时, 所用时间是 10 年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1). 1 1 则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1? 10 解得 x=1-? ?2? . 1? 10 即每年砍伐面积的百分比为 1-? ?2? . (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 1? 10 ?1? 2 m 1 即? ?2? =?2? ,所以10=2, 解得 m=5.故到今年为止,已砍伐了 5 年.
m 1 1

2 . 2

2 2 ,则 a(1-x)m= a, 2 2

1

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(3)设从今年开始,最多还能砍伐 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
n

1? 10 ?1? 2 所以? ?2? ≥?2? , 即 n 3 ≤ , 10 2

3

解得 n≤15. 故今后最多还能砍伐 15 年. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1 . 某 商 品 在 最 近 100 天 内 的 单 价 f(t) 与 时 间 t 的 函 数 关 系 是 f(t) =

?4+22,0≤t<40,t∈N, ? t ?-2+52,40≤t≤100,t∈N,

t

t 109 日销售量 g(t) 与时间 t 的函数关系是 g(t) =- + 3 3

(0≤t≤100,t∈N).则这种商品的日销售额的最大值为______. 解析:由题意知日销售额为 s(t)=f(t)g(t), 当 0≤t<40 时, t 1 2 7t 2 398 ?? 1 109? s(t)=? ?4+22??-3t+ 3 ?=-12t + 4 + 3 21 此函数的对称轴为 x= , 2 又 t∈N,最大值为 s(10)=s(11)= 当 40≤t≤100 时, t ?? 1 109? 1 2 213t 5 668 s(t)=? ?-2+52??-3t+ 3 ?=6t - 6 + 3 , 213 此时函数的对称轴为 x= >100,最大值为 s(40)=736. 2 综上,这种商品日销售额 s(t)的最大值为 808.5. 答案:808.5 2.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k(1≤k≤4,且 k∈R)个单位的 洗衣液在一定量水的洗衣机中, 它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化的函数关 1 617 =808.5; 2

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?8-x-1,0≤x≤4, 系式近似为 y=k· f(x),其中 f(x)=? 1 ?7-2x,4<x≤14.
浓度不低于 4 克/升时,它才能起到有效去污的作用.

24

若多次投放,则某一时刻水中的

洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的

(1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为 3 克/升,求 k 的 值; (2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? (3)若第一次投放 2 个单位的洗衣液,10 分钟后再投放 1 个单位的洗衣液,则在第 12 分 钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由. 24 解:(1)由题意知 k?8-2-1?=3,

?

?

∴k=1. (2)因为 k=4, 96 ? ?8-x-4,0≤x≤4, 所以 y=? ? ?28-2x,4<x≤14. 96 当 0≤x≤4 时,由 -4≥4,解得-4≤x<8, 8-x 所以 0≤x≤4. 当 4<x≤14 时,由 28-2x≥4,解得 x≤12,所以 4<x≤12. 综上可知,当 y≥4 时,0≤x≤12, 所以只投放一次 4 个单位的洗衣液的有效去污时间可达 12 分钟. (3)在第 12 分钟时,水中洗衣液的浓度为 24 1 -1?=5(克/升),又 5>4, 7- ×12?+1×? 2×? 8-?12-10? ? 2 ?

?

?

所以在第 12 分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用.

命题点一

基本初等函数?Ⅰ?

命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:中、低

1.(2015· 山东高考)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.a<c<b

)

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C.b<a<c

D.b<c<a

解析:选 C 因为函数 y=0.6x 是减函数,0<0.6<1.5,所以 1>0.60.6>0.61.5,即 b<a<1.因 为函数 y=x0.6 在(0,+∞)上是增函数,1<1.5,所以 1.50.6>10.6=1,即 c>1.综上,b<a<c. 2.(2013· 浙江高考)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

b 解析:选 A 由 f(0)=f(4)知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 对称轴为 x=2,即- =2.所以 2a 4a+b=0,又 f(0)>f(1)且 f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数 f(x)在(-∞,2]上单调递减,则抛 物线开口方向朝上,知 a>0,故选 A. 3.(2014· 浙江高考)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax 的图象可能 是( )

解析:选 D 当 a>1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且过 点(1,0), 由幂函数的图象性质可知 C 错; 当 0<a<1 时, 函数 f(x)=xa(x>0)单调递增, 函数 g(x) =logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,又由幂函数的图象性质可知 B 错,因此选 D. a+b? 1 4.(2015· 陕西高考)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f ? ? 2 ?,r=2(f(a)+f(b)), 则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.q=r>p 解析:选 B 因为 b>a>0,故 ) B.p=r<q D.p=r>q a+b a+b? > ab.又 f(x)=ln x(x>0)为增函数,所以 f? 2 ? 2 ?>

1 1 f( ab),即 q>p.又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b)=ln ab=p,即 p=r<q. 2 2 2x+1 5. (2015· 山东高考)若函数 f(x)= x 是奇函数, 则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为( 2 -a A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞) )

2 x+1 2x+1 解析:选 C 因为函数 y=f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x =- x .化简 2 -a 2 -a


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可得 a=1,则

2x+1 2x+1 2x+1-3?2x-1? 2x-2 >3,即 x -3>0,即 >0,故不等式可化为 x <0,即 x x 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1

1<2x<2,解得 0<x<1,故选 C. 6.(2015· 天津高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x
-m|

-1(m 为实数)为偶函数,记 a= )

f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b 解析:选 C 由 f(x)=2|x
-m|

B.a<c<b D.c<b<a -1 是偶函数可知 m=0,所以 f(x)=2|x|-1.

所以 a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2, b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4, c=f(0)=2|0|-1=0,所以 c<a<b. 16? - 4 5 4 7.(2014· 安徽高考)? ?81? +log34+log35=______.
3

?2?4? - 4 +log3?5×4?=?2?-3=27. 解析:原式=? ??3? ? ?4 5? ?3? 8
答案: 27 8

3

8.(2015· 全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0 恒成立, ∴-xln(-x+ a+x2)-xln(x+ a+x2)=0 恒成立,∴xln a=0 恒成立,∴ln a=0,即 a=1. 答案:1 9.(2015· 山东高考)已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则 a +b=________.
?a 1+b=-1, ? 解析: 当 a>1 时, 函数 f(x)=ax+b 在[-1,0]上为增函数, 由题意得? 0 无 ? ?a +b=0


1 ? ?a +b=0, ? 解.当 0<a<1 时,函数 f(x)= a + b 在[-1,0]上为减函数,由题意得 0 解得 ?a +b=-1, ?


x

1 ? ?a=2, 3 ? 所以 a+b=- . 2 ?b=-2, ? 3 答案:- 2

10.(2015· 天津高考)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为________时,log2a· log2(2b) 取得最大值.

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8 解析:由于 a>0,b>0,ab=8,所以 b= . a 16? 所以 log2a· log2(2b)=log2a· log2? (4-log2a)=-(log2a-2)2+4, ? a ?=log2a· 当且仅当 log2a=2,即 a=4 时,log2a· log2(2b)取得最大值 4. 答案:4 11.(2015· 福建高考)若函数 f(x)=2|x
-a|

(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+∞)

上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 解析:因为 f(x)=2|x
- a|

,所以 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.又由 f(1+x)=f(1-x),知

f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 故 a=1, 且 f(x)的增区间是[1,+∞), 由函数 f(x)在[m,+∞) 上单调递增,知[m,+∞)?[1,+∞),所以 m≥1,故 m 的最小值为 1. 答案:1 命题点二 函数与方程 命题指数:☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题

难度:高、中

1.(2014· 湖北高考)已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-3x. 则 函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

解析:选 D 当 x≥0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)=x-3 的根,由 x2-3x=x-3, 解得 x=1 或 3;当 x<0 时,由 f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即 f(x)=-x2-3x. 由 f(x)=x-3 得 x=-2- 7(正根舍去).选 D. 6 2. (2014· 北京高考)已知函数 f(x)= x- log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是 ( ) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)

3 1 解析:选 C 因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0, 2 2 所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C. 3. (2015· 湖南高考)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点, 则实数 b 的取值范围是________. 解析:由 f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐标系中画出 y=|2x-2|与 y=b 的图象,如 图所示, 则当 0<b<2 时, 两函数图象有两个交点, 从而函数 f(x)=|2x

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-2|-b 有两个零点. 答案:(0,2) π? 2 4.(2015· 湖北高考)函数 f(x)=2sin xsin? ?x+2 ?-x 的零点个数为________. π? 2 2 2 解析:f(x)=2sin xsin? ?x+2?-x =2sin xcos x-x =sin 2x-x ,由 f(x)=0,得 sin 2x= x2. 设 y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象,如图所示.由图象知, 两个函数图象有两个交点,故函数 f(x)有两个零点.

答案:2 命题点三 函数模型及其应用 命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题 难度:高、中

1.(2015· 北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析:选 D 根据图象知消耗 1 升汽油,乙车最多行驶里程大于 5 千米,故选项 A 错; 以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最 少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升,行驶 1 小时, 里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,故选项 C 错;最高限速 80 千米/小时,丙车的燃油效率比 乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对.

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2.(2015· 四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关 系 y=ekx b(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192


小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. 解析:由已知条件,得 192=eb,∴b=ln 192. 又∵48=e22k b=e22k
+ +ln 192

=192e22k=192(e11k)2,

48 ? 2 ?1? 2 1 ∴e11k=? ?192? =?4? =2. 设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时,则 t=e33k =24. 答案:24
+ln

1

1

192

1? 3 =192e33k=192(e11k)3=192×? ?2?

第十节

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 →0 liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy →0 =liΔx m 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 Δx Δx

y′|x=x0,即 →0 f′(x0)=liΔx m f?x0+Δx?-f?x0? Δy →0 =liΔx m . Δx Δx

(2)导数的几何意义 : 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的 斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数). 相应地, 切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: →0 称函数 f′(x)=liΔx m f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x,(cos x)′=-sin_x,(ax)′=axln_a, (ex)′=ex,(logax)= 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); 1 1 ,(ln x)′=x. xln a

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(2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ? (3)? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

[小题体验]
1.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e B.2 1 D. e )

解析:选 A 由题意知 y′=ex,故所求切线斜率 k=ex|x=0=e0=1. 2. (教材习题改编)设函数 f(x)在(0, +∞)内可导, 且 f(x)=x+ln x, 则 f′(1)=________. 1 解析:由 f(x)=x+ln x(x>0),知 f′(x)=1+x,所以 f′(1)=2. 答案:2 3.(2015· 天津高考)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 1? 解析:f′(x)=a? x?=a(1+ln x). ?ln x+x· 由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3. 答案:3

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有 差别.

[小题纠偏]
1.函数 y= ln x 的导函数为________________. ex 1-xln x xex

答案:y′=

1 x 2.已知直线 y=-x+1 是函数 f(x)=-a· e 图象的切线,则实数 a=________. 1 解析:设切点为(x0,y0),则 f′(x0)=-a· ex0=-1, 1 ∴ex0=a,又-a· ex0=-x0+1,∴x0=2,a=e2. 答案:e2

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考点一

导数的运算

?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; 1 (2)y=ln x+x; (3)y= cos x ; ex

π π 2x+ ?cos?2x+ ?; (4)(易错题)y=xsin? 2? ? 2? ? (5)y=ln(2x-5). 解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. 1? ?1? (2)y′=? ?ln x+x?′=(ln x)′+?x?′ 1 1 =x- 2. x ?cos x?′ex-cos x?ex?′ cos x? x (3)y′=? ′ = ? e ? ?ex?2 =- sin x+cos x . ex

π? ? π? (4)∵y=xsin? ?2x+2?cos?2x+2? 1 = xsin(4x+π) 2 1 =- xsin 4x, 2 1 1 ∴y′=- sin 4x- x· 4cos 4x 2 2 1 =- sin 4x-2xcos 4x. 2 (5)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5

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[谨记通法]
求函数导数的三种原则

[提醒]

复合函数求导时,先确定复合关系, 由外向内逐层求导,必要时可换元.如

“题组练透”第(4)题易错.

考点二

导数的几何意义

?常考常新型考点——多角探明?

[命题分析]
导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解 答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值.

[题点全练]
角度一:求切线方程 1.(2015· 云南统测)已知 f(x)=x3-2x2+x+6,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围 成的三角形的面积等于( A.4 25 C. 4 ) B.5 13 D. 2

解析:选 C ∵f(x)=x3-2x2+x+6, ∴f′(x)=3x2-4x+1,∴f′(-1)=8, 故切线方程为 y-2=8(x+1),即 8x-y+10=0, 5 令 x=0,得 y=10,令 y=0,得 x=- , 4 1 5 25 ∴所求面积 S= × ×10= . 2 4 4 角度二:求切点坐标 2. 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是________. 1 解析:由题意得 y′=ln x+x· x=1+ln x,直线 2x-y+1=0 的斜率为 2.设 P(m,n),

则 1+ln m=2,解得 m=e,所以 n=eln e=e,即点 P 的坐标为(e,e). 答案:(e,e)

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角度三:求参数的值 3.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 C.-1 B.2 D.-2 )

解析: 选 B 设直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)的切点为(x0, y0), 则 y0=1+x0, y0=ln(x0 +a). 1 1 又 y′= ,所以 y′|x=x0= =1,即 x0+a=1. x+a x0+a 又 y0=ln(x0+a),所以 y0=0,则 x0=-1,所以 a=2.

[方法归纳]
导数几何意义的应用的 2 个注意点 (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在, 切线方程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处 的切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解.

?

一抓基础,多练小题做到眼疾手快 ) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2)

1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x2-a2) ∴f′(x)=3(x2-a2).
2 2

解析:选 C ∵f(x)=(x+2a)(x-a)2=x3-3a2x+2a3,

2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=( A.-e C.1 B.-1 D.e

)

1 解析: 选 B 由 f(x)=2xf′(1)+ln x, 得 f′(x)=2f′(1)+x.∴f′(1)=2f′(1)+1, 则 f′(1) =-1. 3.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 解析:选 C ∵y=sin x+ex, ∴y′=cos x+ex, ∴y′|x=0 =cos 0+e0=2, )

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

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∴曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0. 4.(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7), 则 a=________. 解析:∵f′(x)=3ax2+1, ∴f′(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2, ∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 答案:1 5.分别求下列函数的导数: 1 1? 2 (1)y=ex· cos x;(2)y=x? ?x +x+x3?. 解:(1)y′=(ex)′cos x+ex(cos x)′=excos x-exsin x. 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x ? 二保高考,全练题型做到高考达标 )

1.已知 f(x)=x(2 015+ln x),若 f′(x0)=2 016,则 x0=( A.e2 C.ln 2 解析: 选B B.1 D.e

1 f′(x)=2 015+ln x+x· =2 016+ln x, 故由 f′(x0)=2 016 得 2 016+ln x0 x

=2 016,则 ln x0=0,解得 x0=1. 2.(2015· 广州二模)已知函数 f(x)=(x2+2)(ax2+b),且 f′(1)=2,则 f′(-1)=( A.-1 C.2 解析:选 B B.-2 D.0 f(x)=(x2+2)(ax2+b)=ax4+(2a+b)x2+2b,f′(x)=4ax3+2(2a+b)x 为奇 )

函数,所以 f′(-1)=-f′(1)=-2. 2 3.(2016· 衡水调研)曲线 y=1- 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 解析:选 A ∵y=1- x 2 = , x+2 x+2 B.y=2x-1 D.y=-2x-2 )

x+2-x 2 ∴y′= = ,y′|x=-1 =2, ?x+2?2 ?x+2?2

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∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为 2, ∴所求切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 2 4.(2016· 南昌二中模拟)设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点,P 点处切线倾斜角 3 α 的取值范围为( ) 2π ? B. ? ? 3 ,π? π 5π? D. ? ?2, 6 ?

π? ?5π ? A. ? ?0,2?∪? 6 ,π? π? ?2π ? C. ? ?0,2?∪? 3 ,π?

解析:选 C 因为 y′=3x2- 3≥- 3,故切线斜率 k≥- 3,所以切线倾斜角 α 的 π? ?2π ? 取值范围是? ?0,2?∪? 3 ,π?. 1 7 5.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且 2 2 与 f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 的值为( A.-1 C.-4 1 解析:选 D ∵f′(x)= , x ∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0, ∴切线 l 的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x2 +mx0+ ,m<0, 2 0 2 于是解得 m=-2. 6.(2016· 太原一模)函数 f(x)=xex 的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________. 解析: ∵f(x)=xex, ∴f(1)=e,f′(x)=ex+xex, ∴f′(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 y= 2ex-e. 答案:y=2ex-e 7.(2015· 郑州二测)如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),其中 g′(x) 是 g(x) 的导函数,则 g′(3)=________. 1 解析:由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,即 3 )

B.-3 D.-2

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1 f′(3)=- . 3 又因为 g(x)=xf(x), 所以 g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3), 1? 由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+3×? ?-3?=0. 答案:0 a b c 8. 设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a, b, c 是两两不等的常数), 则 + + f′?a? f′?b? f′?c? =________. 解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc, ∴f′(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca, f′(a)=(a-b)(a-c), f′(b)=(b-a)(b-c), f′(c)=(c-a)(c-b). ∴ = a b c + + f′?a? f′?b? f′?c? a b c + + ?a-b??a-c? ?b-a??b-c? ?c-a??c-b?

a?b-c?-b?a-c?+c?a-b? = =0. ?a-b??a-c??b-c? 答案:0 9.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y= ln?2x+1? . x

解:(1)y′=(x· tan x)′=x′tan x+x(tan x)′ cos2x+sin2x ? sin x ?′=tan x+x· =tan x+x· ?cos x? cos2x =tan x+ x . cos2x

(2)y′= (x+ 1)′[(x+2)(x+3)]+(x+1)[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+ 3)+(x+1)(x+ 2)+ (x +1)(x+3)=3x2+12x+11. ln?2x+1??′ [ln?2x+1?]′x-x′ln?2x+1? (3)y′=? x2 x ? ? =

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?2x+1?′ 2x · x-ln?2x+1? -ln?2x+1? 2x+1 2x+1 = = x2 x2 2x-?2x+1?ln?2x+1? = . ?2x+1?x2 10.已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解:(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又 f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切 线方程为 y+2=x-2, 即 x-y-4=0.
3 2 (2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点 P(x0,x0 -4x2 0+5x0-4),∵f′(x0)=3x0-

8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点 P(x0,x3 0-4x0+5x0-4), 3 2 ∴x0 -4x2 0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或 y+2=0. ? 三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它 们的倾斜角互补,则 a 的值为( A. 27 8 ) B.-2 D.- 27 8

C.2

解析: 选 A 设切点坐标为(t, t3-at+a). 由题意知, f′(x)=3x2-a, 切线的斜率 k=y′|
2 x=t=3t -a

①,所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t) ②.将点 A(1,0)代入②式得

3 3 -(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解得 t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 2 2 27 27 k= -a,由题意得它们互为相反数,故 a= . 4 8 1 2.已知函数 f(x)= x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围.

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解:(1)由题意得 f′(x)=x2-4x+3, 则 f′(x)=(x-2)2-1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k, k≥-1, ? ? 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,? 1 ? ?-k≥-1, 解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x2-4x+3<0 或 x2-4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2 ]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞).

第十一节

导数的应用

1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f′(x)≥0?f(x)在(a, b)上为增函数.f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. 2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b) =0;而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

[小题体验]
1.(教材习题改编)函数 f(x)=ex-x 的减区间为________.

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答案:(-∞,0) 1 2.(教材习题改编)函数 f(x)= x3-4x+4 的极大值为________. 3 答案: 28 3

3.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大值是________. 答案:3

1.求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯,会造成问题不能直观且有条理的解 决. 2.求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论. 3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分 极值点和导数为 0 的点.

[小题纠偏]
1 1.函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) )

B.(0,1] D.(0,+∞)

1 解析:选 B 函数 y= x2-ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x-x= ,令 y′≤0,则可得 0<x≤1. x 2.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 2 解析:y′=6x2-4x,令 y′=0,得 x=0 或 x= . 3 2? 8 ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f? ?3?=-27,f(2)=8. ∴最大值为 8. 答案:8

第一课时

导数与函数的单调性

考点一

判断或证明函数的单调性
[典例引领]

?重点保分型考点——师生共研?

(2015· 江苏高考节选)已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

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试讨论 f(x)的单调性. 解:f′(x)=3x2+2ax,令 f′(x)=0, 解得 x1=0,x2=- 2a . 3

当 a=0 时,因为 f′(x)=3x2≥0,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 2a? ? 2a ? 当 a>0 时,x∈? ?-∞,- 3 ?∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈?- 3 ,0?时,f′(x)<0, 2a 2a -∞,- ?,(0,+∞)上单调递增,在?- ,0?上单调递减; 所以函数 f(x)在? ? 3? ? 3 ? 2a 2a? ? ? 当 a<0 时,x∈(-∞,0)∪? ?- 3 ,+∞?时,f′(x)>0,x∈?0,- 3 ?时,f′(x)<0, 2a 2a? ? ? 所以函数 f(x)在(-∞,0),? ?- 3 ,+∞?上单调递增,在?0,- 3 ?上单调递减.

[由题悟法]
导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的 3 步骤 (1)一求.求 f′(x); (2)二定.确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)三结论.作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. [提醒] 类讨论. 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分

[即时应用]
(2015· 云南统考)已知函数 f(x)=ln x- x . 1+2x

(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 1 (2)若 f[x(3x-2)]<- ,求实数 x 的取值范围. 3 解:(1)证明:由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞). ∵f(x)=ln x- x , 1+2x

2 1 1+2x-2x 4x +3x+1 ∴f′(x)= - . 2 = x ?1+2x? x?1+2x?2

∵x>0,∴4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0. ∴当 x>0 时,f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. x (2)∵f(x)=ln x- , 1+2x ∴f(1)=ln 1- 1 1 =- . 3 1+2×1

1 由 f[x(3x-2)]<- 得 f[x(3x-2)]<f(1). 3

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? ?x?3x-2?>0, 1 2 由(1)得? 解得- <x<0 或 <x<1. 3 3 ?x?3x-2?<1, ?

1 ? ?2 ? ∴实数 x 的取值范围为? ?-3,0?∪?3,1?.

考点二

求函数的单调区间

?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]
(2015· 长春质量监测)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= x? 1 2 f ? ?2?-4x +(1-a)x+a. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=f′(1)e2x 2+2x-2f(0),


f′?1? 2x-2 2 · e +x -2f(0)x,g(x)= 2

∴f′(1)=f′(1)+2-2f(0),即 f(0)=1. 又 f(0)= f′?1? -2 · e ,∴f′(1)=2e2, 2

∴f(x)=e2x+x2-2x. (2)∵f(x)=e2x+x2-2x, x? 1 2 1 2 x 1 2 x ∴g(x)=f ? ?2?-4x +(1-a)x+a=e +4x -x-4x +(1-a)x+a=e -a(x-1), ∴g′(x)=ex-a. ①当 a≤0 时,g′(x)>0,函数 g(x)在 R 上单调递增; ②当 a>0 时,由 g′(x)=ex-a=0 得 x=ln a, ∴x∈(-∞,ln a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(ln a,+∞)时,g′(x)>0,g(x) 单调递增. 综上,当 a≤0 时,函数 g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当 a>0 时,函数 g(x)的 单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).

[由题悟法]
确定函数单调区间 4 步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求 f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

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[即时应用]
4 (2015· 重庆卷改编)已知函数 f(x)=ax3+x2(a∈R)在 x=- 处取得极值. 3 (1)确定 a 的值; (2)若 g(x)=f(x)ex,求 g(x)的单调区间. 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax2+2x, 4 因为 f(x)在 x=- 处取得极值, 3 4? 所以 f′? ?-3?=0, 16 ?-4?=16a-8=0,解得 a= 1 即 3a· +2· ? 3? 3 3 9 2. 1 3 2? x (2)由(1)得 g(x)=? ?2x +x ?e , 3 2 ? x ?1 3 2? x 故 g′(x)=? ?2x +2x?e +?2x +x ?e 1 3 5 2 ?x =? ?2x +2x +2x?e 1 = x(x+1)(x+4)ex. 2 令 g′(x)=0,解得 x=0 或 x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知,g(x)的减区间为(-∞,-4)和(-1,0),增区间为(-4,-1)和(0,+∞).

考点三

已知函数的单调性求参数的范围

?题点多变型考点——纵引横联?

[典型母题]
已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)在 R 上为增函数,求实数 a 的取值范围. [解] (1)f′(x)=3x2-a.

①当 a≤0 时,f′(x)≥0,

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所以 f(x)在 (-∞,+∞)上为增函数. 3a ; 3

②当 a>0 时,令 3x2-a=0 得 x=±

当 x>

3a 3a 或 x<- 时,f′(x)>0; 3 3

当-

3a 3a <x< 时,f′(x)<0. 3 3

因此 f(x)在 -∞,-

? ?

3a? ? 3a ? ? 3a, 3a?上为减函数. , ,+∞ 上为增函数,在 - a ? 3 ? ? 3 ? ? 3

综 上可知 ,当 a≤0 时 ,f(x)在 R 上为增函数 ;当 a>0 时,f(x)在 -∞,-

?

第二章 函数、导数及其应用

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第二章 函数、导数及其应用

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2-2第二章 函数、导数及其应用

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2-4第二章 函数、导数及其应用

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