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直线和圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆锥曲线统一的极坐标方程

时间:2016-05-17


2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程

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2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角 坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程

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1 .能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程. 2 .会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 3 .了解圆锥曲线统一的极坐标方程.

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1.直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线. 在极坐标系中,曲线可以用含有 ρ,θ 这两个变量的方程 φ(ρ,θ)=0 来表示. 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ,θ)=0 建立了如下的关系: ①曲线 C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程 φ(ρ,θ)=0; ②极坐标满足方程 φ(ρ,θ)=0 的点都在曲线 C 上. 那么方程 φ(ρ,θ)=0 叫作曲线 C 的极坐标方程,曲线 C 叫作极坐标方程 φ(ρ,θ)=0 的曲线. (2)直线的极坐标方程. 直线 l 经过极点,倾斜角为 α,则直线 l 的极坐标方程是 θ=α(ρ∈R). (3)圆的极坐标方程. ①圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ρ=r; ②圆心在(a,0)(a>0),半径为 a 的圆的极坐标方程是 ρ=2acos θ.

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【做一做 1-1】 在极坐标系中,圆心为 A(4,0),半径为 4 的圆的极坐标 方程为 . 答案 :ρ=8cos θ π 【做一做 1-2】 在极坐标系中,过点 M 2, ,且平行于极轴的直线的极 坐标方程是 . 解析 :如图所示,设 P(ρ,θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点,
2

在 Rt△OMP 中 ,ρcos 即 ρsin θ=2(ρ≥0). 答案 :ρsin θ=2(ρ≥0)

π - 2

=2(ρ≥0),

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2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可 以顺利完成. 点的直角坐标与极坐标互化关系如下: = ρcos , (1)点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式: = ρsin ; 2 = 2 + 2 , (2)点 M 的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式: tan = ( ≠ 0).


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【做一做 2】 直角坐标方程 x2+(y-2)2=4 化为极坐标方程 为 . 解析 :x2+(y-2)2=4 可化为 x2+y2=4y, 把 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入, 得 (ρcos θ)2+(ρsin θ)2=4ρsin θ, 化简得 ρ=4sin θ. 答案 :ρ=4sin θ

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3 .圆锥曲线统一的极坐标方程 设定点为 F,定直线为 l,过定点 F 作定直线 l 的垂线,垂足为 K,以 F 为 极点,FK 的反向延长线 Fx 为极轴,建立极坐标系.若 M(ρ,θ)为圆锥曲线上任 | | 意一点,连接 MF,作 MA⊥l,MB⊥Fx,垂足分别为 A,B,则 =e,|FK|=p ,圆锥 曲线统一的极坐标方程是 ρ=
| | 1 -cos

,

当 0<e<1 时,它表示椭圆; 当 e=1 时,它表示抛物线; 当 e>1 时,它表示双曲线. 名师点拨在极坐标系中,椭圆、抛物线、双曲线的方程得到了完美的统 一 .值得注意的是,圆锥曲线的极坐标统一方程,是以焦点为极点的,其中椭 圆是以左焦点为极点,双曲线是以右焦点为极点.当 e>0,ρ>0 时方程只表示 双曲线的右支,定点 F 是它的右焦点,定直线 l 是它的右准线.如果允许 ρ<0, 方程就表示整个双曲线.
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【做一做 3】 把极坐标方程 ρ= 解 :由 ρ=
4 变形得 2ρ-ρcos 2 -cos

4 2 -cos

化为直角坐标方程.

θ=4,把 ρ= 2 + 2,x=ρcos θ 代入并平

方得 4x2+4y2=x2+8x+16,即 3x2-8x+4y2-16=0.

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1 .求曲线的极坐标方程的步骤 剖析 :(1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上的任意一点;(2)由曲线 上的点所满足的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式 f(ρ,θ)=0;(3)将列出的关系式 f(ρ,θ)=0 进行整理,化简,得出曲线的极坐标方 程 ;(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化 简过程都是同解变形,这一证明可以省略. 2 .直角坐标与极坐标互化时的注意事项 剖析 :(1)两组公式是在三个条件规定下得到的; (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但一般约定只在规定范 围内求值; (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简; (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要 用 ρ 去乘方程的两端.

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题型一

题型二

题型三

题型一 求直线的极坐标方程

【例 1 】 已知点 P 的极坐标为 2, ,直线 l 经过点 P 且倾斜角为 , 4 4 求直线 l 的极坐标方程. 分析 :设 M(ρ,θ)(ρ≥0)是直线 l 上除点 P 外的任意一点,极点为 O,构造三 角形求出 ρ 与 θ 之间的关系式. 解 :如图所示,设 M(ρ,θ)(ρ≥0)为直线 l 上除点 P 外的任意一点,极点为 O,连接 OM,OP,该直线交 Ox 于点 A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,

π



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题型一

题型二

题型三

∠MOP= - ,∠OPM= , 所以 |OM|cos∠MOP=|OP|, π π 即 ρcos - =2,即 ρcos - =2,显然点 P 也在这条直线上.故所求直线
4 4 2

π

π

的极坐标方程为 ρcos -

π 4

4

=2.

反思在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为:设 M(ρ,θ)为直线 上任意一点 ,极点为 O,连接 OM,构造出含有 OM 的三角形,再找出我们需求 的 ρ 与 θ 的关系,即为直线的极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程,再化 为极坐标方程.

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【变式训练 1】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 π 建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos - =1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 解 :(1)由 ρcos π 3 3

=1,得 ρ

1 2

cos +
1 2 3 2

3 2

sin =1.

从而曲线 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时 ,ρ=2,所以点 M 的极坐标为(2,0). 当 θ= 时 ,ρ=
2 π 2 3 3

,所以点 N 的极坐标为

2 3 π 3

,

2

.

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题型一

题型二

题型三

(2)点 M 的直角坐标为(2,0), 点 N 的直角坐标为
2 3 0, 3 2 3 π , 3 6

.
3 3

所以点 P 的直角坐标为 1, 则点 P 的极坐标为

,
π 6

,

所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R).

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题型二 求圆的极坐标方程

【例 2 】 求以 C(4,0)为圆心,半径等于 4 的圆的极坐标方程. 解 :如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴 的另一个交点是 A,在圆上任取一点 P(ρ,θ),连接 OP,PA.

在 Rt△OPA 中 ,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ, 所以 |OA|· cos θ=ρ,即 8cos θ=ρ, 即 ρ=8cos θ 就是圆 C 的极坐标方程. 反思在极坐标系中,求圆的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的 关系 ,将它用坐标表示并化简,得到 ρ 和 θ 的关系,即为所求的极坐标方程.
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【变式训练 2】 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ρsin π 3

2,

=- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程.
π 3

3 2

π 4

,圆心为直线

解 :在 ρsin -

=- 中 ,令 θ=0,得 ρ=1,
2

3

即圆 C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆 C 经过点 P 2,
π 4

,
π 4

所以圆 C 的半径|PC|= ( 2)2 + 12 -2 × 1 × 2cos =1, 则圆 C 过极点,故圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.

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题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化

【例 3 】 将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化. π (1)x2+y2=4;(2)ρ=3cos θ;(3)ρ=cos - . 解 :(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x +y2=4, 得 (ρcos θ)2+(ρsin θ)2=4,即 ρ2=4. (2)因为 ρ=3cos θ,所以 ρ2=3ρcos θ,即 x2+y2=3x. π π π (3)由 ρ=cos - =cos θcos +sin θsin = cos θ+ sin θ.
2 2 2 2 4 4 4 2 2
2

4

整理 ,得 ρ2= ρcos θ+ ρsin θ, 即 x2+y2= x+ y. 即 x2- x+y2- y=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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反思极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位 置的方法,都是研究平面图形的重要工具.在进行极坐标方程与直角坐标方 程互化时,除了正确使用互化公式外,还要注意变形的等价性.

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【变式训练 3】 将下列各题进行直角坐标与极坐标方程的互化. 1 (1)y2+x2-2x-1=0;(2)ρ= .
2 -cos

解 :(1)令 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入方程得 ρ2-2ρcos θ-1=0. 1 (2)由 ρ= ,得 2ρ-ρcos θ=1.
2 -cos

令 x=ρcos θ,y=ρsin θ,则 ρ2=x2+y2,ρ= 2 + 2, 代入得 2 2 + 2 =x+1,两边平方整理得 3x2+4y2-2x-1=0.

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1 在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐标为( ). π π A. 1, B. 1,C.(1,0) D.(1,π) 解析 :由 ρ=-2sin θ,得 ρ =-2ρsin θ,化为普通方程为 x2+(y+1)2=1. π 圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为 1,- . 答案 :B
2 2
2

2

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2 过点 A(2,0),并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( A.ρcos θ=2 B.ρsin θ=2 C.ρcos θ=1 D.ρsin θ=1

).

解析:如图所示,设 M(ρ,θ)为直线上除 A(2,0)外的任意一点,连接 OM,则有 △AOM 为直角三角形,并且∠AOM=θ,|OA|=2,|OM|=ρ,所以有|OM|cos θ=|OA|,即 ρcos θ=2,显然当 ρ=2,θ=0 时,也满足方程 ρcos θ=2.故所求直线 的极坐标方程为 ρcos θ=2. 答案:A
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3 已知曲线的极坐标方程为 ρ=cos θ-sin θ,则其直角坐标方程 为 . 解析 :由 ρ=cos θ-sin θ,得 ρ2=ρcos θ-ρsin θ, 即 x2+y2=x-y. 整理 ,得 圆. 答案 : 1 2 2 1 2 2

+ +
1 2 2

1 2 2

= ,其轨迹为以 ,-

1 2

1 2

1 2

为圆心, 为半径的

2 2

+ +

=

1 2

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4 已知一条直线的极坐标方程为 ρsin + 是 . 解析:因为 ρsin + = ρsin
3 2 π 6

π 6

=1,则极点到该直线的距离

=ρsin θcos +ρcos θ· sin θ=1,

π 6 1 θ+ ρcos 2

π 6

所以 3ρsin θ+ρcos θ=2,即 x+ 3y=2. 则极点到该直线的距离 d= 答案:1
|0+0-2| 1+3

= =1.

2 2

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5 从原点 O 引直线交直线 2x+4y-1=0 于点 M,P 为射线 OM 上一点,已知 |OP|· |OM|=1,求点 P 的轨迹的极坐标方程. 解:以 O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,直线 2x+4y-1=0 的方程可 化为 2ρcos θ+4ρsin θ-1=0. 设 M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则 2ρ0cos θ0+4ρ0sin θ0-1=0. 0 = θ, = 0 , 1 由 知 0 = . 0 · ρ = 1,


代入 2ρ0cos θ0+4ρ0sin θ0-1=0,得 2× cos θ+4× sin θ-1=0,整理,得 ρ=2cos θ+4sin θ. 所以点 P 的轨迹的极坐标方程为 ρ=2cos θ+4sin θ.

1

1

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从统一圆锥曲线的极坐标方程推导过焦点弦的弦长

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