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2014高考数学选择题与填空题专项(过关训练)


2014 高考数学选择题与填空题专项过(关训练)
【例题 1】 A、1 一个正四面体,各棱长均为 2 ,则对棱的距离为( B、
1 2



C、 2

D、

2 2

此题情境设置简洁, 解决方法也多,通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转 化为直角三角形求解

。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中 (如图 1) ,则瞬间得到结果,就是该正方体的棱长,为 1,选 A。

图1
【练习 2】 、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ? ,侧面与底面 所成角为

? ,则 2cos ? ? cos 2? 的值是(
A、1 B、

) D、-1
? ?

1 2

C、0

(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时, ? ? 90 , ? ? 90 , 那么

2cos ? ? cos 2? ? 2cos90? ? cos180? ? ?1 ,选 D)
【练习 3】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的 高,那么 sin A、1

C?A C?A ? cos 的值是( ) 2 2 1 1 B、 C、 D、-1 2 3
?

( 提 示 : 进 行 极 限 分 析 , ? ? 0 时 , 点 C ? ? , 此 时 高 h ? 0, c ? a , 那 么
? ? C ? 180 ,A ? 0,所以 sin

C?A C?A ? cos ? sin 90? ? cos 0? ? 1,选 A。 ) 2 2

【练习 5】 、若 0 ? ? ? ? ? A、 a ? b B、 a ? b

?

4

,sin ? ? cos ? ? a,sin ? ? cos ? ? b, 则(
C、 ab ? 1 D、 ab ? 2



(提示:进行极限分析,当 ? ? 0 时, a ? 1 ;当 ? ? 选 A)

?
4

时, b ? 2 ,从而 b ? a ,

【练习 6】 、双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直 线 PF 的斜率的变化范围是( ) A、 (??, 0) B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (1, ??)

C、 (??,0) ? (1, ??)

(提示:进行极限分析,当 P ? ? 时,PF 的斜率 k ? 0 ;当 PF ? x 时,斜率不存在, 即 k ? ?? 或 k ? ?? ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 k ? 1 。选 C。 ) 【练习 7】(06 辽宁文 11)与方程 y ? e2 x ? 2ex ? 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y ? x 对称 、 的曲线方程为( D、 y ? ? ln(1 ? x ) (提示: 用趋势判断法: 显然已知曲线方程可以化为 y ? (ex ?1)2 ( x ? 0) , 是个增函数。 再令 x ? ??, 那么 y ? ??, 那么根据反函数的定义,在正确选项中当 y ? ?? 时应该有 x ? ??, 只有 A 符合。当然也可以用定义法解决,直接求出反函数与选项比较之。 ) 【练习 8】 、若 sin ? ? cos ? ? 1 ,则对任意实数 n, sinn ? ? cosn ? ? ( A、1 B、区间(0,1) C、 ) )A、 y ? ln(1 ? x ) B、 y ? ln(1 ? x ) C、 y ? ? ln(1 ?

x)

1 2n?1

D、不能确定

(提示:用估值法,由条件 sin ? ? cos ? ? 1 完全可以估计到 sin ? ,cos ? 中必定有一个 的值是 1,另一个等于 0,则选 A。另外,当 n=1,2 时,答案也是 1) 【练习 9】 、已知 c ? 1 ,且 x ? c ? 1 ? c , y ? c ? c ?1 ,则 x, y 之间的大小关 系是( ) A、 x ? y B、 x ? y C、 x ? y D、与 c 的值有关

(提示:此题解法较多,如分子有理化法,代值验证法,单调性法,但是用趋势判断 法也不错:当 c ? 1 时, x ? 2 ? 1 ;当 x ??? 时, x ? 0 ,可见函数 t ? 1 ? t 递减, ∴选 B) 八、估值判断 有些问题,属于比较大小或者确定位臵的问题,我们只要对数值进行估算,或者对位 臵进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例题】 已知 x1 是方程 x ? lg x ? 3 的根,x2 是方程 x ? 10 ? 3 的根, x1 ? x2 ?( ) 、 则
x

A、6 B、3 C、2 D、1 【解析】 、我们首先可以用图象法来解:如图,在同一

坐标系中作出四个函数, y ? 10 x , y ? lg x , y ? 3 ? x ,

y ? x 的图象,设 y ? 3 ? x 与 y ? lg x 的图象交于点 A,其
横坐标为 x1 ; y ? 10 x 与 y ? 3 ? x 的图象交于点 C,其横坐标

3 。因为 y ? 10 x 与 y ? lg x 为反函 2 3 数,点 A 与点 B 关于直线 y ? x 对称,所以 x1 ? x2 ? 2? =3,选 B。 2
为 x2 ; y ? 3 ? x 与 y ? x 的图象交于点 B,其横坐标为 此属于数形结合法,也算不错,但非最好。现在用估计法来解它:因为 x1 是方程

x ? lg x ? 3 的 根 , 所 以 2 ? x1 ? 3, x2 是 方 程 x ? 1 0x ? 3的 根 , 所 以 0 ? x2 ? 1, 所 以

2 ? x1 ? x2 ? 4, 选 B。
【练习 1】 、用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共 有( ) A、24 个 B、30 个 C、40 个 D、60 个
1 ( 提示:如果用直接法可以分两步:先排个位,在两个偶数中任取一个有 C2 种方法; 2 1 2 第二步在剩下的 4 个数字中任取两个排在十位与百位有 A4 种,由乘法原理,共有 C2 A4 =24 3 个,选 B。用估计法:五个数字可以组成 A5 ? 60 个三位数,其中偶数不到一半,选 B。 )

【练习 2】 、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成,2003 年某地农民人均收入 为 3150 元,其中工资性收入为 1800 元,其它收入 1350 元。预计该地区农民自 2004 年起工 资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每年增加 160 元,根据以上数据,2008 年 该地区农民人均收入介于( )元 A、 (4200,4400) B、 (4400,4600)C、 (4600,4800)D、 (4800,5000) (提示:由条件知该地区农民工资性收入自 2004 年起构成以 a1 ? 1800, q ? 1 ? 6% 的 等比数列,所以 2008 年工资性收入为 a6 ? 1800(1 ? 0.06)5 ? 1800 ? (1 ? 5 ? 0.06) ? 2340 元;其它收入构成以 1350 为首项,公差为 160 的等差数列,所以所以 2008 年其它收入为 1350+160?5=2150 元,所以 2008 年该地区农民人均收入约为 2340+2150=4490 元,选 B。 ) 【练习 3】 、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( ) A、

16 ? 9

B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

(提示:用估计法,设球半径 R,△ABC 外接圆半径为

r?

2 3 , 3

则 S 球= 4? R ? 4? r ?
2 2

16 ? ? 5? ,选 D) 3

【练习 4】 、如图,在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,

EF ?

3 ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则 2
) C、6 D、

该多面体的体积为( A、

9 2

B、5

15 2

(提示:该多面体的体积比较难求,可连接 BE、CF,问题转化为四棱锥 E-ABCD 与三棱 锥 E-BCF 的体积之和,而 VE ? ABCD =6,所以只能选 D) 【练习 5】 、在直角坐标平面上,已知 A(-1,0) 、B(3,0) ,点 C 在直线 y ? 2 x ? 2 上, 若∠ACB > 90? ,则点 C 的纵坐标的取值范围是( A、 (??, )

2 5 2 5 4 5 4 5 ,1 ? ) )?( , ??) B、 (1 ? 5 5 5 5
D、 (?

C、 (?

4 5 4 5 , 0) ? (0, ) 5 5

4 5 4 5 , ) 5 5

(提示:如图,M、N 在直线 y ? 2 x ? 2 上,且∠AMB=∠ANB= 90? ,要使∠ACB > 90? , 点 C 应该在 M、N 之间,故点 C 的纵坐标应该属于某一开区间,而点 C 的纵坐标是可以为负 值的,选 D) 【练习 6】 、已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是 60 ,底面三角形三边长 分别是 7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为( A、 12 5 B、 24 5 C、 6 5 ) D、 18 5
?

(提示:你可以先求出 ? ABC 的面积为 12 5 ,再利用射影面积公式求出侧面面积为 你也可以先求出 ? ABC 的面积为 12 5 , 之后求出 P 在底面的射影到个侧面的距离, 24 5 ; 都是三棱锥 P-ABC 的高的一半,再利用等体积法求得结果,但好象都不如用估值法:假设底 面三角形三边长都是 8,则面积为

3 2 ? 8 ? 16 3 ,这个面积当然比原来大了一点点,再 4

利用射影面积公式求出侧面面积为 32 3 ,四个选项中只有 24 5 与之最接近,选 B) 【练习 7】(07 海南、宁夏理 11 文 12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射 、 箭 20 次,三人测试成绩如下表
甲的成绩 环数 7 8 9 10

频数

5

5

5

5 环数 频数

乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数

丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

S1 , S2 , S3 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A、 S3 ? S1 ? S2 B、 S2 ? S1 ? S3 C、 S1 ? S2 ? S3

) D、 S2 ? S3 ? S1

(提示:固然可以用直接法算出答案来,标准答案正是这样做的,但是显然时间会花得多。 你可以用估计法:他们的期望值相同,离开期望值比较近的数据越多,则方差——等价于标 准差会越小!所以选 B。这当然也可以看作是直觉法) 【练习 8】(07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上的三 、 点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC 等于( A、9 B、6 C、4 D、3

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?



(提示:很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图 形完全可能如右边所示(数形结合) ,可以估计(估值法) 到, FB ? FC 稍大于 MN (通径,长为 4) , ∴ FA ? FB ? FC ? 6 ,选 B。 当然也可以用定义法:由 FA ? FB ? FC ? 0 可知 xA ? xB ? xC ? 3 ,由抛物线定义有

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? FA ? xA ? 1, FB ? xB ? 1, FC ? xC ? 1 ,所以 FA ? FB ? FC =6)
【练习 9】(07 福建理 12)如图,三行三列的方阵中有 9 个数 、

aij (i ? 1,2,3, j ?1,2,3) ,从中任取三个数,则至少有两个数位于
同行或同列的概率是( )

? a11 ? ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? a33 ? ?

A、

3 7

B、

4 7

C、

1 14

D、

13 14

(提示:用估值法,至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同列,这种
3 情况仅有 6 种,在总共 C9 种取法数中所占比例很小,∴选 D)

【练习 10】 (07 湖北理 9)连续投掷两次骰子的点数为 m, n ,记向量 b=(m,n) 与向量 a=(1,-1)的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? ? 的概率是( ) ? ? ? 2? A、

5 12

B、

1 2

C、

7 12

D、

5 6

(提示:用估值法,画个草图,立刻发现在 ?AOB 范围内(含在 OB 上)的向量 b 的个数 超过一半些许,选 C,完全没有必要计算)

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则( ) 2 3 5 A、 a ? b ? c B、 c ? b ? a C、 c ? a ? b D、 b ? a ? c ln 2 ln 4 ? (提示:注意到 ,可知不能够用单调性法去判断。问题等价于 2 4 lg 2 lg 3 lg 5 a? ,b ? ,c ? 的时候比较 a、b、c 的大小,∵lg2=0.3010,lg3=0.4771, 2 3 5
【练习 11】 (05 年四川)若 a ? lg5=0.6990,∴ a=0.1505,b=0.1590, c=0.1398,选 B。 当然,直接用作差比较法也是可以的。 ) 九、直接解答 并不是所有的选择题都要用间接法求解,一般来讲,高考卷的前 5、6 道选择题本身就 属于容易题,用直接法求解往往更容易;另外,有些选择题也许没有间接解答的方法,你别 无选择; 或者虽然存在间接解法, 但你一下子找不到, 那么就必须果断地用直接解答的方法, 以免欲速不达。当然要记得一个原则,用直接法也要尽可能的优化你的思路,力争小题不大 作。 【 例 题 】 ( 07 重 庆 文 12 ) 已 知 以 F (?2,0), F (2,0) 为 焦 点 的 椭 圆 与 直 线 、 1 1

x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(
2 7
D、 4 2

)A、 3 2

B、 2 6

C、

x2 y2 【解析】 、设长轴长为 2a ,则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,与直线方程联立消去 x 得 a a ?4

(4a2 ?12) y2 ? 8 3(a2 ? 4) y ? (16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,由条件知 ? ? 0 ,即
, , 192(a2 ? 4)2 ?16(a2 ? 3)(16 ? a2 )(a2 ? 4) ? 0 ,得 a ? 0 (舍) a ? 2 (舍) a ? 7 ∴ 2a ? 2 7 ,选 C 。 【练习 1】 、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)

) 的部分图象如右,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009 =( )
A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2

(提示:直接法。由图知,A=2,

T 2? ? ?x ? 6 ? 2 ? 4 ,? ? ? ,∴ f ( x) ? 2 sin , 2 T 4 4

由图象关于点(4,0)以及直线 x ? 2, x ? 4 对称知: f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 0 ,由

) 2009=251?8+1 知, f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009 =0+ f (1) ? 2 sin

?
4

= 2 ,选 B)

【练习 3】 、正方体 AC1 中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 C- A E -B 的正切值为( 1



A、

5 2

B、 5

C、 3

D、2

(提示:用直接法。取 C1D1 的中点 F,连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延长线的垂 线于 M, 连接 CM, CB ? 面 ABB1A1, CM ? AE, 由 得 所以 ?CMB 就是二面角 C-A1E-B 的平面角,

B 现在设 CB=2, B ? 则 M E
选 B)

?i BM n E s ?

?? 1

CB 2 tan ? 5, , Rt△CMB 中, ?CMB ? 在 BM 5

【练习 4】 、设 F1 , F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的两个焦点,以 F 为圆心,且过椭圆中心的圆与 1 椭圆的一个交点为 M,若直线 F2 M 与圆 F 相切, 1 )A、 2 ? 3 B、 3 ? 1

则该椭圆的离心率是(

C、

3 2

D、

2 2

(提示:用直接法。由已知可得 MF ? c ,又 MF1 ? MF2 ? 2a ,∴ MF2 ? 2a ?c ,又 1 直 线 F2 M 与 圆 F 相 切 , ∴ MF ? MF2 , ∴ M 12 ? F 1 1

M22? F

1

, F22 F 即

c 2 ? ( 2a ? c2) ? ( ,解得 e ? c2 ) 2
3

c ? ?1 ? 3 ,∵ 0 ? e ? 1 ,∴ e ? 3 ?1 ,选 B) a
2

【练习 5】 、函数 f ( x) ? ax ? (a ?1) x ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称, 则 f ( x ) 在[-4,4]上的单调性是( 4]上是减函数 C、减函数 )A、增函数 B、 在[-4,0]上是增函数, [0,

D、 在[-4,0]上是减函数, [0,4]上是增函数

(提示: f ( x ) 的图象关于原点成中心对称, f ( x ) 为奇函数,∴ a ? 1, b ? 0 ,∴

f ( x) ? x3 ? 48x ,易知 x ?? ?4, 4? 上 f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 递减,选 B)
【 练 习 6 】 ( x2 ?x ? 1 x ? 、 ) 2 ( )
8

? a ?0a x1? ? a x1 ( 1 ( 2 ) ) ?
B、3

? 2 ? a x)1 (?10 ?
D、-2

1 0

,则

a1 ? a2 ?? ? a1 =( 0

)A、-3

C、2

(提示:令 x ? 1 得 a0 ? 3 ,令 x ? 2 可得 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? ?a0 ? ?3 ,选 A) 【练习 7】(06 重庆文 10)若 ? , ? ? (0, ) , cos(? ? 、

?

?
2

2

)?
1 2

? 1 3 , sin( ? ? ) ? ? , 2 2 2
D、

则 cos(? ? ? ) ? (

)A、 ?

3 2

B、 ?

1 2

C、

3 2

(提示: ? , ? ? (0, ∵

?
2

), ? ∴

?
4

?? ?

? ?

? , ?? ?? ; ∴ 同理 ? ? ? ? , 2 4 2 6 2 6

?

?

?

?

∴ ? ? ? ? 0 (舍)或 ? ? ? ?

2 ? ,所以选 B) 3

【练习 8】(06 全国Ⅰ理 8)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最 、 小值是( ) A、

4 3

B、

7 5

C、

8 5

D、3

(提示:设直线 4 x ? 3 y ? m ? 0 与 y ? ? x2 相切,则联立方程知 3x2 ? 4 x ? m ? 0 ,令

? ? 0 ,有 m ?

4 ,∴两平行线之间的距离 d ? 3

4 ?8 ? (? ) 3 3 ?4
2 2

?

4 ,选 A) 3

【练习 9】(06 山东理 8)设 p : x2 ? x ? 20 ? 0, q : 、

1 ? x2 ? 0, 则 p 是 q 的( ) x ?2

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 (提示:分别解出 p: x ? 5 或 x ? ?4 ;q: ?1 ? x ? 1 或 x ? ?2 或 x ? 2 ,则显然 p 是 q 的充分不必要条件,选 A。另外,建议解出 p 以后不要再解 q,以 p 中的特殊值代入即 可作出判断) 【练习 10】(广东 05 理 10)已知数列 ?xn ? 满足 x2 ? 、

x1 1 , xn ? ( xn ?1 ? xn ? 2 ) , 2 2

n ? 3, 4,? ,若 lim xn ? 2 ,则 x1 =( )
n ???

A、

3 2

B、3

C、4

D、5

(提示:由条件 xn ?

1 ( xn ?1 ? xn ? 2 ) 有 2xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn ,∴ 2

累加得 x3 ? x2 ? x1 ? x3, x4 ? x3 ? x2 ? x4,? xn?1 ? xn?2 ? xn?3 ? xn?1, xn ? xn?1 ? xn?2 ? xn ,

xn ? x2 ? x1 ? x2 ? xn ? xn?1 ,代入 x2 ?
n ?? n ?? n ??

x1 得 2 xn ? xn?1 ? 2x1 ,两边同取极限得, 2

lim 2 xn ? lim xn ?1 ? lim 2 x1 ,即 2 ? 2 ? 2 ? 2 x1 ? x1 ? 3 ,选 B)
十、现场操作 又叫做原始操作法,有别于直接法,一 是指通过现场可以利用的实物如三角板、铅笔、 纸张、 手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案的方法; 二是指根据题目提 供的规则演算最初的几个步骤,从而发现规律,归纳出答案的方法。 【例题】(据 93 年全国高考题改编)如图 ABCD 、 是正方形,E 是 AB 的中点,将△DAE 和△CBE 分别 沿虚线 DE 和 CE 折起,使 AE 和 BE 重合于 P,则面 PCD 和面 ECD 所成的二面角为( )度。 A、 15 B、30 C、 45 D、60 【解析】 、你当然可以用三垂线定理来解,但不如现场操作更快:用正方形纸片折叠出 三 棱 锥 E-PCD , 不 难 看 出 PE ⊥ 面 PCD , 设 二 面 角 大 小 为 ? , 则 由 射 影 面 积 公 式 有

3 DC 2 S?PCD 3 ? 4 , ? ? 30 ,选 B。 cos ? ? ? ? 1 S?ECD 2 DC 2 2
【练习 1】已知 ( 2 ?1)n ? 2an ? bn (n ? N? ) ,则 bn 的值( )

A、必为奇数 B、必为偶数 C、与 n 的奇偶性相反 D、与 n 的奇偶性相同 (提示:原始操作:令 n=1、2,再结合逻辑排除法,知选 A;也可以展开看)

( 【练习 2】 如果 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , f 1 g? g ? 且 ) l3 l2 f (2) ? lg3 ? lg5 ,则 f (2008) =(
)A、1 B、-1 C、 l g 2 ? l g 3

, D、

-lg3-lg5 (提示:2008 是个很大的数,所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题!关键是 求出周期值。现在进行现场操作:f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,f(3)=f(2)-f(1) =?=1,f(4)= f(3)-f(2)=?lg2-lg3,f(5)= f(4)- f(3)=?-lg5-lg3,f(6) =f(5)- f(4)=?-1,f(7)=f(6)- f(5)=?lg3-lg2= f(1) ,所以周期是 6。 f (2008) =f (334?6+4)= f(4)= lg2-lg3,选 C。当然你如果演算能力好,可以这样做:

f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x) = ? f ( x ?1) ? ?? f ( x ? 2) ? f ( x ? 3)?
= ?? f ( x ? 3) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 3)? ? f ( x ? 4) ,所以周期是 6。其实凡属于抽象函数、抽 象数列、抽象不等式问题,解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已)

【练习 3】 、如图所示是某城市的网格状道路,中 间是公园,公园四周有路,园内无公路。某人驾车从 城市的西南角的 A 处要到达东北角的 B 处,最短的 路径有多少条?(据加拿大数学竞赛题改编) A、210 B、110 C、24 D、206

(提示:原始操作:先假设已经到达了与 B 共线的各交叉点,标注上此时的走法数(都 是 1) ;再退回至离 B 最近的对角顶点处,标注上此时的走法数是 2;??,这样步步回退, 直到 A 处,就知道答案了!这有点类似于杨晖三角的规律。当然也可以用公式法:先求出没
6 3 3 有 公 园 时 的 走 法 数 C10 , 再 求 出 经 过 公 园 中 心 的 走 法 数 C5 ? C5 , 所 以 答 案 是 6 3 3 C10 - C5 ? C5 =110,选 B)

【练习 4】 、如上图所示是一个长方体 骨架,一只蚂蚁在点 M 处得到信息:N 处 有糖!为了尽快沿着骨架爬行到 N 处,该 蚂蚁可走的最短路径有( A、10 条 B、20 C、30 ) D、40

(提示:原始操作:假设从点 N 处逆着 往点 M 方向退回来,则在所经过的交点处的 走法数都容易写出,如图。所以从点 M 处出 发时一共有 4+4+12=20 种走法。选 B) 【练习 5】 、有编号为 1、2、3、4 的四个小球放入有同样编号的四个盒子中,每盒一球, 则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有( ) A、9 B、16 C、25 D、36 (提示:这道高考题是典型错位排列问题,思维清晰的时候,你可能这样考虑:完成 这件事情即每个盒子都按要求放入小球,应该用乘法原理,1 号盒可以选 2、3、4 号球,有 3 种选择;2 号盒可以选 1、3、4 号球,也有 3 种选择;此时 3、4 号盒都只有唯一选择,3 ?3?1?1=9,因此答案是 9。也可用现场操作之法破解,如图,每一列对应一种放法,一 共有 9 种,选 A) 球的编号 1 号盒 2 号盒 3 号盒 4 号盒 2 1 4 3 2 3 4 1 2 4 1 3 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4 1 2 3

【练习 6】 、如图 A、B、C 是固定在桌面上的三根立柱,其中 A 柱上有三个大小不同的 圆片,下面的直径总比上面的大,现将三个圆片移动到 B 柱上,要求每次只移动一片(叫移 动一次) ,被移动的圆片只能放入 A、B、C 三个柱子之一,且大圆片不能叠在小圆片的上面, 那么完成这件事情至少要移动的次数是( )

A、3 B、5 C、7 (提示:现场操作,选 C)

D、9

【练习 7】 、如左图,正方体容器 AC ' 中,棱长为 1,E,F 分别是所在棱的中点,G 是 面 ABB' A' 的中心,在 E、F、G 三处各开有一小孔,则最大盛水量是( A、 )

5 6

B、

6 7

C、

7 8

D、

11 12

(提示: 你可以看着图现场想象一下, 怎样才能使盛水量最大呢?你首先难免考虑由 E、

7 / ,此时 DD 着地;难道不考虑只有点 8 11 D 着地的情形吗??使水平面如右图那样呢?计算得盛水量是 ,原来点 F 并不在水平面 12
F、G 确定一个水平面,如中图,经计算发现盛水量是 内!选 D) 【练习 8】 、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是 a,现用一张正方形的包装纸将其完成包 住(不能裁剪但可以折叠) ,那么包装纸的边长最小应该是( ) A、 ( 2 ? 6)a B、

2? 6 a 2
P1

P2

C、 (1 ? 3)a

D、

1? 3 a 2

P3

(提示:现场用纸做一个正四棱锥, 先如图放样,其实不待你做成就知 道思路了——这已经相当于把正四

P4

棱锥展开了,那么包装纸的边长就是正方形 PP P P 的边长,选 B) 1 2 3 4 【练习 9】 、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是 ? 和 ? ,则 ? ? ? 的范围是( )

A、 (0,

?
2

]

B、 (

?
2

,? )

C、 ? 0,

? ?? ? 2? ?

D、 ? 0,

? ?? ? ? 2?

(提示:你可以拿一本书竖立在桌面上,拿一支笔代表直线去比划,会发现当 ? , ? 中有一

个角等于

? ? 的时候,另一个角等于 0, ? ? ? 可以取到 ;当直线与二面角的棱重合时, 2 2

? ? ? 可以取到 0,所以选 C)
【练习 10】 、 全国) (05 不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等, 这样的平面共有 ( ) 个。 A、3 B、4 C、6 D、7 (提示:先画一个三棱锥,然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间,发现四个顶 点有被平面分成 2+2 或者 1+3 两类情形,分别有 3,4 种可能,如图。选 D)

【练习 11】(07 高考模拟)若一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3 <a2,则 、 称这样的三位数为凸数(如 343、275、120 等) ,那么所有凸数个数为( ) A.240 B.204 C.729 D.920 ( 提示:进行原始操作以发现规律:第二位数字不可能为 1,若为 2,则左边有 1,右 边有 0、1 可选,此时有 1?2 个凸数;若为 3,则左边有 1、2,右边有 0、1、2 可选,此时 有 2?3 个凸数; 若为 4, 则左边有 1、 3, 2、 右边有 0、 2、 可选, 1、 3 此时有 3?4 个凸数; ?? 若为 9,则??此时有 8?9 个凸数,所以一共有 1?2+2?3+3?4+??+8?9=240 个凸数, 选 A)

1 【例题 2】 、已知 sin x ? cos x ? , ? ? x ? 2? ,则 tan x 的值为( 5 4 4 3 3 4 A、 ? B、 ? 或 ? C、 ? D、 3 3 4 4 3
3 4 3 sin x ? ? , cos x ? ,从而得到 tan x ? ? ,选 C 。 5 5 4



由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围,直接意识到

【例题 3】 、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( A、
3 3 8



B、

1 8

C、1

D、

1 2

本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标准”解法,特抄录如 下供读者比较: 设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC, ∴cos2C- cos(A-B)cosC+2y=0,构造一元二次方程 x2- cos(A-B)x+2y=0, 则 cosC 是一元二次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos2(A-B)-8y≥0, 即 8y≤cos2(A-B)≤1,∴ y ?
1 ,故应选 B。 8

这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角 A、B、C 的地位完全平等, 直觉告诉我们:最大值必定在某一特殊角度取得,故只要令 A=B=C=60゜即得答 案 B,这就是直觉法的威力,这也正是命题人的真实意图所在。 【例题 4】 、如图 2,已知一个正三角形内接于一个边长 为 a 的正三角形中,问 x 取什么值时,内接正三角形的面 积最小( A、
a 2

) B、
a 3

C、

a 4

D、

3 a 2

图2

显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小,选 A。 【练习 5】 、双曲线 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直线 PF 的 斜率的变化范围是( A、 (??, 0) )

B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (1, ??) 图3

C、 (??,0) ? (1, ??)

进行极限位置分析,当 P ? ? 时,PF 的斜率 k ? 0 ;当 PF ? x 时,斜率不 存在,即 k ? ?? 或 k ? ?? ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 k ? 1 。选 C。 【例题 6】(06 年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 、 5 根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的 最大面积为多少?( A、8 5 cm2 )

B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2

此三角形的周长是定值 20,当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线, 其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接 近于正三角形时面积最大,故三边长应该为 7、7、6,因此易知最大面积为

6 10 cm2,选 B。
【例题 7】(07 海南、宁夏理 11 文 12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试 、 中个射箭 20 次,三人测试成绩如下表:
甲的成绩

环数 频数

7 5

8 5

9 5

10 5 环数 频数

乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数

丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

S1 , S2 , S3 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A、 S 3 ? S1 ? S 2 B、 S 2 ? S1 ? S 3 C、 S1 ? S 2 ? S 3



D、 S 2 ? S 3 ? S1

我们固然可以用直接法算出答案来,标准答案也正是这样做的,但是显然时 间会花得多。凭直觉你可以估计到:它们的期望值相同,离开期望值比较近的数 据越多,则方差——等价于标准差会越小!所以选 B。 五、从变化极限入手 【例题 8】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的高,那么 sin A、1
C?A C?A ? cos 的值是( 2 2 1 1 B、 C、 D、-1 2 3



进 行 极 限 分 析 , ? ? 0? 时 , 点 C ? ? , 此 时 高 h ? 0, c ? a , 那 么
? ,所以 sin C ?1 8 0 A ? ?0 ,

C?A C?A ? cos ? sin 90? ? cos 0? ? 1,选 A。 2 2

【例题 9】 06 辽宁文 11) 与方程 y ? e2 x ? 2ex ? 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y ? x 对 、 ( 称的曲线方程为( A、 y ? ln(1 ? x ) C、 y ? ? ln(1 ? x ) ) B、 y ? ln(1 ? x ) D、 y ? ? ln(1 ? x )

用趋势判断法: 显然已知曲线方程可以化为 y ? (ex ?1)2 ( x ? 0) , 是个增函数。 再令 x ? ??, 那么 y ? ??, 那么根据反函数的定义,在正确选项中当 y ? ?? 时 应该有 x ? ??, 只有 A 符合. 【例题 10】(07 浙江文 8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” 、 , 即以先赢 2 局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次 比赛中甲获胜的概率为( )

A、0.216

B、0.36

C、0.432

D、0.648

先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为 0.6
1 ?0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为 [C2 0.6 ? 0.4]? 0.6 ? 0.288 ,所以甲获胜的

概率为 0.36+0.288=0.648,选 D。 现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1, 而甲获胜的概率比乙大,应该超过 0.5,只有选 D。 【例题 11】 (07 湖北理 9)连续投掷两次骰子的点数为 m, n ,记向量 b=(m,n) 与向量 a=(1,-1)的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? ? 的概率是( ?
? ? 2?



A、

5 12

B、

1 2

C、

7 12

D、

5 6

凭直觉可用估值法,画个草图(图 4) ,立刻 发现在 ?AOB 范围内(含在 OB 上)的向量 b 的个 数超过一半些许,选 C,完全没有必要计算。 图4

? 【例题 12】(97 全国理科)函数 y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期是( 、 3 ? A、 B、 ? C、 2? D、 4? 2



因为 a sin ? x ? b cos ? x ? A sin(? x ? ? ) ,所以函数 y 的周期只与 ? 有关,这里

? ? 2 ,所以选 B,根本不必计算。
【例题 13】 、若 (1? 2x) ? a0 ? a1x ? a2 x ??? a7 x ,则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |? (
7 2 7



A、-1

B、1

C、0

D、 37

直觉告诉我们,从结果看,展开式系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。 或者退化判断法:将 7 次改为 1 次;还有一个更加绝妙的主意:干脆把问题转化 为已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求 a0 ? a1 ? a2 ? ?? a7 ,这与原问题完 全等价!所以结果为 37 ,选 D。

x2 例 9、设 F1、F2 为双曲线 4 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90o,则 △F1PF2 的面积是( )

A.1

B. 5 /2

C.2

D. 5

解析:∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4,∴ |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|=16, 1 1 S ?F PF 2 |PF1|?|PF2|= 4 (|PF1|2+|PF2|2-16). ∵ ∠F1PF2=90o,∴ =
1 2

又∵ |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20.∴

S ?F PF
1

2

=1,选A.

例 10、 椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,过 AB 中点 M 与原点的直线
m 2 2 ,则 n 的值为( 斜率为


3 D. 2

2 A. 2

2 3 B. 3

C.1

x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 解析:命题: “若斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆 a + b =1(或双曲线 a - b =1)相交 b2 b2 2 2 于 A、B 的中点,则 k?kOM=- a (或 k?kOM= a ),(证明留给读者)在处理有关圆 ”

锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用.运用这一结论,不难得到:
1 n b2 m m 1 2 2 2 kAB?kOM=- a =- m =- n ,∴ n =-kAB?kOM=1? 2 = 2 ,故选A.



直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围 很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档题 目的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上,否则一味求快 则会快中出错. 2、特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特 殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在 一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法.用特例法解选择题时,特例取得愈简 单、愈特殊愈好. (1)特殊值

例 11、若 sinα >tanα >cotα (

?

?
4

?? ?

?
2 ),则α ∈(


?
A.(

?
2, ?

?

?
4) ?? ?
B. (

?

?
4 ,0)

?
C. (0, 4 )

?

?

D. 4 , 2 ) (

?
4

?

解析:因 故选 B.

π 2 ,取α =- 6 代入 sinα >tanα >cotα ,满足条件式,则排除 A、C、D,

例 12、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( ) A.-24 B.84 C.72 D.36 解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1,此时 a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D. (2)特殊函数 例 13、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是 ( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5

5 解析:构造特殊函数 f(x)= 3 x,虽然满足题设条件,并易知 f(x)在区间[-7,-3]上是增函
数,且最大值为 f(-3)=-5,故选 C. 例 14、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)?f(-a)≤0; ②f(b)?f(-b)≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).其中正确的不等式 序号是( ) A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ 解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确.故选 B. (3)特殊数列 例 15、已知等差数列 A、

{an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有( a2 ? a102 ? 0
C、

) D、

a1 ? a101 ? 0

B、

a3 ? a99 ? 0

a51 ? 51

解析:取满足题意的特殊数列 (4)特殊位置

an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C.

例 16、过 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别
2

1 1 ? ? p、q ,则 p q ( 是

)A、 2 a

1 B、 2 a

C、 4 a

4 D、 a

| PF |?| FQ |?
解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时,

1 1 1 ? ? 2a ? 2a ? 4a 2a ,所以 p q ,故选 C.

例 17、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右 图所示,那么水瓶的形状是 ( )

h?
解析:取

H 1 2 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 2 ,故选 B.

(5)特殊点 例 18、设函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,则其反函数 f
?1

( x) 的图像是(



A、

B、

C、

D、

解析:由函数 f ( x) ? 2 ? x ( x ? 0) ,可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点(2,0) 及(4,4)都应在反函数 f-1(x)的图像上,观察得 A、C.又因反函数 f-1(x)的定义域为

{x | x ? 2},故选 C.
(6)特殊方程

? 例 19、 双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α , 离心率为 e,则 cos 2 等于 (
1 C. e 1 2 D. e



A.e

B.e2

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察.取双

? 2 x2 y2 5 曲线方程为 4 - 1 =1,易得离心率 e= 2 ,cos 2 = 5 ,故选 C.
(7)特殊模型

y 例 20、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 x 的最大值是(



1 A. 2

3 B. 3

3 C. 2

D. 3

y 2 ? y1 y y?0 x ? x1 ,可将问 解析:题中 x 可写成 x ? 0 .联想数学模型:过两点的直线的斜率公式 k= 2
题看成圆(x-2)2+y2=3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D. 3、图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方 程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,利用直观几性, 再辅以简单计算,确定正确答案的方法.这种解法贯穿数形结合思想,每年高 考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简 捷又迅速. 例 21、已知α 、β 都是第二象限角,且 cosα >cosβ ,则( ) A.α <β B.sinα >sinβ C.tanα >tanβ D . cot α <cotβ

解析:在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、β 的终边位置关系,再作出判 断,得 B.

? ? ? ? b 例 22、 已知 a 、 均为单位向量, 它们的夹角为 60°, 那么| a +3 b |= (
A. 7 B. 10 C. 13 D.4

) O

? a

A

? b

? 3b
? a


B

? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? b | 解析:如图, a +3 b = OB ,在 ?OAB 中,? OA |? 1,| AB |? 3, ?OAB ? 120 ,?由余弦定 3 ? ? ??? ? 理得| a +3 b |=| OB |= 13 ,故选 C.
例 23、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( A.4 B.5 C.6 D.7 )

d d 解析: 等差数列的前 n 项和 Sn= 2 n2+(a1- 2 )n 可表示为过原点的抛物

Sn
3 5 7 O n

3?7 ?5 线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,由图可知,n= 2 ,

是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最 小,故选 B. 4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条 件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时,若能据题意确定代 入顺序,则能较大提高解题速度. 例 24、计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0—9 和字母 A—F 共 16 个 计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 十进制 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A?B=( ) A.6E B.72 C.5F D.BO 解析:采用代入检验法,A?B 用十进制数表示为 1?11=110,而 6E 用十进制数表示为 6?16+14=110;72 用十进制数表示为 7?16+2=114 5F 用十进制数表示为 5?16+15=105;B0 用十进制数表示为 11?16+0=176,故选 A. 例 25、方程 x ? lg x ? 3 的解 A.(0,1)

x0 ? (

) C.(2,3) D.(3,+∞)

B.(1,2)

解 析 : 若 x ? (0,1) , 则 l gx ? 0, 则 x ? l g x ? 1; 若 x ? (1, 2 ) 则 0 ? l gx ? 1 则 , ,

1 ? x ? l gx ? 3 ;若 x ? (2, 3),则 0 ? lg x ? 1,则 2 ? x ? lg x ? 4 ;若 x ? 3, lgx ? 0,则 x ? lg x ? 3 ,故选 C.

1.给定集合 M ? { ? | ? ? 成立的是 (A) P ? N ? M

k? , k ? Z}, N ? {x | cos 2 x ? 0} , P ? {a | sin 2a ? 1} ,则下列关系式中, 4

(B) P ? N ? M

(C) P ? N ? M

(D) P ? N ? M

2 1 2.关于函数 f ( x) ? sin 2 x ? ( )| x| ? ,有下面四个结论: 3 2

(1) (3)

f (x ) 是奇函数; f (x ) 的最大值是

(2)当 x ? 2003 时, f ( x) ?
3 ; 2

1 恒成立; 2

(4)

f (x ) 的最小值是 ?

1 . 2

其中正确结论的个数是 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 3.过圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 0 内一点 P (5,3)的 k 条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列 的首项 a1 ,最大弦长为数列的末项 a k ,若公差 d ?[ , ],则 k 的取值不可能是 (A)4 (B)5
x 2
1 3 1 2

(C)6
?
6

(D)7

4.下列坐标所表示的点不是函数 y ? tan( ? ) 的图象的对称中心的是 (A) ( 0) 5.与向量 l ? (1, 3 )的夹角为 30 o 的单位向量是 (A) (1, 3 ) 1) 6.设实数 x,y 满足 0 ? xy ? 1 且 0 ? x ? y ? 1 ? xy ,那么 x,y 的取值范围是 (A)x ? 1 且 y ? 1 (B)0 ? x ? 1 且 y ? 1 (C)0 ? x ? 1 且 0 ? y ? 1 (D)x ? 1 且 0 ? y ? 1 7.已知 ab ? 0 ,点 M ( a, b ) 是圆 x ? y ? r 内一点,直线 m 是以点 M 为中点的弦所在的直线,
2 2 2

? ,0) 3

(B) ? (

5? ,0) 3

(C) (

4? ,0) 3

(D) (

2? , 3

1 2

(B) ( 3 ,1)

1 2

(C) (0,1)

(D) (0,1)或 ( 3 ,

1 2

直线 l 的方程是 ax ? by ? r ,则下列结论正确的是
2

(A) m // l ,且 l 与圆相交 (C) m // l ,且 l 与圆相离

(B) l ? m ,且 l 与圆相切 (D) l ? m ,且 l 与圆相离

8.已知抛物线的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,则此抛物线的标准方程是 (A) y 2 ? 16 x (C) y 2 ? 16 x 或 x2 ? ?8 y (B) x2 ? ?8 y (D) y 2 ? 16 x 或 x 2 ? 8 y

9(A).如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1B⊥BC,且 A1C 与底面成 600 角,AB=BC=2, 则该棱柱体积的最小值为 4 (D)3 (A)4 3 (B)3 3 (C)

A1 B1

C1

A B

C

(第 9(A)题图) 9(B).在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是 (A)4 条 条 10.某班级英语兴趣小组有 5 名男生和 5 名女生,现要从中选 4 名学生参加英语演讲比赛, 要求男生、女生都有,则不同的选法有 (A)210 种 100 种 11.已知全集 I ? { x | x ? R},集合 A ? { x | x ≤1 或 x ≥3},集合 B ? { x | k ? x ? k ? 1 , k ? R}, 且 (CI A) ? B ? ? ,则实数 k 的取值范围是 (A) k ? 0 或 k ? 3 12.已知函数 f ( x) ? ? (A)9 13.设函数 f ( x) ? (B) 2 ? k ? 3 (C) 0 ? k ? 3 (D) ?1 ? k ? 3 (B)200 种 (C)120 种 (D) (B)6 条 (C)8 条 (D)10

?log2 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是 4 ( x ? 0) 3x ?

(B)

1 9

(C)-9

(D)-

1 9

x2 ? x ? n n ?1 ( x ? R,且 x ? , x ? N*) f (x ) 的最小值为 a n ,最大值为 bn , , 2 x2 ? x ? 1

记 cn ? (1 ? a n )(1 ? bn ) ,则数列 {cn } (A)是公差不为 0 的等差数列 (C)是常数列 列 14.若 3? ? x ? 4? ,则
?
x 2

(B)是公比不为 1 的等比数列 (D)不是等差数列,也不是等比数

1 ? cos x 1 ? cos x 等于 ? 2 2

(A) 2 cos( ? ) (B)? 2 cos( ? )
4 4

?

x 2

(C) 2 sin( ? )
4

?

x 2

(D)? 2 sin( ? )
4

?

x 2

15.下面五个命题:⑴所有的单位向量相等;⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共 线向量;⑶若 a,b 满足 | a |?| b | 且 a,b 同向,则 a ? b ;⑷由于零向量的方向不确定,故 0 与任何向量不平行;⑸对于任何向量 a,b ,必有 | a ? b | ≤ | a | ? | b | .其中正确命题的序号 为 (A)⑴,⑵,⑶ ⑸ 16.下列不等式中,与不等式
x ?3 ≥0 同解的是 2? x

(B)⑸

(C)⑶,⑸

(D)⑴,

(A) ( x ? 3)(2 ? x) ≥0 (B) ( x ? 3)(2 ? x) ? 0 0

(C)

2? x ≥0 x ?3

(D) lg( x ? 2) ≤

17.曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 与直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 (A) ( 18.双曲线
5 ,+∞) 12

(B) (

5 3 , ] 12 4

(C) (0,

5 ) 12

(D) , ] (

1 3

3 4

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐进线的夹角是 4 8

(A) arctan 2

(B) arctan 2 2

(C) arctan

2 2

(D) arctan

2 4

19(A).如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为
A B O P A1 B1
A1 A P B1 B

A P A1

B O

A

B
A

D B P D1

C

O P A1 B1

C1 B1

B1

A1

(A)
D1 A1 B1

(B)
C1

(C)

(D)

D A B

C

(第 9(A)题图) 19(B).已知四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形,设 x=2PA2+2PC2-AC2,y=2PB2+2PD2 -BD2,则 x,y 之间的关系为 x<y (A) x>y (B)x=y (C)

(D)不能确定

20.从 0,1,2,?,9 这 10 个数字中,选出 3 个数字组成三位数,其中偶数个数为 (A)328 720 21.已知集合 A ? {x | x 2 ? 11x ? 12 ? 0} ,集合 B ? { x | x ? 2(3n ? 1) , n ? Z},则 A? B 等于 (A){2} 4,8,10} 22.若 f (x ) 是 R 上的减函数,且 f (x ) 的图象经过点 A (0,4)和点 B (3,-2) ,则当不等 式 | f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的解集为(-1,2)时, t 的值为 (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2 23.首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正,则公差 d 的取值范围是 (A) d ?
8 3

(B)360

(C)600

(D)

(B){2,8}

(C){4,10}

(D){2,

(B) d ? 3

(C) ≤ d ? 3

8 3

(D) ? d ≤3

8 3

24.为了使函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ? 的最小值是

(A) 98?

(B)

197 ? 2

(C)

199 ? 2

(D) 100?

25.下列命题中,错误的命题是 (A)在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则 ABCD 为平行四边形 (B)已知 a,b,a ? b 为非零向量,且 a ? b 平分 a 与 b 的夹角,则 | a |?| b | (C)已知 a 与 b 不共线,则 a ? b 与 a ? b 不共线 (D)对实数 ?1 , ? 2 , ? 3 ,则三向量 ?1 a ? ? 2 b , ? 2 b ? ? 3 c , ? 3 c ? ?1 a 不一定在同一 平面上 26.四个条件: b ? 0 ? a ; 0 ? a ? b ; a ? 0 ? b ; a ? b ? 0 中,能使 ? 是 (A)1 (B)2
2 2

1 a

1 成立的充分条件的个数 b

(C)3

(D)4

27.点 M (2,0) N 是圆 x ? y ? 1 上任意一点,则线段 MN 中点的轨迹是 , (A)椭圆
2 2

(B)直线

(C)圆

(D)抛物线

28.设椭圆

x y ? ? 1 的焦点在 y 轴上, a ? {1,2,3,4,5}, b ? {1,2,3,4,5,6,7}, a 2 b2

这样的椭圆共有 (A)35 个 个 29(A). 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V, P、 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上, 点 Q AP=C1Q, 则四棱锥 B - APQC 的体积为(A) (D)
V 5
A1 P B1 Q A B C C1

(B)25 个

(C)21 个

(D)20

V 2

(B)

V 3

(C)

V 4

(第 29(A)题图) 29(B).设长方体的三条棱长分别为 a,b,c,若长方体所有棱的长度之和为 24,一条对角 1 1 1 11 4 线长度为 5,体积为 2,则 ? ? ? (A) (B) a b c 4 11 11 2 (C) (D) 2 11 30.用 10 元、5 元和 1 元面值的钞票来购买 20 元的商品,不同的支付方法有 (A)9 种 6种 31.如果命题“ ? ( p 或 q ) ”为假命题,则 (A) p , q 均为真命题 (C) p , q 中至少有一个为真命题 (B) p , q 均为假命题 (D) p , q 中至多有一个为真命题 (B)8 种 (C)7 种 (D)

32.设 f ( x) ? lg(10 x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? (A)1 (B)-1

4x ? b 是奇函数,那么 a ? b 的值为 2x

(C) ?

1 2

(D)

1 2

33.已知 1 是 a 2 与 b 2 的等比中项,又是 (A)1 或
1 2

1 1 a?b 与 的等差中项,则 2 2 的值是 a b a ?b

(B)1 或 ?

1 2

(C)1 或

1 3

(D)1 或 ?

1 3

34.以下命题正确的是 (A) ?,? 都是第一象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (B) ?,? 都是第二象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? (C) ?,? 都是第三象限角,若 cos? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? (D) ?,? 都是第四象限角,若 sin ? ? sin ? ,则 tan ? ? tan ? 35.已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD ? a , BE ? b ,则 AC 是 (A) a ? b
4 3 2 3

(B) a ? b

2 3

4 3

(C) a ? b

4 3

2 3

(D) a ? b

2 3

4 3

36.若 0 ? a ? 1 ,则下列不等式中正确的是
1 1

(A) (1 ? a) 3 ? (1 ? a) 2 (B) log (1?a ) (1 ? a) ? 0 (C) (1 ? a)3 ? (1 ? a) 2 37.圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 16 ? 0 的公切线有 (A)1 条
2 2

(D) (1 ? a)1?a ? 1

(B)2 条
2

(C)3 条 (C)3

(D)4 条 (D)4

38.已知圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线相切,则 p 为 (A)1 (B)2

39(A).如图,已知面 ABC⊥面 BCD,AB⊥BC,BC⊥CD,且 AB=BC=CD,设 AD 与面 ABC 所成角为 ? ,AB 与面 ACD 所成角为β ,则 ? 与β 的大小关系为
A

B D

C

(第 9(A)题图) (A) ? <β 法确定 39(B). 在空间四边形 ABCD 各边上分别取 E、 G、 四点, F、 H 如果 EF 和 GH 能相交于点 P, 那么 (A)点 P 必在直线 AC 上 (C)点 P 必在平面 ABC 内 (B)点 P 必在直线 BD 上 (D)点 P 必在平面上 ABC 外 (B) ? =β (C) ? >β (D)无

40.用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个替换直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,若 A、 B、 的值互不相同, C 则不同的直线共有 80 条 (D)181 条 (A) 条 25 (B) 条 60 (C)

41.已知 a ? b ? 0 ,全集 I ? R,集合 M ? {x | b ? x ?
ab

a?b } , N ? {x | ab ? x ? a} , P ? { x | b ? x ≤ 2

},则 P 与 M, N 的关系为

(A) p ? M ? (CI N )

(B) p ? (CI M ) ? N

(C)

P ? M ?N

(D) P ? M ? N

42.函数 f ( x) ? log a x 满足 f (9) ? 2 ,则 f ?1 (? log9 2) 的值是 (A)2 (B) 2 (C)
2 2

(D) log3 2
1 3

43.在 ?ABC 中, tan A 是以-4 为第 3 项,4 为第 t 项的等差数列的公差; tan B 是以 为第 3 项,9 为第 6 项的等比数列的公比,则该三角形是 (A)锐角三角形 三角形 44. 某人朝正东方走 x km 后, 向左转 1500, 然后朝新方向走 3km, 结果它离出发点恰好 3 km, 那么 x 等于 (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 或 2 3 (D)3 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰

45.已知 a,b 为非零向量,则 | a ? b |?| a ? b | 成立的充要条件是 (A) a // b 46.不等式 | (B) a 与 b 有共同的起点 (C) | a |?| b | (D) a ? b

ax ? 1 |? a 的解集为 M ,且 2 ? M ,则 a 的取值范围为 x 1 4

(A) ,+∞) (

(B) [ ,+∞)

1 4

(C) (0, )

1 2

(D) (0, ]

1 2

5、筛选法(也叫排除法、淘汰法) :就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个 正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、 计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结 论的方法.使用筛选法的前提是“答案唯一” ,即四个选项中有且只有一个答案正确. 例 26、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( )

A. (1, 2 ]

3 B. (0, 2 ]

1 2 C.[ 2 , 2 ]

1 2 D. 2 , 2 ] (

x ? (0, ] 3 ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排除 B,C,D, 解析:因 x 为三角形中的最小内角,故
故应选 A. 例 27、已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) )

?

(D) [2,+∞ )

解析:∵ 2-ax 是在[0,1]上是减函数,所以 a>1,排除答案 A、C;若 a=2,由 2-ax>0 得 x<1,这与 x∈[0,1]不符合,排除答案 D.所以选 B.

例 28、过抛物线 y =4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点 的轨迹方程是( (A) y =2x-1 (C) y =-2x+1
2 2

2

) (B) y =2x-2 (D) y =-2x+2
2 2

解析: (筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右,由此排除答案 A、C、D, 所以选 B;

? y ? kx ? 1 ? 2 y ? 4x 另解: (直接法)设过焦点的直线 y=k(x-1),则 ? ,消 y 得:

? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 2 k2 ? 2 ? y ? k ( k ? 2 ? 1) ? 2 2 2 2 2 ? k ,消 k 得 y 2 =2x-2,选 k2 k x -2(k +2)x+k =0,中点坐标有 ?
B.例 29、 原市话资费为每 3 分钟 0.18 元, 现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元, 超过 3 分钟的, 每分钟按 0.11 元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( ) A.不会提高 70% B.会高于 70%,但不会高于 90% C.不会低于 10% D.高于 30%,但低于 100% 解析: x=4, 取 y= 0.33 - 0.36 3.19 - 1.8 ? 100%≈-8.3%, 排除 C、 取 x=30, = D; y ? 100% 0.36 1.8

≈77.2%,排除 A,故选 B.

y2 5 x2 y2 x2 2 x ?y ? ? ?1 x ? ?1 ? y2 ?1 2 ,② 9 4 4 例 30、给定四条曲线:① ,③ ,④ 4 ,其中
2 2

与直线 x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的曲线是(

)

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件 的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线

x2 y2 ? ?1 9 4 是相交的,因为直线上的点 ( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D.
筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条 件在选择支中找出明显与之矛盾的, 予以否定, 再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那 找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择 题的常用方法,近几年高考选择题中约占 40% 6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工 后而作出判断和选择的方法. (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行 快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法. 例 31、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们

有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传送信息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内传递的最大信息 量为( ) A.26 B.24 C.20 D.19 解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否则无法同时传 送,则总数为 3+4+6+6=19,故选 D. 例 32、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 600 圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的

?R 长是 2 ,则这两点的球面距离是(
?R D、 2

)A、 3R

2?R B、 2

?R C、 3

解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除 A、B、D,故选 C.

sin ? ?
例 33、已知

m?3 4 ? 2m ? ? , cos ? ? ( ?? ? ?) tan m?5 m?5 2 2 等于( ,则 m?3 | B、 9 ? m | 1 C、 3



m?3 A、 9 ? m

D、 5

解析:由于受条件 sin2θ +cos2θ =1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ ,cosθ 的值应与

? ? ? ? ? ? m 的值无关,进而推知 tan 2 的值与 m 无关,又 2 <θ <π , 4 < 2 < 2 ,∴tan 2 >1,故选
D. (2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选出正 确支的方法,称为逻辑分析法. 例 34、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么( ) A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b| 解析: ∵A, 是一对矛盾命题, B 故必有一真, 从而排除错误支 C, D.又由 ab<0, 可令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B. 例 35、 ?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则此三角形必是( A、以 a 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 D、其它三角形 )

解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命题都

1 1 1 1 ? ? 1? 2 ,从而 C 被淘汰,故选 D. 被淘汰,若选项 C 正确,则有 2 2 2 ,即
7、估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大 或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法. 例 36、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为
E F

D C

A

B

?
3 的正方形,EF∥AB,EF 体的体积为( )

3 2 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面

9 (A) 2

(B)5

(C)6

15 (D) 2

解析:由已知条件可知,EF∥平面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2,

1 ∴VF-ABCD= 3 ?32?2=6,而该多面体的体积必大于 6,故选(D).
例 37、 已知过球面上 A、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, AB=BC=CA=2, B、 且 则球面面积是( )

16 (A) 9 π

8 (B) 3 π

(C)4π

64 (D) 9 π

2 3 解析:∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= 3 ,
16 则 S 球=4πR2≥4πr2= 3 π>5π,故选(D).
估算,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.其应用广泛, 它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法. 例 38、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.03 年某地区农民人均收入为 3150 元 (其中工资源共享性收入为 1800 元, 其它收入为 1350 元)预计该地区自 04 年起的 5 年内, , 农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加 160 元.根据以上 数据,08 年该地区人均收入介于( ) (A)4200 元~4400 元 (B)4400 元~4460 元 (C)4460 元~4800 元 (D)4800 元 ~5000 元 解析:08 年农民工次性人均收入为:
1 2 1800(1 ? 0.06)5 ? 1800(1 ? C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.062

? 1800(1 ? 0.3 ? 0.036) ? 1800 ?1.336 ? 2405 , 又 08 年 农 民 其 它 人 均 收 入 为
1350+160 ? 5 =2150 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元).故选 B. 说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅,其它 方法不再一一举例.需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来 进行解题,会使题目求解过程简单化. 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做.“不择手段,多快好省”是解选 择题的基本宗旨. (二)选择题的几种特色运算 1、借助结论——速算

例 39、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A、 3? B、 4? C、 3 3? D、 6?



解析:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2)若正 方体的顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径.可以快速算出球的半径

R?

3 2 ,从而求出球的表面积为 3? ,故选 A.

2、借用选项——验算

?3 x ? y ? 12, ?2 x ? 9 y ? 36, ? ? ?2 x ? 3 y ? 24, x, y 满足 ? x ? 0, y ? 0, ,则使得 z ? 3x ? 2 y 的值最小的 ( x, y) 是( ? 例 40、若
A、 (4.5,3) B、 (3,6) C、 (9,2) D、 (6,4)



解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z ? 3x ? 2 y 的值最小,故选 B. 3、极限思想——不算 例 41、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ? ,侧面与底面所成的二面角的平面角 为 ? ,则 2 cos? ? cos2? 的值是( )

A、1

B、2

C、-1

3 D、 2

解 析 : 当 正 四 棱 锥 的 高 无 限 增 大 时 ,

? ? 90? , ? ? 90? , 则

2 cos? ? cos2? ? 2 cos90? ? c o s8? ? ?1. 故选 C. 1 0
4、平几辅助——巧算 例 42、 在坐标平面内, 与点 A (1, 距离为 1, 2) 且与点 B (3, 距离为 2 的直线共有 1) ( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程.以 A(1,2) 为圆心,1 为半径作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B.由平面几何知识易知,满 足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线.故选 B. 5、活用定义——活算 例 43、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为( )

3 A、 4

2 B、 3

1 C、 2 e?

1 D、 4 c 1 ? . a 2 故选 C.

解析:利用椭圆的定义可得 2a ? 4, 2c ? 2, 故离心率 6、整体思想——设而不算

例 44、若 为( A、1 )

(2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ?(a1 ? a3 )2 的值
B、-1 C、0 D、2

解 析 : 二 项 式 中 含 有

3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? (2 ? 3) 4 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b ? (2 ? 3) 4 ,则待求式
子 ? ab ? [(2 ? 3)(2 ? 3)] ? 1.故选 A.
4

7、大胆取舍——估算 例 45、 如图, 在多面体 ABCDFE 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,

3 EF∥ AB, EF= 2 , 与面 ABCD 的距离为 2, EF 则该多面体的体积为 ( 9 A、 2 15 D、 2



B、5

C、6

1 1 VE ? ABCD ? S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 V 3 3 解析:依题意可计算 ,而 ABCDEF
选 D. 8、发现隐含——少算

?EVBCD A?

=6,故

y ? kx ? 2与 x 2 ?
例 46、 ( )

y2 ?1 k ? kOB ? 3 ,则直线 AB 的方程为 2 交于 A、B 两点,且 OA
C、 3x ? 2 y ? 4 ? 0 D、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

A、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

B、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y ? kx ? 2 ,它过定点 (0,2) ,只有 C 项满足.故选 C. 9、利用常识——避免计算 例 47、 我国储蓄存款采取实名制并征收利息税, 利息税由各银行储蓄点代扣代收.某人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元,存期一年,年利率为 2.25%,到期时净得本金和利息共计 10180 元,则利息税的税率是 ( )A、8% B、20% C、32% D、80% 解析:生活常识告诉我们利息税的税率是 20%.故选 B. (三)选择题中的隐含信息之挖掘 1、挖掘“词眼” 例 48、过曲线 S : y ? 3x ? x 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为(
3



A、 y ? ?2

B、 y ? 2

C、 9 x ? y ? 16 ? 0

D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2

错解: f ( x) ? ?3x ? 3, f (2) ? ?9 ,从而以 A 点为切点的切线的斜率为–9,即所求切
/ 2 /

线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0. 故选 C. 剖析:上述错误在于把“过点 A 的切线”当成了“在点 A 处的切线” ,事实上当点 A 为切 点时, 所求的切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 , 而当 A 点不是切点时, 所求的切线方程为 y ? ?2. 故选 D. 2、挖掘背景 例 49、已知 x ? R, a ? R , a 为常数,且 ( ) A、2 a B、3 a

f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则函数 f (x) 必有一周期为
D、5 a

C、4 a

tan( x ?
分析: 由于

?
4

)?

? 1 ? tan x a? f (x) 的一个背景为正切函数 tanx, 1 ? tan x , 4, 从而函数 取

可得必有一周期为 4 a .故选 C. 3、挖掘范围

?x ? 0 ? 【例题 14】(97 年高考)不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( 、 ?3 ? x ? 2 ? x ?
A、 ?x 0 ? x ? 2



?

B、 ?x 0 ? x ? 2.5

?

C、 ?x 0 ? x ? 6

?

D、 ?x 0 ? x ? 3

?

直接求解肯定不是最佳策略;四个选项左端都是 0,只有右端的值不同,在 这四个值中会是哪一个呢?直觉:它必定是方程 2 不是,3 不是, 2.5 也不是,所以选 C。 【例题 15】 、四个平面,最多可以把空间分成几部分?( A.8 B.14 C.15 D.16 )
3? x 3? x ?| | 的根! ,代入验证: 3? x 3? x

这个问题等价于:一个西瓜切 4 刀,假设在此过程中西瓜不散落,则最多可 以切成几块? 前 3 刀沿横、纵、竖三个方向切成 8 块应该没有问题,第 4 刀怎么切呢?要 得到最多的块数,应该尽可能切到前 8 块,所以切法应该区别于前 3 刀的方向, 即斜切,但总有 1 块切不到,所以答案为 8?2-1=15,选 C。 也可以这样考虑:假设已经切好了,则中间必定有 1 块是没有皮的四面体,

与每一个面相邻的有 1 块,共 4 块;与每条棱相接的有 1 块,共 6 块;与每顶点 相对的有 1 块,共 4 块;所以总数是 1+4+6+4=15,选 C。

2.高考数学专题复习:选择题的解法
1.直接法: 有三个命题: ①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与α 垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平 面与 b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) 。 A.0 B.1 C.2 D.3 2.特例法: (1)特殊值: 若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:(
?? ? ? (A) ? , ? ?3 2? ?? ? (B) ? , ? ? ?3 ?

)。

? ? 4? ? ? ? 3? ? (C) ? , ? (D) ? , ? ?3 3 ? ?3 2 ?

(2)特殊函数: 定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:① f(a)? f(-a)≤0; ②f(b)? f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b); ④f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( A.①②④ (3)特殊数列: 已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ???? ? a101 ? 0 ,则有( A、 a1 ? a101 ? 0 (4)特殊位置: 直三棱柱 ABC—A/B/C/的体积为 V, Q 分别为侧棱 AA/、 /上的点, AP=C/Q, P、 CC 且 则四棱锥 B—APQC 的体积是( ) 。 (A) V (5)特殊点: 函数 y ? 1 ? x ( 0 ? x ? 4 )的反函数是( (A) y ? ( x ?1)2 ( 1 ? x ? 3 ) ) 。
1 2

) 。 D.①③

B.①④

C.②④

) 。 D、 a51 ? 51

B、 a2 ? a102 ? 0

C、 a3 ? a99 ? 0

(B) V

1 3

(C) V

1 4

(D) V

1 5

(B) y ? ( x ?1)2 ( 0 ? x ? 4 )

(C) y ? x2 ?1 ( 1 ? x ? 3 ) (6)特殊方程:

(D) y ? x2 ?1 ( 0 ? x ? 4 )

?

双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α ,离心率为 e,则 cos 2 等 于( ) 。
1 C. e 1 2 D. e

A.e 3.图像法:

B.e2

若关于x的方程 1 ? x 2 ? kx ? 2有唯一实数解, 则实数k为( ) ( A)k ? ? 3 ( B) k ? ?2或k ? 2 (C ) ? 2 ? k ? 2 ( D)k ? ?2或k ? 2或k ? ? 3
4.验证法(代入法): 满足 7 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 的值是 ( ) 。

? A? x ? 3

? B? x ?

3 7

?C ? x ? 2

? D? x ? 1
) 。

5.筛选法(也叫排除法、淘汰法) : 若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] 6.分析法: 设 a,b 是满足 ab<0 的实数,则( A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<|a|-|b| 7.估算法: ) 。
3 B. (0, 2 ]
1 2 C.[ 2 , 2 ]

1 2 D. 2 , 2 ] (

B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b|

如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB, EF=3/2,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( A)9/2 B)5 C)6 D)15/2 ) 。
E D A F C B

3.高考数学专题复习:选择题的解法参考答案
1.直接法 解析: 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都

是正确的,故选 D。 2、特例法: (1)特殊值 解析:取 ? ?

?
2

, 排除A,?=?,排除B,?=

4? ,排除D,故选C . 3

(2)特殊函数 解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 (3)特殊数列 解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。 (4)特殊位置 解 析 : 令 P 、 Q 分 别 为 侧 棱 AA/ 、 CC/ 的 中 点 , 则 可 得

V?

1 1 1 1 1 S A?ACC ? h,VB ? APQC ? S APQC h ? h S A?ACC ? ? V ,故选 B 2 3 3 2 3

(5)特殊点 解析: 由函数 y ? 1 ? x , x=4时,y=3, y ? 1 4? 3 ,则它的反函数过点 且 (3, , 4) ? 故选A (6)特殊方程 解析: 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来

? 2 x2 y2 5 考察。取双曲线方程为 4 - 1 =1,易得离心率 e= 2 ,cos 2 = 5 ,故选 C。

3.图像法: 解析:如图,令 y1 ? 1 ? x 2 , y2 ? kx ? 2 ,则它们分别表示半圆和过点(0,2) 的直线系,由图可知,直线和半圆相切,以及交点横坐标在(-1, 1)内 时,有一个交点,故选 D.

4.验证法(代入法): 解析:将四个选择支逐一代入,可知选 D .

5.筛选法(也叫排除法、淘汰法) :
x ? (0, ] 3 ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排 解析:因 x 为三角形中的最小内角,故

?

除 B,C,D,故应选 A。

6.分析法: 解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0, 可令 a=1,b= -1,代入知 B 为真,故选 B。

7、估算法: 解析:连接 BE、CE 则四棱锥 E-ABCD 的体积

E D

F C

1 VE-ABCD= 3 ?3?3?2=6,又整个几何体大于部分的体积, A

B

所求几何体的体积 V 求> VE-ABCD,选(D)

4.选择题快速解答方法
(一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择 支对照,从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例 1、若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是(
2 2



? 3? (A){x|2k ? - 4 <x<2k ? + 4 ,k ?Z}
? ? (C) {x|k ? - 4 <x<k ? + 4 ,k ?Z }
2 2 2

? 5? (B) {x|2k ? + 4 <x<2k ? + 4 ,k ?Z}

? 3? (D) {x|k ? + 4 <x<k ? + 4 ,k ?Z}
2

解析: (直接法)由 sin x>cos x 得 cos x-sin x<0,

? 3? 即 cos2x<0,所以: 2 +kπ <2x< 2 +kπ ,选 D.
另解:数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画出 y=|sinx|和 y=|cosx|的图象,从图象中可知选 D. 例 2、设 f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)

等于( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 解析:由 f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5),由 f(x)是奇函数,得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B. 也可由 f(x+2)=-f(x),得到周期 T=4,所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 例 3、七人并排站成一行,如果甲、乙两人必需不相邻,那么不同的排法的种数是( ) (A) 1440 (B) 3600 (C) 4320 (D) 4800 解析:法一: (用排除法)七人并排站成一行,总的排法有 法有 2? 应选 B; 法二: (用插空法)
5 2 A5 ? A6 =3600. 7 A7 种,其中甲、乙两人相邻的排

6 7 6 A6 种.因此,甲、乙两人必需不相邻的排法种数有: A7 -2? A6 =3600,对照后

例 4、某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有 2 次击中目标的概 率为( )

A.

81 125

B.

54 125

C.

36 125

D.

27 125

解 析 : 某 人 每 次 射 中 的 概 率 为 0.6 , 3 次 射 击 至 少 射 中 两 次 属 独 立 重 复 实 6 4 6 27 3 C 32 ? ( ) 2 ? ? C 3 ? ( ) 3 ? 10 10 10 125 验. 故选 A. 例 5、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α 的一条斜线 l 有且仅 有一个平面与α 垂直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直.其中 正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的, 故选 D.

x2 y2 例 6、 已知 F1、 是椭圆 16 + 9 =1 的两焦点, F2 经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、 若|AB|=5, B,
则|AF1|+|BF1|等于( )A.11 B.10 C.9 D.16 解 析 : 由 椭 圆 的 定 义 可 得 |AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 , 两 式 相 加 后 将 |AB|=5=|AF2|+|BF2|代入,得|AF1|+|BF1|=11,故选 A. 例 7、已知

y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是(
B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞)



A. (0,1)

解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B.

y ? loga (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数.

例 8、圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析::本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分

析.将圆的方程化为(x+1)2+(y+2)2=(2 2 )2,∴
| ?1 ? 2 ? 1 |

r=2 2 .∵

圆心(-1,-2)到直线 x

+y+1=0 的距离 d=

2

= 2 ,恰为半径的一半.故选C.

例 50、设 tan ? 、 t an ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且
3

? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? (? , )
2 2

2 2 ,

则 ? ? ? 的值为(

2? )A、 3 ?

? B、 3

?
C、 3

或?

2? 3

D、

?

?
3



2? 3
tan( ? ? ? ) ? 3 , 又? ? (?

? ?
2 2 ,

), ? ? (?

? ?

错解:易得

, ), ? ? ? ? (?? , ? ) 2 2 ,从而

? ?? ?

?
3

或?

2? . 3 故选 C.

剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围.由韦达定理知

tan? ? tan? ? 0, tan? tan? ? 0, 故 tan? ? 0, 且 tan? ? 0

.





? ? ? ? (? , 0), ? ? (? , 0)
2 2
,故 4、挖掘伪装

? ?? ??

2? . 3 故选 A.

例 51、 若函数

f ( x) ? loga ( x ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) , x 当 满足对任意的 x1 、 2 ,
2

x1 ? x2 ?

a 2

时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( A、 (0, 1) ? (1, 3) B、 (1, 3)

) D、 (1, 2 3)

C、 (0, 1) ? (1, 2 3)

分析: “对任意的 x1、x2,当

x1 ? x2 ?

a 2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ”实质上就是“函数单调 x? a 2

递减”的“伪装” ,同时还隐含了“ f (x ) 有意义”.事实上由于 g ( x) ? x ? ax ? 3 在
2

?a ? 1, ? ? a ? g ( 2 ) ? 0. 时递减,从而 ? 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3) .故选 D.
5、挖掘特殊化

例 52、不等式 C12 ? C12
2x

2 x?3

的解集是(

) C、{4,5,6} D、{4,4.5,5,5.5,6}

A、 ?

} B、 {大于3 的正整数

分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式. 6、挖掘修饰语 例 53、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代表,校际间轮流 发言, 对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉, 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞 颂,那么不同的发言顺序共有( ) A、72 种 B、36 种 C、144 种 D、108 种 分析: 去掉题中的修饰语, 本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目: 三男三女站成一排, 男女相间而站,问有多少种站法?因而易得本题答案为 7、挖掘思想
3 3 2 A3 A3 ? 72种.故选 A.

2x ? x 2 ?
例 54、方程 A、0

2 x 的正根个数为(
B、1
2 3

) C、2 D、3

分析:本题学生很容易去分母得 2 x ? x ? 2 ,然后解方程,不易实现目标.事实上,只要

y ? 2x ? x 2 , y ?
利用数形结合的思想,分别画出 故选 A. 8、挖掘数据

2 x 的图象,容易发现在第一象限没有交点.

例 55、定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?C 2 使 得 , 则 称 函 数 f (x ) 在 D 上 的 均 值 为 C. 已 知

f ( x) ? lg x, x ?[10, 1 0] ,则函数 f ( x) ? lg x 在 x ?[10, 100] 上的均值为( 0
3 A、 2 3 B、 4 7 C、 10



D、10

f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) ? ?C 2 2 分析: , 从 而 对 任 意 的 x1 ?[10, 100] , 存 在 唯 一 的

x2 ?[10, 100] , 使 得 x1 , x 2 为 常 数 . 充 分 利 用 题 中 给 出 的 常 数 10 , 100. 令 x1 x2 ? 10?100 ? 1000 , 当 x1 ?[10, 100] 时 ,
x2 ? 1000 ? [10, 1 0] 0 x1 , 由 此 得

C?

lg( x1 x 2 ) 3 ? . 2 2 故选 A.

(四)选择题解题的常见失误 1、审题不慎 例 56、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为( A、0 B、1 C、2 )

D、0 或 1 或 2

误解:因为直线与圆的位置关系有三种,即交点的个数为 0 或 1 或 2 个,所以 M ? P 中的 元素的个数为 0 或 1 或 2.故选 D. 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错用直线 与圆的位置关系解题.实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没有公共元 素.故选 A. 2、忽视隐含条件

? 例 57、若 sin 2 x 、 sin x 分别是 sin?与 cos 的等差中项和等比中项,则 cos 2 x 的值为
1? 33 8 )A、 1? 33 8 B、




1? 33 8 C、
s i 2n ? x

1? 2 D、 4


误解:依题意有 2 sin 2 x ? sin ? ? cos ? ,

? i n? c o s s

由① × 得, 4 cos 2 x ? cos2 x ? 2 ? 0 ,解得 2-② 2
2

cos 2 x ?

1 ? 33 8 .故选 C.

剖析:本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件.事实上,由

1? 33 sin x ? sin ? cos? ,得 cos 2 x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以 8 不合题意.故选 A.
2

3、概念不清 例 58、已知 l1 : 2 x ? my ? 2 ? 0, l2 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l 2 ,则 m 的值为( A、2 B、1 C、0 D、不存在 )

误解:由 l1 ? l 2 ,得 k1k 2 ? ?1.

??

2 ?m ?( ) ? ?1 m 2 ,方程无解,m 不存在.故选 D.

剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ? l 2 ,则 k1k 2 ? ?1 ,是以两直线的斜率都存 在为前提的.若一直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直.当 m=0 时,显 然有 l1 ? l 2 ;若 m ? 0 时,由前面的解法知 m 不存在.故选 C. 4、忽略特殊性 例 59、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的距

离相等的点的轨迹是( )A、椭圆 B、双曲线 D、直线 误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线.故选 C. 剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直 线 l 上.故选 D. 5、思维定势 例 60、如图 1,在正方体 AC1 中盛满水,E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中点.若三个小孔分别位于 E、F、G 三 点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( )

C、抛物线

11 A、 12

7 B、 8

5 C、 6

23 D、 24

误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由三棱

1 V正方体 柱 B1EF—C1NM 的体积为 8 ,故选 B.
剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处,则在 截面 EFG 下面的部分就是盛水最多的.本题的失误在于受图 2 的思维定势,即过三个小孔的 平面为截面时分成的两部分中,较大部分即为所求.事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时,

小孔 F 在此截面的上方, 6、转化不等价 例 61、函数 y ? x ?

VB1 ? BEC1 ?

1 V正方体 12 ,故选 A.

x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为(
B、 [a, ? ?)

) D、 [?a, 0) ? [a, ? ?)

A、 (??, 0) ? (0, ? ?)

C、 (??, 0]

f ?1 ( x) ?
误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域.因为反函数

x2 ? a2 2 x ,所以

x ? 0 ,故选 A.
剖析:本题的失误在于转化不等价.事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x ? a ,两边平
2 2

2 2 2 方得 ( y ? x) ? x ? a ,这样的转化不等价,应加上条件 y ? x ,即

y?

y2 ? a2 2 y ,进而解

得, y ? a或 ? a ? y ? 0 ,故选 D. (五)高考数学选择题分类指导 解答高考数学选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确指出的,应 “多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判关. 因而,在解答时应该突出一个"选"字, 尽量减少书写解题过程,在对照选支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵

活、巧妙、快速地选择巧法,以便快速智取. 下面按知识版块加以例说. 1.函数与不等式

? x 2 (x ? 0), ? ? f ?x ? ? ? ? (x ? 0), ? ? 0 (x ? 0), f ? f ? f ?? 3??? ? 例 62、已知 则 的值等于( ).
A. 0 B.

?

C.
2

?2

D.

9

? 解析:由 f ? f ? f ?? 3??? ? f ? f ?0?? ? f ? ? ? ? ,可知选 C.
例 63、函数 f ?x ? ? x ? bx ? c?x ? 0? 是单调函数的充要条件是(
2

). D.

A. b ? 0

B. b ? 0

C. b ? 0

b?0

解 析 : 抛 物 线 f ?x? ? x ? bx ? c 的 开 口 向 上 , 其 对 称 轴 为
2

x??

b 2 ,于是有

?0,??? ? ?? b , ? ? ? ? ?
? 2
例 64、不等式 A. ?0,1?

b ? 0, ? 是递增区间,从而 2 即 b ? 0, 应选 A. ?
的解集是( ). D.

x ? log2 x ? x ? log2 x
C. ?0,???

B. ?1,???

?? ?, ?? ?

x ?lo g x ? x ? lo g x 2 2 解 析 : 当 x 与 log2 x 异 号 时 , 有 , 则必有 x ? 0 ,从而
l o g x ? 0 ,解出 0 ? x ? 1 ,故应选 A. 2

? 2? f ?x ? ? sin 2 x ? ? ? ? 3? 例 65、关于函数

x

?

1 2 ,有下面四个结论:
1 3 f ?x ?〉 f ?x ? 的最大值是 2 ; 2 恒成立; (3)

(1) f ? x ? 是奇函数; (2)当 x ? 2003 时, (4) f ?x ? 的最小值是 A. 1 个

?

1 2 .其中正确结论的个数是(
B. 2 个 C. 3 个

). D. 4 个

解析: 由 f ?x ? 是偶函数,可知(1)错;又当 x ? 1000 ? 时,

f ?x ? ?

1 ?2? ?? ? 2 ?3?

1000 ?

?

1 2,

3 ?3?2 3 x ? ,f ?x ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? 2 ,故(3)错;从而对照选支应选 A. 所以错(2);当
2. 三角与复数

?

?

?
例 66、如果函数 y = sin2x + a cos2x 的图象关于x= A. 2 B.- 2 C. 1

?
8 对称,则a=( ).
D. -1

?
解析: 因为点 (0, 与点 0) (

?
4 , 关于直线x= 0)

?

?
8 对称, 所以a必满足: sin0 + a cos0=sin

?


?
2 )+ a cos(

?

?
2) ,解出a=-1,从而可以排除 A, B, C.,故应选 D.
) .

例 67、在 ?0,2? ? 内,使 cos x ? sin x 成立的 x 的取值范围是(

?? ? ? ,? ? ? A. ? 4

? ? ? ? ? 5? ? ? , ? ? ??, ? 4 ? B. ? 4 2 ? ?

? ? 5? ? ?? ? ? 5? 3? ? ? , ? ? ,? ? ? ? , ? ? ? 4 2 ? C. ? 4 4 ? D. ? 4

?? ? ? ? 7? 2 sin? x ? ? ? 0. ? ? x? ? 4? ? 4 4 ,从 解析:将原不等式转化为 由 0 ? x ? 2? ,知 4
0? x?


?
4

??

, 故应选 C.事实上, x ? ? 显然满足 cos x ? sin x , 由 从而否定 A, B, D, 故

y ? cos x 在 ?0, ? 上的图象,进行直 2? 应选 C.亦可在同一坐标系中,作出函数 y ? sin x 和
观求解.

z?
例 68、复数 A. 第一象限

m ? 2i ?m ? R, i为虚数单位 ? 1 ? 2i 在复平面上对应的点不可能位于( ) .
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

z?
解析:

1 ?m ? 2i ??1 ? 2i ? ? 1 ??m ? 4? ? 2?1 ? m ?i ?. 5 5

?m ? 4 ? 0, ? ? 2?1 ? m? 无解,可知应选 A.亦可取特值进行排除.事实上 由?
记复数 z 对应的点为 P.若取 m ? ?2 ,点 P 在第二象限;若取 m ? 0 ,则点 P 在第三象限; 若取 m ? 5 ,则点 P 在第四象限,故应选 A.

? y 例 69、把曲线 y cos x ? 2 y ? 1 ? 0 先沿 x 轴向右平移 2 个单位,再沿 轴向下平移 1 个单
位,得到的曲线方程是( ) . A. ?1 ? y ?sin x ? 2 y ? 3 ? 0 C. B. D.

? y ? 1?sin x ? 2 y ? 3 ? 0
? ? y ? 1?sin x ? 2 y ? 1 ? 0

? y ? 1?sin x ? 2 y ? 1 ? 0
析 : 对



y cos x ? 2 y ? 1 ? 0

?x, y ? ? ? x ? ? ,y ? 1?, ? ?
作 变 换

?

2

?



? y ? 1?cos? x ? ? ? ? 2? y ? 1? ? 1 ? 0, ? ?
? 2?

即 ? y ? 1?sin x ? 2 y ? 1 ? 0 . 故应选 C.

y?
记住一些运动变换的小结论是有效的.本题是函数 为新颖. 3. 数列与排列组合

1 2 ? cos x 向方程式的变式,较

a1 ? 1,an?1 ?
例 70、由

an 3an ? 1 给出的数列 ?an ? 的第 34 项是( ).
1 104 1 4

34 A. 103

B. 100

C.

D.

1
解析:对已知递推式两边取倒数, 得

an?1

?

?1? 3an ? 1 1 1 ? ?3 , ? ? a a an an 即 n ?1 .这说明数列 ? n ? 是

1 ?1 a 以 1 为首项, 3 为公差的等差数列, 从而有

1 1 ? ? 33d ? 100, a 34 ? 1 , a34 a1 100 应 即

选 B. 构造等差数列、等比数列是解决数列考题的常用方法, 值得我们重视. 例 71、一种细胞,每三分钟分裂一次(一个分裂为两个) ,把一个这种细胞放入一个容器内, 恰好一小时充满;如果开始时把两个这种细胞放入该容器内,那么细胞充满容器的时间为 ( ). A. 57 分钟 B. 30 分钟 C. 27 分钟 D.45 分钟
n 解析: 设容器内细胞共分裂 n 次, 1 ? 20 ? 2 ? 20 , n ? 19, 则 即 从而共花去时间为 19 ? 3 ? 57

分钟,故应选 A. 例 72、从正方形的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A. 8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种 解析:采用补集思想求解. 从 6 个面中任取 3 个面的取法共有

).

1 C3 种方法,其中三个面交于

一点共有 8 种可能,从而满足题意的取法共有 请读者思考:关系式:

1 C3 ? 8 ? 12 种,故应选 B.

1 1 C4 ? C3 ? 12的含义是什么?

E

F

4. 立体几何 例 73、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的 正方形,EF∥AB,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( )

D A B

C

9 A. 2

B.5

C.6

15 D. 2

解析:本题的图形是非常规的多面体,需要对其进行必要的分割. 连 EB、EC,得四棱锥 E―ABCD 和三棱锥 E―BCF,这当中,四棱锥 E―ABCD 的体积易

1 VE ? ABCD ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 3 求得 , 又因为一个几何体的体积应大于它的部分体积, 所以不必
计算三棱锥 E―BCF 的体积,就可排除 A, B.,C.,故应选 D. “体积变换”是解答立体几何题的常用方法,请予以关注. 例 74、关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ,下面命题中正确的是( 若 a // M , b // M , 则 a // b; B 若 a // M , b ? a, 则 b ? M ; ).

C 若 a ? M , b ? M , 且 l ? a, l ? b, 则 l ? M ; D 若 a ? M , a // N , 则 M ? N .
, , 解析:对于选支 D, 过 a 作平面 P 交平面 N 于直线 a ,则 a // a ,而 a ? M , 从而 a ? M ,



, 又 a ? N , 故 M ? N , 应选 D.请读者举反例说明命题 A, B, C, 均为假命题.

5.解析几何 例 75、过抛物线y= a x2(a> 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 FP

1 1 ? 与 FQ 的长分别是p、q,则 p q =(
1 2a

).

A.

2a

B.

C.

4a

D.

4 a

1 1 ? p q 的值都是 a 的表示式,因而取 解析:由题意知,对任意的过抛物线焦点 F 的直线, 1 1 4 1 ? 抛物线的通径进行求解,则p=q= 2 a ,所以 p q = a ,故应选 D.
? x ? t 2, ? ?0,1? 到曲线 ? y ? 2t (其中参数 t ? R )上的点的最短距离是( 例 76、点 P

).

A. 0

B. 1

C.

2

D.

2

2t 解析:由两点间的距离公式,得点 P ?0,1? 到曲线上的点 Q t , 的距离为
2

?

?

PQ ?

?t

2

? 1 ? ?2t ? ?
2 2

?

?t

2

? 1 ? t 2 ? 1 ? 1.

?

2

PQ min ? 1 , 当 t ? 0 时, 故应选 B.

将曲线方程转化为 y ? 4 x ,显然点 P ?0,1? 是抛物线的焦点,由定义可知:抛物线上距离焦
2

点最近的点为抛物线的顶点,故应选 B.
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 2 2 2 b =1(a>b>0), b =1 和抛物线 y2=2px(p>0 )的离心率分 例 77、 已知椭圆 a 双曲线 a

别为 e1、e2、e3,则( ). A.e1e2>e3 B.e1e2=e3

C.e1e2<e3
2

D.e1e2≥e3

? e1 ?
解析:

a2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? ,2 ? e a ?a?
2

a2 ? b2 ?b? ? 1? ? ? , a ? a ? e3 ? 1,
2

?b? ? e1e2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? e1 . ?a? 故应选 C.
1 ( ,0) y 2 ? ?3x ,使其顶点的横坐标非负,并使其顶点到点 4 的距离 例 78、平行移动抛物线 1 比到 y 轴的距离多 4 ,这样得到的所有抛物线所经过的区域是
A. xOy 平面 B.

y 2 ? ?2x

C.

y 2 ? ?2x

D.

y 2 ? 2x

?1 ? 1 0 ? ,? 4 ? 的距离比到 y 轴的距离多 4 的点的轨迹.设 P(x,y)是合条件 解析:我们先求出到点 ?
1? 1 ? 2 1 ?x ? ? ? y ? x ? y 2 ? ? x ? x ?, 4? 4 , 两 边 平 方 并 整 理 得 ? 2
2

的 点 , 则

? x ? 0,? y 2 ? x.
2 2 2 再设平移后抛物线的顶点为 (a , a ) ,于是平移后抛物线的方程为 ( y ? a) ? ?3(x ? a ), 按 a 2 2 2 2 2 整理得 2a ? 2ya ? 3x ? y ? 0 .?a ? R,?? ? (2y) ? 8(?3x ? y ) ? 0 ,化简得 y ? ?2x .故

应选 B. 6.综合性性问题 例 79、 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、 元的单片软件和 70 盒装磁盘,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( )

A.5 种

B.6 种

C.7 种

D.8 种

解析:设购买单片软件 x 片, 磁盘

y 盒, 由题意得

x ? 3, ? ? y ? 2, ? ?60x ? 70 y ? 500, ?

经检验可知,该不等

式组的正整数解为:当 x ? 3 时, y ? 2,3,4; 当 x ? 4 时, y ? 2,3,; x ? 5 时, y ? 2. 当 总共有 7 组, 故应选 C. 例 80、银行计划将某资金给项目 M 和 N 投资一年,其中 40%的资金给项目 M,60%的资金 给项目 N,项目 M 能获得 10%的年利润,项目 N 能获得 35%的年利润,年终银行必须回笼 资金,同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使银行年利润不小于给 M、 总投资的 10%而 N 不大于总投资的 15%,则给储户回扣率最小值为( )A.5% B.10% C.15% D.20% 解析:设共有资金为 a , 储户回扣率 x , 由题意得解出

0.1a ? 0.1 ? 0.4a ? 0.35 ? 0.6a ? xa ? 0.15a, 解出

0.1 ? x ? 0.15 ,故应选 B.

例 81、某电视台的颁奖礼盒用如下方法做成:先将一个奖品放入一个正方体内,再将正方 体放在一个球内, 使正方体内接于球; 然后再将该球放入一个正方体内, 球内切于该正方体, 再将正方体放入一个球内,正方体内接于球,??如此下去,正方体与球交替出现. 如果正 方体与球共有 13 个,最大正方体的棱长为 162cm. 奖品为羽毛球拍、蓝球、乒乓球拍、手 表、项链之一,则奖品只能是(构成礼品盒材料的厚度忽略不计) ). ( A . 项链 B. 项链或手表 C. 项链或手表,或乒乓球拍 D. 项链或手表,或乒乓球拍,或蓝 球 解析:因正方体的中心与外接球的中心相同,设正方体的棱长为 a,外接球的半径为 R,则 有

4R 2 ? 3a 2, 即

a?

2 3

R.

? 半径为 R 的球的外切正方体的棱长 b ? 2R ,? 相邻两个正方

b 2R ? ? 3. 2 a R 3 体的棱长之比为 因为有 7 个正方体,设最小正方体的棱长为 t,则
162 ? t( 3) 6 ? 27t, 得 t ? 6(cm ) . 故礼品为手表或项链. 故应选 B.
1、同时满足① M ? {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若 a∈M,则(6-a)∈M, 的非空集合 M 有(C) 。 (A)16 个 (B)15 个 (C)7 个 (D)8 个

点评:着重理解“∈”的意义,对 M 中元素的情况进行讨论,一定要强调如果“a 在 M 中,那么(6-a)也在 M 中”这一特点,分别讨论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等 几种情况,得出相应结论。 2、函数 y=f (x)是 R 上的增函数,则 a+b>0 是 f (a)+f (b)>f (-a)+f (-b)的( C )条件。 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)不充分不必要

点评: a+b>0 可知, -b , >-a, 又 y = f ( x )在 R 上为增函数, f ( a ) > f ( b ) , 由 a> b 故 f ( b ) > f ( - a ),反过来,由增函数的概念也可推出,a+b>(-a)+(-b) 。 3、 函数 g(x)=x2 ? ( D ) 。 (A)(-a, -g(-a)) (B)(a, g(-a)) (C)(a, -g(a)) (D)(-a, -g(a))

1? ? 1 若 ? ? , a≠0 且 a∈R, 则下列点一定在函数 y=g(x)的图象上的是 x ? 2 ?1 2 ?

点评:本题从函数的奇偶性入手,先看括号内函数的奇偶性为奇函数,得到该复合函数为 奇函数,再根据 g(-x)=-g(x),取 x=a 和 x=-a 加以验证。 4、数列{an}满足 a1=1, a2=

2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于( A ) 。 ? ? 3 an?1 an?1 an
)n-1 (C)(

(A)

2 n ?1

(B)(

2 3

2 n ) 3

(D)

2 n?2

点评:先代入求得 a3 的值,再对照给出的选择支,用验证法即可得出结论。 5、由 1,2,3,4 组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},其 中 a18 等于(B) 。 (A)1243 (B)3421 (C)4123 (D)3412

点评:先写出以 1 开头、2 开头、3 开头的各 6 个数,再按由小到大顺序排列。

? 4 4a 4a n?1 ? ? =9,则实数 a 等于( B ) 6、若 lim ? 。 ? ? ?? ? n? ? ? 1 ? a 1? a 1? a ? ? ?
(A)

5 3

(B)

1 3

(C)-

5 3

(D)-

1 3

点评:通过观察可知 a<1(如 a>1,则数值为负) ,且求和的各项成等比,因此可以 运用无穷递缩等比数列求和公式(其中 q=a,a1=4) 。 7、已知圆锥内有一个内接圆柱,若圆柱的侧面积最大,则此圆柱的上底面将已知圆锥的 体积分成小、大两部分的比是( D ) 。 (A)1:1 (B)1:2 (C)1:8 (D)1:7

点评:通过平面展开图,达到“降维”之目的,促使立体图形平面化,再在相似等腰 三角形中,求得小、大三角形的高的比为 1:2,由此可见,小的与全体体积之比为 1:8, 从而得出小、大两部分之比(特别提醒:小、大之比并非高之比的立方) 。 8、下列命题中,正确的是( D ) 。

(A)y=arccosx 是偶函数 (C)sin(arcsin

(B)arcsin(sinx)=x, x∈R (D)若-1<x<0, 则-

? ? )= 3 3

? <arcsinx<0 2

点评:反三角函数的概念、公式的理解与运用。注意:arccos(-x)=Π x -arccosx,arcsin(sinx)= x’ 9、函数 y=f (x)的反函数 f -1(x)= (A)关于点(2, 3)对称 (C)关于直线 y=3 对称 且 sinx =sinx’ ( 当(当 -

? ? <x <- 时) 2 2 ? ? <x ’<- 时) 2 2

1 ? 2x (x∈R 且 x≠-3),则 y=f (x)的图象( B ) 。 3? x
(B)关于点(-2, -3)对称 (D)关于直线 x=-2 对称

点评:主要考核反函数的概念与对称性的知识。 10、两条曲线|y|= ? x 与 x = - ? y 的交点坐标是( B ) 。 (A)(-1, -1) (B)(0, 0)和(-1, -1) (D)(1, -1)和(0, 0)

(C)(-1, 1)和(0, 0)

点评:从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。

11、已知 a, b∈R, m= (A)m<n

6a 36
a ?1

?1

, n=

5 1 -b+ b2,则下列结论正确的是( D ) 。 3 6
(D)m≤n

(B)m≥n

(C)m>n

点评:由题意可知 m≤

1 1 1 、 n= (b-1) 2 + 。 3 2 2

12、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 是异面直线 AC、A1D 的公垂线,则 EF 和 BD1 的关系 是( B ) 。 (A)垂直 (B)平行 (C) 异面 (D)相交但不垂直

点评:理解公垂线的概念,通过平行作图可知。 13、直线 4x+6y-9=0 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是 l,则 l 的方程是( B ) 。 (A)24x-16y+15=0 (B)24x-16y-15=0 (C)24x+16y+15=0 (D)24x+16y-15=0 点评:通过两线垂直与斜率的关系,以及中点坐标公式。 14、函数 f (x)=loga(ax2-x)在 x∈[2, 4]上是增函数,则 a 的取值范围是( A ) 。 (A)a>1 (B)a>0 且 a≠1 (C)0<a<1 (D)a∈ ? ?

点评:分类讨论,考虑对称轴与单调区间的位置关系,运用特殊值进行验证。

15、函数 y=cos2(x-

? ? )+sin2(x+ )-1 是( C ) 。 12 12
(B)周期为π 的偶函数 (D)周期为 2π 的偶函数

(A)周期为 2π 的奇函数 (C)周期为π 的奇函数

点评:用倍角公式降次,判断周期性,根据和差化积的结果来求奇偶性。 16、若 a, b∈R,那么 (A)a>b

1 1 ? 成立的一个充分非必要条件是( C ) 。 a b
(C)a<b<0 (D)a<b

(B)ab(a-b)<0

点评:理解条件语句,用不等式的性质解题。 17、函数 y=cos4x-sin4x 图象的一条对称轴方程是( A ) 。 (A)x=-

? 2

(B)x=-

? 4

(C)x=

? 8

(D)x=

? 4

点评:先降次,后找最值点。 18、已知 l、m、n 为两两垂直且异面的三条直线,过 l 作平面α 与 m 垂直,则直线 n 与平 面α 的关系是( A ) 。 (A)n//α (B)n//α 或 n ? α (D)n ? α

(C)n ? α 或 n 不平行于α

点评:画草图,运用线面垂直的有关知识。 19、若 z1, z2∈C,|z1|=|z2|=1 且 arg(z1)=150°, arg(z2)=300°,那么 arg(z1+z2)为( B ) 。 (A)450° (B)225° (C)150° (D)45°

点评:旋转与辐角主值的概念。 20、已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,且 xy≠0,那么 的值为( B ) 。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

a c ? x y

点评:运用等比、差中项概念,通分求解。 21、如果在区间[1, 3]上,函数 f (x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 那么下列说法不对的是( C ) 。 .. (A)f (x)≥3 (x∈[1, 2]) (C)f (x)在 x∈[1, 2]上单调递增 (B)f (x)≤4 (x∈[1, 2]) (D)f (x)在 x∈[1, 2]上是减函数

1 在同一点取得相同的最小值, x2

点评:通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出 p 、q,再行分析。

22、在(2+ 4 3 )100 展开式中,有理数的项共有( D ) 。 (A)4 项 (B)6 项 (C)25 项 (D)26 项

点评:借助二项式展开的通项公式来分析。 23、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AD 中点,O 为侧面 AA1B1B 的中心,P 为侧 棱 CC1 上任意一点,那么异面直线 OP 与 BM 所成的角是( A ) 。 (A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

点评:运用平行和垂直的有关知识。 24、等比数列{an}的公比 q<0,前 n 项和为 Sn, Tn= (A)T1<T9 (B)T1=T9 (C)T1>T9

Sn ,则有( A ) 。 an

(D)大小不定

点评:T1=1,用等比数列前 n 项和公式求 T9 25、设集合 A= ? ,集合 B={0},则下列关系中正确的是( C ) ? (A)A=B (B)A ? B (C)A ? B (D)A ? B

点评:主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。 26、已知直线 l 过点 M(-1,0) ,并且斜率为 1,则直线 l 的方程是( B ) (A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0 (C)x+y-1=0 (D)x―y―1=0

点评:直线方程的点斜式。 27、已知α -β =

? - ,tgα =3m, tgβ =3 m, 则 m 的值是( D ) 。 6 1 1 (A)2 (B)- (C)-2 (D) 3 2
点评:通过 tanα tanβ = 1,以及 tan(α -β )的公式进行求解。

28、已知集合 A={整数},B={非负整数},f 是从集合 A 到集合 B 的映射,且 f:x ? y= x2(x∈A,y∈B) ,那么在 f 的作用下象是 4 的原象是( D ) (A)16 (B)±16 (C)2 (D)±2 点评:主要考核象和原象的概念。 29、 有不等式① cos

3 3 3 1 <cos0.7; log0.50.7<log2 ; 0.50.7<21.5; arctg <arctg 。 ② ③ ④ 2 2 2 2

其中成立的是( D ) 。 (A)仅①② (B)仅②③ (C)仅③④ (D)①②③④

点评:主要考核三角函数、对数、指数函数、反三角函数的知识。 30、已知函数 y=

x ,那么( A ) x ?1

(A)当 x∈(-∞,1)或 x∈(1,+∞)时,函数单调递减 (B)当 x∈(-∞,1)∪(1,+∞)时,函数单调递增 (C)当 x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递减 (D)当 x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递增 点评:先对函数式进行变形,再运用有关大小比较的知识解题。 31、若-

3 3 1 1 2 π ≤2α ≤ π ,那么三角函数式 + cos ? 化简为( C ) 2 2 3 2 2

(A)sin

? 3

(B)-sin

? 3

(C)cos

? 3

(D)-cos

? 3
C1 A1 B1

点评:主要运用半角公式及三角函数单调性等知识。 32、 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面 ABC 是等腰直角三角形, 斜边 AB= 2 a,
D

侧棱 AA1=2a,点 D 是 AA1 的中点, 那么截面 DBC 与底面 ABC 所成二面角的大小是 B ) ( (A)30° (B)45° (C)60° (D)非以上答案 点评:实际上是要求角 DCA 的大小。 33、加工某一机械零件,需要经过两个工序,完成第一个工序有 3 种不同的方法,完成第 二个工序有 4 种不同的方法,那么加工这一零件不同的方法种数有( A ) (A)12 种 (B)7 种 (C)4 种 (D)3 种 点评:运用乘法原理解题。 34、在(2- x )8 的展开式中,第七项是( A ) (A)112x3 (B)-112x3 (C)16x3 x (D)-16x3 x
A

C

B

点评:运用二项展开式的通项公式,注意:r =6。 35、在-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9 这十个数中,任取两个作为虚数 a+b i 的 实部和虚部(a, b∈R, a≠b) ,则能组成模大于 5 的不同虚数的个数有( A ) 。 (A)64 个 (B)65 个 (C)72 个 (D)73 个 点评:虚部不能为 0,模大于 5,最好用“树图”来讨论。 36、直线 x-ay+ 2a =0(a>0 且 a≠1)与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不能确定

点评:运用点到直线的距离公式,比较半径与距离的大小。 37、在正方体 AC1 中,过与顶点 A 相邻的三个顶点作平面α ,过与顶点 C1 相邻的三个顶点 作平面β ,那么平面α 与平面β 的位置关系是( B ) (A)垂直 (B)平行 (C)斜交 (D)斜交或平行 点评:作图后,找线线关系,由线线平行得出线面平行,从而求得面面平行。 38、有下列三个对应:①A=R ,B=R,对应法则是“取平方根” ;②A={矩形},B=R , 对应法则是“求矩形的面积” ;③A={非负实数},B=(0,1) ,对应法则是“平方后与 1 的和的倒数” ,其中从 A 到 B 的对应中是映射的是( A ) 。 (A)② (B)②,③ (C)①,②,③ (D)①,② 点评:映射的概念。 39、设 A={x| x2+px+q=0},B={x| x2+(p-1)x+2q=0},若 A∩B={1},则( A ) 。 (A)A ? B (B)A ? B (C)A∪B ={1, 1, 2} (D)A∪B=(1,-2)
+ +

点评:考察集合与集合的关系。 40、能够使得 sinx>0 和 tgx>0 同时成立的角 x 的集合是( D ) 。 (A){x|0<x<

? } 2

(B){x|0<x<

(C){x| k? <x< k? +

? ,k∈Z} 2

? 3? 或 ? <x< } 2 2 ? (D){x|2 k? <x<2 k? + ,k∈Z} 2

点评:通过不同象限,三角函数值的正负不同的特点,进行分析。 41. 已知函数 y=|

1 ? ? 13? +cos(2x+ )|, ( ≤x≤ ), 下列关于此函数的最值及相应的 x 2 24 6 24

的取值的结论中正确的是( B ) 。 (A)ymax= (C)ymin=

13? 1? 2 ,x= 24 2 1 5? ,x= 2 12

(B)ymax=

? 1? 2 ,x= 24 2
5? 6

(D)ymin=0,x=

点评:对余弦函数最值进行分析。 42、已知函数 f(x)在定义域 R 内是减函数且 f(x)<0,则函数 g(x)=x2 f(x)的单调情 况一定是( C ) 。 (A)在 R 上递减 (C)在(0,+∞)上递减 (B)在 R 上递增 (D)在(0,+∞)上递增

点评:先选定区间(0,+∞)分析其增减性,再结合筛选法,对余下的部分,取特殊 值进行验证。 43、α ,β 是两个不重合的平面,在α 上取 4 个点,在β 上取 3 个点,则由这些点最多可 以确定平面( C ) 。 (A)35 个 (B)30 个 (C)32 个 (D)40 个 点评:运用排列组合以及平面的性质进行分析。 44、已知定点 P1(3,5) 2(-1,1) ,P ,Q(4,0) ,点 P 分有向线段 P P2 所成的比为 3, 1 则直线 PQ 的方程是( A ) 。 (A)x+2y-4=0 (B)2x+y-8=0 (C)x-2y-4=0 (D)2x-y-8=0 点评:用定比分点坐标公式求 P 点坐标,再考察 PQ 的斜率。
3

45、函数 y=x 5 在[-1, 1]上是( A ) 。 (A)增函数且是奇函数 (C)减函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数 (D)减函数且是偶函数

点评:运用函数奇偶性的定义,以及奇函数在不同区间上增减性一致,偶函数在不同区 间上不一致的特点,进行分析。 46、下列函数中,在[ (A)y=sinx

? ,π ]上是增函数的是( D ) 。 2
(C)y=sin2x (D)y=cos2x

(B)y=cosx

点评:用图象法解题。 47、与函数 y=sin(arcsinx)的图象相同的的是( D ) 。 (A)y=x (B)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)

(C)y=arccos(cosx)

点评:考虑函数的定义域与值域。 48、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( C ) 。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

点评:用图象法解题。 49、一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则 它的公差是( C ) 。 (A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5

点评:分析前 6 项为正,第 7 项起为负数。列出不等式解题。 50、已知复数 z 满足|2z-i|=2,则|z+2i|的最小值是( B ) 。 (A)

1 2

(B)

3 2

(C)1

(D)2

点评:数形结合,通过图象解题。 51、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是( D ) 。 (A)[

3 , +∞] 6 3 , +∞] 3

(B)(

3 , +∞) 6 3 , +∞) 3

(C)[

(D)(

点评:画图形,侧棱应比底边三角形的外接圆的半径大。

52、已知椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率等于 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时 2 5 a b

针方向旋转

16 ? 后,所得的新椭圆的一条准线的方程 y= ,则原来的椭圆方程是( C ) 。 2 3

(A)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 129 48 100 64 25 16 16 9

点评:旋转的过程中,焦点到准线的距离没有变,先找焦点。 53、 直线 x-y-1=0 与实轴在 y 轴上的双曲线 x2-y2=m (m≠0)的交点在以原点为中心, 边 长为 2 且各边分别平行于坐标轴的正方形内部,则 m 的取值范围是( C ) 。 (A)0<m<1 (B)m<0 (C)-1<m<0 (D)m<-1

点评:通过极限位置,找出相关范围。 54、已知直线 l1 与 l2 的夹角的平分线为 y=x,如果 l1 的方程是 ax+by+c=0(ab>0),那么 l2 的方程是( A ) 。 (A)bx+ay+c=0 (C)bx+ay-c=0 (B)ax-by+c=0 (D)bx-ay+c=0

点评:联系反函数的概念。 55、函数 F(x)=(1+ (A)是奇函数

2 )f (x) (x≠0)是偶函数,且 f (x)不恒等于零,则 f (x)( A ) 。 2 ?1
x

(B)是偶函数 (D)非奇、非偶函数

(C)可能是奇函数,也可能是偶函数

点评:先讨论 y=(1+

2 )的奇偶性,再结合题目中的已知内容分析。 2 ?1
x

56、函数 y=

e x ? e?x 的反函数( C ) 。 2

(A) 是奇函数,它在(0, +∞)上是减函数 (B)是偶函数,它在(0, +∞)上是减函数 (C)是奇函数,它在(0, +∞)上是增函数 (D)是偶函数,它在(0, +∞)上是增函数 点评:先对给出函数进行分析,再运用反函数的概念解题。 57、若 a, b 是任意实数,且 a>b,则( D ) 。 (A)a2>b2 (B)

b <1 a

(C)lg(a-b)>0

(D)(

1 a 1 b ) <( ) 2 2

点评:运用平方数、分数、对数、指数函数的概念进行分析。 58、若 loga2<logb2<0,则( B ) 。 (A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1 (C)a>b>1 (D)b>a>1

点评:先确定对数符号(即真数和底数与 1 的关系一致时(同时大于或同时小于) ,为正, 不一致时, 为负。 )再用换底公式。 59、 已知等差数列{an}的公差 d≠0, a1, a3, a9 成等比数列, 且 则

a1 ? a3 ? a9 的值是 C ) ( 。 a 2 ? a 4 ? a10

(A)

15 14

(B)

12 13

(C)

13 16

(D)

15 16

点评:先求 a1 和公比的关系,再化简。 60、如果α , β ∈( (A)α <β

? , π ),且 tgα <ctgβ ,那么必有( C ) 。 2 3? 3? (B)β <α (C)α +β < (D)α +β > 2 2

点评:先用诱导公式化成同名函数,再借助函数图象解题。 61、已知集合 Z={θ | cosθ <sinθ , 0≤θ ≤2π }, F={θ | tgθ <sinθ },那么 Z∩F 的区间 ( A ) 。 (A)(

? , π) 2

(B)(

? 3? , ) 4 4

(C)(π ,

3? ) 2

(D)(

3? 5? , ) 4 4

点评:用图象法解题。 62、如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x+b 关于直线 y=x 对称,那么( B ) 。

(A)a=

1 , b=6 3

(B)a=

1 , b=-6 3

(C)a=3, b=-2

(D)a=3, b=6

点评:运用反函数的知识。

63、已知 f(

1 ? x x2 ?1 1 ? ,则 f (x)=( C ) )= 。 x x x2
(B)(x-1)2 (C)x2-x+1 (D)x2+x+1

(A)(x+1)2

点评:用换元法。 64、若函数 f (x)=

kx ? 7 的定义域是 R,则实数 k 的取值范围是( A ) 。 kx ? 4kx ? 3 3 3 (A)[0, ] (B)(-∞, 0)∪( , +∞) 4 4 3 3 (C)[0, ] (D)[ , +∞] 4 4
2

点评:分母不为 0,用根的判别式。

65、设 P 是棱长相等的四面体内任意一点,则 P 到各个面的距离之和是一个定值,这个定值等于( C ) 。

(A)四面体的棱长 (C)四面体的高
点评:用体积求。

(B)四面体的斜高 (D)四面体两对棱间的距离

66、若正四棱柱的底面积为 P,过相对两侧棱的截面面积是 Q,则该四棱柱的体积是( A ) 。

(A)

2 Q P 2

(B)

2 P Q 2

(C)Q P

(D)P Q

点评:化面积为边。

67、过定点(1, 3)可作两条直线与圆 x2+y2+2kx+2y+k2-24=0 相切,则 k 的取值范围是( C ) 。

(A)k>2

(B)k<-4

(C)k>2 或 k<-4

(D)-4<k<2

点评:画定点、平移圆、定区域。

68、适合|z-2|=1 且 argz=

? 的复数 z 的个数是( 6
(D)3

B ) 。

(A)0

(B)1

(C)2

点评:在直角坐标系中画圆,找出适合条件的复数。

69、已知{an}是等比数列,且 an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值为( A ) 。

(A)5

(B)10

(C)15

(D)20

点评:用等比的性质:若数列为等比数列,m+m=k+l 时,am an= ak al 。

70、设 a, b 是满足 ab<0 的实数,那么( B ) 。

(A)|a+b|>|a-b| (C)|a-b|<||a|-|b||

(B)|a+b|<|a-b| (D)|a-b|<|a|+|b|

点评:从符号出发,取特殊值代入。

71、如果 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax+By+C=0 不通过( C ) 。

(A)第一象限

(B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限

点评:分析符号,找斜率和截距。

72、直线 ?

? x ? t sin 20? ? 3 的倾斜角是( ? y ? ?t cos20?
(C)110°

C ) 。

(A)20°

(B)70°

(D)160°

点评:化参数方程为普通方程。

73、函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是( D ) 。

(A) 2

(B) 3

(C)1+ 2

(D)

1 + 2 2

点评:用倍角公式和(sinx+cosx)的公式。

74、函数 y=0.2x+1 的反函数是( C ) 。

(A)y=log5x+1 (B)y=logx5+1 (C)y=-log5(x-1) (D)y=-log5x-1
点评:反函数的定义,结合定义域、值域的变换情况进行讨论。

75、设α 、β 都是第二象限的角,若 sinα >sinβ ,则( C ) 。

(A)tgα >tgβ

(B)ctgα <ctgβ (D)secα >secβ

(C)cosα >cosβ

点评:结合特殊值,找出α 、β 在[0,2π ]上的大小关系。

76、下列命题:① 函数 y=tgx 是增函数;② 函数 y=sinx 在第一象限是增函数;③ 函数 y=3sin(2x+5θ )

的图象关于 y 轴对称的充要条件是θ =

2 ? k? ? , k∈Z;④ 5 10

若角α 是第二象限的角,则角 2α 一定是第四象限

的角。其中正确命题的个数是( A ) 。

(A)0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

点评:紧扣定义,逐个分析。

77、在△ABC 中,A>B 是 cos2B>cos2C 的( A ) 。

(A)非充分非必要条件 (C)必要非充分条件

(B)充分非必要条件 (D)充要条件

点评:分若三种情况,取特殊值验证。

78、若 0<a<b<1,则下列不等式成立的是( A ) 。

(A)log 1 b<ab<logba
a

(B)log 1 b <logba<ab
a

(C)logba< log 1 b<ab
a

(D)ab< log 1 b <logba
a

点评:运用对数符号确定的有关知识,先讨论两个对数值,然后用指数。

79、要使 sinα -

3 cosα =

4m ? 6 4?m

有意义,则 m 的取值范围是( C ) 。

(A)m≤

7 3

(B)m≥-1

(C)-1≤m≤

7 3

(D)m≤-1 或 m≥

7 3

点评:先对等式左边进行变形,再对分数变形。

80、直线 xcosθ -y+1=0 的倾斜角的范围是( D ) 。

? ? , ] 4 4 3? ? (C)(0, )∪( , π) 4 4
(A)[-

(B)[

? 3? , ] 4 4 3? ? (D)[0, ]∪[ , π] 4 4

点评:先讨论斜率,再用三角函数的知识。

81、设 n≥2 时,数列 Cn , ? 2Cn , 3Cn , - 4Cn ,??, (?1)
1 2 3 4

n?1

n nCn 的和是(

A ) 。

(A)0

(B)(-1)n2n
点评:特殊值法。

(C)1

(D)

2n n ?1

82、在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( D ) 。

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

点评:用图形来验证。

83、当 z=

1? i 2

时,z100+z50+1 的值等于( D ) 。

(A)1

(B)-1

(C)i

(D)-I

点评:先化 Z 为三角形式,然后用棣莫佛定理。
84、函数 y=

| sin x | cos x | tgx | ctgx ? ? ? 的值域是( sin x | cos x | tgx | ctgx |

B ) 。

(A){-2, 4} (B){-2, 0, 4} (C){-2, 0, 2, 4} (D){-4, -2, 0, 4}
点评:分象限讨论。

85、正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别是 SC、AB 的中点,那么异面直线 EF、 SA 所成的角为( C ) 。

(A)90°

(B)60°

(C)45°

(D)30°

点评:巧用中位线平行于底边。

86、若正棱锥的底面边长与侧棱相等,则该棱锥一定不是( D ) 。

(A)三棱锥

(B)四棱锥

(C)五棱锥

(D)六棱锥

点评:用射影和直角三角形的知识。

87、四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,E、F 为 BC、CD 的中点,沿 AE、EF、AF 折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合,这个四面体的体积为( B ) 。

(A)

1 8

(B)

1 24

(C)

3 24

(D)

5 48

点评:分析图形的折叠与边角关系。

88、一束光线从点 A(-1, 1)出发经 x 轴反射,到达圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上一点的最短路程是( A ) 。

(A)4

(B)5

(C)3 2 -1

(D)2 6

点评:用对称性,找关于 X 轴对称的圆心位置,用两点间距离减半径。

89、设地球半径为 R,当人造地球卫星距离地面的高度为 h1 与 h2 时,可以直射到地表面的面积分别是地球 表面面积的

1 1 与 3 4

,则 h1-h2 等于( B ) 。

(A)

1 R 2

(B)R

(C)

3 R 2

(D)2R

点评:用球冠公式。

90、函数 f (x)=|x|-|x-3|在定义域内( A ) 。

(A)最大值为 3,最小值为-3 (C)最大值为 1,最小值为 1
点评:用区间分析法。

(B)最大值为 4,最小值为 0 (D)最大值为 3,最小值为-1

91、如果 sinα sinβ =1,那么 cos(α +β )等于( A ) 。

(A)-1

(B)0

(C)1

(D)±1

点评:用公式。

92、已知α =arg(2+i), β =arg(-3+i),则α -β 为( D ) 。

(A)

5? 4

(B)

3? 4

(C)-

? 4

(D)-

3? 4

点评:用旋转的方法,进行向量合成。

93、若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为

2 ,则 a+b 的值是(

B ) 。

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)-

1 1 或 2 2

(D)2 或-2

点评:先确定 P 点在坐标系中的位置,然后用筛选法。

94、一球内切于一圆台,若此圆台的上、下底面半径分别是 a, b,则此圆台的体积是( B ) 。

(A)π (a2+ab+b2) ab (C)

? 2 (a +ab+b2)ab 3

2? 2 (a +ab+b2) ab 3 1 (D) (a2+ab+b2) ab 3
(B)

点评:画轴截面,分析平面图形。
95、若全集 I=R,A={x|

x ? 1 ≤0},B={x| lg(x2-2)>lgx},则 A∩ B =(
(C){x| x≤-1} (D) ? ?

B ) 。

(A){2}

(B){-1}

点评:先用筛选法,再用验证法。

96、已知函数 f (x)=ax-(b+2) (a>0, a≠1)的图象不在二、四象限,则实数 a, b 的取值范围是( A ) 。

(A)

a>1, b=-1(B)0<a<1, b=-1

(C)a>1, b=-2 (D)0<a<1, b=-2 点评:先分析 b,再考虑 a。
97、设函数 f (x)=

2x ? 1 3 (x∈R, x≠- 4x ? 3 4
(C)

,)则 f -1(2)=( A ) 。

(A) -

5 6

(B)

5 11

2 5

(D)-

2 5

点评:令 f (x)= 2,求 x。

98、如果α , β ∈(

? , 2

π ),且 tgα <ctgβ ,那么必有( C ) 。

(A)α <β

(B)β <α

(C)α +β <

3? 2

(D)α +β >

3? 2

点评:用诱导公式,取特殊值。

99、函数 y=sinxcosx+

3 cos2x-
? 4

3 的最小正周期等于( 2
(D)

A ) 。

(A)π

(B)2π

(C)

? 2

点评:先用倍角公式降次,合并,再用周期公式。

100、函数 y=-ctgx, x∈(0, π )的反函数为( B ) 。

(A)y=

? -arctgx 2

(B)y=

? +arctgx 2

(C)y=π -arctgx

(D)y=π +arctgx

点评:运用反三角函数的值域进行分析。

101、设 a, b 是满足 ab<0 的实数,那么( B ) 。

(A)|a+b|>|a-b|(B)|a+b|<|a-b| (C)|a-b|<|a|-|b|(D)|a-b|>|a|+|b|
点评:特殊值法。

102、设 a, b, c∈R+,则三个数 a+

1 b

, b+

1 1 , c+ c a

( D ) 。

(A)都不大于 2

(B)都不小于 2

(C)至少有一个不大于 2
点评:反证法。

(D)至少有一个不小于 2

103、若一数列的前四项依次是 2,0,2,0,则下列式子中,不能作为它的通项公式的是( D ) 。

(A)an= 1-(-1)n (C)an=2sin2 2

n?

(B)an=1+(-1)n

+1

(D)an=(1-cosnπ )+(n-1)(n-2)

点评:验证法。

104、复数 z1=-2+i 的辐角主值为θ 1,复数 z2=-1-3i 辐角主值为θ 2,则θ 1+θ 2 等于( D ) 。

(A)

? 4

(B)

7? 4

(C)

11? 6

(D)

9? 4

点评:辐角主值的概念。

105、平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 30,则四面体 AB1CD1 的体积是( C ) 。

(A)15

(B)7.5
点评:体积公式。

(C)10

(D)6

106、不论 k 为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 恒通过一个定点,这个定点的坐标是( B ) 。

(A)(5, 2)

(B)(2, 3)

(C)(5, 9)

(D)(-

1 ,3) 2

点评:对原式进行变形。

107、方程 ax+by+c=0 与方程 2ax+2by+c+1=0 表示两条平行直线的充要条件是( C ) 。

(A)ab>0, c≠1

(B)ab<0, c≠1 (D)a=b=c=2

(C)a2+b2≠0, c≠1

点评:两直线平行的充要条件。

108、与三条直线 y=0, y=x+2, y=-x+4 都相切的圆的圆心是( C ) 。

(A)(1, 2 3 +2)(B)(1, 3 2 -3) (C)(1, 3 2 -3)(D)(1, -3 2 -3)
点评:用点到直线的距离公式进行验证。

109、焦距是 10,虚轴长是 8,过点(3

2 , 4)的双曲线的标准方程是(

A ) 。

(A)

x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 9 16 9 16 36 64 36 64
点评:运用概念进行验证。

110、函数 y=log3(x2+x-2)的定义域是( C ) 。

(A)[-2, 1] (C)(-∞, -2)∪(1, +∞)
点评:解不等式。

(B)(-2, 1) (D)(-∞, -2)∪[1, +∞]

111、若 logm0.7>logn0.7>0,则 m, n 的大小关系是( C ) 。

(A)m>n>1

(B)n>m>1

(C)0<n<m<1

(D)0<m<n<1

点评:先用对数符号的确定,再用换底公式。

112、函数 y=sin(ω x)cos(ω x) (ω >0)的最小正周期是 4π ,则常数ω 为( D ) 。

(A)4

(B)2

(C)

1 2

(D)

1 4

点评:先用倍角公式,再用周期公式。

113、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+??+a7x7,那么 a1+a2+a3+??+a7 的值等于( A ) 。

(A)-2

(B)-1

(C)0

(D)2

点评:取 x =1。

114、当 A=20°,B=25°时,(1+tgA)(1+tgB)的值是( B ) 。

(A) 3

(B)2

(C)1+ 2

(D)2+ 3

点评:公式变形。

115、满足|z+25i|≤15 的辐角主值最小的复数 z 是( C ) 。

(A)10i

(B)25i
点评:画圆找切线。

(C)-12-16i

(D)12+16i

116、圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离的最小值是( B ) 。

(A)6

(B)4

(C)5

(D)1

点评:点到直线距离减半径。

117、函数 y=cos(

? -2x)的单调递减区间是( 3

B ) 。

? ? , 2kπ + ], k∈Z 3 6 2? ? (C)[2kπ + , 2kπ + ], k∈Z 6 3
(A)[2kπ -
点评:图象法。

(B)[kπ +

2? ? , kπ + ], k∈Z 6 3 ? ? (D)[kπ - , kπ + ], k∈Z 3 6

118、已知 a, b 是两个不等的正数,P=(a+

1 a

)(b+

1 b

), Q=(

ab +

1 ab

)2, R=(

a?b 2 2 + ), 2 a?b

那么数值最大的一个是( A ) 。

(A)P

(B)Q

(C)R

(D)与 a, b 的值有关

点评:特殊值验证法。

119、关于 x 的方程

1? x2

=kx+2 有唯一解,则实数 k 的取值范围是( D ) 。

(A)k=± 3 (C)-2<k<2

(B)k<-2 或 k>2 (D)k<-2 或 k>2 或 k=± 3

点评:分析圆和直线相切的情况。 120、满足{1, 2} ? T ? {1, 2, 3, 4,}的集合 T 的个数是( D ) 。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

点评:从组合的角度分析题目。 121、若函数 y=f (x)的定义域是(0, 2),则函数 y=f (-2x)的定义域是( B ) 。 (A)(0, 2) (B)(-1, 0) (C)(-4, 0) (D)(0, 4)

点评:理解“定义域”的内涵。 122、已知 f (xn)=lgx,那么 f (2)等于( B ) 。 (A)lg2 (B)

1 lg2 n

(C)nlg2

(D)2nlg2

点评:指数与对数互化。 123、已知 m>n>1, 0<a<1,下列不等式不成立的是( B ) 。 (A)logma>logna (B)am>an (C)am<an (D)logam<logan

点评:指数函数与对数函数的增减性。 124、设函数 y=f (x)是偶函数,则函数 y=af (x)+x2 (a∈R)的图象关于( B ) 。

(A)x 轴对称 (C)原点对称

(B)y 轴对称 (D)直线 y=x 对称

点评:偶函数的有关知识。 125、条件甲: ?

?2 ? x ? y ? 4 ?0 ? x ? 1 ;条件乙: ? ,则甲是乙的( C ) 。 ? 0 ? xy ? 3 ?2 ? y ? 3
(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充要条件 (C)必要而不充分条件

点评:从解集的大小来分析条件命题。 126、已知函数 y=f (x)的定义域是[a, b],且 b>-a>0,则函数 F(x)=f (x)+f (-x)的定义域 是( C ) 。 (A)[a, b] (B)[-b, -a] (C)[a, -a] (D)[-b, b]

点评:函数奇偶性的前提条件以及公共区域的有关知识。 127、 “log3x2=2”是“log3x=1”成立的( B ) 。 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

点评:对数的真数要为正。 128、设 a, b∈R,则不等式 a>b, (A)a>b>0 或 b<a<0 点评:特殊值法。

1 1 ? 同时成立的充分必要条件是( B ) 。 a b
(C)b<a<0 (D)0<b<a

(B)a>0, b<0

2 ? 6 ? 6 ? 129、三个数 ( ) 5 , ( ) 5 , ( ) 5 的大小顺序是( B ) 。 5 5 5
(A) ( )

1

1

2

6 5

?

1 5

<( )

6 5

?

2 5

<( )

2 5

?

1 5

(B) ( )

6 5

?

2 5

<( )

6 5

?

1 5

<( )

2 5

?

1 5

(C) ( )

6 5

?

1 5

<( )

2 5

?

1 5

<( )

6 5

?

2 5

(D) ( )

2 5

?

1 5

<( )

6 5

?

1 5

<( )

6 5

?

2 5

点评:幂函数、指数函数的大小比较。 130、若 0<a<1, 0<b<1,四个数 a+b, 2 ab , 2ab, a2+b2 中最大者与最小者分别记为 M 和 m,则( A ) 。 (A)M=a+b, m=2ab (B)M=a2+b2, m=2 ab

(C)M=a+b, m=2 ab 点评:特殊值法。

(D)M=a2+b2, m=2ab

131、设 lg2x-lgx-2=0 的两根是α 、β ,则 logα β +logβ α 等于( D ) 。 (A)1 (B)-2 (C)3 (D)-4

点评:换底公式与韦达定理。 132、若 y=f (x)是周期为 t 的函数,则 y=f (2x+1)是( C ) 。 (A)周期为 t 的周期函数 (C)周期为 (B)周期为 2t 的周期函数 (D)不是周期函数

t 的周期函数 2

点评:紧扣周期函数的概念。 133、已知 y=f (x)为偶函数,定义域是(-∞, +∞),它在[0, +∞)上是减函数,那么 m= f (-

3 )与 n=f (a2-a+1) (a∈R)的大小关系是( B ) 。 4
(B)m≥n (C)m<n (D)m≤n

(A)m>n

点评:配方以及偶函数在不同区间上的增减性不同。 134、给关于 x 的不等式 2x2+ax<a2 (a≠0)提供四个解,①当 a>0 时, 当 a>0 时,- -a<x<

a ;② 2

a a a <x<a;③当 a<0 时, <x<-a;④当 a<0 时,a<x<- 。那么原不等式 2 2 2

的解为( B ) 。 (A)②或③ (B)①或③ (C)①或④ (D)②或④

点评:解方程,结合二次函数图象分析。 135、已知定义在实数集上的函数 y=f (x)满足 f (x+y)=f (x)+f (y), 且 f (x)不恒等于零,则 y=f (x)是( A ) 。 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)不能确定

点评:先求出 y=f (0)= 0,得 f (x)+f (-x)=0 。 136、已知 f (x)=2|x|+3, g(x)=4x-5, f [p(x)]=g(x),则 p(3)的值是( B ) 。 (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)不能确定

点评:结合内外层函数的知识,运用代入法。 137、如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3y)]= log5[log 1 (log5z)]=0,则有( A ) 。
2 3 5

(A)z<x<y

(B)x<y<z

(C)y<z<x

(D)z<y<x

点评:由外向内逐步代入。

138、若

1 log( x ?1) 1 2

。 ? log2 ( x ? 1) <2,那么 x 的取值范围是( D )

(A)(1, +∞) (C)(

(B)(1, 2)∪(2, +∞) (D)(

5 , 2) 3

5 , 2)∪(2, +∞) 3

点评:先用换底公式对绝对值里的式子进行化简,再解绝对值不等式。 139、lg9?lg11 与 1 的大小关系是( C ) 。 (A)lg9?lg11>1 (C)lg9?lg11<1 点评:lg10?lg10=1 140、方程|x|2-3|x|+2=0 (x∈R)的根有( A ) , (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 (B)lg9?lg11=1 (D)不能确定

点评:先把|x|作为一个整体,再分析。 141、若{an}是等比数列,a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比 q 是整数,则 a10 等于( C ) 。 (A)256 (B)-256 (C)512 (D)-512

点评:用等比数列的性质,求出 q 与 a1 。 142、已知数列{2n-11},那么有最小值的 Sn 是( B ) 。 (A)S1 (B)S5 (C)S6 (D)S11

点评:先求最大非正项。 143、若 a>0 且 a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则 P、Q 的大小关系是( A ) 。 (A)P>Q (B)p<Q (C)P=Q (D)不确定

点评:分类讨论,用指数函数的增减性。 144、如果 xn=(1-

1 1 1 1 )(1- )(1- )??(1- ),则 lim xn 等于( A ) 。 n? ? 3 2 4 n 1 (A)0 (B)1 (C) (D)不确定 2
点评:交错项相约。

145、数列的通项公式是 an=(1-2x)n,若 lim an 存在,则 x 的取值范围是( C ) 。
n? ?

(A)[0,

1 ] 2

(B)[0, -

1 ] 2

(C)[0, 1]

(D)[0,- 1]

点评:极限的概念。

146、已知等差数列{an}的首项 a1=120, d=-4,若 Sn≤an (n>1),则 n 的最小值是( B ) 。 (A)60 (B)62 (C)63 (D)70

点评:运用通项公式与前 n 项的和公式,列不等式求解。 147、设 arg(z)=θ (0<θ <π ),则 arg( z )等于( C ) 。 (A)4π -2θ 点评:特殊值法。 148、要使复数 z=( 3 +i)3(cosθ +isinθ )所对应的点在复平面的第四象限内,那么θ 的 取值范围是( C ) 。 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (B)-2θ (C)2π -2θ (D)2θ
2

点评:先化成复数三角形式,再用旋转的方法求解。 149、方程 z2|z|+|z|2-z2-|z|=0 在复数集内的解集在复平面上的图形是( D ) 。 (A)n 个点 (B)单位圆 (C)n 条直线 (D)原点和单位圆

点评:提取“公因式” 。 150、已知 f (n)=in-i-n (i2=-1, n∈N),则集合{f (n)}的元素的个数是( B ) 。 (A)2 (B)3 (C)无数个 (D)以上答案都不对

点评:分类讨论。n = 4k、4k+1、4k+2、4k+3。 151、若ω 是 1 的 n 次虚根,则ω +ω 2+ω 3+??+ω n-1 的值是( C ) 。 (A)n-1 (B)n (C)-1 (D)0

点评: +ω 2+ω 3+?+ω n-1+ω n )-(1+ω +ω 2+ω 3+?+ω n-1 ) (ω 152、不等式 x2-x+1>0 的解集是( B ) 。 (A){x| x<

1 ? 3i 1 ? 3i 或 x> } 2 2

(B)R (C) ? ?

(D)以上都不对

点评: 。因为 x2-x+1=(x-1/2)2+3/4,所以无论 x 取何值,不等式均成立 153、若复数 1+2i 的辐角主值为α ,3-4i 的辐角主值为β ,则 2α -β 的值为( B ) 。 (A)-

? 2

(B)-π

(C)

? 2

(D)π

点评:求 1+2i 的平方除 3-4i 所得复数的辐角主值。 154、已知方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0 至少有一个实根,那么实数 k 的取值范围是( C ) 。 (A)k≥2 2 或 k≤-2 2 (B)-2 2 ≤k≤2 2

(C)k=±2 2

(D)k=2 2

点评:运用复数相等的定义解题。 155、已知集合 P={x| (x-1)(x-4)≥0},Q={n| (n+1)(n-5)≤0, n∈N}与集合 S,且 S∩ P={1, 4},S∩Q=S,那么集合 S 的元素的个数是( C ) 。 (A)2 个 (B)2 个或 4 个 (C)2 个或 3 个或 4 个 (D)无穷多个 点评:从自然数的角度分析。 156、有四位司机,四位售票员分配到四辆公共汽车上,使每辆车分别有一位司机和一名售 票员,则可能的分配方案数是( C ) 。 (A) P88 (B) P84 (C) P4 P4
4 4

(D) P4

4

点评:分步实施。 157、 4 个学生和 3 名教师排成一行照相, 有 规定两端不排教师, 那么排法的种数是 C ) ( 。 (A) P77 (B) P44 P33 (C) P42 P55 (D) P73 P74

点评:定位排列。 158、在 1,2,3,4,9 中任取两个数分别作对数的底和真数,可得不同的对数值的个数是 ( A ) 。 (A)9 (B)12 (C)16 (D)20

点评:1 不能为底,注意 2、4;3、9! 159、下列等式中,不正确的是( B ) 。 (A)(n+1) P
m n =

P

m?1 n ?1

Pnm (B) C ? n!
m n

(C)

n! =(n-2)! n(n ? 1)

(D)

1 P m?1 = Pnm n?m n

点评:排列、组合数计算公式。 160、在(1+2x-x2)4 展开式中,x7 的系数是( A ) 。 (A)-8 (B)12 (C)6 (D)-12

点评:二项展开式的通项公式。 161、如果(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+??+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+??+a50x50,那 么 a3 等于( C ) 。

3 (A)2 C 50

3 (B) C 51

4 (C) C 51

4 (D) C 50

点评:先从 3、4、5??50 个中分别取 3,然后再求和。 162、299 除以 9 的余数是( D ) 。 (A)0 (B)1 (C)-1 (D)8

点评:原式可化为 299 =(9-1)33 。 163、如果 x∈(0,2π ),函数 y= sin x ? ? tgx 的定义域是( D ) 。 (A){x| 0<x<π } (C){x| (B){x| (D){x|

? <x<π } 2

3? <x<2π } 2

? <x≤π } 2

点评:分象限,定符号。

? ? cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4 164、化简 的结果是( A ) 。 ? ? cos( ? x) ? sin( ? x) 4 4 x (A)-tgx (B)tg (C)tg2x (D)ctgx 2 ? ? 点评:分子分母同除 cos( +x),然后用 1= tan 解题。 4 4
165、下列函数中,图象关于坐标原点对称的是( B ) 。 (A)y=-|sinx| (B)y=x?sin|x| (C)y=sin(-|x|) (D)y=sin|x| 点评:奇函数的图象关于原点成对称。 166、如果函数 y=f (x)的图象关于坐标原点对称,那么它必适合关系式( A ) 。 (A)f (x)+f (-x)=0 (C)f (x)+f
-1

(B)f (x)-f (-x)=0 (D)f (x)-f
-1

(x)=0

(x)=0

点评:奇函数的图象关于原点成对称。 167、θ 在第二象限,且 1 ? cos? =- 2 cos (A)第一象限 点评:先讨论 168、若 0<|α |< (B)第二象限

? ? ,则 在( C ) 。 2 2
(D)第四象限

(C)第三象限

? 可能的范围,再结合象限确定角的符号。 2

? ,则必有( D ) 。 4

(A)tg2α >tgα (B)ctg2α >ctgα (C)cos2α >cosα (D)sec2α >secα

点评:特殊值法,注意角的符号。 169、画在同一坐标系内的曲线 y=sinx 与 y=cosx 的交点坐标是( C ) 。 (A)(2nπ +

? , 1), n∈Z 2

(B)(nπ +

? , (-1)n), n∈Z 2

? (?1) n (C)(nπ + , ), n∈Z 4 2
点评:用图象法解题。

(D)(nπ , 1), n∈Z

170、若 sinα +cosα = 2 ,则 tgα +ctgα 的值是( B ) 。 (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2

点评:特殊值法。 171、三个数 a=arcsin (A)c<a<b

7 1 , b=arctg 2 , c=arccos(- )的大小关系是( D ) 。 8 5
(C)a<b<c (D)b<a<c

(B)c<b<a

点评:化成同一种反三角函数,再讨论。 172、下列函数中,最小正周期是π 的函数是( D ) 。 (A)f (x)=

2tg?x 1 ? tg 2 ?x
x x -sin2 2 2

(B)f (x)=

2tgx 1 ? tg 2 x
3? ) 2

(C)f (x)=cos2

(D)f (x)=2sin2 (x-

点评:用三角公式化简。 173、在△ABC 中,sinBsinC=cos2 (A)等边三角形 (C)等腰三角形 点评:cos

A ,则此三角形是( C ) 。 2

(B)三边不等的三角形 (D)以上答案都不对

A = sin(B+C)/2。 2 5? ? , kπ + ], k∈Z 6 6 5? 7? (D)[kπ + , kπ + ], k∈Z 3 3

174、函数 y=arccos(2sinx)的定义域是( C ) 。

1 1 , ] 2 2 ? ? (C)[kπ - , kπ + ], k∈Z 6 6
(A)[-

(B)[kπ +

点评:反三角函数的定义域与三角函数的取值范围。 175、不等式 arccos(1-x)<arccosx 的解集是( A ) 。

(A)0≤x<

1 2

(B)0≤x<1

(C)x<

1 2

(D)0<x<

1 2

点评:结合反余弦的图象分析。 176、下列各式中,正确的是( B ) 。 (A)arcsin(-

? 1 )=- 6 2

(B)arcsin(sin

7? ? )=- 6 6 ? ? )= 3 3

(C)sin(arccos

3 3 )= 2 2

(D)sin(arcsin

点评:反三角函数的有关公式。 177、下列各命题中,正确的是( D ) 。 (A)若直线 a, b 异面,b, c 异面,则 a, c 异面 (B)若直线 a, b 异面,a, c 异面,则 b, c 异面 (C)若直线 a//平面α ,直线 b ? 平面α ,则 a//b (D)既不相交,又不平行的两条直线是异面直线 点评:分多种情况作图分析。 178、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有( C ) 。 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)6 个

点评:斜棱柱的侧棱与底面的关系。 179、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是( D ) 。 (A)两条线段同时与平面垂直 (C)两条线段相交 点评:考虑“等价性” 。 180、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间 ( C ) 。 (A)(0, (B)两条线段互相平行 (D)两条线段与平面所成的角相等

? ) 6

(B)(

? ? , ) 4 3

(C)(

? ? , ) 6 4

(D)(

? ? , ) 3 2

点评:特殊值法结合射影的知识。 181、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 与对角面 BB1D1D 所成的角是( D ) 。 (A)∠C1B1D1 (B)∠C1B1D (C)∠C1B1B (D)以上都不是 点评:线与面所成的角。 182、平面α 与平面β 平行,它们之间的距离为 d (d>0),直线 a 在平面α 内,则在平面β 内与直线 a 相距 2d 的直线有( B ) 。

(A)一条

(B)二条

(C)无数条

(D)一条也没有

点评:作图分析。 183、互不重合的三个平面可能把空间分成( D )部分。 (A)4 或 9 (B)6 或 8 点评:化体为面,化面成线。 184、若 a, b 是异面直线,a ? α ,b ? β ,α ∩β =c,那么 c( B ) 。 (A)同时与 a, b 相交 (C)至多与 a, b 中一条相交 点评:异面直线的概念。 185、直线 a//平面 M,直线 b ? M, 那么 a//b 是 b//M 的( A )条件。 ? (A)充分不必要 (B)必要而不充分(C)充要(D)不充分也不必要 点评:线面平行、线线平行的知识。 186、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是( A ) 。 (A)7 个 (B)6 个 (C)4 个 (D)3 个 (B)至少与 a, b 中一条相交 (D)与 a, b 中一条相交, 另一条平行 (C)4 或 6 或 8 (D)4 或 6 或 7 或 8

点评:平行底面与分隔顶点。 187、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 成 60°的面对角线共有( B ) 。 (A)10 条 (B)8 条 (C)6 条 (D)4 条

点评:用平移的方法。 188、 在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点, 那么过这三点的截面一定是 B ) ( 。 (A)三角形或四边形 (C)锐角三角形或钝角三角形 点评:运用三棱锥的有关知识。 189、圆锥底面半径为 r,母线长为 l,且 l>2r, M 是底面圆周上任意一点,从 M 拉一条绳子 绕侧面转一周再回到 M,那么这条绳子的最短长度是( C ) 。 (A)2π r (B)2l (C)2lsin (B)锐角三角形 (D)钝角三角形

?r l

(D)lcos

?r l

点评:用平面展开图。 190、α 、β 是互不重合的两个平面,在α 内取 5 个点,在β 内取 4 个点,这些点最多能确 定的平面个数是( B ) 。 (A) 142 (B)72 (C)70 (D)66

点评:先不分条件进行组合,然后去除不符合条件的。 191、 圆台的轴截面面积是 Q, 母线与下底面成 60°角, 则圆台的内切球的表面积是 D ) ( 。 (A)

Q 2

(B)

3 Q 2

(C)

? Q 2

(D)

3? Q 2

点评:利用轴截面求圆台的高。 192、直线 (A)2

x y ? =-1 在 y 轴上的截矩是( B ) 。 2 3
(B)3 (C)-2 (D)-3

点评:化成直线方程的一般式。 193、各点坐标为 A(1, 1)、B(-1, 1)、C(-1, -1)、D(1, -1),则“点 P 在 y 轴”是“∠ APD=∠BPC”的( A ) 。 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)不充分也不必要条件

点评:利用四点共圆的有关知识。 194、函数 y=1-|x-x2|的图象大致是( C ) 。
y y y

y

1 x o 1

1 x o 1

1 x o 1

1 x o 1

(A)

(B)

(C)

(D)

点评:区间分析法或特殊值法。 195、若直线 y=x+b 和半圆 y= 1 ? x 有两个不同的交点,则 b 的取值范围是( D ) 。
2

(A)(- 2 ,

2 ) (B)[- 2 ,

2] 2]

(C)(-∞,- 2 )∪[ 2 , +∞] (D)[1, 点评:图象法。

196、已知函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c (a≠0),则它们的图象可能是( B ) 。

Y

Y

Y X X

Y

0

X

0

0

0

X

(A)

(B)

(C)

(D)

点评:从对称轴、顶点、截距等方面考虑。 197、函数 y=2sin(arccosx)的图象是( B ) 。 (A) 椭圆 (B)半椭圆 (C)圆 (D)直线

点评:先对三角关系式进行变形。 198、点 A(t, 2t)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( D ) 。 (A)(t, -2t) (B)(-t, 2t) (C)(2t, -t) (D)(-2t, -t)

点评:利用关于 x+y=0 的对称点的特点。 199、 已知两圆的方程 x2+y2=4 和 x2+y2-6x+8y-24=0, 则此两圆的位置关系是 D ) ( 。 (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切

点评:找圆心和半径,用两点间距离公式,注意内切的情况。 200、圆的一条直径的两个端点分别是(2, 0)和(2, -2),则此圆的方程是( A ) 。 (A)x2+y2-4x+2y+4=0 (C)x2+y2-4x+2y-4=0 点评:先考虑半径和圆心。 201、双曲线 9y2-x2-2x-10=0 的渐近线方程是( C ) 。 (B)x2+y2-4x-2y-4=0 (D)x2+y2+4x+2y+4=0

(A)

y=±3(x+1) (B)y=±3(x-1)

(C)y=±

1 1 (x+1) (D)y=± (x-1) 3 3

点评:先化成标准形式,再将 1 换成 0,找渐近线。

x2 y2 202、设 F 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的右焦点,P(x, y)是椭圆上一点,则|FP|等于( D ) 。 a b
(A)ex+a (B)ex-a (C)ax-e (D)a-ex

点评:椭圆的定义:1、到两定点距离之和等于定值(大于两定点之和)的点的轨迹;2、 到定点和定直线(交替)距离之比等于定值(小于 1)的点的轨迹。 203、已知 M={(x, y)| y≥x2},N={(x, y)| x2+(y-a)2≤1},那么使 M∩N=N 成立的充要条 件是( A ) 。 (A)a≥

5 4

(B)a=

5 4

(C)0<a<1

(D)a≤1

点评:圆在抛物线内,代入后,用根的判别式法。

1 (x ? )2 2 2 ? y ? 1 与抛物线 y2=6x-9 的公共点的个数是( B ) 204、椭圆 。 4 3
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

点评:图象或代入验证法。 205、直线 l: 2 (x+y)+1+a=0 与圆 C:x2+y2=a (a>0)的位置关系是( D ) 。 (A)恒相切 (B)恒相交 (C)恒相离 (D)相切或相离

点评:根的判别式法。 206、曲线 y=- 1 ? x 2 与曲线 y+|ax|=0 (a∈R)的交点个数一定是( A ) 。 (A)2 个 (B)4 个 (C)0 个 (D)与 a 的取值有关

点评:取特殊值法。

207、若 F(c, 0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 M,最小值 a2 b2
M ?m 的点的坐标是( C ) 。 2

为 m,则椭圆上与 F 点的距离等于

(A)(c, ±

b2 ) a

(B)(-c, ±

b2 ) a

(C)(0, ±b)

(D)不存在

点评:先考虑 M+m = 2a,然后用验证法。 208、顶点在点(1, 3),焦点与顶点的距离为 程是( D ) 。

5 ,准线平行于 y 轴,开口向右的抛物线的方 8 5 (y-3) 2

5 (x-1)2 2 5 (C)(y-3)2= (x-1) 4
(A)y-3= 点评:坐标平移的有关知识。

(B)(x-1)2= (D)x-1=

2 (y-3)2 5

209、如果抛物线 y2-mx-2y+4m+1=0 的准线与双曲线 x2-3y2=12 的左准线重合,则 m 的值为( A ) 。 (A)28 (B)14 (C)-2 (D)4

点评:先求准线,再求焦点。

210、已知方程 (A)m<1

x2 y2 ? =1 的图象是双曲线,则 m 的取值范围是( D ) 。 2 ? m m ?1
(B)m>2 (C)1<m<2 (D)m<1 或 m>2

点评:双曲线的定义。 211、在同一极坐标系中,点(ρ , θ )与点(-ρ , -θ )的位置关系是( D ) 。 (A)关于极轴所在直线对称 (C)重合 点评:先定点,再考虑。 212、极坐标系中,方程ρ =asinθ (a>0)的图形是( C ) 。 (B)关于极点对称 (D)关于直线θ =

? (ρ ∈R)对称 2

(A)

(B) (C)

(D)

点评:极坐标方程的化简。 213、由方程|x-1|+|y-1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是( B ) 。 (A)1 (B)2 (C)π (D)4

点评:先画图,后分析。 214、若 mn<0,则方程 mx2-my2=n 所表示的曲线是( C ) 。 (A)焦点在 x 轴上的等轴双曲线 (C)焦点在 y 轴上的等轴双曲线 点评:两边同除 n,再找实轴。 215、某林场原有森林木材存量为 a,木材以每年 25%的增长率增长,而每年冬天需砍伐木 材量为 x,为了实现经过 20 年达到木材存量至少翻两番的目标,且每年尽可能多提供木材, 则 x 的最大值是( C ) 。(取 lg2=0.3) (A) (B) 圆 (D)等轴双曲线,焦点位置依 m, n 的符号而定

49 a 196

(B)

121 a 496

(C)

8 a 33

(D)

377 a 1568

点评:找等量关系式,注意区分变量与定量。 216、在复平面上,复数 z 满足 arg(z+3)=

1 ? ,则 的最大值是( B ) 。 3 | z ? 6 | ? | z ? 3i |
(D)与 z 的辐角有关

(A)

1 9

(B)

5 15

(C)

1 3

点评:化求最大值为考虑最小值。 217、将 y=

(2m ? 1) x ? 1 的图象向下平移 5 个单位,向右平移 5 个单位后,与原函数的反 x?m

函数的图象重合,则 m 的值是( A ) 。 (A)6 (B)-2 (C)5 (D)1

点评:把握图象平移与变量的关系,结合反函数的求法解题。 218、某抛物线型拱桥的跨度是 20 米,拱高是 4 米,在建桥时,每隔 4 米需用一根柱子支 撑,其中最长的柱子的高是( C ) 。 (A)1.48 米 (B)2.92 米 点评:在扇形中,解三角形。 219、将一半径为 R 的木球加工成一正方体木块,则木块的最大体积是( B ) 。 (A) (C)3.84 米 (D)4 米

8 3 3 R 27

(B)

8 3 3 R 9

(C)

8 3 R 9

(D)

3 3 3 R 8

点评:球内接正方体的体积,用轴截面的知识。 220、要得到函数 f (x)=cos(2x-

? 个单位 8 ? (C)向左平移 个单位 4
(A)向右平移

? )的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( A ) 。 4 ? (B)向右平移 个单位 8 ? (D)向右平移 个单位 4

点评:三角函数的图象平移。 221、无穷数列{ (A)

1 3

1 n? sin }的各项和为( C ) 。 n 2 2 2 2 (B) (C) (D)不存在 7 5

点评:写出该数列的前 n 项。 222、若极限 lim (a2-2a)n 存在,则实数 a 的取值范围是( B ) 。
n? ?

(A)(1- 2 , 1+ 2 ) (C)[1- 2 , 1]∪(1, 1+ 2 ) 点评:解不等式 |a2-2a|小于 1。

(B)(1- 2 , 1)∪(1, 1+ 2 ) (D)[1- 2 , 1+ 2 ]

223、 已知菱形 ABCD 的边长是 1, ∠DAB=60°, 将这个菱形沿 AC 折成 120°的二面角, 则 BD 两点间的距离是( C ) 。 (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 2

(D)

3 4

点评:用菱形性质和余弦定理。

224、正三棱锥底面边长为 a,侧棱与底面成 60°角,过底面一边作截面,使其与底面成 30°角,则截面在底面的射影面积为( C ) 。 (A)3a2 (B)2a2 (C)

3 3 2 a 16

(D)

3 2 a 4

点评:先筛选,再验证。 225、设有四个不同的红球、六个不同的白球,每次取出四个球,取出一个红球记 2 分,取 出一个白球记 1 分,使得总分不小于 5 分,共有的取球方法数是( A ) 。
1 3 2 2 4 (A) C4 C6 ? C4 C6 ? C4 4 4 (B) 2C4 ? C6 4 4 (C) C4 ? C6 4 4 (D)3 C4 C6

点评:分类、分步讨论。 226、已知(1+2x)n 的展开式中,所有项的系数之和等于 6561,那么这个展开式中 x3 的系 数是( B ) 。 (A)56 (B)448 (C)1120 (D)170

点评:先求 n,再用通项分式求解。 227、常数 c 使 sin(x+c)=cos(π +x)和 tg(c-x)=-ctg(π -x)对于定义域内的一切实数 x 同时成立,则 c 的一个值为( B ) 。 (A)

? 2

(B)-

? 2

(C)-π

(D)-

3? 2

点评:用验证法。 228、设 f (x)=x+1,那么 f (x+1)关于直线 x=2 对称的曲线方程是( C ) 。 (A)y=x-6 (B)y=6+x (C)y=6-x (D)y=-x-2

点评:取特殊点。 229、已知集合 A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从 A 到 B 的映射 f 中,满足 f (1)≤f (2) ≤f (3)≤f (4)≤f (5)的映射有( C ) 。 (A)27 (B)9 (C)21 (D)12

点评:对函数取值的情况进行讨论。 230、若 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知 S9=18, Sn=24,若 an-4=30,则 n 等于 (A ) 。 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18

点评:用通项、求和公式验证。 231、现有男女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、化学

三科竞赛,共有 90 种不同的方案,那么男、女生人数分别是( B ) 。 (A)男生 2 人,女生 6 人 (C)男生 5 人,女生 3 人 点评:用验证法。 232、已知集合 A={x| x2-3x+2=0},B={x| x2- a x+2=0},若 A∪B=A,则由 a 的 值组成的集合是(C) 。 (A){a| a=9} (B){a| a<8} (C){a| a<8 或 a=9} (D){a| 0≤a<8 或 a=9} 点评:要考虑 B 是空集的情况。 233、函数 y=|sin( (A) (B)男生 3 人,女生 5 人 (D)男生 6 人,女生 2 人

? 4

? -2x)+sin2x|的最小正周期是( B ) 。 6 ? (B) (C)π (D)2π 2

点评:对绝对值符号内的式子进行变形或先不考虑绝对值,再减半。 234、 “ab<0”是“不等式|a-b|≤|a|+|b|的等号成立”的( A ) 。 (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)不充分也不必要条件 点评:后面不等式恒成立。 235、用 0,1,2,3,4 这五个数字可组成没有重复数字且个位数字不是 2 的不同的五位偶 数有( B ) 。 (A)24 个 (B)42 个 (C)48 个 (D)60 个

点评:先定个位,再考虑首位。 236、复平面内,向量 OP 对应的复数为- 3 +i,将其绕原点逆时针旋转 2 3 倍,得到向量 OQ ,则 OQ 对应的复数是( B ) 。 (A)-2 3 i (B)-6-2 3 i (C)-6+2 3 i (D)6-2 3 i

? ,再将模伸长 3

点评:将旋转与向量运算联系起来。 237、设(1- 2 x)10=a0+a1x+a2x2+??+a10x10,其中 a0, a1, a2,??是常数,则(a0+ a2+??+a10)2-(a1+a3+??+a9)2 等于(D ) 。 (A)2+ 2 (B)

2? 2 2

(C) 2

(D)1

点评:用平方差公式,取 x=1,x= -1。 238、若 x2+y2-2x-2y-3=0,则 2x+y-1 的最小值是( D ) 。 (A)0 (B)-1 (C)-2 (D)-3

点评:先化简,再取特殊值。 239、下列命题中正确的是( C) 。 (A)α 、β 是第一象限角,且α >β ,则 sinα <sinβ (B)△ABC 中,tgA=tgB 是 A=B 的充分但不必要条件 (C)函数 y=|tg2x|的周期为

? 4

(D)函数 y=lg(

1 ? t gx )是奇函数 1 ? t gx

点评:全面考察三角函数的各种情况。 240、如果θ ∈(

? , π ),那么复数(1+i)(cosθ -isinθ )的三角形式是( A ) 。 2 9? 9? (A) 2 [cos( -θ )+isin( -θ )] 4 4
(B) 2 [cos(2π -θ )+isin(2π -θ )] (C) 2 [cos(

? ? +θ )+isin( +θ )] 4 4 3? 3? (D) 2 [cos( +θ )+isin( +θ )] 4 4

点评:强调等值、标准。 241、设(1-3x)8= a0 +a1x+a2x2+??+a8x8 ,那么|a0|+|a1|+|a2|+??+|a8|的值是 ( D ) 。 (A)1 (B)28 (C)38 (D)48

点评:取 x = -1。 242、设( 3 +i)n 是纯虚数,则 n 的可能值是( A) 。 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18

点评:化成复数的三角形式。 243、能使点 P(m, n)与点 Q(n+1, m-1)成轴对称的位置关系的对称轴的方程是( C) 。 (A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0 (C)x-y-1=0 (D)x-y+1=0 点评:垂直、中点代入验证。

244、项数为 2m 的等比数列,中间两项是方程 x2+px+q=0 的两根,那么这个数列的所 有项的积为( B ) 。 (A)-mp (B)qm (C)pq (D)不同于以上的答案

点评:等比数列的性质。 245、已知直线 a, b,平面α , β , γ ,以下四个条件中,①α ⊥γ , β ⊥γ ;② α 内有不 共线的三点到β 的距离相等;③ a ? α ,b ? α , a//β , b//β ;④ a, b 是异面直线,且 a ? α , a//β , b ? β , b//α 。能推出α //β 的是( A ) 。 (A)④ (B)②和③ (C)② (D)①和②

点评:线面垂直与平行的判定及性质。 246、8 次射击命中 3 次,且恰有 2 次连续命中的情况共有( B ) 。 (A)15 种 (B)30 种 (C)48 种 (D)60 种

点评:组合与排列。 247、函数 f (x)= loga | x ? 1 | 在区间(0, 1)上是减函数,p=f ( log 1
2
sin ?

1 ), q=f (tgθ +ctgθ ), r 4

=f ( 2

) (θ 为锐角),则(C ) 。 (B)r<p<q (C)q<p<r (D)r<q<p

(A)p<q<r

点评:先确定的范围,再比较 log 1
2

1 sin ? 、 tgθ +ctgθ 、 2 的大小。 4

248、函数 y=cos2x+sin(

? +x)是(C ) 。 2
(B)仅有最大值的偶函数

(A)仅有最小值的奇函数

(C)有最大值、最小值的偶函数(D)既不是奇函数,也不是偶函数 点评:先配方、再求值。 249、设满足下列条件的函数 f (x)的集合为 M,当|x1|≤1, |x2|≤1 时,|f (x1)-f (x2)|≤4|x1 -x2|, 若有函数 g(x)=x2+2x-1,则函数 g(x)与集合 M 的关系是( B ) 。 (A)g(x) ? M (B)g(x)∈M (C)g(x)? M (D)不能确定

点评:当|x1|≤1,|x2|≤1 时,|g(x1)-g(x2)| ≤4|x1-x2|, g(x)是元素。 250、当 x∈(1, 2)时,不等式 x-1<logax 恒成立,则 a 的取值范围是( B ) 。 (A)(0, 1) (B)(1, 2) (C)(1, 2) (D)(2, +∞)

点评:利用函数图象,进行分析。

251、 已知函数 f (x)=2x, f -1(x)是 f (x)的反函数, 那么 f -1(4-x2)的单调递减区间是 C ) ( 。 (A)[0, +∞] (B)(-∞, 0) (C)[0, 2] (D)(-2, 0)

点评:根据复合函数的增减性加以判断。 252、以下四个命题:① PA、PB 是平面α 的两条相等的斜线段,则它们在平面α 内的射 影必相等;② 平面α 内的两条直线 l1、l2,若 l1、l2 均与平面β 平行,则α //β ;③ 若平面 α 内有无数个点到平面β 的距离相等,则α //β ;④ α 、β 为两相交平面,且α 不垂直于 β , 内有一定直线 a, α 则在平面β 内有无数条直线与 a 垂直。 其中正确命题的个数是 B ) ( 。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

点评:利用线与线、线与面、面与面的垂直、平行等关系,逐个分析。 253、已知 log2 ( x ? y) ? log2 x ? log2 y ,则 x+y 的取值范围是( D ) 。 (A)(0, 1) (B)[2, +∞] (C)(0, 4) (D)[4, +∞)

点评:由 log2(x+y)= log2xy 可知,x+y 不小于 x +y 的算术平方根的两倍。

254、若函数 f (x)的定义域为-

1 3 ≤x≤ ,则 f (sinx)的定义域是(D ) 。 2 2

(A)[-

5? 4? 3 1 , ] (B) [2kπ + , 2kπ + ],k∈Z 2 6 3 2

(C)[

5? 4? 5? 4? ? ? , ] (D)[2kπ - , 2kπ + ]∪[2kπ + , 2kπ + ],k∈Z 3 6 6 3 6 3 1 3 ≤sinx≤ ,或借助三角函数图象,求一个周期上区间 2 2

点评:解不等式-

6. 高考数学选择题简捷解法专题讲解训练(1)
一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是 解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。 【例题】(07 江苏 6)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称, 、 且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1,则有(
x

) 。 B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

x 【解析】 、当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1, f ( x ) 的

图象关于直线 x ? 1 对称,则图象如图所示。 这个图象是个示意图,事实上,就算画出

f ( x) ?| x ? 1| 的图象代替它也可以。由图知,
符合要求的选项是 B, 【练习 1】 、若 P(2,-1)为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( ) A、 x ? y ? 3 ? 0 B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A)

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【练习 2】(07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 、 ,则 的取值范围 x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
是( ) A、 ? , 6 ? 5 (提示:把

?9 ?

? ?

B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? 5

? ?

9? ?

C、 ? ??,3? ? ?6, ???

D、 ?3,6?

y 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选 A。 ) x
2

【练习 3】 、曲线 y ? 1 ? 4 ? x ( x ? ? ?2, 2?) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时,

k 的取值范围是( ) 5 1 1 A、 (0, ) B、 ( , ) 12 4 3 5 5 3 C、 ( , ?? ) D、 ( , ) 12 12 4
(提示:事实上不难看出,曲线方程

y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 的 图 象 为

x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以(1,0)为圆心,2 为半径的上半圆,如图。
直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范围就清楚了,选 D)] 【练习 4】 、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? B、 ?0, ? 2 )

? 1? ? ?

C、 ?0,???

D、 ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B)

【练习 5】 、曲线

|x| | y| ? ? 1 与直线 y ? 2 x ? m 2 3

有两个交点,则 m 的取值范围是( ) A、 m ? 4 或 m ? ?4 B、 ? 4 ? m ? 4 m ? 3 或 m ? ?3 C、 D、 ? 3 ? m ? 3 (提示:作出曲线的图象如右,因为直线

y ? 2 x ? m 与其有两个交点,则 m ? 4 或 m ? ?4 ,选 A)
【 练 习 6 】 ( 06 湖 南 理 8 ) 设 函 数 f ( x) ? 、

x?a , 集 合 M ? ? x| f( x? ? , ) 0 x ?1


P ? ? x | f ' ( x) ? 0? ,若 M ? P ,则实数 a 的取值范围是(
A、 (??,1) B、 (0,1) C、 (1, ??) D、 [1, ??)

(提示: 数形结合, 先画出 f ( x ) 的图象。f ( x) ? 时,图象如左;当 a ? 1 时图象如右。

x ? a x ?1?1? a 1? a ? ? 1? 。 a ?1 当 x ?1 x ?1 x ?1

由图象知,当 a ? 1 时函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上递增, f ' ( x) ? 0 ,同时 f ( x) ? 0 的解 集为 (1, ??) 的真子集,选 C) 【练习 7】 、 (06 湖南理 10) 若圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ? 0,

? ?? ? 2? ?

(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线
的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半

径为 2 的同心圆,则过原点的直线 l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点,∴选 B。 ) 【练习 8】(07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( ) 、 A、|2b| > | a-2b | B、|2b| < | a-2b | C、|2a| > | 2a-b | D、|2a| < | 2a-b | (提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此
2

先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | ? |a-b| = 2 2 2 2 | b | ? a +b -2a?b= b ? a? (a-2b)=0 ? a⊥(a-2b) ,又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |, |2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图, ∴|2b| > | a-2b |,选 A。 另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB, 再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。 )

【练习 9】 方程 cosx=lgx 的实根的个数是( ) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 (提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C) 【练习 10】 (06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) 、 A?C A、 B、 C ? A C、 A ? C D、 A ? ? (提示:若 A ? B ? C ? ? ,则 A ? B ? A, B ? C ? B ? A 成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立) 【练习 11】 (07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) 。若 、

f ( x ) 在区间[1,2]上是减函数,则 f ( x ) (



A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 (提示:数形结合法, f ( x ) 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左 图知选 B)

【练习 12】(07 山东文 11 改编)方程 x ? ( ) 、
3

1 2

x?2

的解 x0 的取值区间是( )

A、 (0,1)

B、 (1,2)

C、 (2,3)

D、 (3,4)
3

(提示: 数形结合, 在同一坐标系中作出函数 y ? x , y ? ( )

1 2

x?2

的图象, 则立刻知选 B,

如上右图) 二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形,代入或者比照选项来确定答案。 这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例题】 (93 年全国高考)在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 9 ,则 、

log3 a1 ? log3 a 2 ?? ? log a 10 ?( 3
A、12 B、10

) C、8 D、 2 ? log3 5

2 【解析】 、思路一(小题大做) :由条件有 9 ? a5a6 ? a1q4 ? 1q5 ? a1 q9 , 从而 a 10 a1 ? 2 ? 3 ? a10 ? a1 ? 1?2???9 ? (a12q9 )5 ? 310 , a a ?? q

所以原式= log3 (a1a2 ?a10 ) ? log3 310 ? 10 ,选 B。 思 路 二 ( 小 题 小 做 ) : 由 9 ? a5 a6 ? a4 a7 ? = log3 (a5a6 )5 ? log3 310 ? 3 ,选 B。 思路三 (小题巧做) 因为答案唯一, : 故取一个满足条件的特殊数列 a5 ? a6 ? 3, q ? 1 即 可,选 B。 【练习 1】(07 江西文 8)若 0 ? x ? 、 A、 sin x ?

a3 ?8 a

知 a2? a9 原a1式 1 a

0

?
2

,则下列命题中正确的是(



2

?

x

B、 sin x ?

2

(提示:取 x ?

? ?

?

x

C、 sin x ?

3

?

x

D、 sin x ?

3

?

x

, 验证即可,选 B) 6 3
4 7 1 0 3 n0 1?

【练习 2】(06 北京理 7)设 f (n) ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? 2 、 ? ( )

( n N ,则 f (n) ? ? )

2 n?4 (n ? 1) 7 (提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前 n ? 4 项的和,
A、 B、 C、 D、

2 n (8 ? 1) 7

2 n?1 (8 ? 1) 7

2 n? 3 (8 ? 1) 7

所以 f (n) ?

2(1 ? 8n? 4 ) 2 n? 4 ? (n ? 1) ,选 D。这属于直接法。 1? 8 7

2 ?1 ? (23 )4 ? 2 4 ? ? (8 ? 1) ,对照选项, n ? 0 ,则 f (0) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? 思路 2:令 1? 2 7
只有 D 成立。 ) 【练习 3】(06 全国 1 理 9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1、 、

b2、b3 满足| bi|=2| ai |,且 ai 顺时针旋转 30? 以后与 bi 同向,其中 i=1、2、3 则(



A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 (提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正三角形,则

bi 实际上是将三角形顺时针旋转 30? 后再将其各边延长 2 倍,仍为封闭三角形,故选 D。 )
【练习 4】 、若 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) , f ?1 (2) ? 0, 则 f ?1 ( x ? 1) 的图象是( )

A、

B、

C、

D、

(提示:抓住特殊点 2, f ?1 (2) ? 0 ,所以对数函数 f ?1 ( x) 是减函数,图象往左移动 一个单位得 f ?1 ( x ? 1) ,必过原点,选 A) 【练习 5】 、若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ? )

1 2

D、 x ? 2

(提示:因为若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,作一个特殊函数 y ? ( x ?1)2 ,则 y ? f (2x) 变为 y ? (2 x ?1)2 ,即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ?
n-1

1 ,选 C) 2

【练习 6】 、已知数列{an}的通项公式为 an=2 ,其前 n 和为 Sn,那么

Cn S1+ Cn S2+?+ Cn Sn=(
1 2 n n n n n


n n n n

A、2 -3 B、3 -2 C、5 -2 D、3 -4 n-1 1 (提示:愚蠢的解法是:先根据通项公式 an=2 求得和的公式 Sn,再代入式子 Cn S1+ 2 n Cn S2+?+ Cn Sn,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些书上就是这么做的!其实 这既然是小题,就应该按照小题的解思路来求做:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B)
【练习 7】(06 辽宁理 10)直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x ( k ? R, k ? 1 )的 、
2 2 2 2

公共点的个数是( ) A、1 B、2

C、3

D、4

2 (提示:取 k ? 1 ,原方程变为 ( x ? 1) ?

y2 ? 1 ,这是两个椭圆,与直线 y ? 2 有 4 个公共 9

点,选 D) 【练习 8】 、如图左,若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点, 且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为( ) A、4:31 B、6:23 C、4:23 D、2:25 (提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥,K 是 FC 的中点,

V1 ,V2 V1 ,V2 分别表示上下两部分的体积


VS ? DEF SS ? DEF 2h 2 2 2 8 V 8?4 4 ,? 1 ? ,选 C) ? ?( ) ? ? ? VS ? ABC SS ? ABC 3h 3 3 27 V2 27 ? 8 ? 4 23

【 练 习 9 】 △ ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O , 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H , 、

???? ??? ??? ??? ? ? ? OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 m 的取值是(



A、-1 B、1 C、-2 D、2 (提示:特殊化处理,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜边中点处,此时有

???? ??? ??? ??? ? ? ? ) OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。

x2 y2 【练习 10】 、双曲线方程为 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是( k ?2 5?k
A、 k ? 5 B、 2 ? k ? 5 C、 ?2 ? k ? 2



D、 ?2 ? k ? 2 或 k ? 5

(提示:在选项中选一些特殊值例如 k ? 6,0 代入验证即可,选 D) 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法,即通过对四 个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 【例题】 、设集合 A 和 B 都属于正整数集,映射 f: A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到 集合 B 中的元素,则在映射 f 下,像 20 的原像是( ) A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】 、经逐一验证,在 2、3、4、5 中,只有 4 符合方程 2 ? n =20,选 C。
n

【练习 1】(06 安徽理 6)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 、 的图象按向量 a= ( ?

?
6

, 0) 平移以后的图象如图所示,则


平移以后的图象所对应的函数解析式是(

A、 y ? sin( x ?

?
6

) )

B、 y ? sin( x ?

?
6

) )

C、 y ? sin(2 x ?

?
3

D、 y ? sin(2 x ?

?
3

7? 12

(提示:若选 A 或 B,则周期为 2? ,与图象所示周期不符;若选 D,则与 “按向量

a= (?

?
6

, 0) 平移” 不符,选 C。此题属于容易题)

【练习 2】(06 重庆理 9)如图,单位圆中 ? 的 、 AB 长度为 x , f ( x ) 表示 ? 与弦 AB 所围成的弓形的面的 AB 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是( )

2?

2?

2?

2?

? ?
2?

?
? 2?

? ?
C、 2?

? ?
D、 2?

A、 B、 (提示:解法 1 设 ?AOB ? ? ,则 x ? ? , 则 S 弓形=S 扇形- S△AOB=

1 1 ? ? x ?1 ? 2 ? sin cos 2 2 2 2

?

1 1 ( x ? sin ? ) ? ( x ? sin x) ,当 x ? (0, ? ) 时, 2 2

sin x ? 0 , 则 x ? s i n x ? x , 其 图 象 位 于 y ? x 下 方 ; 当 x ? (? , 2? ) 时 , s i nx ? 0, x ? sin x ? x ,其图象位于 y ? x 上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。
解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积 f ( x ) 不是弧长 x 的一次函数,排除 A;当 x 从很小的值逐渐增大时,f ( x ) 的增长不会太快, 排除 B; 只要 x ? ? 则必然有面积 f ( x) ? ? , 排除 C,选 D。事实上,直觉好的学生完全可以直接选 D) 【练习 3】(06 天津文 8)若椭圆的中心点为 E(-1,0) 、 ,它的一个焦点为 F(-3,0) , 相应于焦点的准线方程是 x ? ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2



2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 A、 21 3

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 B、 21 3

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 C、 5

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 D、 5

(提示:椭圆中心为(-1,0) ,排除 A、C,椭圆相当于向左平移了 1 个单位长度,故 c=2, ?

a2 7 ? 1 ? ? ,∴ a2 ? 5 ,选 D) c 2

【练习 4】 、不等式 x ? A、 (?1,0) ? (1, ??) C、 (?1,0) ? (0,1)

2 ? 2 的解集是( x ?1



B、 (??, ?1) ? (0,1) D、 (??, ?1) ? (1, ??)

(提示:如果直接解,差不多相当于一道大题!取 x ? 2 ,代入原不等式,成立,排除 B、C;取 x ? ?2 ,排除 D,选 A) 【练习 5】(06 江西理 12)某地一年内的气温 、 Q(t) (℃)与时间 t(月份)之间的关系如右图, 已知该年的平均气温为 10℃。令 C(t)表示时间 段[0,t]的平均气温,C(t)与 t 之间的函数关系 如下图,则正确的应该是( )

A、 B、 C、 D、 (提示:由图可以发现,t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t >6 时的某一段气温超过 10℃,排除 B,选 A。 ) 【练习 6】 、集合 M ? ?(2n ? 1)? | n ? Z? 与集合 N ? ?(4k ? 1)? | k ? Z? 之间的关系是 ( ) A、 M ? N B、 M ? N C、 M ? N D、 M ? N 4 (提示: D 是矛盾对立关系, C、 必有一真, 所以 A、 均假; 2n ? 1 表示全体奇数, k ? 1 B 也表示奇数,故 M ? N 且 B 假,只有 C 真,选 C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关 系。 当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2,±3,然后观察两个 集合的关系就知道答案了。 ) 【练习 7】 、当 x ?? ?4,0? 时,a ? ? x ? 4 x ?
2

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能的值是 3



) A、5 B、

5 3

C、 ?

5 3

D、 ?5

(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D) 【练习 8】(01 广东河南 10)对于抛物线 y ? 4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足 、
2

PQ ? a ,则 a 的取值范围是(
A、 ? ??,0? B、 (??, 2]

) C、 [0, 2] D、 (0, 2)

(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D;又取 a ? 1 , 则 P 是焦点, 记点 Q 到准线的距离为 d, 则由抛物线定义知道, 此时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“不放心” 的读者比较—— 设点 Q 的坐标为 (
2 2 y0 ( y0 ?16 ? 8a) ? 0 ,
2 y0 y2 2 , y0 ) , 由 P Q ? a , 得 y0 ? ( 0 ? a) 2 ? a 2, 整 理 得 4 4

2 2 y0 y0 ∵ y ? 0 ,∴ y ? 16 ? 8a ? 0 ,即 a ? 2 ? 恒成立,而 2 ? 的最小值是 2,∴ 8 8

2 0

2 0

a ? 2 ,选 B)
【练习 9】(07 全国卷Ⅰ理 12)函数 f ( x) ? cos x ? cos 、
2 2

x 的一个单调增区间是( ) 2

A、 ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

B、 ?

?? ? ? , ? ?6 2?

C、 ? 0,

? ?

??
? 3?

D、 ? ?

? ? ?? , ? ? 6 6?

(提示: “标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,选 A。建议 你用代入验证法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端点值其实是可以取到的, 由 f (?

) ? f ( ) ,显然直接排除 D,在 A、B、C 中只要计算两个即可,因为 B 中代入 会 6 6 6 ? ? 2? ) ,符合,选 A) 出现 ,所以最好只算 A、C、现在就验算 A,有 f ( ) ? f ( 12 3 3
四、等价转化 解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要通过必要的训 练,达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。 【例题】 (05 辽宁 12)一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 、

?

?

?

a1 ? ? 0,1? ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列满足 an?1 ? an (n ? N ? ) ,则该函数的图象是
( )

A、

B、

C、

D、

【解析】问题等价于对函数 y ? f ( x) 图象上任一点 ( x, y ) 都满足 y ? x ,只能选 A。
3 3 【练习 1】 、设 t ? sin ? ? cos ? ,且 sin ? + cos ? ? 0 ,则 t 的取值范围是(



A、[- 2 ,0)

B、[ ? 2, 2 ]

C、 (-1,0) ? (1, 2 ]
(提示:因为 sin
3

D、 (- 3 ,0) ? ( 3,??)

( ,而 ? + cos3 ? =(sin ? + cos ? ) sin2 ? - sin ? cos ? + cos2 ? ) sin2 ? 2 3 3 3 sin ? cos ? + cos ? >0 恒成立,故 sin ? + cos ? ? 0 ? t<0,选 A。另解:由 sin ? + cos
3

而我们知道只有 ? 为锐角或者直角时 t ? sin ? ? cos ? ? 2 , 所 ? ? 0 知 ? 非锐角,

以排除 B、C、D,选 A) 【练习 2】 F1 , F2 是椭圆 、 值是( ) A、4

????????? x2 2 ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 PF1 ?PF2 的最大 4
C、1 D、2

B、5

( 提 示 : 设 动 点 P 的 坐 标 是 ( 2cos ? ,sin ? ) , 由 F1 , F2 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 得

F1 (? 3,0)
???? ???? ? PF1 ? PF2 ? |



F2 ( 3,0)
? ?2 ?





??

(

?| 4cos2 ? ? 3 ? sin 2 ? | ? c o

s ?

?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的
问题。特别提醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——

???? ???? ? ???? ???? | PF | ? | PF | ? 1 2 PF1 ? PF2 ? ? a2 ? 4 ) 2
【练习 3】 、若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A、 0 ? a ? b ? 1 B、 0 ? b ? a ? 1 ) 。 C、 a ? b ? 1 D、 b ? a ? 1

(提示:利用换底公式等价转化。

log a 2 ? logb 2 ? 0 ?
【练习 4】 abcd 、 , ,,

lg 2 lg 2 ? ? 0 ? lg b ? lg a ? 0 ∴ 0 ? b ? a ? 1 ,选 B) lg a lg b
且 d ? c , a ? b ? c ? d , a ? d ? b ? c ,则( )

R? ,

A、 d ? b ? a ? c B、 b ? c ? d ? a C、 b ? d ? c ? a D、 b ? d ? a ? c (提示:此题条件较多,又以符号语言出现, 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化” , 如图 ,用线段代表 a, b, c, d , 立马知道选 C。当然 这也属于数形结合方法。 对策之二是 “抽象语言具体化” 分别用数字 1, 2, 代表 a, b, c, d , , 4, 3 容易知道选 C。也许你认为对策一的转化并不等价,是的,但是作为选择题,可以事先把条

件“ a, b, c, d ? R ”收严一些变为“ a, b, c, d ? R ” 。 【练习 5】 、已知 ? ? 0, 若函数 f ( x) ? sin

?

?x
2

sin

? ??x
2

在 ??

? ?? ? , 上单调递增,则 ? 4 3 ? ?

? 的取值范围是(
A、 ? 0, ? 3

) B、 ? 0, ? 2

? ?

2? ?

? ?

3? ?

C、 ? 0, 2?

D、 ?2,???

(提示: 化简得 f ( x ) ?

1 ? ?? ? sin ? x ,∵ sin x 在 ? ? , 上递增, 2 ? 2 2 ? ?

∴?

?
2

? ?x ?

?
2

??

? ? ? ?? ? ?x? ,而 f ( x ) 在 ? ? , 上单调递增 2? 2? ? 4 3 ? ?

3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ?? , ? ? 0 ? ? ? 2 ,又 ? ? 0, ∴选 B) ? 4 3 ? ? 2? 2? ?
【练习 6】 、把 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中,使盒子里球的 个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是( )
3 A、 C6
2 B、 C6

3 C、 C9

D、

1 2 C9 2

(提示:首先在编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 0,1,2 个小球,则余下的 7
2 个球只要用隔板法分成 3 堆即可,有 C6 种,选 B;如果你认为难以想到在三个盒子中分别

放入只 0,1,2 个小球,而更容易想到在三个盒子中分别放入只 1,2,3 个小球,那也好办: 你将余下的 4 个球加上虚拟的(或曰借来的)3 个小球,在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块 隔板,也与本问题等价。 ) 【练习 7】 、方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 的正整数解的组数是( )

A、24 B、 72 C、144 D、165 (提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列的 12 球 11 空中插入
3 3 块隔板即可,答案为 C11 ? 165 ,选 D)

【练习 8】 、从 1,2,3,?,10 中每次取出 3 个互不相邻的数,共有的取法数是( ) A、35 B、56 C、84 D、120 (提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中,那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为 C8 ? 56 ,选 B)
3

ax 2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b = ( 【练习 9】(理科)已知 lim 、 x ?1 x ?1



A、4 B、-5 C、-4 D、5 ( 提示 :逆 向思 维,分母 ( x ? 1 ) 一定 是存 在于分子 的一 个因 式, 那么一定 有

1 ax2 ? bx ? 1 ? ( x ?1)(ax ?1) ? ax2 ? (1? a) x ? 1 , ∴ 必 然 有 b ? ?( ? a

) , 且

lim

ax 2 ? bx ? 1 ? lim(ax ? 1) ,∴ a ?1 ? 1 ? 3 ? a ? 4, ∴ b ? ?5 ,选 B) x ?1 x ?1 x ?1
【练习 10】 、异面直线 m, n 所成的角为 60 ,
?

l2

l1

过空间一点 O 的直线 l 与 m, n 所成的角等于 60 ,

?

则这样的直线有( )条 A、1 B、2 C、3 D、4 (提示:把异面直线 m, n 平移到过点 O 的位置,记他们所确定的平面为 ? ,则问题等价于 过点 O 有多少条直线与 m, n 所成的角等于 60 ,如图,恰有 3 条,选 C) 【 练 习 11 】、 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 x ?1 ? x ? 2 , 那 么 不 等 式
?

?

?

?

a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 的解集为(
A、 x 0 ? x ? 3



?

?

B、 x x ? 0, or x ? 3

?

?

C、 x ?2 ? x ? 1

?

?

D、 x x ? ?2, or x ? 1

?

?

(提示:把不等式 a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 化为 a( x ?1)2 ? b( x ?1) ? c ? 0 ,其结构与 原不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 相同,则只须令 ?1 ? x ?1 ? 2 ,得 0 ? x ? 3 ,选 A) 五、巧用定义 定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】 、某销售公司完善管理机制以后,其销售额每季度平均比上季度增长 7%,那么 经过 x 季度增长到原来的 y 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( )

A、

B、
x

C、

D、

【解析】 、由题设知, y ? (1 ? 0.07) ,∵ 1 ? 0.07 ? 1 ,∴这是一个递增的指数函数, 其中 x ? 0 ,所以选 D。 【练习 1】 、已知对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? 2 f (

x? y x? y )f( ) ,且 2 2

f (0) ? 0 ,则 f (x) 是(
A、奇函数

) C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数

B、偶函数

( 提 示 : 令 y ? 0 , 则 由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ; 又 令 y ? ? x , 代 入 条 件 式 可 得

f (? x) ? f ( x) ,因此 f (x) 是偶函数,选 B)
【练习 2】 、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点,过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切,则圆心 Q 的 轨迹是( ) A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 (提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)

【练习 3】 、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) 为右焦点,椭圆上有一点 M,使 ,F 4 3


|MP|+2|MF|最小,则点 M 为( A、 (

2 6, ? 1) 3

B、 (1, ? )

3 2

C、 (1, ? )

3 2

D、 ( ?

2 6, ? 1) 3

(提示: 在椭圆中,a ? 2, b ? 3 , c ? 1, e ? 则 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ,

c 1 ? , 设点 M 到右准线的距离为|MN|, a 2

| MF | 1 ? ?| MN |? 2 | MF | , 从 而 | MN | 2

|M P| ?

2 M ?F |

| M P,这样,过点 P |作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求 |? | M N |

M 点,知易 M (

2 6, ? 1) ,故选 A) 3

x2 y 2 【练习 4】 、设 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右 a b
???? 2 ? PF2 支上任意一点,若 ????? 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF1
A、[2,3] B、 (1,3] C、 ?3, ?? ? D、 ?1, 2?



???? 2 ? PF2 (2a ? PF1 ) 2 4a 2 4a 2 ? ? PF1 ? 4a ? 8a ,当且仅当 (提示: ????? ? ? PF1 ,即 PF1 PF1 PF1 PF1

PF1 ? 2a , PF2 ? 4a 时取等于号,又 PF1 ? PF2 ? F1F2 ,得 6a ? 2c ,∴ 1 ? e ? 3 ,
选 B) 【练习 5】 、已知 P 为抛物线 y ? 4x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给
2

定点 A(4,5) ,|PA|+d 的最小值是( ) A、4 B、 34 C、 17 ?1 D、 34 ?1

(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少 1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外, ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 ?1 ,选 D) 【练习 6】 、函数 y ? f ( x) 的反函数 f A、关于点(2, 3)对称 C、关于直线 y=3 对称 (提示:注意到 f
?1
?1

( x) ?

1? 2x ,则 y ? f ( x) 的图象( x?3

) 。

B、关于点(-2, -3)对称 D、关于直线 x = -2 对称

( x) ?

1? 2x 的图象是双曲线,其对称中心的横坐标是-3,由反函 x?3

数的定义,知 y ? f ( x) 图象的对称中心的纵坐标是-3,∴只能选 B) 【 练 习 7 】、 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 R 上 的 增 函 数 , 那 么 a ? b ? 0 是

f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 的(

)条件。 D、不充分不必要

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 (提示:由条件以及函数单调性的定义,有

?a ? ?b ? f (a) ? f (?b) a?b ? 0 ? ? ? f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ,而这个过 ?b ? ?a ? f (a) ? f (?b)
程并不可逆,因此选 A) 【练习 8】 、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F PF2 的外角平分 1 线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 (提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2Q 的中点, ∴OM 是 FQ 的中位线,∴ MO ? 1

1 1 1 F1Q ? ( F1 P ? PQ ) ? ( F1P ? F2 P ) ,由椭圆的定 2 2 2

义知, F P ? F2 P =定值,∴ MO ? 定值(椭圆的长半轴长 a) ,∴选 A) 1 【练习 9】 、在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的是双曲 线,则m的取值范围是( ) A、 (0,1) B、 1, ? ? ) ( C、 (0,5) D、 (5, ? ? ) (提示:方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 可变形为 m ?
2 2 2 2 2 2

( x ? 2 y ? 3)2 ,即得 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1

1 ? m

x 2 ? ( y ? 1) 2 5 ,∴ ? x ? 2y ? 3 m

x 2 ? ( y ? 1) 2 ,这表示双曲线上一点 ( x, y ) 到定点(0, x ? 2y ? 3 5

-1)与定直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离之比为常数 e ?

5 ,又由 e ? 1 ,得到 0 ? m ? 5 ,∴ m

选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你无法判断)

7.高考数学选择题简捷解法专题讲解训练(2)
六、直觉判断 数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则,而 直觉思维不受固定的逻辑规则约束,直接领悟事物本质,大大节约思考时间。逻辑思维在数 学思维中始终占据着主导地位,而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成 分。两者具有辨证互补的关系。因此,作为选拔人才的高考命题人,很自然要考虑对直觉思 维的考查。 【例题】 、已知 sin x ? cos x ? A、 ?

4 3

B、 ?

4 3 或? 3 4

1 , ? ? x ? 2? ,则 tan x 的值为( 5 3 4 C、 ? D、 4 3



【 解 析 】 由题 目 中出 现的 数 字 3 、 4、 5 是勾 股数 以 及 x 的 范 围, 直接 意识 到 、

3 4 3 sin x ? ? , cos x ? ,从而得到 tan x ? ? ,选 C 。 5 5 4
【练习 1】 、如图,已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中, 问 x 取什么值时,内接正三角形的面积最小( ) A、

a 2

B、

a 3

C、

a 4

D、

3 a 2

(提示:显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小,选 A。 ) 【练习 2】(课本题改编)测量某个零件直径的尺寸,得到 10 个数据: x1 , x2 , x3 ,? x10 , 、 如 果 用 x 作 为 该 零 件 直 径 的 近 似 值 , 当 x 取 什 么 值 时 ,

( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ( x ? x3 )2 ? ?? ( x ? x10 )2 最小?(
A、 x1 ,因为第一次测量最可靠 C、



B、 x10 ,因为最后一次测量最可靠

x1 ? x10 x ? x2 ? x3 ? ? ? x10 ,因为这两次测量最可靠 D、 1 2 10

(提示:若直觉好,直接选 D。若直觉欠好,可以用退化策略,取两个数尝试便可以得 到答案了。 ) 【练习 3】 、若 (1 ? 2x) A、-1 B、1
7

? a0 ? a1x ? a2 x2 ??? a7 x7 ,则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |? (
C、0 D、 37





(提示:直觉法,系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。或者退化判断法将 7 次改 1 次 ; 还 有 一 个 绝 妙 的 主 意 : 干 脆 把 问 题 转 化 为 : 已 知

( 1 x27 ? 0 ? )a

? 1 x ? 2 2a?x ? a

,求 ? ? ?7 aa0 x a1 ?a2 ? ? a7 ,这与原问题完全等价,此 7

时令 x ? 1 得解。 ) 【 练 习 4 】 已 知 a 、 b 是 不 相 等 的 两 个 正 数 , 如 果 设 p ? (a ? )(b ? ) , 、

1 a

1 b

q ? ( ab ?
A、 p

a?b 2 2 1 2 ? ) ,那么数值最大的一个是( ) ,r ? ( 2 a?b ab
B、 q C、 r D、与 a、b 的值有关。



(提示:显然 p、q、r 都趋向于正无穷大,无法比较大小,选 D。要注意,这里似乎是 考核均值不等式,其实根本不具备条件——缺乏定值条件! ) 【练习 5】(98 高考)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的 、 函数关系如下列左图,那么水瓶的形状是( ) 。

O

A

B

C

D

(提示:抓住特殊位置进行直觉思维,可以取 OH 的中点,当高 H 为一半时,其体积过 半,只有 B 符合,选 B) 【练习 6】(07 江西理 7 文 11)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自不同的爱好 、 选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图,盛满酒好他们约定:先 各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为 h1 , h2 , h3 , h4 , 则它们的大小关系正确 的是( )

A、 h2 ? h1 ? h4 (提示:选 A)

B、 h1 ? h2 ? h3

C、 h3 ? h2 ? h4

D、 h2 ? h4 ? h1

【练习 7】(01 年高考)过点 A(1,-1) 、 、B(-1,1)且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的 圆的方程是(
2


2

A、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 C、 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4
2 2

B、 ( x

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