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超级全能生2016高中数学理科解析版

时间:2016-01-04


超级全能生 2016 高考全国卷 26 省联考 数学(理科乙卷)
一、选择题 1.已知 U ? {y | y ? 2x , x ? ?1} , A ? {x | A. [1/ 2, 2] 答案:C 解析: U ? [1/ 2, ??), A ? (1, 2] 2.复数 z 满足 A.
z ? i 则 z ?( ) z ?i 1? i B. C. 1+i D.

1-i 2 1 ? 1} 则 CU A ? ( ) x ?1

B. [2, ??)

C. [1/ 2,1] ? (2, ??)

D. [1/ 2,1) ? (2, ??)

1? i 2 答案:B 解析:设 z ? a ? bi 代入解得 a ? b ? 1/ 2 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 答案:B

解析: S ? log3 2 ? log4 3 ? ... ? log8 7 ? lg 2 / lg8 ? 1/ 3 4.从自然数 1~9 中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是 5 的概率为( ) 2 1 1 1 A. 3 B. 3 C. 9 D. 8 答案:C
7 2 解析:基本事件总数 C9 ? C9 ? 36

平均数为 5 的事件包括:辍选 1,9;2,8,3,7;4,6 共四种可能 5.如图所示,某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) 16 A. 3 B. 4 C. 3 D. 2 答案:D 解析:四棱锥的直观图如图所示
a 2a ?3 2 底面为直角梯形 AA’EC, S ? (a ? ) ? 2 2

四棱锥的高 FB, h ?

1 2a ? 2 ,因此 V ? Sh ? 2 3 2

6. 在平面内,过定点 P 的直线 mx ? y ? 1 与过定点 Q 的直线 x ? my ? 3 ? 0 相交于点 M ,则
| MP | ? | MQ | 的最大值为( )
1

10 B. 10 C. 10 2 答案:D 解析:查考过定点的直线系 A. 定点 P(0,1), Q(?3, 0) PQ ? 10 为定长

D. 5

设 MQ=x,MP=y,则 x2 ? y 2 ? PQ2 ? 2xy ? xy ? 10 / 2 7. 若 函 数 f(x) 同 时 满 足 以 下 三 个 性 质 : (1)f(x) 的 最 小 正 周 期 为 π ; ? ? ? (2) ?x ? R, f ( x ? ) ? f (? x) ? 0 ;(3)f(x)在 ( , ) 上是减函数,则 f(x)的解析式可能是( ) 4 4 2 A. f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x B. f ( x) ? sin 2 x C. f ( x) ? tan( x ? ? / 8) D. f ( x) ? cos 2 x

答案:A 解析:三个性质分别对应周期性、奇偶性和单调性 首先由单调性排除正切函数 其余三个函数周期性与单调性均满足 考查 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? / 4)

f ( x ? ? / 4) ? 2 sin(2x ? ? / 4) 正好满足性质(2)
?3x ? 2 y ? 7 8.设 x,y 满足约束条件 ? 且 z ? ax ? y 的最大值为 4,则 a=( ) ?4 x ? y ? a
A. 2 答案:A 解析:联立线性方程得交点 x ?
ax ? y ? 7 ? 2a 28 ? 3a ,y? 11 11

2 B. 3

C. -2

D. -4

2 2 (a ? 2a ? 14) ? 4 因此 a 2 ? 2a ? 8 ? 0 即 a=2 或-4 11 其中 a=-4 使约束条件与目标函数平行故舍去

9.若函数 f1 ( x), f 2 ( x) 满足 ? f1 ( x) ? f 2 ( x) dx ? 0(a ? 0) ,则称 1 ( x), f 2 ( x) 是区间[-a, a]上的一组Γ
?a

a

函数,给出下列四组函数: (1) f1 ( x) ? x2 , f2 ( x) ? x ? 1 (2) f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? tan x (3) f1 ( x) ? 2x ?1, f2 ( x) ? 2 x ?1 (4) f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x 其中是区间[-1/2, 1/2]上的Γ 函数的组数是( )
2

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案:C 解析:对称区间上定积分为零,被积函数一定是奇函数,因此只有(2)(4) 10.已知 a,b 是单位向量,且夹角为 60°,若向量 p 满足 | a ? b? p |? 1/ 2 ,则|p|的最大值为( ) 1 3 A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 答案:C 解析:如图所示单位向量|a-b|=1 因此 |1? | p ||?| a ? b? p |? 1/ 2 ?| p |? 1 ?1/ 2 11.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A’B’C’D’中,P 为棱 A’B’中点,点 Q 在侧面 DCC’D’内 运动,若∠PBQ=∠PBD’,则动点 Q 的轨迹所在曲线为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案:C 解析:考查圆锥曲线的定义,如图所示 平行于圆锥旋转轴 BP 的截面截得双曲线 而侧面 DCC’D’显然平行于旋转轴 BP
2 ln x ? (x ? m) 2 12.已知函数 f ( x) ? ,若存在 x ? [1, 2] 使得 f '( x) ? x ? f ( x) ? 0 ,则实数 m 的取值 x

范围是( ) A. (-∞, 2) 5 B. (2, 2) 5 C. (0, 2) 5 D. (-∞, 2)

答案:D 解析:考查导数及二次不等式
f '( x) ?
2 [2 / x ? 2( x ? m)]x ? [2ln x ? (x ? m) 2 ] 因此 f '( x) ? x ? f ( x) ? ? 2( x ? m) ? 0 2 x x

不等式可转化为 g ( x) ? x2 ? mx ? 1 ? 0, x ?[1, 2] 本题要求存在 x,即 g (1) ? 0或g (2) ? 0 ? m ? 5/2 若要求恒成立,则根据对称轴 x=m/2 的位置分类讨论 m m 当1 ? ? 2 时 g ( ) ? 0 ? m ?? 2 2 当 m / 2 ? 1 时 g (1) ? 0 ? m ? 2 当 m / 2 ? 2 时 g (2) ? 0 ? m ?? 二、填空题 13.已知 p : x ? m , q :| x ? 2 |? 1 ,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是___ 答案: [3, ??)
3

解析: P ? {x | x ? m} Q ? {x |1 ? x ? 3} 题设等价于 Q ? P 14.已知 n 为正整数,在 (1 ? x )2n 与 (1 ? x)n 展开式中 x 2 项的系数相同,则 n=___ 答案:2
4 2 解析: C2 n ? Cn ? 2n(2n ?1)(2n ? 2)(2n ? 3) / 24 ? n(n ?1) / 2

化简得 4n2 ? 8n ? 0 ? n ? 2

??? ? ??? ? 15.在等腰 ?ABC 中,AB=AC, | AC ? BC |? 2 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为___
答案:4 解析:如图所示,设等腰 ?ABC 底边上的高 AO=h 底角 α 为锐角,设 OC=x,则 BC=CD=2x, 由三角形法则得 AD ? 2 6
S ?ABC ? hx ? x 24 ? (3 x) 2

4 S 2 ? (24 ? 9 x 2 ) x 2 ? ?9( x 2 ? ) ? 16 3

当 x 2 ? 4 / 3 时面积 S 取最大值 4 16.设 F1 , F2 是椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 1 的两焦点, 点P (异于两焦点) 关于两焦点的对称点分别为 P 1, P 2, 5

线段 PQ 的中点在椭圆 C 上,则 | PQ 1 | ? | P2Q |? ___ 答案: 4 5 解析:特殊点法,设 P(0,0),Q(2a,0),则 P1(-2c,0),P2(2c,0) 则 | PQ 1 | ? | P2Q |? 2a+2c+2a-2c=4a,而 a ? 5 三、解答题 17.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 2Sn ? an ? n2 ? 2n ? 2, n ? N * (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)求数列 {n(an ? n)}的前 n 项和 Tn 解析: a1 ? 5 / 3 当 n ? 2 时 2Sn?1 ? an?1 ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 2 ,作差得

3an ? an?1 ? 2n ? 1,整理得 3(an ? n) ? an?1 ? (n ?1)
4

因此 {(an ? n)} 为首项 2/3、公比 1/3 的等比数列 因此 an ? n ?
2 3n
2n 3n

(2) n(an ? n) ?

1 2 n 1 1 2 n Tn ? 2( ? 2 ? ... ? n ) Tn ? 2( 2 ? 3 ? ... ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 n 3 1 n 作差得 Tn ? 2( ? 2 ? ... ? n ? n ?1 ) 因此 Tn ? (1 ? n ) ? n 3 3 3 3 3 2 3 3 18.某商场五一进行抽奖促销活动,当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动,抽奖情况如 下: 消费金额 X(元) [500,1000) [1000,1500) [1500,+∞) 抽奖次数 1 2 3 抽奖箱中有 9 个大小形状完全相同的小球,其中 4 个红球、3 个白球、2 个黑球(每次只能抽 取一个,且不放回抽取).第一种抽奖方式:若抽得红球,获奖金 10 元;若抽得白球,获奖金 20 元;若抽得黑球,获奖金 40 元.第二种抽奖方式:抽到白球,获得奖金 50 元;若抽到黑球, 获奖金 100 元. (1)若某顾客在该商场当日消费金额为 2000 元,用第一种抽奖方式进行抽奖,求获得奖金 70 元的概率 (2) 若某顾客在该商场当日消费金额为 1200 元,请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更 有利. 解析:(1)X=2000 可抽奖 4 次,得奖金 70 元,共有两种情形:抽得 3 红 1 黑;抽得 1 红 3 白

因此所求事件的概率为 P ?

3 1 1 3 C4 C2 ? C4 C3 2 ? 4 C9 21

(2) X=1200 可抽奖 2 次 用第一种抽奖方式,获得奖金可能为 20,30,40,50,60,80
1 1 2 C4 C3 1 C32 1 C4 1 P(30) ? 2 ? P(40) ? 2 ? P(20) ? 2 ? C9 3 C9 12 C9 6 1 1 1 1 2 C3 C2 1 C4 C2 2 C2 1 ? P (60) ? ? P (80) ? ? 2 2 2 C9 9 C9 6 C9 36

P(50) ?

随机变量的分布列 随机变量 20 P 1/6

30 1/3

40 1/12

50 2/9

60 1/6

80 1/36

期望 E? ? 20 / 6 ? 30 / 3 ? 40 /12 ? 100 / 9 ? 60 / 6 ? 80 / 36 ? 40 用第二种抽奖方式,获得奖金可能为 0,50,100,150,200

P(0) ?

1 1 1 1 2 C4 C3 1 C32 ? C4 C2 11 C4 1 ? P (50) ? ? P (100) ? ? 2 2 2 C9 6 C9 3 C9 36

5

P(150) ?

1 1 2 C3 C2 1 C2 1 ? P (200) ? ? 2 2 C9 6 C9 36

随机变量的分布列 随机变量 0 P 1/6

50 1/3

100 11/36

150 1/6

200 1/36

期望 E? ? 0 ? 50 / 3 ? 1100 / 36 ? 150 / 6 ? 200 / 36 ? 700 / 9 明显第二种抽奖方式更有利。 19.已知三棱锥 P-ABC,平面 PBC⊥平面 ABC, ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,O 为它的中 心, PB ? PC ? 2 ,D 为 PC 的中点 (1)在边 PA 上是否存在一点 E,使得 AC⊥平面 BOE,若存在,确定点 E 的位置;若不存在, 说明理由; (2)求二面角 P-BD-O 的余弦值 解析:(1)作边 PA 的三等分点 E,使 AE=2EP 等边三角形中三线合一,BO⊥AC AF 垂直平分 BC 边,且 AO=2OF 等腰 ?PBC 中 PF⊥BC 由于面面垂直,线线垂直,PF⊥AC AE AO ?PAF 中, ? ? 2 ,因此 EO//PF 垂直 AC EP OF 由于 BO、EO 均垂直于 AC,因此存在边 AP 的三等分点 E,使得 AC⊥平面 BOE (2)以 F 为原点建系,FA 为 x 轴,FB 为 y 轴,FP 为 z 轴,FP 为单位长度,则
P(0, 0,1) B(0,1, 0) D(0, ?1/ 2,1/ 2) O( 3 / 3,0,0)

??? ? ??? ? 因此 BO ? ( 3 / 3, ?1,0) BD ? (0, ?3/ 2,1/ 2)
设平面 OBD 的法向量为 n( x, y, z )

? 3 ??? ? x? y ? ? n ? BO ? 0 ? ? 3 得 n ? ( 3,1,3) ? ? ? ??? ? 3 z n ? BD ? 0 ? ? y? ? ? ?2 2
平面 PBD 的法向量不妨设为 m(1, 0, 0)

cos ? n, m ??

n?m 3 39 ? ? | n |?| m| 13 3 ?1? 9

已知所求二面角为钝角,因此二面角的余弦值为 ? 39 /13 20.已知抛物线 C : y ? ax2 (a ? 0) 的焦点为 F, 直线 x=2 与 x 轴相交于点 M, 与曲线 C 相交于 N,

6

4 FN 5 (1)求抛物线 C 的方程 (2)过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 AB 两点,AB 的垂直平分线 m 与 C 相交 CD 两点,使 AC⊥ AD,求直线 l 的方程 1 5 1 1 解析: F (0, ) FN ? MN ? MN ? 即 MN ? 4a 4 4a a 1 M (2,0) N (2, 4a) 因此 4 a ? 即 x2 ? 2 y a

且 MN ?

(2) 如图所示,焦点 F (0,1/ 2) ,焦点弦 AB 的方程为
y ? kx ? 1/ 2 与 x2 ? 2 y 联立得 x 2 ? 2kx ? 1 ? 0

设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? 2k , x1x2 ? ?1 中点 H (k , k 2 ? 1/ 2) AB ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 4) ? 2(1 ? k 2 ) AH ? 1 ? k 2 同理,弦 CD 的方程为

y ? ?( x ? k ) / k ? k 2 ? 1/ 2 ? ? x / k ? k 2 ? 3/ 2 与 x2 ? 2 y 联立得 x2 ? 2 x / k ? 2k 2 ? 3 ? 0
设 C( x3 , y3 ) D( x4 , y4 ) 则 x3 ? x4 ? ?2 / k , x3 x4 ? ?2k 2 ? 3
1 1 3 1 4 1 中点 Q(? , 2 ? k 2 ? ) CD ? (1 ? 2 )[ 2 ? 4(2k 2 ? 3)] ? 2(1 ? 2 ) 2k 2 ? 1 k k 2 k k k
RT ?ACD 的斜边中线 AQ ?

CD 1 ? (1 ? 2 ) 2k 2 ? 1 2 k

两弦垂直平分,因此 AQ2 ? AH 2 ? HQ2 即
1 2 1 1 ) (2k 2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) 2 ? ( k ? ) 2 ? ( 2 ? 1) 2 2 k k k 1 解得: k 2 ? 1 ,因此焦点弦直线方程为 y ? ? x 2 (1 ?

21.已知函数 f ( x) ?

x3 ? | x ? m |, m ? R 3

(1)求 f(x)在[0,1]上的最值; (2)是否存在 m,当 x ? [0,1] 时, [ f ( x) + 2m]2 ? 1 恒成立,若存在求出 m 的范围;若不存在,说 明理由. 解析:先去绝对值写成分段函数
? x3 / 3 ? x ? m f ( x) ? ? 3 ?x / 3 ? x ? m x ? ?m x ? ?m

,根据-m 与区间端点相对位置分类讨论

7

当-m<0 时, x ? m ? 0, x ?[0,1] , f ( x) ? x3 / 3 ? x ? m 显然单调递增 Min=f(0)=m,Max=f(1)=4/3+m 当-m>1 时, x ? m ? 0, x ?[0,1] , f ( x) ? x3 / 3 ? x ? m , f '( x) ? x2 ?1 ? 0, x ?[0,1] Min=f(1)=-2/3-m,Max=f(0)=-m
? x 2 ? 1 0 ? x ? ?m ? x 3 / 3 ? x ? m 0 ? x ? ?m f '( x ) ? 当 0≤-m≤1 时, f ( x) ? ? 3 , ? 2 ? x ? 1 ?m ? x ? 1 ? x / 3 ? x ? m ?m ? x ? 1

即 f(x)在[0,-m]上递减,在(-m,1]上递增,因此

Min ? f (?m) ? ?m3 / 3 , Max ? max{f(0),f(1)}, f (0) ? ?m, f (1) ? 4 / 3 ? m
f (1) ? f (0) ? m ? ?2 / 3 ,即-1≤m<-2/3 时最大值为-m f (1) ? f (0) ? m ? ?2 / 3 ,即-2/3≤m≤0 时最大值为 4/3+m

综上所述,当 m>0 时最小值为 m,最大值为 4/3+m 当 m<-1 时最小值为-2/3-m,最大值为-m 当-1≤m≤0 时最小值为 ?m3 / 3 且-1≤m<-2/3 时最大值为-m,-2/3≤m≤0 时最大值为 4/3+m (2)令 h( x) ? f ( x) ? 2m ,则 ?1 ? h( x) ? 1 ,即 h(x)有最小值-1,最大值+1 由(1)知 m>0,m+2m=-1 不符合条件 由(1)知 m<-1,-2/3-m+2m=-1 不符合条件 由(1)知-1≤m<-2/3,最大值-m+2m=1 即 m=1 不符合条件 由(1)知-2/3≤m≤0,最大值 4/3+m+2m=1 即 m=-1/9 符合条件 因此若使 ?m3 / 3 ? 2m ? ?1,则-2/3≤m≤-1/9 四、选作题 22.已知 AB,DE 为圆 O 的直径,CD⊥AB 于 N,N 为 OB 的中点,EB 与 CD 相交于 M,切线 EF 与 DC 的延长线交于 F (1)求证:EF=FM (2)若圆 O 的半径为 1,求 EF 的长 解析:切线 EF⊥DE ∠FED+∠FEB=90° ∠FME=∠BMN=90°-∠EBA=90°-∠BED=∠FEM 因此等腰 ?FEM 中 EF=FM (2)连接 EC,直径所对圆周角为 90°,EC⊥DF RT ?ECD 中 ON 为中位线,EC=1,∠D=30°
RT ?EFD 中 EF ? 2 tan 30? ?

2 3 3

8

? x ? 3 cos ? ? 23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ? ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,直线 l: ? ? y ? sin ?
4 2sin ? ? cos ? (1)求曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程 (2)若 P、Q 分别为曲线 C 与直线 l 的两动点,求 PQ 的最小值以及此时点 P 的坐标

??

解析:C:

x2 ? y 2 ? 1,L: 2? sin ? ? ? cos ? ? 4 即 2 y ? x ? 4 3

(2)设 P( 3 cos ? ,sin ? ) ,最小值为点 P 到直线 l 距离

d?

3 | 3 cos ? ? 2sin ? ? 4 | 4 ? 7 sin(? ? ? ) 其中 tan ? ? ? 2 5 5

当? ? ? ?

?
2

时,PQ 取最小值
x ( x ? 0) x?2

3 2 4? 7 , ) , P( 7 7 5

24.已知 f ( x) ?

(1)比较 f(3)与 f ( 10) 的大小; (2)求证:
| x| | y| | x? y| ? ? | x | ?2 | y | ?2 | x ? y | ?2
x?2?2 2 ? 1? x?2 x?2

解析: f ( x) ?

因此 f(x)在 [0, ??) ? ,故 f (3) ? f ( 10) (2)
| x| | y| |x|?| y| ? ? ? | x | ?2 | y | ?2 | x | ? | y | ?2 1 2 ?1 | x|?| y| ? 1 2 ?1 | x? y| ? | x? y| | x ? y | ?2

9


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