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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第四章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件


第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

基础盘查一

平面向量的数量积

(一)循纲忆知

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义; 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而

不是向量 ( √ )

(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量
? π? (3)两个向量的夹角的范围是?0,2 ? ? ?

( √)

( ×)

2.(人教 A 版教材例题改编)已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角 θ

-10 =120° ,则 a· b=_____.

基础盘查二

平面向量数量积的性质及其坐标表示

(一)循纲忆知
1.掌握数量积的性质及坐标表达式,会进行平面向量数 量积的运算; 2.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)由 a· b=0,可得 a=0 或 b=0 ( × )

(2)两向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0

(× )

(3)若 a· b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a· b<0,则 a 和 b 的 夹角为钝角 ( × ) 2.(人教 A 版教材复习题改编)已知|a|= 3,|b|=2,a 与 b 的夹

1 角为 30° ,则|a-b|=___.
3.已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数

9 . x 等于___

基础盘查三

平面向量数量积的运算律

(一)循纲忆知

掌握向量数量积的运算律,并能进行相关计算.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)(a· b)· c=a· (b· c) (× )

(2)a· b=a· c(a≠0),则 b=c

(× )

2.(人教 A 版教材习题改编)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,

150° . 则向量 a=2e1+e2 与 b=2e2-3e1 的夹角为______

考点一

平面向量的数量积的运算 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积), 记作 a· b.即 a· b=|a||b|cos θ, 规定 0· a =0.

2.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a.
(2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb).

(3)(a+b)· c=a· c+b· c.
3.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.

[提醒]

投影和两向量的数量积都是数量, 不是向量.

[题组练透]
1.(2015· 云南统一检测)设向量 a=(-1,2),b=(m,1),如果向量 a+ 2b 与 2a-b 平行,那么 a 与 b 的数量积等于 7 A.-2 3 C. 2 1 B.-2 5 D. 2 ( )

解析: a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得 1 3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则 m=- , 2 所以
? 1? 5 a· b=-1×?-2?+2×1= . 2 ? ?

答案:D

2. (2013· 湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4), ??? ? ??? ? 则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( ) 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 解析: AB =(2,1), CD =(5,5),由定义知 AB 在 CD 方向上 ??? ? ??? ? · 15 3 2 AB CD ??? ? 的投影为 = = . 2 5 2 | CD |

3.(2014· 重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且 a=(-2,

10 -6),|b|= 10,则 a· b=_____.

解析:因为 a=(-2,-6), 所以|a|= ?-2?2+?-6?2=2 10, 又|b|= 10,向量 a 与 b 的夹角为 60° , 1 所以 a· b=|a|· |b|· cos 60° =2 10× 10× =10. 2

???? ???? 4. (2015· 东北三校联考)已知正方形 ABCD 的边长为 2,DE =2 EC , 10 ???? 1 ???? ??? ? ???? ???? -3 DF =2( DC + DB ),则 DE · DF =________.

解析:如图,以 B 为原点,BC 所在直线 为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系. 则

???? 1 ???? ? 2? B(0,0), E?2,3?, D(2,2). 由 DF = ( DC 2 ? ?
? ?

??? ? ???? ? 2? ???? + DB )知 F 为 BC 的中点,故 DE =?2,3?,DF =(-1,-2),
???? ???? 4 10 ∴ DE · DF =-2-3=- 3 .

[类题通法]

向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b= |a||b|cos a,b.

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1, y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.
b=a· c(a≠0),则不一 [提醒] (1)在向量数量积的运算中,若 a· 定得到 b=c.

(2)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满 足乘法结合律,即(a· b)· c 不一定等于 a· (b· c).

考点二

平面向量数量积的性质 (常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]

已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2):

结论 模 夹角
a⊥b 的充 要条件

几何表示
|a|= a· a

坐标表示
2 |a|= x2 1+y1

a· b cos θ=|a||b|

x1x2+y1y2 cos θ= 2 2 2 x1+y1· x2 2+y2
x1x2+y1y2=0

a· b=0

[多角探明]
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选 择题、填空题,难度适中,属中档题.归纳起来常见的命题角度有: (1)平面向量的模;

(2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直.

角度一:平面向量的模

π 1.已知平面向量 a,b 的夹角为 6,且|a|= 3,|b|=2,在△ABC 中, ??? ? ???? ???? ) AB =2a+2b, AC =2a-6b,D 为 BC 中点,则| AD |等于( A. 2 C. 6 B. 4

D. 8 ???? 1 ??? ? ???? 1 解析:因为 AD =2( AB + AC )=2(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以
???? 2 ? ? π 2 2 2 | AD | = 4(a - b) = 4(a - 2b· a + b ) = 4× ?3-2×2× 3×cos6+4? =
? ?

???? 4,则| AD |=2.

2.(2014· 北京高考)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=

5 0(λ∈R),则|λ|=_____.
解析:∵|a|=1,∴可令 a=(cos θ,sin θ), ∵ λa+b=0. 2 ? ? ?cos θ=-λ, ?λcos θ+2=0, ∴? 即? ? ?λsin θ+1=0, ?sin θ=-1. λ ? 由 sin2θ+cos2θ=1 得 λ2=5,得|λ|= 5.

角度二:平面向量的夹角

3.向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的 夹角为 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 ( )

解析: (a-2b)· a=|a|2-2a· b=0,(b-2a)· b=|b|2-2a· b=0,所以|a|2 =|b|2,即|a|=|b|,故|a|2-2a· b=|a|2-2|a|2cos 〈a,b〉=0,可得 1 π cos〈a,b〉=2,又因为 0≤〈a,b〉≤π,所以〈a,b〉=3.

1 4.(2014· 江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α=3,

2 2 3 向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β=_______.
解析: 因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9, 所以|a| =3,b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b|=2 2, 1 2 2 a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e1-9e1· e2+2e2=9-9×1×1× + 3 a· b 8 2 2 2=8,所以 cos β=|a|· |b|=3×2 2= 3 .

角度三:平面向量的垂直

5.(2014· 重庆高考)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a -3b)⊥c,则实数 k= 9 A.-2 C. 3 B. 0 15 D. 2 ( )

解析:因为 2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,所以(2a- 3b)· c=2(2k-3)-6=0,解得 k=3,选 C.

??? ? ???? 6.在直角三角形 ABC 中,已知 AB =(2,3), AC =(1,k),则 k 的值 2 11 3± 13 -3或 3 或 2 . 为________________ ??? ? ???? ??? ? ???? 解析:①当 A=90° 时,∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · AC =0.
2 ∴2×1+3k=0,解得 k=- . 3 ??? ? ??? ? ②当 B=90° 时,∵ AB ⊥ BC , ? ??? ? ???? ??? 又 BC = AC - AB =(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ??? ? ??? ? 11 ∴ AB · BC =2×(-1)+3×(k-3)=0,解得 k= 3 . ???? ??? ? ③当 C=90° 时,∵ AC ⊥ BC ,∴1×(-1)+k(k-3)=0, 3± 13 即 k -3k-1=0.∴k= . 2
2

[类题通法]

平面向量数量积求解问题的策略
a· b (1)求两向量的夹角: cos θ=|a|· |b|,要注意 θ∈[0,π].

(2)两向量垂直的应用: 两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b

?a· b=0?|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:

①a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a.
②|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2. ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.

考点三

平面向量与三角函数的综合 (重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]
(2013· 江苏高考)已知向量 a=(cos α,sin α),b= (cos β,sin β), 0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

解:(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
? ?cos α+cos β=0, 所以? ? ?sin α+sin β=1.

由此得,cos α=cos (π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π. 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1, 1 5π π 得 sin α=sin β= ,而 α>β,所以 α= ,β= . 2 6 6

[类题通法]

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用 向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后 求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或 者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三 角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

[演练冲关]

已知向量

? a=?cos ?

? x x? 3x 3x? ?,b=?cos ,sin ?,c=( 3,-1), ,sin 2 2? 2 2? ?

其中 x∈R, 1 (1)当 a· b= 时,求 x 的取值集合; 2 (2)设函数 f(x)=(a-c)2,求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间. 3x x 3x x 1 π 解:(1)∵a· b=cos 2 cos 2+sin 2 sin 2=cos x=2,∴x=2kπ±3
(k∈Z).
π ? ? ∴所求 x 的取值集合为 ? x x = 2kπ ± ,k ? Z ? . 3 ? ?

? (2)∵a-c=?cos ?

? 3x 3x - 3,sin +1?, 2 2 ? ? ? ? 3x 3x 2 - 3? +?sin +1?2 2 2 ? ? ?

∴f(x)=(a-c)

2

? =?cos ?

?1 3x 3x 3x 3 3x? ? ? =5-2 3cos +2sin =5+4? sin - cos 2 2 2 2 2? ?2 ? ?3x π? =5+4sin? 2 -3 ?. ? ?

2π 4π ∴最小正周期为 T= = . 3 3 2 π 3x π π 4kπ π 4kπ 5π 由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z),得 - ≤ x≤ + (k∈Z). 2 2 3 2 3 9 3 9
?4kπ π 4kπ 5π? ∴单调递增区间是? 3 -9, 3 + 9 ?(k∈Z). ? ?


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