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三角函数及三角恒等变换

时间:2011-03-25


第四章
第一节
一、选择题

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

1.( 浙江理) (9)设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存 1.(2010 浙江理) . 在零点的是 (A

) [ ?4, ?2 ] (B) [ ?2, 0] (C) [ 0, 2]
2

(D) [ 2, 4]

2.( 浙江理) (4)设 0<x< 2.(2010 浙江理) (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

π
2

,则“ x sin x<1 ”是“ x sin x<1 ”的 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.( (3)已知 sin α = 3.(2010 全国卷 2 文) (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2α ) = 3

5 1 1 5 (B) ? (C) (D) 3 9 9 3
)

o 4.( 福建文) 4.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2 sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.( 5.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300° = (A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

6.( 6.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos( ?80°) = k ,那么 tan100° =

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k2

D. -

k 1? k2

二、填空题 ( 1. ( 2010 全 国 卷 2 理 ) 13 ) 已 知 a 是 第 二 象 限 的 角 , tan(π + 2a ) = ?

4 ,则 3

tan a =



【 解 析 】 由 tan(π + 2a ) = ?

4 4 2 tan α 4 得 tan 2a = ? , 又 tan 2 a = = ? ,解得 2 3 3 1 ? tan α 3
-1-

1 1 tan α = ? 或 tan α = 2 ,又 a 是第二象限的角,所以 tan α = ? . 2 2
2.(2010 全国卷 2 文) ( (13)已知α是第二象限的角,tanα=1/2,则 cosα=__________ 3. ( 2010 全 国 卷 1 文 ) (14) 已 知

α 为 第 二 象 限 的 角 , sin a =

3 ,则 5
3 ,则 5

tan 2α =

.

4. ( 2010 全 国 卷 1 理 ) (14) 已 知

α 为 第 三 象 限 的 角 , cos 2α = ?

tan( + 2α ) = 4
三、解答题

π

.

1.( 上海文)19.( 1.(2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 < x <

π
2

,化简:

x π lg(cos x ? tan x + 1 ? 2sin 2 ) + lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 + sin 2 x) . 2 2

2.( (17) (本小题满分 10 分) 2.(2010 全国卷 2 理)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 , sin B =

5 3 , cos ∠ADC = ,求 AD . 13 5

3.( (17) (本小题满分 10 分) 3.(2010 全国卷 2 文)

ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD = 33 ,sin B =

5 3 ,cos ∠ADC = , AD 。 求 13 5

7.( 湖北理) (本小题满分 12 分) 7.(2010 湖北理) 16. 已知函数 f(x)= cos(

π

π 1 1 + x) cos( ? x), g ( x) = sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

-2-

2009 年高考题
一、选择题 1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ∈ R, sin 2
p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 A. p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

π
2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示, f ( ) = ?

π

2

2 ,则 3

f (0) =(



A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2
2

D.

1 2
2

3.(2009 辽宁文,8)已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ ? 2 cos θ = ( A. ?



4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2


5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot β =

1 ,则 tan(a+ β )= ( 3 7 7 7 7 A. B. ? C. D. ? 11 11 13 13 12 6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A = ? , 则 cos A = 5 12 5 5 12 A. B. C. ? D. ? 13 13 13 13

-3-

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y = tan(ωx + 度后,与函数 y = tan(ωx + A.

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移


π
6

个单位长

π
6

) 的图像重合,则 ω 的最小值为(
C.

1 6

B.

8.(2009 北京文) α = “ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 9.(2009 北京理) α = “ ( )

π
6

1 4

1 3

D.

1 2

”是“ cos 2α =

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件[高考学习网]

π
6

+ 2kπ (k ∈ Z ) ”是“ cos 2α =

1 ”的 2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) = sin( x ? A. 函数 f (x ) 的最小正周期为 2 π B. 函数 f (x ) 在区间[0,

π
2

12 ,则 cos A = 5 12 D. ? 13

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是 ..

π
2

]上是增函数

C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x ) 是奇函数 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

12 , 则 cos A = ( ) 5 5 12 C. ? D. ? 13 13


13.(2009 湖北卷文) “sin α = A.充分而不必要条件 C.充要条件

1 1 ”是“ cos 2α = ” 的 ( 2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
0 0

14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0 0

B. sin168 < sin11 < cos10 -4-

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11
0 0

0

二、填空题

4 , tan θ > 0 ,则 cos θ = . 5 π π 16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x ) = f '( ) cos x + sin x, 则 f ( ) 的值为 4 4
15.(2009 北京文)若 sin θ = ? 三、解答题

.

17. (2009 江苏, 15) 设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b .

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

18.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

19.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) = 1 , (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

sinB=

1 . 3

20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

5 , AC = 3, sin C = 2 sin A

π
4

) 的值。
-5-

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a = (sin θ , cos θ ? 2sin θ ), b = (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan θ 的值; (Ⅱ)若 | a |=| b |, 0 < θ < π , 求 θ 的值。 23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

r

r

r

r

r

r

? ?

π?

? 的值 4?

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B ? sin
的大小分别为( A. , )

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

2.(2008 海南、宁夏)

3 ? sin 70o =( 2 ? cos 2 10o
C. 2 D.



A.

1 2

B.

2 2

3 2

二、填空题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,?1 ) ,

n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=
(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a = 1 ,b= 7 ,

c = 3 ,C =
三、解答题

π ,则 B = 3



1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 1.(2008 北京)已知函数 f ( x ) = cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; -6-

π

(2)设 α 是第四象限的角,且 tan α = ?

4 ,求 f (α ) 的值. 3

2.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们 的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

2 2 5 , 10 5
(1) 求 tan(α + β ) 的值; (2) 求 α + 2 β 的值。

第二部分

两年联考汇编

2010 年联考题
月份更新) 题组二(5 月份更新)
一、填空题 1.(昆明一中一次月考理)在 ?ABC 中, ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c . 满足 2a cos C + c cos A = b .则 sin A + sin B 的最大值是 A、

2 2

B、 1

C 、 2

D、

1+ 2 2

答案:C 2. (肥城市第二次联考) (文)已知函数 y = sin 2 x ,则( (A) 有最小正周期为 2π (C) 有最小正周期为 答案 B 3.(昆明一中三次月考理)已知 tan α = 2 ,则 A.-3 答案:A 4. (安徽六校联考)函数 y = tan ω x (ω > 0) 与直线 y = a 相交于 A 、B 两点, | AB | 最小值为 π , 且 则函数 f ( x) = 3 sin ω x ? cos ω x 的单调增区间是( ) A. [2kπ ? , 2kπ + ] (k ∈ Z )
6 6

).

(B) 有最小正周期为 π (D) 无最小正周期

π
2

cos α + sin α = cos α ? sin α
C.2 D.-2

B.3

π

π

B. [2kπ ? ,2kπ +
3

π

2π ] (k ∈ Z ) 3 5π ] (k ∈ Z ) 6

C. [2kπ ?

2π π ,2kπ + ] (k ∈ Z ) 3 3

D. [2kπ ? ,2kπ +
6

π

-7-

答案 B 5.(岳野两校联考)若 a, b, c 是三角形 ABC 的角 A、B、C 所对的三边,向量 )三

m = (a sin A ? b sin B, sin C ) , n = (?1, b + c) ,若 m ⊥ n ,则三角形 ABC 为(
角形。 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定

答案 C 6. (祥云一中三次月考理)Sin570°的值是 A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D. -

3 2

答案:C 二、填空题 1. (肥城市第二次联考) 已知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数,( x1 ,2), ( x 2 ,2) 为其图象上两点,若 x1 ? x 2 的最小值为 π ,则 ω = ,? = 。

解析: 由题意分析知函数 y = 2 sin(ωx + ? ) 的周期为 T = π ,∴ ω =



π

= 2, 又因为函数

y = 2 sin(ωx + ? ) (0 < ? < π ) 为偶函数,所以必须变换成余弦函数形式,综合分析知

ω = 2, ? =
答案 sin α

π
2

。 .

2. (安庆市四校元旦联考)若 f ( x) = sin α ? cos x ,则 f ' (α ) 等于

3.(祥云一中月考理) tan 答案:2 4.(祥云一中月考理) cot 答案:2

π
12

+ 3=



π
12

? 3=



3 ? 1? ? arccos? ? ? 2 ? 2? = 5. (昆明一中四次月考理)求值 ? 1? arctan ? 3 + arcsin ? ? ? ? 2? arcsin

(

)

.

答案:

2 3
-8-

三、解答题 1. (岳野两校联考) (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C,向量 m =
1

(sinB, 1 – cosB)与向量 n = (2,0)夹角 θ 的余弦值为 2 .

(1)求角 B 的大小; (2)求 sinA + sinC 的取值范围.

解: (1)m =
cos θ =

(2sin

B B B B B B cos , 2sin 2 ) = 2sin (cos ,sin ) 2 2 2 2 2 2

m?n 2sin B B = = cos | m | ? | n | 2sin B ? 2 2 2 cos θ = 1 B 1 cos = 2 ,故 2 2

由题知,

…………………………………3 分 B π 2 = π 2 3 ∴B = 3 ∴ …………6 分

π
(2)sinA + sinC = sinA + sin( 3 π π sin A + sin cos A ? cos sin A 3 3 =
1 3 π sin A + cos A = sin( A + ) 2 3 =2

?A

)

A ∈ (0, ) 3

π

…………………………10 分

π 2π ( , ) ∵A + 3 ∈ 3 3

π

3 ,1] ∴sin(A + 3 )∈ 2 (

π

3 ,1] 2 ∴sinA + sinC 的取值范围是 . (

…………………………………………12 分

月份更新) 题组一(1 月份更新)
一、选择题
1.(2009 玉溪一中期末)若 sin α < 0 且 tan α > 0 是,则 α 是( A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角


D. 第四象限角

答案 C
2. 2009 滨州一模) △ABC 中,AB = ( (4)

3 , AC = 1, ∠B = 30° , △ABC 的面积等于[高 则

考学习网] -9-

A. 答案 D

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

3.(2009 昆明市期末)已知 tanα=2,则 cos(2α+π)等于 ( A. 答案 A 4.(2009 临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)在[ ? θ值为 A、 ? 答案 D 5.(2009 泰安一模)若 )

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

D. ?

4 5

π
4

,0]上为减函数的

π
3

B、 ?

π
6

C、
tan a +

5π 6

D、

2π 3

1 10 π π π = , a ∈ ( , ), 则 sin(2a+ )的 值 为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10


6.(2009 茂名一模)角 α 终边过点 ( ?1, 2) ,则 cos α =(

A、 答案 C

5 5

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

7.(2009 枣庄一模)已知 sin( A. ?

7 9

1 2π ? α ) = , 则 cos( + 2α ) 的值是( ) 6 3 3 1 1 7 B. ? C. D. 3 3 9

π

8. ( 2009 韶 关 一 模 ) 电 流 强 度 I ( 安 ) 随 时 间 t ( 秒 ) 变 化 的 函 数

I = A sin(ωt + ? ) ( A > 0, ω > 0, 0 < ? <
强度是 A. ?5 安 C. 5 3 安 B. 5 安 D. 10 安

π
2

) 的图象如右图所示,则当 t =

1 秒时,电流 100

- 10 -

答案 A

9.(2009 潍坊一模) sin 45 ? cos15 + cos 225 ? sin15 的值为
0 0 0 0

(A) 答案 C

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

(D)

3 2

10.(2009 深圳一模)已知点 P (sin 的值为 A. 答案 D

3 3 π , cos π ) 落在角 θ 的终边上,且 θ ∈ [0, 2π ) ,则 θ 4 4
5π 4 7π 4

π
4

B.

3π 4

C.

D.

二、填空题 11.(2009 聊城一模) 在 ?ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若其面积S =

1 2 (b + c 2 ? a 2 ), 4

则∠A =
答案



π
4


π 3 12.(2009 青岛一模)已知 sin( ? x) = ,则 sin 2x 的值为 4 5
答案

7 25

13.(2009 泰安一模)在 △ ABC 中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是



- 11 -

答案

3

三、解答题 14. ( 2009 青 岛 一 模 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ∠A, ∠B, ∠C 的 对 边 长 , 已 知

2 sin A = 3 cos A .
(Ⅰ)若 a ? c = b ? mbc ,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a =

3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 3 cos A 两边平方得: 2 sin 2 A = 3 cos A

解:(Ⅰ) 由 2 sin A =

即 (2 cos A ? 1)(cos A + 2) = 0 解得: cos A =
2 2

1 …………………………3 分 2
2

b2 + c2 ? a2 m 而 a ? c = b ? mbc 可以变形为 = 2bc 2
即 cos A =

m 1 = ,所以 m = 1 …………………………6 分 2 2
1 3 ,则 sin A = …………………………7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A =



b2 + c2 ? a2 1 = …………………………8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc = b + c ? a ≥ 2bc ? a 即 bc ≤ a …………………………10 分

故 S ?ABC

bc a2 3 3 3 = sin A ≤ ? = ………………………………12 分 2 2 2 4 4 . 5

15.(2009 东莞一模)在 △ ABC 中,已知 AC = 2 , BC = 3 , cos A = ? (1)求 sin B 的值; (2)求 sin ? 2 B + 解: (1)由 cos A = ?

? ?

π? ? 的值. 6?

4 3 可得 sin A = 5 5

(----------2 分)

所以由正弦定理可得 sin B =

2 (---------5 分) 5

- 12 -

(2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B =

21 (---------7 分) 5

从 而 sin 2 B = 2 sin B cos B = 分) 所以 sin( 2 B +

4 21 17 , ---10 ( , cos 2 B = 1 ? 2 sin 2 B = 25 25

π
6

)=

3 1 12 7 + 17 (----------12 分) sin B + cos B = 2 2 50
x x x cos + 3 cos 2 . 3 3 3

16.(2009 上海奉贤区模拟考)已知函数 f ( x ) = sin

(1)将 f ( x ) 写成 A sin(ωx + φ ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围及此 时函数 f ( x ) 的值域.
2

x x x f ( x) = sin cos + 3 cos 2 3 3 3
=

-------(1 分)

1 2x 3 2x 3 sin + cos + 2 3 2 3 2 2x π 3 + )+ 3 3 2

-------(1 分)

= sin(

-------(1 分)

若 x 为其图象对称中心的横坐标,即 sin(

2x π + = kπ , 3 3 3 π 解得: x = kπ ? ( k ∈ Z ) 2 2
(2) cos x = 即 cos x ≥

2x π + ) =0, 3 3

-------(1 分)

-------(1 分) -------(1 分)

a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac = ≥ , 2ac 2ac 2ac

-------(2 分)

1 π ,而 x ∈ (0, π ) ,所以 x ∈ (0, ] 。 2 3 2x π π 8π 2x π 8π + ∈ ( , ] , sin( + ) ∈ [sin ,1] , 3 3 3 9 3 3 9 8π 3 3 + ,1 + ] 9 2 2

-------(2 分) -------(2 分)

所以 f ( x) ∈ [sin

------(2 分)

17. ( 2009 冠 龙 高 级 中 学 3 月 月 考 ) 知 函 数 f ( x) = sin(ωx + ? ) ( 其 中

- 13 -

ω > 0, ? <
的距离为

π
2

), g ( x) = 2 sin x .若函数 y = f (x ) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间
2

π
2

,且直线 x =

π
6

是函数 y = f ( x ) 图像的一条对称轴.

(1)求 y = f ( x ) 的表达式. (2)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间. (1)由函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为
π 得函数周期为 π , 2

∴ω = 2
? = 2kπ +

Q 直线 x =

π π 是函数 y = f ( x) 图像的一条对称轴,∴ sin( 2 ? + ? ) = ±1 , 6 6 π ∴ f ( x) = sin( 2x + ) . 6

7π π π π 或 2kπ + , (k ∈ Z ) , Q ? < , ∴ ? = . 6 6 2 6 π 6 π 6

(2) h( x) = sin( 2x + ) ? cos 2x + 1 = sin( 2x ? ) + 1
∴ 2kπ ? π π π ≤ 2x ? ≤ 2kπ + (k ∈ Z) , 2 6 2 π π ≤ x ≤ kπ + (k ∈ Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 kπ ?

18.(2009 昆明市期末)如图△ABC,D 是∠BAC 的平分线 (Ⅰ)用正弦定理证明:

AB BD = ; AC DC

(Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求 AD 的长。 (Ⅰ)证明:设∠ADB=α,∠BAD=β,则∠ADC=180°-α,∠CAD=β 由正弦定理得,在△ABD 中,

AB BD = , sin α sin β



在△ACD 中,

AC DC = , sin(180 ? α ) sin β
sin α = sin(180° ? α ),



又 由①②③得:



AB BD = ······················ 分 ······················4 AC DC

(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理得

BC 2 = AB 2 + AC 2 ? 2 AB ? AC cos ∠BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7. 设 BD=x,DC=y,则 - 14 故 BC= 7

x+y= 7 由(Ⅰ)得



x = 2, 即x = 2 y. y
联立④⑤解得



x=

2 7 7 . ,y = 3 3

故 cos B =

AB 2 + BC 2 ? AC 2 5 = 2 AB ? BC 2 7

在△ABD 中,由余弦定理得

AD 2 = AB 2 + BD 2 ? 2 AB ? BD cos ∠ABD
=4 + ( 所以 AD =

2 7 2 2 7 5 4 ) ? 2× 2× × = . 3 3 2 7 9

2 ···························· ····························10 分 3

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin α ? cos α > 0 ,且 cos α < 0 ,则角 α 是 1. ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin θ ? cos θ = ) ( )

1 ,则 sin 2θ 的值为 3 8 9

A. ? 答案 D

2 3

B.

2 3

C. ?

8 9

D.

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 )

- 15 -

4 , sin θ ? cos θ > 1 ,则 sin 2θ = 5 24 12 B. ? A. ? 25 25 sin θ =
答案 A 4.(2009 福州三中)已知 tanα = ? ( A. ? ) B.

( C. ?



4 5

D.

24 25

3 ,且 tan(sin α ) > tan ( cos α ) 则 sinα的值为 4 3 5 4 5

3 5

3 5

C. ±

D. ?

答案 B 二、填空题

π 3 5.(20009 青岛一模)已知 sin( ? x) = ,则 sin 2x 的值为 4 5
答案



7 25 1 , C = 150°, BC = 2 ,则 AB= 3

6.( 6.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题) 在△ABC 中,若 tan A = 答案: 答案: 10 . 三、解答题 7.(2009 厦门集美中学)已知 tan (2) .

α
2

=2,求 (1) tan(α +

π
4

) 的值;

6 sin α + cos α 的值. 3sin α ? 2 cos α

解: (I)∵ tan

α
2

=2, ∴ tan α =

所以 tan(α +

π
4

)=

tan α + tan

π
4

1 ? tan α tan

π
4

2 = 2× 2 = ? 4 ; α 1? 4 3 1 ? tan 2 2 4 ? +1 tan α + 1 1 = = 3 =? ; 1 ? tan α 1 + 4 7 3

2 tan

α

4 6( ? ) + 1 7 4 6 sin α + cos α 6 tan α + 1 3 (II)由(I), tanα=- , 所以 = = = . 3 3sin α ? 2 cos α 3 tan α ? 2 3( ? 4 ) ? 2 6 3
8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin (π ? α ) =

4 ? π? , α ∈ ? 0, ? 5 ? 2?

- 16 -

(1)求 sin 2α ? cos (2)求函数 f ( x ) =

2

α
2

的值

5 1 cos α sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间。 6 2 4 4 Q sin (π ? α ) = ,∴ sin α = 5 5 3 ? π? 又 Qα ∈ ? 0, ? ,∴ cos α = 5 ? 2?
(I)

sin 2α ? cos 2

α
2

1 + cos α 2 3 1+ 4 3 = 2× × ? 5 5 5 2 4 25 = 2 sin α cos α ?

(II)

5 3 1 f ( x ) = × sin 2 x ? cos 2 x 6 5 2 = 2 π? ? sin ? 2 x ? ? 2 4? ?

令 2k π ? 得k π ?

π
2

≤ 2x ?

π
4

≤ 2 kπ +

π
2

π
8

≤ x ≤ kπ +

3π ,k ∈Z 8

π 3π ? ? ∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? kπ ? , kπ + ? k ∈ Z 8 8 ? ?
9. ( 2009 年 龙 岩 市 普 通 高 中 毕 业 班 单 科 质 量 检 查 ) 已 知 α ∈ (

π
2

,π ) , 且

sin

α
2

+ cos

α
2

=

2 3 . 3 3 π , β ∈ (0, ) ,求 sin β 的值. 5 2
- 17 -

(Ⅰ)求 cos α 的值; (Ⅱ)若 sin(α + β ) = ?

解: (Ⅰ)因为 sin 所以 1 + 2 sin 因为 α ∈ (

α
2

+ cos
=

α
2

=

2 3 , 3
…………………………(2 分)

α
2

cos

α
2

4 1 , sin α = . 3 3

π
2

,π ) ,
2

所以 cos α = ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 α ∈ (

α = ? 1?

1 2 2 =? . ……………………(6 分) 9 3

π

π π 3π , π ), β ∈ (0, ) ,所以 α + β ∈ ( , ) 2 2 2 2
3 4 ,得 cos(α + β ) = ? . …………………………(9 分) 5 5

又 sin(α + β ) = ?

sin β = sin [ (α + β ) ? α ]
= sin(α + β ) ? cos α ? cos(α + β ) ? sin α 3 3 2 4 1 = (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 = 6 2+4 . 15
………………………………………………(12 分)
x x x 1 cos + cos 2 ? . 2 2 2 2

10. (银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试) 已知函数 f ( x ) = sin (1)若 f (α ) =

2 , α ∈ (0, π ), 求 α的值 ; 4
? π ? , π ? 上最大值和最小值 ? 4 ?

(2)求函数 f ( x ) 在 ? ? 解: (1) f ( x ) =

1 1 + cos x 1 1 2 π sin x + ? = (sin x + cos x) = sin( x + ) …2 分 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (α ) =

π 1 2 π 2 ,即 sin(α + ) = sin(α + ) = 4 2 2 4 4 π π 5π ∈( , ) 4 4 4
α =
7π 12
π
4 ≤ 5π 4

…………3 分

∵ α ∈ (0, π ) 即 α + ∴ α + π = 5π 4 6 (2)∵
?

?
≤α ≤π 即

…………6 分 …………8 分 …………12 分

π
4

0≤α +

∴ f ( x ) max = f ( π ) = 2 , f ( x) min = f (π ) = ? 1 4 2 2

- 18 -

11.在 ?ABC 中, cos A = ? (1)求 sin C 的值

5 3 , cos B = , 13 5

(2)设 BC = 5 ,求 ?ABC 的面积 解(I)由 cos A = ?

5 12 ,sin A = ,得 13 13 3 4 由 cos B = , sin B = ,得 5 5
又 A+ B+C =π 所以 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B =

16 65

4 BC × sin B 5 = 13 (II)由正弦定理得 AC = = 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 所以 ?ABC 的面积 S = × BC × AC × sin C = × 5 × × = 2 2 3 65 3 5×
12. ( 山 东 省 枣 庄 市 2009 届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

f ( x) = sin 2 ωx + 3 sin ωx sin(ωx +
(1)求 f (x ); (2)当 x ∈ [ ?

π
2

)(ω > 0) 的最小正周期为π

, ]时, 求函数f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2ωx 解: (1) f ( x ) = + 3 sin ωx cos ωx 2

π π

2分

=

3 1 1 π 1 sin 2ωx ? cos 2ωx + = sin( 2ωx ? ) + . 2 2 2 6 2

4分

Q 函数f ( x)的最小正周期为π , 且ω > 0,
∴ 2π = π , 解得ω = 1. 2ω

∴ f ( x) = sin( 2 x ?
(2)Q x ∈ [ ?

π

π π 5π , ],∴ 2 x ? ∈ [? , ]. 12 2 6 3 6
, 即x =

π π

1 )+ . 6 2

6分

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

π
6

=

π
2

π
3

时,

- 19 -

g ( x) = sin(2 x ?
当 2x ?

π
6

) 取最大值 1

8分

π
6

=?

π
3

, 即x = ?

π
12



g ( x) = sin( 2 x ?

π
6

)取最小值 ?

3 . 2

10 分

1 3 π 1 3 ∴ ? ≤ sin(2 x ? ) + ≤ , 2 2 6 2 2
即 f ( x )的值域为[

1? 3 3 , ]. 2 2

12 分

13.(2009 广东地区高三模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5, c = 7 ,且 4 sin 2

A+ B 7 ? cos 2C = . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. (1) 解:∵A+B+C=180°

A+ B 7 C 7 ? cos 2C = 得4 cos 2 ? cos 2C = 2 2 2 2 1 + cos C 7 ∴4? ………………3 分 ? ( 2 cos 2 C ? 1) = 2 2
由 4 sin 2 整理,得 4 cos C ? 4 cos C + 1 = 0
2

…………1 分

…………4 分

解 得: cos C =

1 2

……5 分 ∴C=60°
2 2

∵ 0° < C < 180°

………………6 分
2 2 2

(2)解:由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab …………7 分 ∴ 7 = ( a + b) 2 ? 3ab ………………8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab …… 9 分

ab=6 ……10 分
∴ S ?ABC =

1 1 3 3 3 ab sin C = × 6 × = 2 2 2 2

…………12 分

- 20 -


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