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2014年全国高考文科数学试卷及答案(新课标2)

时间:2015-04-29


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标 II 卷)
数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {?2,0, 2}, B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0},则 A A. ? (2) B. ?2? C. {0} D. {?2}

B?(



1 ? 3i ?( ) 1? i A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i

C. 1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

(3)函数 f ( x ) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ( x0 ) ? 0 : q : x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,则 A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件, 也不是 q 的必要条件 (4)设向量 a , b 满足 a ? b ? 10 , a ? b ? 6 ,则 a ? b =( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 )



(5)等差数列 {an } 的公差是 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn ? ( A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C.

n( n ? 1) 2

D.

n( n ? 1) 2

(6)如图,格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削的部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

(7)正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , D 为 BC 中点,则三棱锥

A ? B1DC1 的体积为

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(A) 3

(B)

3 2

(C) 1

(D)

3 2

(8)执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2 ,则输出的 S ? (A) 4 (B ) 5 (C) 6

(D) 7

? x ? y ? 1 ? 0, ? (9)设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
(A) 8
2

(B) 7

(C) 2

(D)1

(10)设 F 为抛物线 C : y +3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 ? 的直线交 C 于 A , B 两点,则

AB ?
(A)

30 3

(B) 6

(C) 12

(D) 7 3

(11)若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

2 2 (12)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x +y ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取

值范围是 (A)??1, ?1? (B)? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

(C)? ? 2, 2 ?

?

?

(D)? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
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(13)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他 们选择相同颜色运动服的概率为_______. (14) 函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________. (15) 偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) =________. (16) 数列 {an } 满足 an ?1 ? 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 . (1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积.

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? ________. 1 ? an

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的重 点. (1)证明: PB //平面 AEC ; (2)设 AP ? 1, AD ? 三棱锥 P ? ABD 的体积 V ? 3,

3 , 求 A 到平面 PBC 的距离. 4

(19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对这两部 门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下:

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(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. (20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 M 是 C 上一点且 MF2 与 x 设F 1, F 2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, a b
轴垂直,直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N . (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 | MN |? 5 | F 1 N | ,求 a , b . (21)(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线与 x 轴交点的横

坐标为 ? 2 . (1)求 a ; (2)证明:当 k

? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如多做,则按所做的第一题记分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, P 是

O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于 B, C ,

PC ? 2 PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E .证明: (1) BE ? EC ;
(2) AD ? DE

? 2 PB 2

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(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | ( a ? 0) a

(1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案
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一、 选择题 (1)B (2)B (7)C (8)D 二、 填空题 1 (13) (14)1 3 三、 解答题

(3)C (9)B

(4)A (10)C

(5)A (11)D

(6)C (12)A

(15)3

(16)

1 2

(17)解: (I)由题设及余弦定理得
2 2 BD ? BC ? C2 D ? 2

B?C cC oD s

C

=13 ?12 cos C
2 2 BD ? AB ?


A? B cD oA s


A

D 2A ? 2

? 5? 4 c o Cs. ② 1 由①,②得 cos C ? ,故 C ? 600 , BD ? 7 。 2 (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积 1 1 S ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2 1 1 ? ( ? 1? 2 ? ? 3 ? 2) sin 600 2 2

?2 3

(18)解:

(I)设 BD 与 AC 的交点为 O,连结 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,
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所以 PB∥平面 AEC.
1 3 PA ? AB ? AD ? AB . 6 6

(Ⅱ)V ?

由V ?

3 3 ,可得 AB ? . 2 4

作 AH ? PB 交 PB 于 H 。 由题设知 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC 。 又 AH ?
PA ? AB 3 13 . ? PB 13

所以 A 到平面 PBC 的距离为

3 13 . 13

(19)解: (I)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位 数的估计值是 75 。 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68, 66 ? 68 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值 故样本中位数为 2 是 67. (Ⅱ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分 5 8 别为 ? 0.1 , ? 0.16 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的 50 50 估计值分别为 0.1,0.16. (Ⅲ) 由所给茎叶图知, 市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评 分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部 门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部 门的评价较低、评价差较大。 (注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的 同样给分。 )

(20)解: 解: (I)根据 c ? a2 ? b2 及题设知 M (c,
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b2 ), 2b 2 ? 3ac a

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将 b2 ? a 2 ? c 2 代入 2b2 ? 3ac ,解得 故 C 的离心率为
1 . 2

c 1 c ? , ? ?2 (舍去) a 2 a

(Ⅱ)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 ∥ y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的 交点 D(0, 2) 是线段 MF1 的中点,故
b2 ? 4a

b2 ? 4 ,即 a



由 MN ? 5 F1N 得 DF1 ? 2 F1N 。 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1

0 ,则

3 ? ? 2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c, ,即 ? 2 ? ? ?2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1
9c 2 1 代入 C 的方程,得 2 ? 2 ? 1。 4a b

将①及 c ? a2 ? b2 代入②得 解得 a ? 7, b2 ? 4a ? 28 , 故 a ? 7, b ? 2 7 .

9(a 2 ? 4a) 1 ? ?1 4a 2 4a

(21)解: (I) f '( x) = 3x 2 ? 6 x ? a , f '(0) ? a . 曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线方程为 y ? ax ? 2 。 由题设得 ?
2 ? ?2 ,所以 a=1. a

(Ⅱ)由(I)知, f ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 2 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? (1 ? k ) x ? 4 由题设知 1 ? k
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0.
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当 x ≤ 0

k 时 , g' x ( )? 3x2 ? 6 x ? 1 ?

0 g ( x) 单 调 递 增 , ,

g (?1) ? k ? 1 0, g (0) ? 4 ,所以 g ( x) =0 在 ? ??,0? 有唯一实根。

当x

0 时,令 h( x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ,则 g ( x) ? h( x) ? (1 ? k ) x

h( x) 。

2 h( h ' (x ) ? 3 x? 6 x? 3 x ( x ? ,2 ) x) 在 (0, 2) 单调递减,在 (2, ??) 单调递增,所


g ( x) h( x ? ) h(? 2) 0

所以 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 没有实根.
g ( x) =0 在 R 有唯一实根, 综上, 即曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

(22)解: (I) 连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE ? EC 。 因此 BE=EC.

(Ⅱ)由切割线定理得 PA2 ? PB ? PC 。 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC , 所以 AD ? DE ? 2PB 2 .
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(23)解: (I)C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) . 可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? x ) ? ? y ? sin t ,

(Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的 上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, ? tan t? 3 t? , . 3 故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2

(24)解: (I)由 a
0 ,有 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a

所以 f ( x) ≥2.

(Ⅱ) f (3) ? 3 ?

1 ? 3? a . a
1 5 ? 21 ,由 f (3) <5 得 3<a< 。 a 2

当时 a>3 时, f (3) = a ?

1 1? 5 当 0<a≤3 时, f (3) = 6 ? a ? ,由 f (3) <5 得 <a≤3. a 2

综上,a 的取值范围是(
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1? 5 5 ? 21 , ). 2 2

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