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2015高考复习基本初等函数复习(教师)


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指数与指数函数
基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且,n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是, 若 n ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 a叫做根式,这里 n 叫做

根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①

当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 表示.

②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用 n 符号 a表示,负的 n 次方根用符号 n ?n ③? ? a? = . . n 表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a(a>0).

n ④当 n 为奇数时, an= n 当 n 为偶数时, an= |a|= ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an= ②零指数幂:a0=1(a≠0). ③负整数指数幂:a p=


(n∈N*).

(a≠0,p∈N*).

m n ④正分数指数幂:a = am(a>0,m、n∈ N*,且 n>1). n m 1 ⑤负分数指数幂:a- = = n m a n

(a>0,m、n∈N*,且 n>1).

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras= ②(ar)s= (a>0,r、s∈Q). (a>0,r、s∈Q).
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③(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

R

过定点 当 x>0 时, 性 质 x<0 时, 在(-∞,+∞)上是 一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂 进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a >1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. 三个关键点 1? 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?. ; 当 x>0 时, x<0 时, 在(-∞,+∞)上是 ;

双基自测

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1.(2011· 山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan A.0 B. 3 3 C .1


aπ 的值为( 6 D. 3

).

2.(2012· 郴州五校联考)函数 f(x)=2|x 1|的图象是(

).

3.若函数 f(x)=

1 ,则该函数在(-∞,+∞)上是( 2 +1
x

).

A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值

B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值 ). B.b>a>c D.c>a

1? 4.(2011· 天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?5?log30.3,则( A.a>b>c C.a>c>b >b

1 1 - - 5.(2012· 天津一中月考)已知 a +a- =3,则 a+a 1=______;a2+a 2=________. 2 2 考向一 指数幂的化简与求值 【例 1】?化简下列各式(其中各字母均为正数).

化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂. 考向二 指数函数的性质 1 1 3 【例 2】?已知函数 f(x)=?ax-1+2?· x (a>0 且 a≠1).

?

?

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.

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(1)判断此类函数的奇偶性, 常需要对所给式子变形, 以达到所需要的形式, 另外, f?x? 还可利用 f(-x)± f(x), 来判断. f?-x? (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. e x a 【训练 2】 设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e


(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 考向三 指数函数图象的应用 ex+e x 【例 3】?(2009· 山东)函数 y= x -x的图象大致为( e -e


).

[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性. ax-1 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质, 比如: 函数 y= x , a +1 ex-e x y= ,y=lg(10x-1)等. 2


【训练 3】 已知方程 10x=10-x,lg x+x=10 的实数解分别为 α 和 β,则 α+β 的值是 ________.

一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011· 福建五市模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 K,
? ?f?x?,f?x?≥K, - 定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2+x+e x,若对任意的 x ?K,f?x?<K, ?

∈(-∞,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 K 的最大值为________. 二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法
?f1?x?,f1?x?≤f2?x?, ? - - 【示例】? 若 f1(x)=3|x 1|,f2(x)=2· 3|x a|,x∈R,且 f(x)=? 则 f(x)=f1(x) ? ?f2?x?,f1?x?>f2?x?,

对所有实数 x 成立,则实数 a 的取值范围是________.

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对数与对数函数
基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax=N(a>0,a≠1),那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数,记作 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN= ;②logaaN= (a>0 且 a≠1). 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lg N ,其中 a

(2)对数的重要公式 ①换底公式: ②logab= (a,b 均大于零且不等于 1);

1 ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

(3)对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)= M ②loga = N ③logaMn= ④log amMn= ; ; (n∈R).

3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

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定义域:(0,+∞) 值域:R 性质 当 x>1 时,y>0 当 0<x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 过点 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 一种思想 对数源于指数, 指数式和对数式可以互化, 对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数 式的互化进行证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 三个关键点 1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),? ?a,-1?. 四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0 或 1).(4)化同真数后利 用图象比较. 对称.

双基自测 1.(2010· 四川)2 log510+log50.25=( A.0 B.1 C.2 ). D.4

2.(人教 A 版教材习题改编)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b,c 的大小关 系是( ).
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A.a<b<c C.b<a<c 3.(2012· 黄冈中学月考)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) ).

B.a<c<b D.c<a<b

B.[0,+∞) D.[1,+∞) ).

4.(2014· 汕尾模拟)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 4 -1, ? B.? 3? ? 3 0, ? C.? ? 2? D.[1,2)

2 5.若 loga >1,则 a 的取值范围是________. 3 考向一 对数式的化简与求值 log89 【例 1】?求值:(1) ;(2)(lg 5)2+lg 50· lg 2; log23 1 32 4 (3) lg - lg 2 49 3 8+lg 245.

[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式. 对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定义、对数的 运算性质、 对数恒等式和对数的换底公式进行. 在解决对数的运算和与对数的相关问题时要 注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化. 1 1 【训练 1】 (1)若 2a=5b=10,求 + 的值. a b (2)若 xlog34=1,求 4x+4 x 的值.


考向二 对数值的大小比较 【例 2】 ?已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, 设 a=f(log47), 1 - b=f(log 3),c=f(0.2 0.6),则 a,b,c 的大小关系是( 2 A.c<a<b C.b<c<a [审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小. 一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较 大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决. 1 【训练 2】 (2010· 全国)设 a=log32,b=ln 2,c=5- ,则( 2 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a ). B.c<b<a D.a<b<c

).

考向三 对数函数性质的应用
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【例 3】?已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函 数,若存在,求 a 的取值范围.
?a>1 ? [审题视点] a>0 且 a≠1,问题等价于在[0,1]上恒有? . ?2-ax>0 ?

研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的原则.研究复合函数的单调性, 一定要注意内层与外层的单调性问题. 复合函数的单调性的法则是“同增异减”. 本题的易 错点为:易忽略 2-ax>0 在[0,1]上恒成立,即 2-a>0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件. 【训练 3】 已知 f(x)=log4(4x-1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 ? (3)求 f(x)在区间? ?2,2?上的值域. 指数与对数函数问题,高考中除与导数有关的综合问题外,一般还出一道选择或填空题,考 查其图象与性质,其中与求值或取值范围有关的问题是热点,难度虽然不大,但要注意分类 讨论. 一、与对数函数有关的求值问题

? ?lg x,x>0, 【示例】? (2011· 陕西)设 f(x)=?x+ a3t2dt,x≤0, ?0 ? ? ?
若 f(f(1))=1,则 a=________. 二、与对数函数有关的解不等式问题
1 x ? ?2 ,x≤1, 【示例】? (2013· 辽宁改编)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围 ?1-log2x,x>1, ?


是________.

幂函数与二次函数
基础梳理 1.幂函数的定义 一般地,形如 数. 2.幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y=x3, (α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 是自变量,α 为常

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y=

,y=x

-1

的图象分别如右图.

函数 定义域 值域 奇偶性 单调 性 定点

y=x R R 奇

y=x2 R [0,+∞) 偶

y=x3 R R 奇

y=

y=x

-1

{x|x∈R 且 x≠0} [0,+∞) {y|y∈R 且 y≠0 } 奇



x∈[0,+∞)时,增,x∈(- ∞,0]时,减





x∈(0,+∞)时,减 ,x∈(-∞,
0)时,减 (1,1)

3.幂函数的性质 4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

单调性

b? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递减 b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递增

b? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递增 b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递减

奇偶性 顶点



时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数

?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a
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对称性 5.二次函数解析式的三种形式

b 图象关于直线 x=- 2a

成轴对称图形

(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 五个代表 1 - 函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1 可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表. 2 两种方法 函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象关于 x x1+x2 = 对称. 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y= f(x)的图象关于直线 x=a 对称(a 为常数). 双基自测 1.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C .1 D.3 ).

1 2.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象. 已知 n 取± 2,± 2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 ). ).

? ?-x,x≤0, 3.(2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于( ?x ,x>0. ?

A.-4 或-2 C.-2 或 4

B.-4 或 2 D.-2 或 2 ).

4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2

5.(2012· 武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(- ∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. 考向一 二次函数的图象 【例 1】?(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是(
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).

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[审题视点] 分类讨论 a>0,a<0. 分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二 次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位臵.对于函数图象 判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与正半轴的交点、 函数图象 的最高点与最低点等. 【训练 1】已知二次函数 f(x)的图象如图所示, 则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

考向二 二次函数的性质 【例 2】?函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. [审题视点] 分类讨论 t 的范围分别确定 g(t)解析式. (1)二次函数 y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐 标公式求出;(2)二次函数 y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数 y=ax2+bx +c 图象对称轴的位臵,通过讨论进行求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 考向三 幂函数的图象和性质 【例 3】?已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减 m m 函数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3

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[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是偶 数可得 m 的值. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此题的关 键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利用单调性和奇偶性 (图象对称性)求出 m 的值或范围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数 a 的取值范围. 【训练 3】 幂函数 y=xa,当 a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲 线(如图).设点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=( ).

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

规范解答 4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位臵关系 确定最值,当函数解析式中含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解. 【解决方案】 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定对称轴,然后与所给区 间的位臵关系分三类进行讨论. 【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 济南模拟)已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最 大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). 求二次函数 f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论. 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得,忽 视对称轴与闭区间的位臵关系,不进行分类讨论. 【试一试】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a).

函数图象
基础梳理 1.图象变换法 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向 单位而得到. ②竖直平移: y= f(x)± b(b> 0)的图象,可由 y= f(x)的图象向 单位而得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 对称.
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(+)或向

(-)平移

(+ )或向

( -) 平移

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②y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 ③y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于

对称. 对称.

由对称变换可利用 y=f(x)的图象得到 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象. ①作出 y=f(x)的图象, 将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不 变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作出 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象, 即得 y=f(|x|)的图象. ①作出 y=f(x)的图象, 将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不 变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作出 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象, 即得 y=f(|x|)的图象. (3)伸缩变换 ①y=af(x)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1 时)或缩(a<1 时)到原来的 a 倍,横坐标不变. ②y=f(ax)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)到原来 1 的 倍,纵坐标不变. a (4)翻折变换 ①作为 y=f(x)的图象, 将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不 变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作为 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象, 即得 y=f(|x|)的图象. 2.等价变换 例如:作出函数 y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形 y≥0 ? ? 2 y= 1-x ??1-x ≥0 ? ?y2=1-x2
2

?y≥0 ? 2 2 ?? 2 2 ?x +y =1(y≥0),可看出函数的图象为半圆.此 ?y =1-x ?

过程可归纳为:(1)写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图. 3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周 期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线, 也是高考考查的热点. 作函数图象首先要 明确函数图象的形状和位臵,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可

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本末倒臵. 两个区别 (1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称, 且为奇函数,后者是两个不同的函数对称. (2)一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同,前者也是自身对 称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. 三种途径 明确函数图象形状和位臵的方法大致有以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质. 双基自测 x+3 1.(人教 A 版教材习题改编)为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上 10 所有的点( ).

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( 1 ? A.? ?a,b? 3.函数 y=1- B.(10a,1-b) 1 的图象是( x-1 ). 10 ? C.? ? a ,b+1? D.(a2,2b) ).

1 4.(2011· 陕西)函数 y=x 的图象是( 3

).

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5.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②的图象对应的函数为(

).

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|)

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|) 考向一 作函数图象

【例 1】?分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1; x+2 (4)y= . x-1 [审题视点] 根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数图象. (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 1 数、幂函数、形如 y=x+ 的函数;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周 x 期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程. 【训练 1】 作出下列函数的图象: (1)y=2x 1-1;


(2)y=sin|x|; (3)y=|log2(x+1)|. 考向二 函数图象的识辨 【例 2】?函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下的图象大致是(


).

[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象,可根据函数图象上的特征点以及函数
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的单调性来判断. 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位臵;从函数的值域,判断图象的上下位臵; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项. 【训练 2】 (2010· 山东)函数 y=2x-x2 的图象大致是( ).

考向三 函数图象的应用 【例 3】?已知函数 f(x)=|x -4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. [审题视点] 作出函数图象,由图象观察. (1)从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象的上下分布,分析函数的值域;从图象 的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象 的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题, 比如判断方程是否有解, 有多少个解? 数形结合是常用的思想方法. 【训练 3】 (2010· 湖北)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是 ( ). B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]
2

A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] 难点突破 5——高考中函数图象的考查题型 涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型: 一、由解析式选配图象

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解决时需要从定义域、 值域、 奇偶性、 单调性等方面综合考查,有时也可以根据特殊情况(如 特殊点、特殊位置)进行分析. x 【示例】? (2011· 山东)函数 y= -2sin x 的图象大致是( 2 ).

二、图象平移问题 一般地,平移按“左加右减,上正下负”进行函数式的变换. 【示例】? (2011· 郑州模拟)若函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数


又是增函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是(

).

三、图象对称问题 【示例】? (2011· 厦门质检)函数 y=log2|x|的图象大致是( ).

函数与方程
基础梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 (2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如 果 函 数 y = f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 图 象 是 有 ,那么,函数 y=f(x)在区间 不断的一条曲线,并且 内有零点,即存在 c . 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.

∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.
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2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布 根的分布(m<n <p 为常数) 图象 满足条件 Δ>0 ? ? b ?-2a<m ? ?f?m?>0 Δ>0 ? ? b ?-2a>m ?f?m?>0 ?

x1<x2<m

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0

m<x1<x2<n

? ?m<-2ba<n ?f?m?>0 ? ?f?n?>0
f?m?>0 ? ? ?f?n?<0 ? ?f?p?>0 Δ =0 ? ? ? 或 b m<- <n ? 2a ? f(m)· f(n) <0

Δ>0

m<x1<n<x2<p

只有一根在(m,n)之间

3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义
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对于在区间[a,b]上连续不断且 点所在的区间 方法叫做二分法.

的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零 , 进而得到零点近似值的

, 使区间的两个端点逐步逼近

(2)给定精确度 ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε;②求区间(a,b)的中点 c;③计算 f(c); (ⅰ)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ⅱ)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (ⅲ)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度 ε.即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②③④. 一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间, 找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算, 零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断. 两个防范 (1)函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,是数不是点. (2)若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相 反, 即 f(a)· f(b)<0, 满足这些条件一定有零点, 不满足这些条件也不能说就没有零点. 如图, f(a)· f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件 是充分条件,但并不必要.

三种方法 函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b) <0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几 个不同的值,就有几个不同的零点. 双基自测 1. (2011· 福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围 是( ).

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A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 ). B.至多有一个 D.可能有无数个 ).

3.如图所示的函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④ ).

4.(2011· 新课标全国)在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 - ,0? A.? ? 4 ? 1 0, ? B.? ? 4? 1 1? C.? ?4,2? 1 3? D.? ?2,4?

5.(人教 A 版教材习题改编)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值 范围是________. 考向一 函数零点与零点个数的判断
2 ? ?x +2x-3,x≤0 【例 1】?(2010· 福建)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+ln x,x>0 ?

).

A.3

B.2

C .7

D.0

[审题视点] 函数零点的个数?f(x)=0 解的个数?函数图象与 x 轴交点的个数. 对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑:(1)结合函数图象;(2)根据零 点存在定理求某些点的函数值;(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等. 【训练 1】 函数 f(x)=log3x+x-3 的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ).

考向二 有关二次函数的零点问题 【例 2】?是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴 恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. [审题视点] 可用零点定理去判断,注意对函数端点值的检验. 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次 方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 【训练 2】 关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时
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(1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解 考向三 函数零点性质的应用 e2 【例 3】?已知函数 f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+ (x>0,其中 e 表示自然对数的底数). x (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 分析:(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解. [审题视点] 画出函数图象,利用数形结合法求函数范围. 此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出, 而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了,当不是求零点,而是利用 零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解. 【训练 3】 已知函数 f(x)=ax3-2ax+3a-4 在区间(-1,1)上有一个零点. (1)求实数 a 的取值范围; 32 (2)若 a= ,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根. 17 难点突破 6——如何利用图象求解函数零点问题 数形结合是重要的思想方法之一, 也是高考考查的热点问题, 利用函数图象判断方程是否有 解,有多少个解是常见常考的题型,数形结合法是求函数零点个数的有效方法,其基本思路 是把函数分成两个函数的差, 分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出, 则函数零 点个数就是两函数图象交点的个数. 一、判定函数零点的个数 【示例】? (2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 二、判断零点的范围 【示例】? (2011· 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. ).

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

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