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2012年全国高中数学联赛模拟试题四


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2012 年全国高中数学联赛模拟试题四
一、填空题
1.设集合 A ? {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B ? {? 1, 3, 5, 8} , 则集合 A ? . 2.函数 f ( x ) ?

/>x ?1
2

x ?1

的值域为
1 a ? 1 b ?2 2

. , ( a ? b ) 2 ? 4 ( ab ) 3 ,则 log a b ? . .

3.设 a , b 为正实数,

4.如果 cos 5 ? ? sin 5 ? ? 7 (sin 3 ? ? cos 3 ? ) , ? ? [ 0 , 2? ) ,那么 ? 的取值范围是
2 ab 9 ? n , 2 cd 9 ? m , ( m ? n , m , n ? N ) ,则数组 m ? n , ab ? cd ?
2 2

5. 某人在将 2009 中间的两个数码 0 0 分别换成两位数 a b 与 cd 时,恰好都得到完全平方数:

?

?



6. 若 一 个 椭 圆 的 焦 点 和 顶 点 分 别 是 双 曲 线 为: .

y

2

9

?

x

2

16

?1 的顶点和焦点,则椭圆的方程

7. 实数 x , y 满足 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是
, , ? 8. 四面体 ABCD 中, C D ? B C, A B ? B C C D? A C A B
45 的二面角,则点 B 到平面 AC D 的距离为
0


B C 1 平面 B C D 与平面 ABC 成 ?



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二、解答题
1 . 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x ) ?| lg( x ? 1) | , 实 数 a , b ( a ? b ) 满 足 f ( a ) ? f ( ? (
f (10 a ? 6 b ? 21 ) ? 4 lg 2 ,求 a , b

b ?1 b?2

)



的值.

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2 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a 1 ? 2 t ? 3 ( t ? R 且 t ? ? 1) ,
a n ?1 ? ( 2t
n ?1

? 3 ) a n ? 2 ( t ? 1) t ? 1
n

a n ? 2t ? 1
n

(n ? N ) .
*

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ? 1 与 a n 的大小.

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3. (20 分)给定 Y 轴上的一点 A (0, a ) ( a ? 1 ) ,对于曲线 y ? 求 A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .

1 2

x ? 1 上的动点 M ( x , y ) ,试
2

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