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2011长春三模 2011年长春市高中毕业班第三次调研测试(理科数学)

时间:2011-04-25


2011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2011 年长春市高中毕业班第三次调研测试 年长春市高中毕业班第三



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题, 其它题为必考题.

考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形 码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B) = P ( A) + P ( B ) . 如果 A 、 B 相互独立,那么 P ( AB) = P ( A) ? P ( B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生

k 次的概率为 Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p ) n ? k .

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题,
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 .. 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .. 1. 设全集为实数集 R ,A={0,1},B={-1,1},则 A∩(?RB)= B.{1} C.{0} A.{0,1} 2.

3.

a+i 复数 为纯虚数,则实数 a 的值为 2?i 1 1 A. ? B. C. ? 2 2 2 4 若 cos α = ? ,且 α 是第二象限角,则 tan α 的值为 5 3 3 4 A. B. ? C. 4 4 3

D. ?

D. 2

D. ?

4 3

4.

? 下面关于回归直线方程 y = 2 ? 1.5 x 说法中,不恰当的是
A.样本数据成负相关 B.必过样本中心点 ( x, y ) C.当 x 增加 1 个单位时, y 平均减少 1.5 个单位 D.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

5.

设 a 、 b 都是非零向量,那么命题“ a 与 b 共线”是命题“ a + b = a + b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 设 m 、 n 是空间不同的直线, α 、 β 是空间不同的平面,则下面判断正确的是 A. m ⊥ n , m ⊥ α ? n ∥ α B. m ∥ n , m ∥ α ? n ∥ α

r

r

r

r

r r

r

6.

C. m ∥ α , m ∥ β ? α ∥ β 7. 已知 {an } 是等比数列, a2 = 2 , a5 = A. 16(1 ? 4 ) 8.
?n

D. m ⊥ α , m ∥ β ? α ⊥ β

B. 16(1 ? 2 )

?n

1 ,则 a1a2 + a2 a3 + … + an an +1 的值为 4 32 32 C. (1 ? 4 ? n ) D. (1 ? 2 ? n ) 3 3
z

如右图,其中实线围成的几何体为圆柱的直观图的一部分,则其正视图、侧视图都正确 的是

正视图

侧视图

正视图

侧视图

正视图

侧视图

正视图

侧视图

O

9.

A. B. C. D. 如图是用二分法求方程 f ( x ) = 0 近似解的程序框图, 已知方程的解所在区间用 [ a, b] 表示,则判断框内应 该填的条件是 A. f (a) f (m) < 0 ? B. f (a) f (m) > 0 ? C. f (a) f (b) < 0 ? D. f (a) f (b) > 0 ?

x
开始

y

定义 f (x)
输入精确度d 和区间[a,b] m= a+b 2 否 是

10. 若函数 y = 2 cos ω x 在区间 [0, 小值 1,则 ω 的值可以是

2π ] 上递减,且有最 3

1 2 1 C.3 D. 3 2 ?2(1 ? x ), 0≤x < 1 , 当 f ( x ) 定 义 域为 11. 函 数 f ( x) = ? lg x , x≥1 ? [a, b] 时,值域是 [0,1] ,则 b ? a 的最小值为
A.2 B. A.

b=m


a= m

|a- b|< d 或 f (m)=0?
是 输出m 结束

2 2 C.1 D. 10 ? 2 2 12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , ?x ∈ D, ?k > 0, 使 | f ( x ) | ≤ k | x | , 若 则称 f ( x ) 是 D 上
B. 1 ? 的“倍约束函数” .下列函数中“倍约束函数”的个数为 ① y = 2 x ;② y = cos x ;③ f ( x ) = A.1 个 B.2 个

2 2

x ;④ y =
C.3 个

x x +1
2

D.4 个

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d 等于 . 14. (1 + 2 x )(1 + ) 的展开式中常数项为
2 8

1 x


y B A x

15. 如图,椭圆的中心在坐标原点, F 为左焦点, A 、 B 分别为长

5 ?1 轴和短轴上的一个顶点.当 FB ⊥ AB 时,其离心率为 , 2
此类椭圆称为“黄金椭圆” ,类比“黄金椭圆” ,可推出“黄金双

F O

曲线”的离心率为 16. 设 曲 线 y = x
n +1

. .

( n ∈ N * ) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 xn , 则

x1 ? x2 ?L ? xn =

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 12 分) 如图, A 处建有一个补给站,在 A 正西 120 海里处有一个 北 D 港口 B ,一艘科考船从 B 出发,沿北偏东 30° 的方向,以 东 20 海里/小时的速度驶离港口.同时一艘为科考船运送补给 的快艇从 A 出发,沿北偏西 30° 的方向, 60 海里/小时的 以 C 速度行驶,1 小时后补给船行驶至 C 处,发生故障停留了 1 30 小时.快艇为在最短时间内将补给送到科考船,在 C 处调 30 整航向后继续以 60 海里/小时的速度直线行驶, 恰好与科考 B A 120 船在 D 处相遇,求相遇时科考船共行驶了多少小时. 18. (本小题满分 12 分) 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有 9 张大小相同 的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则 是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获 奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行. ⑴若从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是

5 ,求抽奖者获奖的概率; 18 ⑵在⑴的条件下,有甲、乙、丙三个人依次抽奖,用 X 表示获奖的人数,求 X 的分布 列及 E ( X ) .

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 的 侧棱 与 底 面垂 直 , AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别是 CC1、BC 的中点, uuur uuuu r 点 P 在棱 A1B1 所在直线上,且满足 A1 P = λ A1 B1 (λ∈R). (1)证明:PN⊥AM; (2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°, 试确定点 P 的位置. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 离心率为 e = ,椭圆 C 的一个顶点与抛物线 2 a b 2
A y B O x

x 2 = 4 y 重合. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵如图, 直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 交地不同的两点 A、
实数 λ 的取值范围.

B.若在椭圆 C 上存在点 Q,满足 OA + OB = λ OQ ,求

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = (2 ? a ) ln x +

2ax 2 + 1 (a < 0) . x

⑴讨论函数 f ( x ) 在定义域内的单调性; ⑵当 a ∈ ( ?3, ?2) 时, 任意 x1 , x2 ∈ [1,3] ,( m + ln 3) a ? 2 ln 3 >| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B , ADE 、 CFD 、 CGE 都是⊙ O 的割线,已知 AC = AB .证明: ⑴ AD ? AE = AC ; ⑵ FG // AC .
2

C G F D E B A

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.

? x = cos θ, 已知曲线 C: ? ( θ 为参数). ? y = sin θ
⑴将 C 参数方程化为普通方程; ⑵若把 C 上各点的坐标经过伸缩变换 ? 到两坐标轴距离之积的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x ) =| x ? 1| + | x ? a | . ⑴若 a = ?1 ,解不等式 f ( x ) ≥ 3 ; ⑵如果 ?x ∈ R , f ( x ) ≥ 2 ,求 a 的取值范围.

? x′ = 3 x 后得到曲线 C ′ ,求曲线 C ′ 上任意一点 ? y′ = 2 y

2011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2011 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.A 3. B 4. D 5.B 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.B 12.C 简答与提示: 1. C ?RB= ( ?∞, ?1) U ( ?1,1) U (1, +∞) ,∴A∩(?RB)={0}. 2. A

a ? i (a ? i )(2 ? i ) 2a + 1 ? (2 + a )i 1 = = ,∴ a = ? . 2+i 5 5 2 4 3 3 ,又 α 是第二象限角,∴sinα= ,∴ tan α = ? . 5 5 4

3. 4.

B ∵ cos α = ?

D 由回归直线的相关理论知 A、B、C 都是正确的,D 错误,回归直线是散点图中各 样本点数据点到它的距离之和最短的那条直线. B 当 a 与 b 共线时,若它们反向,则结论 a +b = a + b 不成立;反之,当

r

r

r r

r

5.

r r r r r r r r r a + b = a + b 时,必有 a 与 b 共线(且同向) ,否则 a + b <| a | + | b | .
6. 7. D A、B 错误,反例 n ? α ;C 错误,两平面可以相交;D 选项正确. C 设 {an } 的公比为 q ,则 q =
3

a5 1 1 = ,∴ q = , a1 = 4 .又 {an an +1} 是首项为 2 a2 8 1 8[1 ? ( ) n ] 1 4 = a1a2 = 8 ,公比为 q 2 = 的等比数列,∴ a1a2 + a2 a3 + … + an an +1 = 1 4 1? 4 32 (1 ? 4 ? n ) . 3

8. 9.

A 结合三视图知识可知,A 选项正确. A 条件结构的左支,说明方程的概在 [ a, m] 之间,因此将 m 的值赋给构间右端点 b , ∴判断框内应填 f (a) f (m) < 0 ?. 由 y = 2 cos ω x 在 区 间 [0,

10. B

2π ] 上递减,且有最小值结合图象可知 3

2 cos

2π 2π 1 2π π 1 ω = 1 ? cos ω = .∴ ω = ,∴ ω = . 3 3 2 3 3 2
y 2 1 O
2 2

2 , b = 1 时,区间长 11. B 作出函数 f ( x ) 的图象,由图象得 a = 2 2 . 度 b ? a 最小,是 1 ? 2

1

10 x

12. C ①③④符合,作出前 3 个函数图象如图, k 越大, y = k | x | 图象越靠近 y 轴,对于 使 即 图 1、 3, 图 必有足够大的正数 k , y = k | x | 的图象总在 y =| f ( x ) | 的上方, | f ( x ) | ≤ k | x | 恒成立, 而图 2 显然不满

x |≤ k | x | , x +1 当 x = 0 时, 所有正数 k 都符合定 1 2 义;当 x ≠ 0 时, ≤ x + 1 , k k
足.对于④, |
2

y y=k|x|
y=|2x|

y y=k|x|
y=|cosx|

y y=k|x|
y= x

≥1 时都符合定义,故④是. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小 题 5 分,共 20 分) 13. 2 14. 57 15.

O

图1

x

图2

O

x O

图3

x

1+ 5 2
∵S3=

16.

1 n +1

简答与提示: 13. 2

(a1 + a3 ) (a ? a1 ) =6,而 a3=4,∴a1=0,∴d= 3 =2. 2 2 2 14. 57 1×1+2 C8 =57. 1+ 5 2
2 2

y B F OA x

15.

如图,类比可得∠ FBA = 90° ,∴ b = ac ,即
2 2

1+ 5 c ? a ? ac = 0 ,∴ e ? e ? 1 = 0 ,∴ e = 2 1 16. y′ = (n + 1) x n , 曲线在点(1,1)处的切线方程为 y ? 1 = ( n + 1)( x ? 1) , y = 0 , 令 n +1 n 12 n 1 得 xn = ,则 x1·x2·…·xn= · ·…· = . 2 3 n+1 n+1 n +1
三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】 本小题主要考查解三角形的有关知识, 具体涉及到直角三角形的判定有边 角关系,余弦定理等内容. 【试题解析】 ∵从 A 到 C 快艇行驶 1 小时, AC = 60 . 解: ∴ 北 D 又∠ ∠CAB = 60° , AB =120,∴ ∠BCA = 90° . 东 ∴ ∠CAB = 30° , BC = 60 3 . 60(t-2) ∴ ∠DBC = 30° . 20t 设相遇时科考船共行驶了 t 小时,则 C BD = 60t , DC = 60(t ? 2) . 30 30 在△ BDC 中,由余弦定理得

[60(t ? 2)] = (60 3) + (20t ) ? 2 × 60 3 × 20t ,
2 2 2

B

30 30

60 3 120

60

60

A

∴ 8t ? 27t + 9 = 0 ,∴ (8t ? 3)(t ? 3) = 0 ,∴ t = 3 或 t =
2

又 t ≥2,∴ t = 3 . 答:相遇时科考船共行驶了 3 小时. 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查概率的相关知识,具体涉及到古典概型、二项分布等内容.

3 . 8

Cn2 5 【试题解析】解:⑴设“世博会会徽”卡有 n 张,由 2 = , 得n = 5. C9 18
∴“海宝”卡有 4 张,抽奖者获奖的概率为 P =

C42 1 = . C92 6

k ⑵ X ~ B(3, )的分布列为P( X = k ) = C3 ( )k ( )3? k (k = 0,1, 2,3) .

1 6

1 6

5 6

1 5 125 75 1 1 1 5 2 P ( X = 0) = C30 ( )0 ( )3 = , P ( X = 1) = C3 ( ) ( ) = , 6 6 216 6 6 216 1 5 15 1 3 1 3 5 0 P ( X = 2) = C32 ( ) 2 ( )1 = , P ( X = 3) = C3 ( ) ( ) = , 6 6 216 6 6 216 0 1 2 3 X 125 75 15 1 P 216 216 216 216 1 1 ∴ E( X ) = 3× = . 6 2
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线线垂直、 二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 【试题解析】证明:(1)如图,以 AB、AC、AA1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标 系. 1 1 1 则 P(λ,0,1),N( , ,0),M(0,1, ),(2 分) 2 2 2 uuur 1 uuuu r 1 1 从而 PN =( -λ, ,-1), AM =(0,1, ), 2 2 2 uuur uuuu 1 r 1 1 PN · AM =(2-λ)×0+2×1-1×2=0, 所以 PN⊥AM.(3 分)

r

(2)平面 ABC 的一个法向量为 n = AA1 =(0,0,1).

ur

设平面 PMN 的一个法向量为 m =(x,y,z), 1 由(1)得 MP =(λ,-1, ). 2

1 1 ? ?m ? NP = 0, ?(λ ? 2 ) x ? 2 y + z = 0, ? ? 由? 得? ?m ? MP = 0, ?λx ? y + 1 z = 0. ? ? 2 ? 2λ + 1 ? ? y = 3 x, ? 令x = 3, 得m = (3,2λ + 1,2(1 ? λ )) . 解得 ? ? z = 2(1 ? λ ) x. ? 3 ?
∵平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°, ur r |2(1-λ)| 2 ∴| cos m, n |= 2 2 = 2 , 9+(2λ+1) +4(1-λ) 1 解得 λ=- . 2 1 故点 P 在 B1A1 的延长线上,且|A1P|= . 2

(7 分)

(9 分)

(11 分) (12 分)

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到椭圆与抛物 线的标准方程、向量的应用及直线与圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】解:⑴∵抛物线 x = 4 y 的焦点 (0,1) 与椭圆 C 的一个顶点重合,
2

∴ b = 1.

2 c 2 ,得 = , 2 a 2 2 2 ∴ a 2 = 2c 2 = 2( a 2 ? b 2 ) ,∴ a = 2b =2.
∵由椭圆 C 的离心率 e = 椭圆 C 方程为

A

y B O x

2分

x2 + y 2 = 1. (5 分) 2 ? y = kx + m ⑵由 ? 2 得 (1 + 2k 2 ) x 2 + 4kmx + 2m 2 ? 2 = 0 . 2 ?x + 2 y = 2 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ), 4km ? ? x1 + x 2 = ? 1 + 2k 2 2m ? 则? , y1 + y 2 = k ( x1 + x 2 ) + 2m = . 8分 2 1 + 2k 2 2m ? 2 ?x x = ? 1 2 1 + 2k 2 ? ? 4km ? 1 ? xQ = ( x1 + x 2 ) ? xQ = λ (1 + 2k 2 ) ? ? ? λ ,即 ? , 由 OA + OB = λ OQ ,得 ? 1 2m ?y = (y + y ) ?y = 2 ? Q λ 1 ? Q λ (1 + 2k 2 ) ? ? ?4km 2 2m ∵点 Q 在椭圆上,∴有 [ ] + 2[ ]2 = 2 , λ (1 + 2k 2 ) λ (1 + 2k 2 ) 化简得 8m 2 (1 + 2k 2 ) = 2λ 2 (1 + 2k 2 ) 2 ,∴ 4m 2 = λ 2 (1 + 2k 2 )
又△= 16 k 2 m 2 ? 4 (1 + 2k 2 )(2m 2 ? 2) = 8(1 + 2k 2 ? m 2 ) , ∴由△>0,得 1 + 2k 2 > m 2 ,
2

> λ2 m 2 . 2 当 m ≠0 时,∴ λ < 4 ,则 ? 2 < λ < 2 且 λ ≠0. 当 m = 0 时,点 A、B 关于原点对称,则 λ = 0 . 综上两种情况, λ 的取值范围是 ? 2 < λ < 2 .
∴ 4m

12 分

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来研究函 数的单调性、最值等,考查学生分类讨论、转化与化归等数学思想.

2?a 1 2ax 2 + (2 ? a ) x ? 1 (ax + 1)(2 x ? 1) + 2a ? 2 = = . x x x2 x2 1 1 1 1 1 1 当 a < ?2 时, ? < ,增区间为 ( ? , ) ,减区间为 (0, ? ) , ( , +∞) . a 2 a 2 a 2 1 1 当 a = ?2 时, ? = ,减区间为 (0, +∞ ) . a 2 1 1 1 1 1 1 当 ?2 < a < 0 时, ? > ,增区间为 ( , ? ) ,减区间为 (0, ) , (? , +∞ ) . a 2 2 a 2 a ⑵由⑴知,当 a ∈ ( ?3, ?2) 时, f ( x ) 在 [1,3] 上单调递减,
【试题解析】解:⑴ f ′( x ) =

∴ x1 , x2 ∈ [1,3] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≤ f (1) ? f (3) = (1 + 2a ) ? [(2 ? a ) ln 3 +

1 + 6a ] , 3

2 ? 4a + (a ? 2) ln 3 . 3 ∵ ( m + ln 3) a ? 2 ln 3 >| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒成立, 2 2 ∴ ( m + ln 3) a ? 2 ln 3 > ? 4a + ( a ? 2) ln 3 ,即 ma > ? 4a , 3 3 2 又 a < 0 ,∴ m < ?4. 3a 13 2 38 13 < ? 4 < ? ,∴ m ≤ ? . ∵ a ∈ ( ?3, ?2) ,∴ ? 3 3a 9 3
即 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≤ 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 【命题意图】本小题主要平面几何的证明,具体涉及到切割线定理、三角形相似及两直 线平行的判定等内容. 【试题解析】证明:⑴Q AB为切线,AE为割线 , C ∴ AB 2 = AD ? AE . G 又 Q AB = AC , F 2 A D ∴ AD ? AE = AC (5 分) ⑵由(1)有

AD AC = , AC AE 又Q ∠EAC = ∠DAC ,∴ ?ADC ~ ?ACE , ∴ ∠ADC = ∠ACE . 又Q ∠ADC = ∠EGF ,∴ ∠EGF = ∠ACE .

E

B



GF // AC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到参数方程与普 通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容. 【试题解析】解:⑴ C 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 . ⑵ C 经过伸缩变换 ?

? x′ = 3 x ? x′ = 3cos θ 后, ? ( θ 为参数) , ? y′ = 2 y ? y′ = 2 sin θ ∴ | x′y ′ |=| 6sin θ ? cos θ |=| 3sin 2θ | ≤3,

∴曲线 C ′ 上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为 3. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识, 具体涉及到绝对值三角不等式的解法 及性质等内容. 【试题解析】解: (1)当 a = ?1 时, f ( x ) = x ? 1 + x + 1 . 由 f ( x ) ≥ 3 得 x ? 1 + x + 1 ≥ 3.

当 x ≤ ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ≥ 3, 即 ?2 x ≥ 3 ,其解集为 ? ?∞, ? ? . 2

? ?

3? ?

当 ?1 < x ≤ 1 时,不等式化为 1 ? x + x + 1 ≥ 3 ,不可能成立,其解集为 ? . 当 x ≥ 1 时, 不等式化为 x ? 1 + x + 1 ≥ 3, 即 2 x ≥ 3 ,其解集为 [ , +∞ )

3 2

综上, f ( x ) ≥ 3 的解集为 ? ?∞, ? ? U ? , +∞ ? . 2 2

(方法二)若 a = 1, f ( x ) = 2 x ? 1 , 不满足题设条件.

3? ?3 ? ? ? ? ? ? ⑵(方法一) f ( x ) =| x ? 1| + | x ? a | ≥ | a ? 1| , ∴ | a ? 1| ≥2,∴ a ≥3 或 a ≤-1.

4分

??2 x + a + 1, x ≤ a ? 若 a < 1, f ( x ) = ? 1 ? a, a < x < 1 , f ( x ) 的最小值为 1 ? a . ?2 x ? ( a + 1) , x ≥ 1 ? ? ?2 x + a + 1, x ≤ 1 ? 若 a > 1, f ( x ) = ? a ? 1, 1 < x < a , f ( x ) 的最小值为 a ? 1 ? 2 x ? ( a + 1) , x ≥ a ? 所以 ?x ∈ R , f ( x ) ≥ 2 . a 的取值范围是 ( ?∞, ?1] U [3, +∞ ) .

10 分


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