nbhkdz.com冰点文库

2015江苏省高考数学19题别解

时间:


2015 江苏省高考数学 19 题别解
山石
2015 江苏省高考数学 19 题:
已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? b(a, b ? R) 。 (1)试讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范 围恰好是 (?? ,?

3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。

3 2

3 2

(1)略。

2a 4 3 )? a ?c?a 3 27 3 3 因为函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 2 2 4 3 a ?c?a 记 h( a ) ? 27 3 2a ? ? ①当 a ? (1, ) 时,由(1)知,函数 f ( x) 递增区间为 ? ? ?,? ? , ?0,??? ,函数 f ( x) 递减 2 3 ? ? 2a 4 3 3 ? 2a ? ) ? 0, a ? c ? a ? 0 在 a ? (1, ) 区间为 ? ? 从而有 f (0) ? 0 , 且 f (? 即c ? a且 ,0 ? , 3 27 2 ? 3 ? 4 2 3 3 3 恒成立。因 a ? (1, ) h ?(a ) ? a ? 1 ? 0 ,故函数 h(a) 在 (1, ) 上为减函数,有 h(a ) ? h( ) , 因 9 2 2 2 3 3 3 h(a) ? 0 在 a ? (1, ) 恒成立,得 h( ) ? 0 ,解得 c ? 1 ,又 c ? a 在 a ? (1, ) 恒成立,得 c ? 1 ,所 2 2 2 以 c ? 1。 3 2a ? ? ②当 a ? ( ,?? ) 时,由(1)知,函数 f ( x) 递增区间为 ? ? ?,? ? ,?0,??? ,函数 f ( x) 递 2 3 ? ? 2a 4 3 ? 2a ? a ?c?a ?0在 减区间为 ?? ,0 ? , 从 而 有 f (0) ? 0 , 且 f ( ? ) ? 0 , 即 c ? a 且 3 27 ? 3 ? 4 3 3 3 a ? ( ,?? ) 恒成立。因 a ? ( ,?? ) h?(a ) ? a 2 ? 1 ? 0 ,故函数 h(a) 在 ( ,?? ) 上为增函数, 9 2 2 2 3 3 3 3 有 h(a ) ? h( ) ,因 h(a) ? 0 在 a ? ( ,?? ) 恒成立,得 h( ) ? 0 ,解得 c ? 1 ,又 c ? a 在 a ? ( ,?? ) 恒 2 2 2 2 3 3 成立,得 c ? ,所以 1 ? c ? 。 2 2 ? 2a ? ③当 a ? (??,?3) 时,由(1)知,函数 f ( x) 递增区间为 ?? ?,0? , ? ? ,?? ? ,函数 f ( x) ? 3 ? 2a 4 3 2a ? ? a ?c?a ?0在 递减区间为 ? 0,? ? ,从而有 f (0) ? 0 ,且 f ( ? ) ? 0 ,即 c ? a 且 3 27 3 ? ?
(II)解法一:由(1)知,函数 h( x) 的两个极值为 f (0) ? c ? a , f (?

4 a ? (??,?3) 恒成立。因 a ? (??,?3) h?(a ) ? a 2 ? 1 ? 0 ,故函数 h(a) 在 (??,?3) 上为增函数, 9 有 h(a) ? h(3) ,因 h(a) ? 0 在 a ? (??,?3) 恒成立,得 h(3) ? 0 ,解得 c ? 1 ,又 c ? a 在 a ? (??,?3)
恒成立,得 c ? ?3 ,所以 ? 3 ? c ? 1 。 综上, c ? 1

解法二: 因为函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? )
3 , ? 3 时,函数 f ( x) 没有三个不同的零点。 2 3 3 3 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? c ? (1) 当 a ? 时, (1) 知, 函数 f ( x) 递增区间为 ?? ?,?1? , ?0,??? , 2 2由 2 函数 f ( x) 递减区间为 ?? 1,0? , 函数 f ( x) 没有三个不同的零点。 从而有 f (0) ? 0 , 或 f (?1) ? 0 , 3 得 c ? 1或 c ? 2 2? ? (2) 当 a ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? c ? 1 由 (1) 知, 函数 f ( x) 递增区间为 ? ? ?,? ? ,?0,??? , 3? ? ? 2 ? 函数 f ( x) 递减区间为 ? ? ,0 ? ,因函数 f ( x) 没有三个不同的零点。从而有 f (0) ? 0 ,或 ? 3 ? 2 23 f (? ) ? 0 ,得 c ? 1 或 c ? 3 27 3 (3)当 a ? -3 时, f ( x) ? x ? 3x 2 ? c ? 3 由(1)知,函数 f ( x) 递增区间为 ?? ?,0? ,?2,??? , 函数 f ( x) 递减区间为 ?0,2? , 因函数 f ( x) 没有三个不同的零点。 从而有 f (0) ? 0 , 或 f (2) ? 0 , 得 c ? 1 或 c ? ?3 3 3 ? 3 时, 综上当 a ? 1 , , 函数 f ( x) 没有三个不同的零点。 所以得 c ? 1 或 c ? ?3 或 c ? 2 2 3 下面证明当 c ? ?3 或 c ? 时,不合题意。 2 3 3 2a ? ? 若 c ? 时, 当 a ? (1, ) , 由 (1) 知, 函数 f ( x) 递增区间为 ? ? ?,? 函数 f ( x) ? ,?0,??? , 2 2 3 ? ? 3 3 ? 2a ? 递减区间为 ? ? ,0 ? ,有 f ( x) 有极小值 f (0) ? c ? a ,因 c ? 时, a ? (1, ) ,有 f (0) ? 0 , 2 2 ? 3 ? 3 函数 f ( x) 有一个零点。从而 c ? 不合题意。 2 3 2a ? ? 若 c ? ?3 时,当 a ? (1, ) ,由(1)知,函数 f ( x) 递增区间为 ? ? ?,? ? , ?0,??? ,函数 2 3 ? ? 2a 2a 4 ? 2a ? f ( x) 递减区间为 ? ? ,0 ? ,有 f ( x) 有极大值 f ( ? ) ,记 h(a) ? f ( ? ) = a 3 ? c ? a , 3 3 27 ? 3 ? 4 2 3 3 因 a ? (1, ) ,有 h ?(a ) ? a ? 1 ? 0 ,故函数 h(a) 在 (1, ) 上为减函数,有 h(a) ? h(1) ? 0 ,函数 9 2 2 f ( x) 有一个零点。从而 c ? ?3 不合题意。
可知 a ? 1 ,
3 2 2 当 c ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? a ? ?x ? 1? x ? (a ? 1) x ? 1 ? a

3 2

3 2

设 g ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 1 ? a , x ? (a ? 1) x ? 1 ? a ? 0 有两个异于-1 的不等实根,所以
2 2

?

? ?

?

?

?

3 3 ? ? 0 且 g (?1) ? 0 ,解得 a ? (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 2 2
综上, 函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 时,c ? 1

3 2

3 2

3 3 2 2 3 转化为方程 x 3 ? c ? a ? ax2 有三个不同的解问题。设函数 h( x) ? x ? c ,函数 g ( x) ? a ? ax2 3 3 即函数 y ? h( x) ,函数 y ? g ( x) 图像在 a ? (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 有三个不同交点问题。 2 2 3 函数 h( x) ? x ? c 单调递增,图像过(0, c ) (1)当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? a ? ax2 图像开口向上,过点(0, a )

解法三: 因为函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? )

y

y

y

O

x

O

x

O

x

由函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 及函数图像分 析知:当 a ? ?3 时,函数 h( x) ? x 3 ? c 与函数 g ( x) ? ?3(1 ? x 2 ) 图像相切。设两个函数的切点
2 为 ( x0 , y0 ) 可得 3x0 ? 6x0 ,解得 x0 ? 0 ,或 x0 ? 2 。当 x0 ? 0 时, h(0) ? g (0) 解得 c ? ?3 ;

3 2

3 2

当 x0 ? 2 时,解得 c ? 1 。所以 c ? 1 或 c ? ?3
2 (2)当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? a ? ax 图像开口向下,过点(0, a )

y

y

y

O

x

O

x

O

x

由函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 及函数图像分

3 2

3 2

3 3 2 、 a ? 1 时,函数 h( x) ? x ? c ,函数 g ( x) ? a ? ax 图像相切 2 3 3 2 3 ①当 a ? 时,函数 h( x) ? x ? c 与函数 g ( x) ? (1 ? x ) 图像相切。设两个函数的切点 2 2 3 2 为 ( x0 , y0 ) 可得 3x0 ? ?3x0 ,解得 x0 ? 0 ,或 x0 ? ?1 。当 x0 ? 0 时, h(0) ? g (0) 解得 c ? ; 2 3 当 x0 ? ?1 时,解得 c ? 1 。所以 c ? 1 或 c ? 2 3 2 ②当 a ? 1 时,函数 h( x) ? x ? c 与函数 g ( x) ? (1 ? x ) 图像相切。设两个函数的切点为
析知:当 a ? y y y

O

x

O

x

O

x

2 2 ( x0 , y0 ) 可得 3x0 ? ?2x0 ,解得 x0 ? 0 ,或 x 0 ? ? 。当 x0 ? 0 时, h(0) ? g (0) 解得 c ? 1 ; 3 2 23 23 当 x 0 ? ? 时,解得 c ? 。所以 c ? 1 或 c ? 3 27 27 3 综上当 a ? ,1、-3 时,函数 y ? h( x) ,函数 y ? g ( x) 图像均相切时, c ? 1 2
下面证明当 c ? 1 时符合题意。函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 1 ? a ? ?x ? 1? x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? a

设 g ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 1 ? a , x ? (a ? 1) x ? 1 ? a ? 0 有两个异于-1 的不等实根,所以
2 2

?

? ?

?

?

?

3 3 ? ? 0 且 g (?1) ? 0 ,解得 a ? (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 2 2
综上: 函数 f ( x) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) 。 则c ? 1

3 2

3 2


2015新课标(1)高考理科数学21题别解

2015新课标(1)高考理科数学21题别解_高考_高中教育_教育专区。2015 新课标(1)高考理科数学 21 题别解山石 2015 新课标(1)高考理科数学 21 题 1 , g ( x...

2015重庆高考理科数学20题别解

2015重庆高考理科数学20题别解_数学_高中教育_教育专区。2015 重庆高考理科数学 20 题别解山石 2015 重庆高考理科数学 20 题: 3x 2 ? ax 设函数 f ? x ?...

2015陕西省高考理科数学18题别解

2015陕西省高考理科数学18题别解_数学_高中教育_教育专区。2015 陕西省高考理科数学 18 题别解山石 2015 陕西省高考理科数学 18 题:, ?? ? ?C ? 1 , ?D...

2016新课标(2)高考理科数学19,20题别解

2016新课标(2)高考理科数学19,20题别解_数学_高中教育_教育专区。2016 新课标(2)高考理科数学 19 题 20 题别解(19) (本小题满分 12 分) AB ? 5 , ...

2016四川省高考理科数学18题21题别解

2016四川省高考理科数学18题21题别解_数学_高中教育_教育专区。2016 四川省高考理科数学 18 题 21 题别解 1 AD ,E 2 18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ...

2015年全国高考文科数学分类汇编——15.选修部分

2015年全国高考文科数学分类汇编——15.选修部分_高考_高中教育_教育专区。2015 ...去绝对值号;③分 别解去掉绝对值的不等式; ④取每个结果的并集, 注意在分段...

2007年广东高考文科数学试题及答案

2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答一、选择题:本大题共l0小题,每小...2x (别解: 2ax 2 + 2 x ? 3 ? a = 0 ? (2 x 2 ? 1) a = ...

2007年数学高考四川(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正

2007年数学高考四川(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正2007年数学高考四川(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正隐藏>> 2007 年数学高考四川卷 理)第 22(Ⅲ)题别解的纠正 年...