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重庆市石柱中学学高二数学下学期第二次月考试题理-课件


石柱中学校高 2017 级高二下第二次月考 数学试卷(理科)
2016 年 5 月 25 日 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若复数 z 满足

z ? i 其中 i 为虚数单位,则 z=( 1? i

)

A. 1+i B. 1-i C.-1-i D.-1+i 2. 用反证法

证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 B.假设没有一个钝角 C.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

)

3. 已知一个线性回归方程为 A.57.5 B.58

? y

=45+1.5

? (x ∈{1,7,5,13,19}),则 y = x
i

(

)

C.58.5 )

D.58.6

4.函数 y ? sin(2 x2 ? x) 导数是( A. cos(2 x2 ? x)

B. 2x sin(2 x2 ? x) C. 4cos(2 x2 ? x)

D. (4 x ? 1) cos(2 x2 ? x)

5. 平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3 a ,类比上述 2
)

命题的计算方法,可以求得棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A.

4 a 3

B.

6 a 3

C.

5 a 4

D.

6 a 4

6. 四名大学生分配到 A,B,C 三个不同的区域服务,每个区域至少分配一人。若甲要求不 到区域 A,则不同的分配方案共有( )种 A. 20 B.24
8

C.30

D.36 )

?x 1 ? 7.在 ? ? ? 展开式中的常数项是( ?2 3 x?
A. 7 B. ? 7 C. 28 D. ? 28

/ 8. 如图是导函数 y ? f ( x) 的图象,那么函数 y ? f ( x )

在下面哪个区间是减函数( A. ( x5 , x6 )

)
第8题图

B. ( x4 , x6 )

C. ( x2 , x4 )

D. ( x1 , x3 ) )
1

9. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(X<2c+1)=P(X>c+5),则 c =(

A. 4 10.设 S (n) ?

B. 0

C. ? 1

4 D 3 ?
)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? ( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n
B.

1 1 1 ? D. 2 3 2 a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则 11.设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 2 2
A.

1 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 5

1 1 1 ? ? 2 3 4

C.

下列关系式中正确的是( A. p ? r ? q 12.已知函数 f ( x) ?

) B. p ? r ? q C. q ? r ? p D. q ? r ? p

x 4 ? kx2 ? 1 (k ? R) ,若对任意三个实数 a、b、c ,均存在一个以 x4 ? x2 ?1
)

f (a)、f (b)、f (c) 为三边之长的三角形,则 k 的取值范围是(
A.

?

1 ?k?4 2

B.

? 2 ? k ?1

C.

?

1 ? k ?1 2

D.

?2? k ? 4

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 以图中的 8 个点为顶点的三角形的个数是_______.

14. 如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(2,4),函数 f(x)=x .若在 矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于_______.

2

错误!未找到引用源。 15.已知随机变量 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,若

E ? X ? ? 30, D ? X ? ? 20. 则 p =_______.
16. 已知 ?1 ? x ??1 ? 2x ? ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ?x ? 1? ? ?? a7 ?x ? 1? ,则 a3 ?
6 2 7

.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 并写在答题卷相应位置) 17.(本小题 10 分) 如图,在正方体 ABCD-EFGH 中,设 BC 的中点为 M,GH 的中点为

2

N.
(1)证明:直线 MN∥平面 BDH; (2)求二面角 A-EG-M 的余弦值. 18. (本小题 12 分) 已知数列 ?a n ?是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2 ? a3 ? 8 (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 ?Sn ? 为数列 ?a n ?的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . S n ? S n ?1

19.(本小题 12 分) 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是 相互独立的,并且概率都是 . (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的期望和方差。

1 3

20.(本小题 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方 图: 非体育迷 男 女 合计 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”.
3

体育迷 10

合计 55

(1) 根据已知条件完成上面的 2×2 列联表 (2) 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 附: 独立性检验卡方统计量 K 2 ? 容量。独立性检验临界值表为:

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

21.(本小题 12 分)
3 2 已知函数 f(x)=ax +x (a∈R) 在 x= ?

4 处取得极值. 3

(1)确定 a 的值; x (2)若 g(x)=f(x)e ,讨论 g(x)的单调性

22.(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)记两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 .已知 ? ? 0 ,若不等式

a 2 x ? x ? a ( a ? R )在其定义域内有两个不同的极值点. 2

4

e1?? ? x1 ? x2? 恒成立,求 ? 的范围

5

石柱中学校高 2017 级高二下第二次月考 数学试卷(理科答案) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) BCCDB BACBB BA 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 42 14. 5/12 15.1/3 16.380 17.(本小题 10 分) (1)证明:连接 BD,设 O 为 BD 的中点. 因为 M,N 分别是 BC,GH 的中点, 所以 OM∥CD,且 OM=错误!未找到引用源。1/2CD, HN ∥CD,且 HN=错误!未找到引用源。/2CD. 所以 OM∥HN,OM=HN. 所以 MNHO 是平行四边形,从而 MN∥OH. 又 MN ? 平面 BDH,OH ? 平面 BDH, 所以 MN∥平面 BDH. (2)解法一: 连接 AC,过 M 作 MP⊥AC 于 P. 在正方体 ABCD-EFGH 中,AC∥EG, 所以 MP⊥EG. 过 P 作 PK⊥EG 于 K,连接 KM, 所以 EG⊥平面 PKM, 从而 KM⊥EG. 所以∠PKM 是二面角 A-EG-M 的平面角. 设 AD=2,则 CM=1,PK=2. 在 Rt△CMP 中,PM=CMsin 45°=

3 2 在 Rt△PKM 中,KM= PK ? PM ? 错误!未找到引用 2
2 2

2 2

源。.

所以

cos ∠PKM=

PK 2 2 ? . KM 3
2 2 . 3

即二面角 A-EG-M 的余弦值为

解法二: 如图,以 D 为坐标原点,分别以错误! 未找到引用源。 方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Dxyz. 设 AD=2,则 M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0), 所以, GE =(2,-2,0), MG =(-1,0,2). 设平面 EGM 的一个法向量为 n1=(x,y,z),
?n1 ? GE ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0 由? 得? ? ?? x ? 2 z ? 0 ? ?n1 ? MG ? 0

取 x=2,得 n1=(2,2,1). 在正方体 ABCD-EFGH 中 ,

DO ⊥平面 AEGC,

则可取平面 AEG 的一个法向量为

6

n2= DO =(1,1,0), 所以 cos <n1,n2>=错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。, 故二面角 A-EG-M 的余弦值为 18.(本小题 12 分)

2 2 . 3

?a1 ? 1 ?a1 ? 8 ? ? a .a ? a2 .a3 ? 8 ,又 a1 ? a4 ? 9 ,可解得 ?a4 ? 8 或 ?a4 ? 1 (舍 解: (1)由题设知 1 4
去) 。由

a4 ? a1q3 得公比 q =2,故 an ? a1q n ?1 =2 n ?1 。

a s ?s 1 1 a1 (1 ? q n ) bn ? n?1 ? n?1 n ? ? Sn ? ? 2n ? 1 sn sn?1 sn sn?1 sn sn ?1 ,所以 1? q (2) ,又 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )?( ? ) ? 1 ? n?1 S1 S2 S2 S3 Sn Sn?1 S1 Sn?1 2 ?1

19.(本小题 12 分) 解: (1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1 1 1 4 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 3 3 3 27

(2) 易知 ? ~ B (6, ).

1 3

∴ E? ? 6 ?

1 ? 2. 3

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? . 3 3 3

20.(本小题 12 分) 解 (1)由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为 1 00×(10×0.020+10×0.005 )=25. “非体育迷”人数为 75,则据题意完成 2×2 列联表: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

(1)将 2×2 列联表的数据代入公式计算: 2 100?30×10-45×15? 2 χ = ≈3.030>2.706. 75×25×45×55 所以可以在出错的概率不超过 10%的前提下认为“体育迷”与性别有关. 21.(本小题 12 分) 2 解:(1)对 f(x)求导得 f'(x)=3ax +2x, ( - 4/3) 错误!未找到引用源。=0,

因为 f(x)在 x= - 4/3 处取得极值,

所以 f '

7

即 3a·

16 1 ? 4 ? 16 a 8 ? =0,解得 a= . 错误!未找到引用源。+2· ? ? ? ? 9 3 3 2 ? 3?
x

(2)由(1)得 g(x)=错误!未找到引用源。e , 故 g'(x)= ?

?3 2 ? ?1 3 5 2 ? x ?1 3 2? x 未找到引用源。 e + ? x ? x ? e = ? x ? x ? 2x ? 错 x ? 2 x ? 错误! 2 ?2 ? ?2 ? ?2 ?
x x

误!未找到引用源。e =错误!未找到引用源。x(x+1)(x+4)e . 令 g'(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4. 当 x<-4 时,g'(x)<0,故 g(x)为减函数; 当-4<x<-1 时,g'(x)>0,故 g(x)为增函数; 当-1<x<0 时,g'(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g'(x)>0,故 g(x)为增函数. 综上知 g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数 22.(本小题 12 分) 解: (1)

8

9


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