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2015全国卷1数学试卷及答案(文科)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ) 绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。

r />1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A (A) 5 (B)4 (C)3 (D)2

B 中的元素个数为

2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

4、如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中 任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ?

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8 x 的焦点重合, A, B 2

(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 6、 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有 委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米 堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛 7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12 )

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( (A) ( k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

(B) (2k? ?

1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

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(C) ( k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4

(D) (2k ?

1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12

10、已知函数 f ( x) ? ? (A) ?

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
5 4

,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ?

4 7

(B) ?

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视 图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
x?a 12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2 的图像关于直线 y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,

则 a ?( ) (A) ?1

(B) 1

(C) 2

(D) 4

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则 a ?
3

. .

?

?

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 P 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8


?

?

,当 ?APF 周长最小

时,该三角形的面积为

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ) 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)已知 a , b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .
2

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ) 19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi ,和年销售量

yi ? i ? 1, 2,3,

,8? 的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un 小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截距的最

20(本小题满分 12 分)已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,
2 2

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ) N 两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN .

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e

2x

? a ln x .
2 . a

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ) 如图 AB 是圆 O 直径,AC 是圆 O 切线,BC 交圆 O 与点 E. (I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是圆 O 切线; (II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半
2 2

轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

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