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选修1-1 3.4 生活中的优化问题举例

时间:2017-09-12


3.4

生活中的优化问题举例

例1.海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现 让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积 为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。 如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
解:设版心的高为xdm,则版心的宽为128/xdm,此时四周

空白面积为 。

128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 x x
求导数,得
' S 令 ( x) ? 2 ?

于是宽为

128 128 ? ?8 x 16

512 ?0 2 x

512 S ( x) ? 2 ? 2 x
'

解得

x ? 16( x ? ?16 舍去)。
'

当 x ? (0,16) 时,

S

'

( x) <0;当 x ? (16, ??)时, S ( x) >0.

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,
宽为8dm时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。

解法二:由解法(一)得
256 256 S ( x) ? 4 x ? ? 8 ? 2 4x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72

256 当且仅当4 x ? ,即x ? 8( x ? 0)时S 取最小值 x
128 此时y= ? 16 8

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.

瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售 1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大 半径为6cm.
1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? 2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为R,所以每瓶饮料的利润是



4 3 2 y ? f ( x) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 3 3 r ? 0.8? ( ? r 2 ), 0 ? r ? 6 3 2

f '( x) ? 0.8(r ? 2r ) ? 0 当 r ? 2时, f '(r ) ? 0 当r ? (0,2)时, f ' ( x) ? 0 当r ? (2,6)时, f ' ( x) ? 0

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即 半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时

f (2) ? 0

表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

y
从图中,你还 能看出什么 吗?

r 2 f (r ) ? 0.8? ( ? r ) 3

3

o

2

3

r

从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时,利润最大。

课堂练习

1.用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架,如果所制作的容 器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大? 并求出它的最大容积.

回顾总结 利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计 数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相 应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解 决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工 具。


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