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2012届高考数学第二轮同步复习题1-几何证明选讲


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2012 年高考数学二轮复习同步练习: 专题 10 第1讲
一、填空题 1.(2011· 广东理,15)如右图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线 和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC =∠APB,则 AB=________.



选考内容

几何证明选讲

[答案]

35

[解析] 由圆的切线性质可知∠PAB=∠ACB, 又∠APB=∠BAC,所以△PAB∽△ACB, AB PB AB 7 所以BC=AB,而 BC=5,PB=7,∴ 5 =AB, ∴AB2=35,AB= 35. 2.(2011· 湖南理,11)如右图,A,E 是半圆周上的两个三等分点, 直径 BC=4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的 长为________.

[答案]

2 3 3

[解析] 如图,连结 AE,OA,OE,∠AOB=60° ,OA=2,∴AD
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= 3. 又∵△AFE∽△DFB,

AF AE ∴FD=BD,AE=2,BD=1, ∴ AF 2 3 =2,∴AF= 3 . 3-AF

3.(2011· 陕西理,15)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° , 且 AB=6,AC=4,AD=12,则 BE=________.

[答案] 4 2 [解析] ∠B=∠D,∠DCA=∠BEA=90° . AB AE ∴△DAC∽△BAE,∴AD=AC. ∴AE=2,∴BE= AB2-AE2=4 2. 4.(2010· 北京理,12)如图,⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A, BD⊥AE, 若 AB=4, BC=2, AD=3, DE=______; 则 CE=________.

[答案] 5 2 7 [解析] 首先由割线定理不难知道 AB· AC=AD· AE, 于是 AE=8,DE=5,又 BD⊥AE,故 BE 为直径,
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因此∠C=90° ,由勾股定理可知 CE2=AE2-AC2=28, 故 CE=2 7. 5.如图:PA 与圆 O 相切于点 A,PCB 为圆 O 的割线,并且不 过圆心 O,已知∠BPA=30° ,PA=2 3,PC=1,则圆 O 的半径等于 ________.

[答案] 7 [解析] 由已知可得,PA2=PC· PB,从而可得 PB=12,连结 OA 并反向延长,交圆于点 E,交 BC 于 D,且∠BPA=30° ,在直角三角 形 APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3,DB=8,记圆的半 径为 R,由于 ED· DA=CD· DB,因此,(2R-2)×2=3×8,解得 R= 7. 6.(2011· 广东东莞)如下图,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的 切线交 AB 的延长线于点 D, CD=2 7, AB=3.则 BD 的长为________.

[答案] 4 [解析] 由切割线定理得: DA=DC2, DB· DB· 即 (DB+BA)=DC2, ∴DB2+3DB-28=0,∴DB=4. 7. 如图, 是半圆 O 的直径, AB ∠BAC=30° BC 为半圆的切线, , 且 BC=4 3,则点 O 到 AC 的距离 OD=________.
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[答案] 3 [解析] 由已知得∠CBA=90° ,因为 BC=4 3,∠BAC=30,所 BC 4 3 以 AB=tan30° = =12,故 AO=6,由于∠ODA=90° ,所以 OD= 3 3 3. 8.如图,已知在△ABC 中,CD⊥AB 于 D,BC2=BD· AB,则∠ ACB=________.

[答案] 90° [解析] 在△ABC 与△CBD 中, BC AB 由 BC2=BD· AB,得BD=BC,且∠B=∠B, 所以△ABC∽△CBD.则∠ACB=∠CDB=90° . 二、解答题 9.(2011· 江苏,21)如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别 为 r1 与 r2(r1>r2). O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上). 圆 求证: AB?AC 为定值.

[证明] 连结 AO1,并延长分别交两圆于点 E 和点 D,连结 BD, SE.
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因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上.故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径. π 从而∠ABD=∠ACE=2. 所以 BD∥CE, AB AD 2r1 r1 于是AC= AE =2r =r .
2 2

所以 AB?AC 为定值. 10.(2011· 新课标理,22)如图,D、E 分别为△ABC 的边 AB、 AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合,已知 AE 的长为 m,AC 的长 为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C、B、D、E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径. [解析] (1)证明:如图,

AD 连接 DE,在△ADE 和△ACB 中,AD· AB=mn=AE· AC,即AC= AE AB.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE=∠ACB.所以 C,B,D,E 四点共圆. (2)解:m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2, x2=12.故 AD=2,AB=12. 如图,取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB
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的垂直,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆, 所以 C, D, 四点所在圆的圆心为 H, B, E 半径为 DH.由于∠A=90° , 故 GH∥AB,HF∥AC. 1 从而 HF=AG=5,DF=2(12-2)=5. 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2.

11.(2011· 辽宁理,22)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆. [解析] (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB.

(2)由(1)知,AE=BE.因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠ FED=∠GEC.
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连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180° . 故 A,B,G,F 四点共圆. 12.如图,AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线,O 为 EF 的中点.

求证:OB?OC=AB2?AC2. [分析] OB?OC 等于△ABO 与△ACO 的面积之比(高相等),自 然想到证明△ABO∽△CAO. [证明] ∵AE,AF 为△ABC 的内、外角平分线,∴AE⊥AF, 又∵O 为 EF 的中点,∴∠OEA=∠OAE. ∵∠OAE=∠CAE+∠OAC,∠OEA=∠B+∠BAE, 而∠BAE=∠CAE,∴∠OAC=∠B. ∵∠AOB 为公共角,∴△OAC∽△OBA. ∴S△OBA?S△OAC=AB2?AC2. 又∵△OAB 与△OCA 有一个公共边 OA. ∴S△OBA?S△OAC=OB?OC,∴OB?OC=AB2?AC2. [评析] 利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似,然后由 面积比等于相似比的平方这一性质来解题. 所以并非见到内外角平分 线,就用角平分线定理.

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