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椭圆的简单几何性质(一)(教案)


椭圆的简单几何性质
教学目标 1. 了解并掌握椭圆的范围. 2 掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3. 掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a、b、c 的几何意义,明确标准方程所表示的 椭圆的截距. 4. 掌握离心率的定义及其几何意义. 教学重点:椭圆的简单几何性质. 教学难点:椭圆的简单几何性质的应用. 教学过程 Ⅰ.课题导入:之前我

们学习了椭圆的标准方程,如果我们已知椭圆的标准方程,如何去画好 其图形呢?在解析几何里,我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质:一是由曲线的图像 去“看”曲线的几何特征(以形辅数) ,同时又由曲线的方程来“证”明它(以数助形) 。我们 今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质, (板书课题) Ⅱ.讲授新课 一、几何性质 [师]我们不妨对焦点在 x 轴的椭圆的标准方程. (板书) 1.范围: [师]所谓范围,就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内,也就是说椭圆上所有的 点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。 那么,你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗? [师]请看,如果我们过椭圆与 x 轴的两个交点作两条平行于 y 轴的直线,再过椭圆与 y 轴 的两个交点作两条平行于 x 的直线(出示幻灯片) 。此时,你能说出椭圆的范围吗? [生]在一个矩形中 [师]这两组平行线所在的直线方程是多少?能从椭圆的标准方程中找出它来吗? [生]方程中两个非负数的和等于 1,所以,椭圆上点的坐标(x,y)适合不等式:
x2 x2 ≤ 1, ≤1 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)进行讨论. a2 b2

即:x2≤a2,y2≤b2 ∴|x|≤a,|y|≤b 这说明椭圆位于直线 x=±a,y=±b 所围成的矩形里.
1

结论(板书)椭圆的范围是-a≤x≤a;

-b≤y≤b

[师]很好!请大家思考:对函数性质的研究常常是根据函数的解析来讨论的,那么我们能 否从函数的思想出发,对椭圆的范围进行分析呢? [生](师点拨、提示)椭圆的标准方程可化为两个函数 y=
b 2 b 2 a ? x 2 、y=a ? x2 , a a

对它们的定义域、值域分别进行讨论可得-a≤x≤a,-b≤y≤b,即椭圆位于直线 x=±a,y=±b 所 围成的矩形里. [师]将由函数的解析式研究函数的性质与由椭圆的方程研究椭圆的性质结合起来学习,有 助于我们理解知识与知识之间的本质联系,对我们的进一步学习是大有益处的. 2.对称性: [师]你能从椭圆的图形上看出椭圆的对称性吗? [生]关于 x 轴、 y 轴成轴对称;关于原点成中心对称。 [师]我们怎样由椭圆的标准方程来研究椭圆的对称性? 想一想,我们前面在函数中是怎样研究函数图像的对称性的? [师]在函数里,我们讨论过对称性,如果以如果以-x 代 x 方程不变,那么曲线关于 y 轴 对称,同理,以-y 代 y 方程不变,那么曲线关于 x 轴对称,如果同时以-x 代 x,以-y 代 y 方程 不变,那么曲线关于原点对称. [师]我们来看椭圆的标准方程,以-x 代 x,或以-y 代 y 或同时以-x 代 x,-y 代 y,方程怎 样改变? [生]没有改变. [师]所以椭圆关于 x 轴、y 轴及原点都是对称的,这时坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭 圆的对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 结论(板书)坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的 中心. 3.顶点: [师]什么叫做椭圆的顶点?———椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.(板书) [师]由刚才我们所学的第二条性质,标准方程下的椭圆的对称轴是哪个? [生]坐标轴 [师]那么标准方程下的椭圆的顶点就在坐标轴上。你能从椭圆的图形上看出椭圆有几个 顶点?他们分别在什么地方? [师]椭圆有四个顶点,其中,在 x 轴有两个顶点,我们把它命名为 A1、A2 ,在 y 轴有两
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个顶点,我们把它命名为 B1、B2 [师]想一想,怎样由椭圆的标准方程求得椭圆的顶点坐标? [生]在椭圆的标准方程里,令 y=0,得 x ? ? a 可得 A1(-a,0) 、A2(a,0)是椭圆在 x 轴上 的两个顶点, ,同理. 令 x=0 得 y=±b,所以得到:B1(0,-b) 、B2(0,b)是椭圆在 y 轴的两个 顶点 结论(板书)椭圆的四个顶点分别是 A1(a,0)A2(-a,0)、B1(0,b) 、B2(0,-b) 。 [师]线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是 2a 和 2b ,其中 a 和 b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.(板书) [师] 通过以上性质, 我们就知道了在椭圆的标准方程节课里我们接触到的三个基本量: a、 b、c 的几何意义是 a、b、c 分别是长半轴长、短半轴长、半焦距 [师]请观察图形,如果我们吧短轴的一个端点与一个焦点连接起来,则短轴端点、中心、 焦点构成一直角Δ ,显然,这个直角Δ 的两直角边的长分别是 b 和 c,那么,它的斜边是多长 呢? 由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即 |B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a 所以斜边长是 a, 在 Rt△OB2F2 中 |B2F2|2-|OF2|2=|OB2|2 即 a2-c2= b2 这就是在上节中令 a2-c2=b2 的几何意义. 我们把 Rt△OB2F2 叫做椭圆的特征三角形,请大家注意这个特征三角形,我们在后续内容中 还将研究它。 [师]现在,我们来举一个例子来说明椭圆的范围、顶点、对称性的作用。 根据前面所学有关知识画出下列图形 (1)
x2 y2 ? ?1 25 16

(2)

x2 y2 ? ?1 25 4

(在学生思考后教师评讲) 第一步,作出坐标轴,第二步找出顶点坐标,第三步,画出范围,第四步作出一象限的图 像(必要时还可以取 x 等于 1、2、3、4,求出 y 的值来描点)最后根据对称性画出其他几个象 限的图像,
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用同样方法可作出(2)的图像。 [师]从以上两个椭圆的形状看,同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些,有些椭圆“扁”些? 是什么因素影响了椭圆的扁圆程度?我一起来研究椭圆是性质 4――离心率。 4.离心率 [师]椭圆的离心率是怎样定义的? [生]椭圆的焦距与长轴长的比
2c c ? =e,叫做椭圆的离心率.(板书) 2a a

[师]椭圆离心率 e 的范围是怎样的? [生]因为 a>c>0,所以 0<e<1 结论(板书)离心率 e ?
c , (0<e<1) a

[师]e 既然在(0,1)变化,e 的变化又对椭圆有什么影响呢? [师]我们不妨用两个例子来看一看。 对于 (1)
x2 y2 ? ? 1, 椭圆的长半轴、 短半轴、 半焦距 a、 b、 c 分别等于多少?离心率呢? 25 16

[生]a=5, b=4,

∴c=3;离心率 e ?

c 3 ? a 5

[师] (2)

x2 y2 ? ? 1 呢? 25 4

[生]a=5, b=2, ∴c= 21 ;离心率 e2 ? [师]两个的离心率那股大? [生]第二个大于第一个

c 21 ? a 5

[师]从椭圆的图形上看,哪个椭圆更扁些?哪个椭圆更圆些? [生]第二个扁些,第一个圆些。 [师]你能得出什么结论来? [生]离心率越大椭圆就越扁,离心率越小,椭圆越圆。 [师]我们可以再用一个动画展示一下椭圆的扁圆程度受离心率影响的情况。 [师] (4)e 与 a,b 的关系: e ?

c a2 ? b2 b2 ? ? 1? 2 a a a

[师]到此为止,我们已学习了椭圆的范围、对称性、顶点及离心率,我们把这些性质总 结一下
4

师生共同完成下表 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点坐标 离心率

-a≤x≤a,-b ≤y≤b

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

关于 x 轴、y 轴、原点对称 (±a,0)(0,±b)
e?

(±b,0),(0,±a)

c (0 ? e ? 1) a

[师] (指出)以上我们是对焦点在 x 轴上的标准椭圆的性质的总结,那么,焦点在 y 轴 上的椭圆呢? 请同学们自己完成表的右半部分 [师]下面我们来看看椭圆的这些几何性质的应用。 二、应用(板书) [师]下面同学们自己来看例 1 求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长轴长,短轴长,离心率,焦点和顶点的坐标。 分析:解决这类问题的一般步骤是:①化为标准方程,②求出 a、b、c、知,③判断焦点位置, ④回答所提问题。 解:把已知方程化成标准方程
x2 y2 ? ? 1 于是 a ? 5, b ? 4, c ? 3 52 4 2
c 3 ? , 两个焦点坐标分别是 a 5

因 此 , 椭 圆 的 长 轴 和 短 轴 的 长 分 别 是 2a ? 10,2b ? 8, 离心率

F1 ?? 3,0?和F2 ?3,0? ,四个顶点坐标分别是 A1 ?- 5,0?, A 2 ?5,0?, B1 ?0,-4?和B2 ?0,4?
想一想,为什么要判断焦点位置?哪些问题与焦点位置有关?哪些问题与焦点位置无关? 例 2 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭
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圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发 出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm ,

F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.
分析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应 a 2 b2

注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确 度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 例 3 如图, 设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l :x ? 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ? 离d ? x ?
25 4 的距离的比是常数 , 求点 M 4 5 25 的距 4

? x ? 4?

2

? y2 ,到直线 l : x ?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4
a2 的距离 c

引申: 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x ? 比是常数 e ?
x?

c ? a ? c ? 0? ,则点 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ?c,0? 是焦点,定直线 l : a

a2 a2 相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? . c c

三.课时小结 本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质,即范围、对称性、顶点、离心率,熟悉这些 性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键. 四、课后作业 习题 A 2 3

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