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必修1:第一讲 集合


第一讲
一、目标要求:

集合

1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言, 集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集 的含义. 3. 理解两个集合的交集,并集与补集的含义,会求两个集合的交集,并集与补 集;能使

用文氏图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的 作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等 式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形结合思想和分类讨论思想.

二、知识点讲解:
(一)集合的概念 1.集合的概念 一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫 元素;元素与集合间的关系用符号“∈” 、 “ ? ”表示. ①集合通常用大写的拉丁字母表示,如:A,B,C,D,? ②元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a,b,c,d,? ③例如,设 A={1,2,3,4},则 4∈A,而 5 ? A 2.集合中元素的特征 ① 确定性:集合中的元素必须是确定的,不能摸棱两可 ② 互异性:集合中的元素是互不相同的;在一个集合中,每个元素不重复出 现 ③ 无序性:集合中的元素与排序无关 3.集合的表示方法 ①列举法:把集合中的元素一一列举出来,用逗号隔开,写在大括号内 说明:用列举法表示集合,列出元素要求不遗漏,不增加,不重复,但与元素 列出顺序无关 ②描述法:把集合中的元素所具有的共同属性描述出来,写在大括号内 格式:{ x∈A | P(x)} 说明: 理解下述集合中各元素具有什么特征或满足什么条件 A={x| x2+4x=0}-----集合 A 是由方程 x2+4x=0 的解组成 A={x|x2+4x>0}------集合 A 是由不等式 x2+4x>0 的解集组成 x ?1 x ?1 A={x| y= }-----集合 A 为函数 y= 的定义域 x?2 x?2 A={y|y= x2+4x}-----集合 A 为函数 y= x2+4x 的值域 A={(x,y)| x+4y=0}-----集合 A 是由方程 x+4y=0 的解组成,这是一个点集
1

③图示法:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法如下图所示:

4.集合的分类 含有 含有 个元素的集合叫做有限集 个元素的集合叫做无限集 的集合叫做空集,记作 ? 说明:不要把数 0 或集合{0}与空集 ? 混淆,{0}是含有一个元素的集合. 5.常用到的数集 所有自然数组成的集合叫自然数集,记作 记作 ) 、 所有的整数组成的集合叫整数集,记作 所有的有理数组成的集合叫有理数集,记作 所有的实数组成的集合叫实数集,记作 偶数集 A= {x x ? 2n, n ? z} (二)集合间的关系 1.子集与真子集 一般地,如果 B 的子集,记作 A?B 或 B?A . 即: A ? x∈B. 如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A B 或 B A. 性质:①任何集合 A 是它本身的子集,即 A?A ②传递性:若 A?B,B?C,则 A?C ③空集是任何集合 A 的子集,即 ? ?A; 空集是任何非空集合 A 的真子集,即 Φ 数为 真子集的个数为 为 合 B,记作 A=B. ? 用最适当的符号填空:? (三)集合的运算 1.交集 : A∩B ? {x|x∈A 且 x∈B}. 性质:①A∩A=A ②A∩ ? = ? ③A∩B= B∩A ④A ? B ? A∩B=A
2

(在自然数集内排除 0 的集合

奇数集 A= {x x ? 2n ? 1, n ? z}

,那么集合 A 叫做集合 A?B ? x∈ ,那么集

A

④子集的个数:若一个集合 A 中的元素个数有 n 个,则集合 A 的子集个 , 非空真子集的个数

,

2.集合相等:若两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合 A 等于集

?0? ; 0

? ;?0?

{ ? };?

{? }

A

B

2.并集:

A∪B ? {x|x∈A 或 x∈B}. ②A∪ ? =A ④A ? B ? A∪
A B B=B

性质:①A∪A=A ③ A ∪ B= B ∪ A 3.补集:

CU A = {x|x∈U 且 x ? A}.
②A∩ CU A = ?
A

性质:①A∪ CU A =A 4.集合运算:常用转化

A? B ? A ? A ? B . A? B ? A ? A ? B

注意:在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 因此需要对集合 A 行分类讨论.
(四)解决集合问题的方法 1.解决集合概念与关系的主要方法 ①解决集合问题, 首先要弄清楚集合中的元素是什么, 即元素分析法的掌握. ②弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; ③抓住集合中元素的 3 个性质,对互异性要注意检验; ④正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. 2.解决集合运算的主要方法 ①求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; ②含参数的问题, 要有分类讨论的意识, 分类讨论时要防止在空集上出问题; ③集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键.

三、例题与练习:
(一)集合的含义与表示 【例 1】给出下列说法, 其中正确的是___________ ①地球周围的行星能构成一个集合; ②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合; ③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合.
2 ④方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1}

【例 2】已知集合 A={a-2,2a2+5a,10} ,又-3∈A,求出 a 之值。

3

【例 3】已知下列集合用列举法表示以下各集合 (1) A1 ={n | n = 2k+1,k ? N,k ? 5} ; (2) A2 ={x | x = 2k, k ? N, k ? 3} ; (3) A3 ={x | x = 4k+1,或 x = 4k-1,k ? N , k ? 3} ; 6 变式: (1)已知集合 M={x∈N| ∈Z} ,则集合 M=__________________. 1+x 6 (2)已知集合 N={ ∈Z | x∈N} ,则集合 N =__________________. 1+x 【例 4】知集合 A={ a 的值.

x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R },若 A 中只有一个元素,求
2

【练习】 1.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3
2

) .

C.5

D.9

2.已知集合 A 中只含有 1,a 两个元素,则实数 a 不能取的值为 3.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} ) B.M={3,2},N={2,3} D.M={1,2},N={(1,2)}

4.集合 {( x, y) 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? Z} 用列举法表示为 5.如右图所示,I 为全集,M、P、S 为 I 的子集,则阴影部分 所表示的集合为( A.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(CI S) ) B.(M∩P)∩S D.(M∩P)∪(CI S)
4



(二)集合间的关系 【例5】集合B={a,b,c},C={a,b,d},集合A满足A?B,A?C.则集合A的个数是( A.8 B.3 C.4 D.1 【例6】设集合A={2,8,a} ,B={2,a2-3a+4}且B A,求a的值。 )

【例 7】 集合 A ? ? x ?2 ? x ? 5? , B ? ? x ?m ? 1 ? x ? 2m ? 1? 且 A ? B ,求实数 m 的 取值范围.

【练习】 1. 若集合P={x|x2-3x+2=0},集合Q={x|x<3,且x∈N},则集合P,Q的关系是 2. 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},则集合A的所有子集个数是 (三)集合的基本运算(交、并、补、子集运算) 【例8】已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M∪N=( A.{x|x<-5,或x>-3} C.{x|-3<x<4} B.{x|-5<x<4} D.{x|x<-3,或x>5} ) . _

【例 9】全集 U={1,2,3,4,5},且 A ? (Cu B)={1,2}, B ? (Cu A)={3,5},
A ? B ? ? ,则集合 A=

,B=

.

【例 10】若 A ? ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? R? , B ? ?1, 2?,且 A ? B ? A ,求 a 的范围.

5

【例 11】设 P ? x | 12 ? x ? x 2 ? 0 , ,Q ? ? x m ? 1 ? x ? 3m ? 2? ,若 Q ? P ? P ,求 m 的取值范围。

?

?

【练习】 1.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? _______. 2. 集合 M ? x x ? px ? 2 ? 0 , N ? x x ? x ? q ? 0 , 且M ? N ? ?2?
2 2

?

?

?

?

,则

p+q=______. 3. 设全集 I ? {1,3,5,7,9} ,集合 A ? {1, a ? 5 ,9} , CI A ? {5,7} ,则实数 a 的值为 _____________. 4. 某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两 项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 5. 已 知 R 为 实 数 集 , 集 合 A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0} . 若 B ? C R A ? R ,

B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,则集合 B=
6.设集合 P ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3} . (1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;

.

6

课后练习:
1.方程组 x ? 2 y ? 3 的解集是( A . ?51 , ? B. ?1, 5?

?2x ? y ? 11

). C. ??51 , ?? D. ??15 , ??

2. 巳知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和 N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? } 的关系的韦恩图如图 1 所 示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷个 3. 集合 A ? ?x x ? 3k , k ? Z?, B ? ?x x ? 6k , k ? Z ? , 则 A, B 间最适合的关系是 ( A. A ? B B. A ? B C. A ? ?B D. A ? ?B ) .

4.已知 a, b, c 为非零实数, 代数式 列判断正确的是( A. 0 ? M ). B. ?4 ? M

a b c abc ? ? ? 的值所组成的集合为 M, 则下 | a | | b | | c | | abc |

C. 2?M

D. 4?M

5 . 设 P 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q = ?x | x ? P, 且x ? Q? , 如 果

P ? ?x log2 x ? 1?, Q ? x x ? 2 ? 1 那么 P ? Q 等于(
A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2}
2

?

?

) D.{x|2≤x<3}

6. 设集合 M ? ? x x ? m ? 0? , N ? y y ? ? x ? 1? ? 1, x ? R , 若 M ? N ? ? , 则 实数 m 的范围是( A. m ≥ ?1 7. 函数 f ( x) ? ? ) C. m ≤ ?1 D. m ? ?1 ___ B. m ? ?1

?

?

8. 集合 A ? ??1,3, 2m ?1? ,集合 B ? ?3, m 2 ? ,若 B ? A ,则实数 m 的值为 9. 满足 ?a, b? ? A ? ?a, b, c, d? 的集合 A 的个数有 个。

1 g ( x) ? ln(1 ? x) 定义域为 N , 定义域为 M , 则M ? N= 1? x

10. 设 A ? {x x 2 ? 4 x ? 0}, B ? {x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} , 其 中 x ? R , 如 果
A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

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