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2011年广东省实验中学、华师附中、广雅中学三校高三联考数学试卷(理科)(广州一模后)


2011 年广东省实验中学、 华师附中、 广雅中学三校 高三联考数学试卷(理科) (广州一模后)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. 分) (5 (2004?浙江)设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则?U(A∪B)=( A.{2} B.{3} C.{1,2,4} D.{1,4} )

2.

分) (5 (2011?广州一模)已知函数 f(x) =1﹣2x, a=f 若 (log30.8) , A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b



,则 (



3. 分) (5 (2011?广州一模)下列命题不正确 的是( ) A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直 B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行 C.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直 D.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行

4. 分) (5 (2012?淄博二模)函数 A. B.

(0<a<1)的图象的大致形状是( C. D.



5. 分) (5 (2012?武昌区模拟)设 A1、A2 为椭圆 A2 的点 P,使得 A. B.

的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、 )

,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( C. D.

6. 分) (5 (2011?广州一模)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,

,AB=AC=A1A=1,已知 G 与 E 分

别是棱 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点(不包括端点) .若 GD⊥EF,则线段 DF 的长 度的取值范围是( )

1

A.[

,1)

B. [ ,2)

C.[1,



D.[





7. 分) (5 (2011?广州一模)袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为( ) A..0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.0562

8. 分) (5 (2011?广州一模)任意 a、b∈R,定义运算 A.最小值为﹣e B. 最小值为 C. 最大值为 D.最大值为 e

,则 f(x)=x*e 的(

x



二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 分) (5 (2011?广州一模)若框图(如图)所给程序运行的结果 断条件是_________. ,那么判断框中可以填入的关于 k 的判

10. 分) (5 (2011?广州一模)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足①f(x)+f(x+2)=2x ﹣4x+2,②f(x+1)﹣f(x ﹣1)=4(x﹣2) ,若 成等差数列,则 t 的值为_________.

2

11. 分) (5 (2011?广州一模)若对一切 θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a﹣sinθ)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范 围为_________.
2

12. 分) (5 (2011?广州一模)设 O 点在△ ABC 内部,且有 比为_________.

,则△ ABC 的面积与△ AOC 的面积的

13. 分) (5 (2011?广州一模)记集合 T={0,1,2,3,4,5,6}, 将 M 中的元素按从大到小顺序列,则第 2005 个数是_________.



14. 分) (5 (2012?湘潭三模) (几何证明选讲选做题)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°,D 为 OB 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为_________.

15. (2011?广州一模)曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,直角坐标系中的点 M 的坐标为(0,2) 为曲线 C 上任意 ,P 一点,则|MP|的最小值是_________. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16. (12 分) (2011?广州一模)已知 ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 ,求角 C. (其中

17. (12 分) (2011?广州一模)在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的 演出顺序(序号为 1,2,…7) ,求: (1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ξ 的分布列与期望.

18. (14 分) (2010?湖北)如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设为 P 为 AC 的中点,Q 为 AB 上一点,使 PQ⊥OA,并计算 (Ⅱ)求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值. 的值;

3

19. (14 分) (2011?广州一模)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点



点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过△ ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围.

20. (14 分) (2011?广州一模)已知 α,β 是方程 4x ﹣4tx﹣1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 定义域为[α,β]. (Ⅰ)求 g(t)=maxf(x)﹣minf(x) ; (Ⅱ)证明:对于 ,若 sinu1+sinu2+sinu3=1,则 < .

2



+

+

21. (14 分) (2011?广州一模) 已知数列{an}满足 a1=1, n+1=an+2n (I) a (n=1, 3…) {bn}满足 b1=1, 2, ,

(n=1,2,3…) ,求证:

. .

(II) 已知数列{an}满足:a1=1 且

.设 m∈N+,m≥n≥2,证明(an+



(m

﹣n+1)≤



4

2011 年广东省实验中学、 华师附中、 广雅中学三校 高三联考数学试卷(理科) (广州一模后)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. 分) (5 (2004?浙江)设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则?U(A∪B)=( A.{2} B.{3} C.{1,2,4} D.{1,4} 考点: 分析: 解答: 点评: 交、并、补集的混合运算. 根据并集的含义先求 A∪B,注意 2 只能写一个,再根据补集的含义求解. 解:集合 A∪B={1,2,4},则 CU(A∪B)={3}, 故选 B. 本题考查集合的基本运算,较简单.
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2. 分) (5 (2011?广州一模)已知函数 f(x) =1﹣2x, a=f 若 (log30.8) , A.a<b<c 考点: 专题: 分析: B.b<c<a 对数值大小的比较. 计算题. C.c<a<b D.a<c<b



,则 (



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由 a=f(log30.8)=1﹣2log30.8,

=1﹣2×



1﹣2×



,能够比较 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:∵a=f(log30.8)=1﹣2log30.8>1, =1﹣2× <1,

1﹣2×

<1,

, ∴b<c<a. 故选 B. 本题考查对数函数的性质和应用,解题时要注意指数函数单调性的合理运用.

点评:

3. 分) (5 (2011?广州一模)下列命题不正确 的是( ) A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直 B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行 C.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直
5

D.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 考点: 分析: 解答: 平面与平面之间的位置关系. 由线面垂直的定义,面面垂直的判定定理,面面平等的判定定理,两条直线位置关系的定义,及线 面平行的判定定理,我们对四个答案逐一进行分析,即可得到结论. 解:如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线, 由线面垂直的定义得,该直线垂直于另一个平面, 再由面面垂直的判定定理,我们可得两平面垂直,故 A 正确; 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则一个平面内必有两条相交直线平行于另一个 平面, 则由面面平行的判定定理,我们可得两平面平行,故 B 正确; 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线不一定垂直,故 C 错误 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 由线面平行的性质定理,我们可得这条直线和交线平行,故 D 正确; 故选 C 本题考查的知识点是空间平面与平面之间的位置关系,其中熟练掌握平面与平面关系的定义及空间 线面关系的判定方法及性质定理是解答本题的关键.
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点评:

4. 分) (5 (2012?淄博二模)函数 A. B.

(0<a<1)的图象的大致形状是( C. D.



考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像与性质. 图表型;数形结合. 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简,并用分段函数表示,根据 a 的范围和指数函数的图形选出答 案.
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解:因 故选 D. 点评:

,且 0<a<1,

本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,在高考中占整个试卷的 左右.复习时,要立足课本,务实基础(特别是函数的图象与性质等) .

5. 分) (5 (2012?武昌区模拟)设 A1、A2 为椭圆 A2 的点 P,使得 A. B.

的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、 )

,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( C. D.

考点:

椭圆的简单性质.

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6

专题: 分析:

计算题;数形结合. 由 ,可得 y =ax﹣x >0,故
2 2 2 2

0<x<a,代入
2 3 2 2

=1,整理得(b ﹣a )x +a x﹣a b =0

2

2

2

3

2 2

在(0,a )上有解,令 f(x)=(b ﹣a )x +a x﹣a b =0, ,结合图形,求出椭圆的离心率 e 的范围. 解答: 解:A1(﹣a,0) 2(a,0) ,A ,设 P(x,y) ,则 ∵ =(﹣x,﹣y) ,
2 2

=(a﹣x,﹣y) ,

,∴(a﹣x) (﹣x)+(﹣y) (﹣y)=0,y =ax﹣x >0,∴0<x<a.

代入

=1,整理得(b ﹣a )x +a x﹣a b =0 在(0,a )上有解,
2 2 2 3 2 2 2 2

2

2

2

3

2 2

令 f(x)=(b ﹣a )x +a x﹣a b =0,∵f(0)=﹣a b <0,f(a)=0,如图: 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 △ =(a ) ﹣4×(b ﹣a )×(﹣a b )=a ( a ﹣4a b +4b )=a (a ﹣2c ) ≥0, ∴对称轴满足 0<﹣ <a,即 0< <a,∴ <1,

> ,又 0< <1,∴

< <1,故选 D.

点评:

本题考查两个向量坐标形式的运算法则,两个向量的数量积公式,一元二次方程在一个区间上有实数 根的条件, 体现了数形结合的数学思想.

6. 分) (5 (2011?广州一模)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,

,AB=AC=A1A=1,已知 G 与 E 分

别是棱 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点(不包括端点) .若 GD⊥EF,则线段 DF 的长 度的取值范围是( )

7

A.[

,1)

B. [ ,2)

C.[1,



D.[





考点: 专题: 分析:

点、线、面间的距离计算;棱柱的结构特征. 计算题.

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建立空间直角坐标系,设出 F、D 的坐标,求出向量 DF 的表达式,然后利用二次函数求最值即可.

,利用 GD⊥EF 求得关系式,写出

解答:

解:建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,E(0,1, ) , G( ,0,1) ,F(x,0,0) ,D(0,y,0)由于 GD⊥EF,所以 DF= = x+2y﹣1=0 =

当 y= 时,线段 DF 长度的最小值是 当 y=1 时,线段 DF 长度的最大值是 2, 而不包括端点,故 y=1 不能取 2; 故选 B.

点评:

本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力,空间直角坐标系,数量积等知识,是中档题.

7. 分) (5 (2011?广州一模)袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为( ) A..0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.0562 考点: 等可能事件的概率.

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专题: 分析: 解答:

计算题;分类讨论. 第 4 次恰好取完所有红球有三种情形,红白白红,白红白红,白白红红;然后分别求出每种情形的 概率,从而求出第 4 次恰好取完所有红球的概率. 解:第 4 次恰好取完所有红球有三种情形,红白白红,白红白红,白白红红 ∴第 4 次恰好取完所有红球的概率为 ×( )×
2

+

×

×

×

+(

)×

2

×

=0.0434.

点评:

故选:B. 本题是一个等可能事件的概率问题,考查互斥事件的概率, 这种问题在高考时可以作为一道解答题, 解决本题的关键就是讨论三种情形.

8. 分) (5 (2011?广州一模)任意 a、b∈R,定义运算 A.最小值为﹣e B. 最小值为 C. 最大值为 D.最大值为 e

,则 f(x)=x*e 的(

x



考点: 专题: 分析: 解答:

函数单调性的性质. 压轴题;新定义. 先由定义求出 f(x)的表达式,在利用分段函数求值域分段找的方法求出函数的最值.
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解:由题中定义可得 f(x)=



∴f′(x)=



当 x≤0 时,f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数, 所以 f(x)在 x=﹣1 时取极小值 f(﹣1)=﹣ , 当 x>0 时,f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(0,1)上为减函数, 所以 f(x)在 x=1 时取极小值 f(1)=﹣ , 又因为 f(﹣1)=f(1)=﹣ , 所以 f(x)=x*e 的最小值为﹣ , 故选 B. 本题在考查新定义的基础上,又考查了分段函数求值域的方法,关于新定义的题,关键在于理解新定 义,并会用新定义解题.
x

点评:

二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 分) (5 (2011?广州一模)若框图(如图)所给程序运行的结果 断条件是 k<2010(或其他适合的条件) . ,那么判断框中可以填入的关于 k 的判

9

考点: 专题: 分析:

程序框图. 计算题.

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按照程序框图执行几次,找出此框图的算法功能,由条件 确定判断框内的条件即可. 解:按照程序框图依次执行: s=0,k=1,s=0+ k=2,s= k=3,s=1﹣ 以此类推,s=1﹣ =

解不等式得出 k 的范围,进一步

解答:

,所以 k>2009,k 的最小值为 2010.

点评:

故判断框内的条件可为 k<2010 故答案为:k<2010 本题考查循环程序的程序框图、归纳推理、裂项相消求和等知识,难度稍大.
2

10. 分) (5 (2011?广州一模)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足①f(x)+f(x+2)=2x ﹣4x+2,②f(x+1)﹣f(x ﹣1)=4(x﹣2) ,若 成等差数列,则 t 的值为 2 或 3 .

考点: 专题: 分析:

等差数列的性质;函数的值. 计算题. 由

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成等差数列,根据等差数列的性质列出关系式,根据 f(x+1)﹣f(x
2

﹣1)=4(x﹣2) ,设 x﹣1=m,解出 x,代入得到一个关系式,记作(i) ,又根据 f(x)+f(x+2)=2x ﹣4x+2,记作(ii) ,由(ii)﹣(i)化简即可得到 f(x)的解析式,利用求出的解析式化简前面的关系 式,得到关于 t 的方程,求出方程的解即可得到 t 的值. 解答: 解:因为 成等差数列,所以 f(t﹣1)+f(t)=﹣1,

又 f(x+1)﹣f(x﹣1)=4(x﹣2) ,令 x﹣1=m,则 x=m+1, 得 f(m+2)﹣f(m)=4(m﹣1) ,即 f(x+2)﹣f(x)=4x﹣4, (i) 2 而 f(x)+f(x+2)=2x ﹣4x+2, (ii)

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由(ii)﹣(i)得:f(x)= (2x ﹣8x+6)=x ﹣4x+3, ∴f(t﹣1)+f(t)=t ﹣2t+1﹣4t+4+t ﹣4t+3=2t ﹣10t+11=﹣1, 2 即 t ﹣5t+6=0,解得 t=2 或 t=3. 故答案为:2 或 3 此题考查学生掌握等差数列的性质,掌握函数值的意义,是一道基础题.灵活运用题中的两个条件推导 出 f(x)的解析式是解本题的关键.
2 2 2

2

2

点评:

11. 分) (5 (2011?广州一模)若对一切 θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a﹣sinθ)i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范 围为 .

考点: 专题: 分析:

复数求模. 计算题. 2 2 2 由题意可得(a+cosθ) +(2a﹣sinθ) =5a +1+2
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asin(θ+?)≤4,即 2

asin(θ+?)+5a ﹣3≤0,即

2

,求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得 (a+cosθ) +(2a﹣sinθ) =5a +1+2a(cosθ﹣2sinθ)=5a +1+2 2 即 2 asin(θ+?)+5a ﹣3≤0.令 sin(θ+?)=x,﹣x≤x≤1, 2 则 f(x)=2 a x+5a ﹣3 (﹣x≤x≤1)是一次函数, 由题意得 f(x)≤0,∴ ,
2 2 2 2

asin(θ+?)≤4,

解得 故答案为 点评:

, .

本题考查复数的模的定义,两角和的正弦函数,一次函数在闭区间上小于 0 的条件,得到 , 是解题的关键.

12. 分) (5 (2011?广州一模)设 O 点在△ ABC 内部,且有 比为 3 . 考点: 专题: 分析: 向量在几何中的应用. 计算题. 根据 2 解答: =﹣4

,则△ ABC 的面积与△ AOC 的面积的

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,变形得∴

,利用向量加法的平行四边形法则可得

,从而确定点 O 的位置,进而求得△ ABC 的面积与△ AOC 的面积的比.

解:分别取 AC、BC 的中点 D、E, ∵ ∴ , ,即 2 =﹣4
11



∴O 是 DE 的一个三等分点, ∴ =3,

故答案为:3.

点评:

此题是个基础题. 考查向量在几何中的应用, 以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础 知识,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.

13. 分) (5 (2011?广州一模)记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},



将 M 中的元素按从大到小顺序列,则第 2005 个数是



考点: 专题: 分析: 解答:

元素与集合关系的判断. 新定义. 理解集合描述法的含义.根据 M 中元素的取值发现规律,类似于 7 进制的问题,然后根据 7 进制进行 转换即可.
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解:M={ 其中 ,

},

可以看出是 7 进制数(a1a2a3a4)7, 4 则最大的数为(6666)7=7 ﹣1=2400, 按从大到小顺序列,第 2005 个数是 2400﹣2004=396, 即从 1 起从小到大排的第 396 个数, 396=7 +7 +4,即(1104)7,故原数是 故答案为: 点评: .
3 2



本题考查集合的方法比较新颖,集合问题关键是要理解集合中所表示的元素是什么.对于规律型的问 题,关键是要找到规律所表示的是什么,如本题中的 7 进制与 10 进制之间的转换.本题难度较大.

14. 分) (5 (2012?湘潭三模) (几何证明选讲选做题)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90°,D 为 OB 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为 .

考点:

与圆有关的比例线段.

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专题: 分析: 解答:

计算题. 延长 BO 交⊙O 与点 C,我们根据已知中⊙O 的半径为 2, ,∠AOB=90°,D 为 OB 的中点,我们易得 ,代入相交弦定理,我们即可求出线段 DE 的长. 解:延长 BO 交⊙O 与点 C,

由题设知: , 又由相交弦定理知 AD?DE=BD?DC, 得 故答案为: 点评: 本题考查的知识是与圆有关的比例线段,其中延长 B0 交圆于另一点 C,从而构造相交弦的模型是解答 本题的关键.

15. (2011?广州一模)曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,直角坐标系中的点 M 的坐标为(0,2) 为曲线 C 上任意 ,P 一点,则|MP|的最小值是 考点: 专题: 分析: 解答: .

简单曲线的极坐标方程;两点间的距离公式;圆的一般方程. 计算题;压轴题. 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心和半径,|MP|的最小值是 MC 线段的长度减去半径.
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解:由题设知:曲线 C 的直角坐标方程是 x +y =2x,即是以 C(1,0)为圆心,1 为半径的圆, ∴ ;

2

2

点评:

故答案为 . 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,两点间的距离公式的应用,得到|MP|min=|MC|﹣1 是 解题的关键.

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16. (12 分) (2011?广州一模)已知 ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 考点: 专题: 分析: ,求角 C. (其中

解答:

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;解三角形. 计算题. (1)利用二倍角公式、两角差的余弦函数展开,合并后,化为一个角的一个三角函数的形式,利用 周期求出 ω,结合正弦函数的单调增区间,求出函数的单调增区间. (2)通过 f(A)=1,求出 A 的值,利用正弦定理求出 B,C. 解: (1)
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= = ∵T=π,ω>0,

13

∴ 故递增区间为 (2)∴ 即 或







又 a<b,∴A<B,故 由 若 若 ,则 ,则 得 . .

舍去,∴ ,∴ 或

. ,

注意:没有说明“∵ 点评:

”扣(2 分)

本题是中档题,考查三角函数的化简求值,三角函数公式的灵活运应,正弦定理的应用,注意 A 的 范围是确定 A 的大小的根据,考查计算能力,逻辑推理能力.

17. (12 分) (2011?广州一模)在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的 演出顺序(序号为 1,2,…7) ,求: (1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ξ 的分布列与期望. 考点: 专题: 分析: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 计算题.

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(1)由题意设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”, 则由等可能性事件的概率计算公式即可求得; (2)由于题意知道 ξ 表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数,有题意则 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, 5,再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得. 解: (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”.由 等可能性事件的概率计算公式得 (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5, , , , , .

解答:

, 从而 ξ 的分布列为 ξ 0 P



1

2

3

4

5

所以,
14



点评:

此题重点考查了学生理解题意的能力,还考查了离散型随机变量的定义及其分布列.并用分布列及期望 定义求出随机变量的期望.

18. (14 分) (2010?湖北)如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设为 P 为 AC 的中点,Q 为 AB 上一点,使 PQ⊥OA,并计算 (Ⅱ)求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值. 的值;

考点: 专题: 分析:

平面与平面之间的位置关系. 计算题. 解法一: (1)要计算

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的值,我们可在平面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N,连接 NC.则根据已知 的值.

条件结合平面几何中三角形的性质我们易得 NB=ON=AQ,则易求出

(2)要求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值,我们可连接 PN,PO,根据三垂线定理,易得∠OPN 为二面角 O﹣AC﹣B 的平面角,然后解三角形 OPN 得到二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值. 解法二:取 O 为坐标原点,分别以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 我们易根据已知给出四面体中各点的坐标,利用向量法进行求解, (1)由 A、Q、B 三点共线,我们 可设 值,即 的值; ,然后根据已知条件,构造关于 λ 的方程,解方程即可得到 λ 的

解答:

(2) 要求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值, 我们可以分别求出平面 OAC 及平面 ABC 的法向量, 然后根据求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解. 解:法一: (Ⅰ)在平面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N,连接 NC. 又 OA⊥OC,∴OA⊥平面 ONC ∵NC?平面 ONC, ∴OA⊥NC. 取 Q 为 AN 的中点,则 PQ∥NC. ∴PQ⊥OA 在等腰△ AOB 中,∠AOB=120°, ∴∠OAB=∠OBA=30° 在 Rt△ AON 中,∠OAN=30°, ∴ 在△ ONB 中,∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO, ∴NB=ON=AQ. ∴

15

解: (Ⅱ)连接 PN,PO, 由 OC⊥OA,OC⊥OB 知:OC⊥平面 OAB. 又 ON?OAB, ∴OC⊥ON 又由 ON⊥OA,ON⊥平面 AOC. ∴OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影. 在等腰 Rt△ COA 中,P 为 AC 的中点, ∴AC⊥OP 根据三垂线定理,知: ∴AC⊥NP ∴∠OPN 为二面角 O﹣AC﹣B 的平面角 在等腰 Rt△ COA 中,OC=OA=1,∴ 在 Rt△ AON 中, ∴在 Rt△ PON 中, , .



解法二: (I)取 O 为坐标原点,分别以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz(如图所示) 则 ∵P 为 AC 中点,∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ 所以存在点 , 即 , . . , ,且 , . ,∵ . ,

使得 PQ⊥OA 且

(Ⅱ)记平面 ABC 的法向量为 =(n1,n2,n3) ,则由



,故可取

又平面 OAC 的法向量为 =(0,1,0) .
16

∴cos< , >= 两面角 O﹣AC﹣B 的平面角是锐角,记为 θ,则



点评:

空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值; 空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值; 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值;

19. (14 分) (2011?广州一模)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点



点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过△ ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 圆与圆锥曲线的综合;轨迹方程. 综合题.

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(Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 AB、AC、BC 的距离依次为

.点 P(x,y)到 .由此能求出点

P 的轨迹方程. 2 2 2 2 (Ⅱ)点 P 的轨迹包含圆 S:2x +2y +3y﹣2=0 与双曲线 T:8x ﹣17y +12y﹣8=0.△ ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1=d2=d3,解得 能够求出直线 L 的斜率 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)直线 AB、AC、BC 的方程依次为 到 AB、 BC 的距离依次为 AC、
2 2 2 2 2 2 2 2

.设 L 的方程为

.再分情况讨论

.点 P(x,y) . 依设,1d2=d3 , d
2 2

得|16x ﹣(3y﹣4) |=25y ,即 16x ﹣(3y﹣4) +25y =0,或 16x ﹣(3y﹣4) ﹣25y =0,化简得 点 P 的轨迹方程为 2 2 2 2 圆 S:2x +2y +3y﹣2=0 与双曲线 T:8x ﹣17y +12y﹣8=0 (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 2 2 圆 S:2x +2y +3y﹣2=0① 2 2 与双曲线 T:8x ﹣17y +12y﹣8=0②△ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1=d2=d3,解得

17

,且知它在圆 S 上.直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率 存在,设 L 的方程为 ③ 平行于 x 轴,表明 L 与双曲线

(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线

有不同于 D 的两个公共点,所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点. (ii)当 k≠0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点.这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情 况: 情况 1:直线 L 经过点 B 或点 C,此时 L 的斜率 ②得 y(3y﹣4)=0,解得 E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F. 故当 时,L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点. (11 分) ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 与双曲线 T ,直线 L 的方程为 x=±(2y﹣1) .代入方程 .表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、

情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即

有且只有一个公共点.即方程组

有且只有一组实数解,消去 y 并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是 8﹣17k =0④ 或 解方程④得 ,解方程⑤得 ⑤ . . (14 分)

2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围 点评:

求题考查点的轨迹方程的求法和求 L 的斜率 k 的取值范围,解题时要认真审题,注意分类讨论思想 的合理运用,利用圆锥曲线的性质恰当地进行等价转化.

20. (14 分) (2011?广州一模)已知 α,β 是方程 4x ﹣4tx﹣1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 定义域为[α,β]. (Ⅰ)求 g(t)=maxf(x)﹣minf(x) ; (Ⅱ)证明:对于 ,若 sinu1+sinu2+sinu3=1,则 < .

2



+

+

考点: 专题: 分析:

不等式的证明;函数的最值及其几何意义. 计算题;证明题. 2 2 (Ⅰ)先设 α≤x1<x2≤β,则 4x1 ﹣4tx1﹣1≤0,4x2 ﹣4tx2﹣1≤0,利用单调函数的定义证明 f(x)在区 间[α,β]上是增函数.从而求得函数 f(x)的最大值与最小值,最后写出 g(t)
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18

(Ⅱ)先证:

从而利用均值不等式与柯西不等式即得:

+ 解答:

+
2


2



解: (Ⅰ)设 α≤x1<x2≤β,则 4x1 ﹣4tx1﹣1≤0,4x2 ﹣4tx2﹣1≤0, ∴



又 故 f(x)在区间[α,β]上是增函数. 分) (3 ∵ ∴ ,

=

(6 分)

(Ⅱ)证:

(9 分)

∴ (15 分) ∵

19

, 而均值不等式与柯西不等式中, 等号不能同时成立, ∴

+

+

< 点评:

. (14 分)

本题主要考查了不等式的证明、函数的最值及其几何意义,解答关键是利用函数单调性求最值及均值 不等式与柯西不等式的灵活运用.

21. (14 分) (2011?广州一模) 已知数列{an}满足 a1=1, n+1=an+2n (I) a (n=1, 3…) {bn}满足 b1=1, 2, ,

(n=1,2,3…) ,求证:

. .

(II) 已知数列{an}满足:a1=1 且

.设 m∈N+,m≥n≥2,证明(an+



(m

﹣n+1)≤



考点: 专题: 分析:

数列与不等式的综合. 综合题. (I)记

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,则

.而

.从而有

.由

,知

,从而有

.所以



(II)设





比较

系数得 c=1.由此入手能够证明(an+ 解答: 解: (I)证明:记



(m﹣n+1)≤



,则

. 分) (2

而 因为 a1=1,an+1=an+2n,所以 ak+1﹣1=k(k+1)(5 分) .
20

. 分) (4

从而有

.①

又因为

,所以





.从而有

.②(6 分)

由(1)和(2)即得 In<1.综合得到



左边不等式的等号成立当且仅当 n=1 时成立. 分) (7 (II)不妨设 比较系数得 c=1. 即 又 故 ,故{ }是首项为 公比为 的等比数列, (10 分) 即 与

这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强. 即证( ,当 m=n 时显然成立.易验证当且仅当 m=n=2 时,等号成立.



下面先研究其单调性.当 m>n 时,

(12 分)

即数列{bn}是递减数列.因为 n≥2,故只须证

,即证

.事实上,

故上不等式成立.综上,原不等式成立. 点评: 本题考查数列的性质和综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理 地进行等价转化.

21


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