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高中数学经典错因正解汇总:第一章集合与常用逻辑用语


第一章
§1.1

集合与常用逻辑用语
集合的概念与运算

一、知识导学
1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元. 3.子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 a ? A 则 a ? B ),则称 集合 A

为集合 B 的子集,记为 A ? B 或 B ? A;如果 A ? B,并且 A ? B,这时集合 A 称为集合 B 的真子集,记为 A B 或 B A.

4.集合的相等:如果集合 A、B 同时满足 A ? B、B ? A,则 A=B. 5.补集:设 A ? S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记 为 Cs A . 6.全集:如果集合 S 包含所要研究的各个集合,这时 S 可以看做一个全集,全集通常 记作 U. 7.交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集, 记作 A ? B. 8.并集:一般地,由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并 集,记作 A ? B. 9.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作 ? . 10.有限集:含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集:含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn 图). 13.常用数集的记法:自然数集记作 N,正整数集记作 N+或 N ,整数集记作 Z,有理数 集记作 Q,实数集记作 R. 二、疑难知识 1.符号 ? , , ? , ,=,表示集合与集合之间的关系,其中“ ? ”包括“ ”和“=”
*

两种情况,同样“ ? ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ? ,? 表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时, 要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表 示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式 中,B= ? 易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的, 要注意满足条件的点构成的图形是什么, 用数 形结合法解之. 6.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出 来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有 n 个元素的集合的所有子集个数为: 2 ,所有真子集个数为: 2 -1 三、经典例题 2 [例 1] 已知集合 M={y|y =x +1,x∈R},N={y|y =x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1,或 y=2} D.{y|y≥1} 错解:求 M∩N 及解方程组 ?
n n

?y ? x2 ?1 ?y ? x ?1

得?

?x ? 0 ?x ? 1 或 ? ∴选 B ?y ? 1 ?y ? 2

错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素 是什么.事实上 M、N 的元素是数而不是实数对(x,y),因此 M、N 是数集而不是点集, 2 M、N 分别表示函数 y=x +1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求 M∩N 即求两函数值域的交集. 2 正解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D. 2 2 注: 集合是由元素构成的, 认识集合要从认识元素开始, 要注意区分{x|y=x +1}、y|y=x { 2 +1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的.

[例 2] 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C.

错解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 2. 当 x=1 时,a=2, 当 x=2 时,a=1. 错因:上述解答只注意了 B 为非空集合,实际上,B= 时,仍满足 A∪B=A. 当 a=0 时,B= ,符合题设,应补上,故正确答案为 C={0,1,2}. 正解:∵A∪B=A ∴B ∴B= 或 ?? ?2? 1或 A 又 A={x|x2-3x+2=0}={1,2}

∴C={0,1,2}

[例 3]已知 m ? A,n ? B, 且集合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ?,B= ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ?,又 C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?,则有: ( )

A.m+n ? A B. m+n ? B C.m+n ? C D. m+n 不属于 A,B,C 中任意一个 错解:∵m ? A,∴m=2a,a ? Z ,同理 n=2a+1,a ? Z, ∴m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围. 正解:∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1 ? Z, 又∵n ? B ,∴n=2a2+1,a2 ? Z ,

∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n ? B, 故选 B.

[例 4] 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 B 数 p 的取值范围. 错解:由 x2-3x-10≤0 得-2≤x≤5.

A,求实

欲使 B

A,只须 ?

?? 2 ? p ? 1 ? ?3 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5

∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. 错因:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即 B= 时,符合题设. 正解:①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 p≥2. 由 B A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5. 由-3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时,即 p+1>2p-1 p<2. 由①、②得:p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B= 、A∪B= ,A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 2 [例 5] 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac }.若 A=B,求 c 的值. 分析:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. 2 2 (1)若 a+b=ac 且 a+2b=ac ,消去 b 得:a+ac -2ac=0, a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故 a≠0. 2 ∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相同,此时无解. 2 2 (2)若 a+b=ac 且 a+2b=ac,消去 b 得:2ac -ac-a=0, 2 ∵a≠0,∴2c -c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=-

1 . 2 1 ? A, a ? 1 且 1?A. 1? a

点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. [例 6] 设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

⑴若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合?请说明理由. ⑶若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

⑷求证:集合 A 中至少含有三个不同的元素.

1 ∈A ? 2∈A 2 1 ∴ A 中至少还有两个元素:-1 和 2 1 ⑵如果 A 为单元素集合,则 a= 1? a
解:⑴2∈A ? -1∈A ? 即 a ? a ? 1 =0
2

该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素集 ⑶a∈A ?

1 ∈A ? 1? a

1 1? 1 1? a

∈A?

1? a ? 1 A,即 1- ∈A a 1? a ?1

1 1 1 1 ∈A, 1- ∈A .现在证明 a,1- , 三数互不相等. a a 1? a 1? a 1 1 ①若 a= ,即 a2-a+1=0 ,方程无解,∴a≠ 1? a 1? a 1 1 2 ②若 a=1- ,即 a -a+1=0,方程无解∴a≠1- a a 1 1 1 1 ③若 1- = ,即 a2-a+1=0,方程无解∴1- ≠ . a 1? a a 1? a
⑷由⑶知 a∈A 时, 综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素. 点评:⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨. [例 7] 设集合 A={ a | a = n ? 1 , n ∈N },集合 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N },试证:
2
+

2

+

A B. 证明:任设 a ∈A, 则 a = n ? 1 =( n +2) -4( n +2)+5 ( n ∈N ),
2
2 +

∵ n∈N*,∴ n+2∈N* ∴ a∈B 故 ① 显然,1 ? A ? a | a ? n 2 ? 1, n ? N * ,而由 B={ b | b = k ? 4k ? 5 , k ∈N }={ b | b = (k ? 2) 2 ? 1 , k ∈N }知 1∈B,于是 A≠B
2
+ +

?

?

② 由①、② 得 A B. 点评:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系. (2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义. 四、典型习题 1.集合 A={x|x -3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x -x-6>0, x∈ Z},则 A∩B 的非空真子 集的个数为( A.16
2 2 2

) B.14 C.15 D.32 ) D.{ 5 ,- 5 }

2.数集{1,2,x -3}中的 x 不能取的数值的集合是( A.{2,-2 } B.{-2,- 5 }

C.{±2,± 5 }

3. 若 P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则 P∩Q 等于( ) A.P B.Q C. D.不知道

4. 若 P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有( ) A.P∩Q= B.P Q C.P=Q D.P Q

5.若集合 M={ x |

1 ? 1 },N={ x | x 2 ≤ x },则 M ? N= ( x A. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0} D. ?



6.已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩R+= ,则实数 m 的取值范围是 _________. 7.(06 高考全国 II 卷)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A,

B ? ?x |1 ? x ? 3?, A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。
8.已知集合 A= x | x 2 ? ax ? 12b ? 0 和 B= x | x 2 ? ax ? b ? 0 满足

?

?

?

?

C I A∩B= ?2?,A∩ C I B= ?4?,I=R,求实数 a,b 的值.
§1.2.常用逻辑用语 一、知识导学 1.逻辑联结词:“且”、“或”、 “非”分别用符号“ ? ”“ ? ”“ ? ”表示. 2.命题:能够判断真假的陈述句. 3.简单命题:不含逻辑联结词的命题 4.复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题,复合命题的基本形式:p 或 q;p 且 q; 非p 5.四种命题的构成:原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p;否命题:若 否命题:若 q 则 p. “若 q 则 p ” . 6.原命题与逆否命题同真同假,是等价命题,即“若 p 则 q” 即“若 p 则 q”为真 . 8.充分条件与必要条件 : ①p ②p q :p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件; q :p 是 q 的充要条件 . p 则 q ;逆

7.反证法:欲证“若 p 则 q”,从“非 q”出发,导出矛盾,从而知“若 p 则非 q”为假,

9.常用的全称量词: “对所有的”“ 对任意一个” 对一切” 对每一个” 、 “ “ “任给”等;并 用符号“ ? ” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题. 10.常用的存在量词: “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个” “有的”“对某 、 、 、 、 、 个” 并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题. ; 二、疑难知识 1.基本题型及其方法 (1)由给定的复合命题指出它的形式及其构成; (2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题,并能利用真值表判断复合命题的真假; (3)给定命题,能写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并能运用四种命题的相互关系,特别 是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意:否命题与命题的否定是不同的. (4)判断两个命题之间的充分、必要、充要关系;

方法:利用定义 (5)证明 p 的充要条件是 q ; 方法:分别证明充分性和必要性 (6)反证法证题的方法及步骤:反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立 而肯定命题的一种数学证明方法,是间接证法之一. 注:常见关键词的否定: 关键词 是 都是(全是) ? ( ? ) 至少有一个 至多有一个 任意 存在 否定 不是 不都是 (全是) ? ( ? ) 一个也没有 至少有两个 存在 任意 2.全称命题与特称命题的关系: 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ,它的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) ; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) , 它的否定 ? p : ?x ? M , ?p( x) ;即全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命 题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明. 三、经典例题 [例 1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p 则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题. 错解:原命题可改写成:若两个三角形全等,则它们一定相似. 逆命题:若两个三角形相似,则它们全等. 否命题:若两个三角形不一定全等,则它们不一定相似. 逆否命题:若两个三角形不一定相似,则它们不一定全等. 错因:对“一定”的否定把握不准,“一定”的否定 “一定不”,在逻辑知识中求否定相 当于求补集,而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的 例子作比较,注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了. 正解:否命题:若两个三角形不全等,则它们不相似. 逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不全等. [例 2] 将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出否命题.a>o 时,函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加. 错解:原命题改为:若 a>o 时,x 的值增加,则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 错因:如果从字面上分析最简单的方法是将 a>o 看作条件,将“随着”看作结论,而 x 的值 增加,y 的值也增加看作研究的对象,那么原命题改为若 a>o 时,则函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加,其否命题为若 a ? o 时,则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加.此题 错解在注意力集中在“增加”两个字上,将 x 值的增加当做条件,又不把 a>o 看作前提,就 变成两个条件的命题,但写否命题时又没按两个条件的规则写,所以就错了. 正解:原命题改为: a>o 时,若 x 的值增加,则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为: a>o 时,若 x 的值不增加,则函数 y=ax+b 的值也不增加. 原命题也可改为:当 x 的值增加时,若 a>o,,则函数 y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为: 当 x 增加时,若 a ? o,则函数 y=ax+b 的值不增加. [例 3] 已知 h>0,设命题甲为:两个实数 a、b 满足 a ? b ? 2h ,命题乙为:两个实数 a、b 满足 a ? 1 |? h 且 b ? 1 |? h ,那么

A.甲是乙的充分但不必要条件 C.甲是乙的充要条件

B.甲是乙的必要但不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件

错解: a ? b ? 2h ? (a ? 1) ? (b ? 1) ? 2h ? h ? h ? | a ? 1 |? h , | b ? 1 |? h 故本题应选 C. 错因:(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清,无从判断,凭猜测产生错误; (2)不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误. 正解:因为 ?

? a ?1 ? h ? , ?b ?1 ? h ?

所以 ?

?? h ? a ? 1 ? h , ?? h ? b ? 1 ? h

两式相减得 ? 2h ? a ? b ? 2h 故 a ? b ? 2h 即由命题甲成立推出命题乙成立,所以甲是乙的必要条件. 由于 ?

?a ? 2 ? h ? ?b ? 2 ? h ?

同理也可得 a ? b ? 2h 因此,命题甲成立不能确定命题乙一定成立,所以甲不是乙的充分条件,故应选 B. [例 4] 已知命题甲:a+b ? 4, 命题乙:a ? 1 且 b ? 3 ,则命题甲是命题乙的 的充分不必要条件. 错因 :对命题的否定不正确.a ? 1 且 b ? 3 的否定是 a=1 或 b=3. 正解:当 a+b ? 4 时,可选取 a=1,b=5,故此时 a ? 1 且 b ? 3 不成立(? a=1). 同样,a ? 1 ,且 b ? 3 时,可选取 a=2,b=2,a+b=4,故此时 a+b=4. 因此,甲是乙的既不充分也不必要条件. 注:a ? 1 且 b ? 3 为真时,必须 a ? 1 ,b ? 3 同时成立. [例 5] 已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立的 ( ) .

错解:由逆否命题与原命题同真同假知,若 a=1 且 b=3 则 a+b=4 成立,所以命题甲是命题乙

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析:本题考查简易逻辑知识. 因为 p ? r ? s ? q 但 r 成立不能推出 p 成立,所以 p ? q ,但 q 成立不能推出 p 成立,所 以选 A 解:选 A [例 6] 已知关于 x 的一元二次方程 (m∈Z) ① mx -4x+4=0
2

② x -4mx+4m -4m-5=0

2

2

求方程①和②都有整数解的充要条件.

解:方程①有实根的充要条件是 ? ? 16 ? 4 ? 4 ? m ? 0, 解得 m ? 1. 方程②有实根的充要条件是 ? ? 16m 2 ? 4(4m 2 ? 4m ? 5) ? 0 ,解得 m ? ?

5 . 4

??

5 ? m ? 1.而m ? Z , 故 m=-1 或 m=0 或 m=1. 4

当 m=-1 时,①方程无整数解.当 m=0 时,②无整数解; 当 m=1 时,①②都有整数.从而①②都有整数解 m=1.反之,m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是 m=1.
2 [ 例 7] 用 反 证 法 证 明 : 若 a 、 b 、 c ? R , 且 x ? a ? 2b ? 1 , y ? b 2 ? 2c ? 1 ,

z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0
证明: 假设 x 、 y 、 z 均小于 0,即:

王新敞
奎屯

新疆

x ? a 2 ? 2b ? 1 ? 0 ----① ;

y ? b 2 ? 2c ? 1 ? 0 ----② ;
z ? c 2 ? 2a ? 1 ? 0 ----③;
①+②+③得 x ? y ? z ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? 0 , 这与 (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? (c ? 1) 2 ? 0 矛盾, 则假设不成立,

∴ x 、 y 、 z 中至少有一个不小于 0
2

王新敞
奎屯

新疆

[例 8] 已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1 =0 无实根.若“p 或 q”为真, p 且 q”为假,求 m 的取值范围. “ 分析:“p 或 q”为真,则命题 p、q 至少有一个为真,“p 且 q”为假,则命题 p、q 至少 有一为假,因此,两命题 p、q 应一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命 题 q 为真.

2

?? ? m 2 ? 4 ? 0 2 解: 若方程 x +mx+1=0 有两不等的负根,则 ? 解得 m>2, ?m ? 0
即命题 p:m>2 2 若方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 2 2 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真, 又“p 且 q”为假,所以命题 p、q 至少有一为假, 因此,命题 p、q 应一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为真.

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
解得:m≥3 或 1<m≤2.

四、典型习题 1.方程 mx ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负根,则(
2

) D. m ? 1 )

A. 0 ? m ? 1 或 m ? 0

B. 0 ? m ? 1

C. m ? 1

2 2. x ? 3x ? 2 ? 0 ”是“ x ? 1 或 x ? 4 ”的( “

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.三个数 a, b, c 不全为 0 的充要条件是 ( A. a, b, c 都不是 0. B. a, b, c 中至多一个是 0. C. a, b, c 中只有一个是 0. D. a, b, c 中至少一个不是 0. 4. 由命题 p:6 是 12 的约数, :6 是 24 的约数,构成的 p 或 q” q “ 形式的命题是: _ “p 且 q”形式的命题是__ _, “非 p”形式的命题是__ 5.若 a, b ? R ,试从 A. ab ? 0
2 2



___, _.

B. a ? b ? 0

C. a ? b ? 0
2 2

D. ab ? 0

E. a ? b ? 0

F. a ? b ? 0 中,选出适合下列条件者,用代号填空: (1)使 a , b 都为 0 的充分条件是 ; (2)使 a , b 都不为 0 的充分条件是 (3)使 a , b 中至少有一个为 0 的充要条件是 (4)使 a , b 中至少有一个不为 0 的充要条件是 ; ; .

6.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假. (1)p: 梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等. (2)p: 1 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解;q:3 是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解.
2 2

(3)p: 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 解集为 R;q: 不等式 x ? 2 x ? 2 ? 1 解集为
2 2
2 2



7.命题:已知 a、b 为实数,若 x +ax+b≤0 有非空解集,则 a - 4b≥0.写出该命题的逆 命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. 8.用反证法证明:若 a、b、c、d 均为小于 1 的正数,且 x=4a(1-b),y=4b(1-c),z=4c(1 -d),t=4d(1-a),则 x、y、z、t 四个数中,至少有一个不大于 1.


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