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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.3 数学归纳法

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第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 栏 目 链 接 1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明 一些简单的数学问题. 2.重点是数学归纳法及其应用,难点是对数学归 纳法的原理的理解,关键是弄清数学归纳法的两个步 骤及其作用. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 基 础 梳 理 1.数学归纳法. 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合,如果:①证明起始命

pk p1或p0 题 (____________) 成立;②在假设 __________ 成立的前提下,推出 pk+1 也成立,那么可以断定,{p(n)}对一切自然数成立. __________ 2.用数学归纳法证题的步骤: 0 0 (1) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 __________( 例 如 __________ 或 n n =0 栏 目 链 接 n0=1 时,命题{p(n)}正确; __________) n=k k≥n0 , k∈N*) 时 命 题 正 确 , 证 明 当 n = (2) 假 设 __________( k+1 时命题也正确,即 p(k+1)为真; __________ (3)根据(1)(2)知,当 n≥n0 且 n∈N*时,p(n)正确. 自 测 自 评 1 1 1 1. 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*, 2 3 2 -1 n>1)时,第一步应验证不等式( 1 A.1+ <2 2 1 1 C.1+ + <3 2 3 ) 1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 栏 目 链 接 解析:∵n∈N*,n>1,∴n 取第一个自然数为 2,左端 1 1 分母最大的项为 2 = . 2 -1 3 答案:B 自 测 自 评 2.用数学归纳法证明 1+2+3+?+(2n+1)=(n+ 1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添 的代数式是( ) B.(2k-1)+(2k+1) D.(2k+2)+(2k+4) 栏 目 链 接 A.(2k+1)+(2k+2) C.(2k+2)+(2k+3) 自 测 自 评 解析:当 n=k 时,左边是共有 2k+1 个连续自然数 相加,即 1+2+3+?+(2k+1),所以当 n=k+1 时, 左边共有 2k+3 个连续自然数相加, 即 1+2+3+?+(2k +1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k +2)+(2k+3).故选 C. 答案:C 栏 目 链 接 自 测 自 评 3.用数学归纳法证明: “(n+ 1)(n+ 2)· ?· (n+ n) =2n· 1· 3· ?· (2n-1)”. 从“k 到 k+1”左端需增乘的代 数式为( ) B.2(2k+1) 2k+1 C. k+1 2k+3 D. k+1 栏 目 链 接 A.2k+1 解析: 当 n=k 时左端的第一项为(k+1), 最后一项为(k+k). 当 n=k+1 时,左端的第一项为(k+2),最后一项为(2k+2).∴左边乘 以(2k+1)(2k+2),同时还要除以(k+1). 答案:B 栏 目 链 接 题型1 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 1 - 1+ 1- 1 +?+ 1 - 1 = 2 3 4 2n-1 2n 1 1 1 + +?+ . 2n n+1 n+2 栏 目 链 接 分析:要证明等式的左边共 2n 项,右边共 n 项, f(k)与 f(k+1)相比左边增两项,右

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