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文科-2013年上海市浦东新区高三数学二模(含答案)


2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——浦东新区数学(文科)

2013 年上海市浦东新区高三年级二模试卷——数学(文科)
2013 年 4 月 (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) ;本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填

对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = 2.已知集合 A= ??2,1, 2? ,B= . .

?

a ? 1, a ,且 B ? A ,则实数 a 的值是

?

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 4 : 3 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生. . 4.函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 y ? g (x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (3) ?

2x 5.把三阶行列式 x 1
f ( x) ? 0 的解集为

0 3 4 0 中第 1 行第 3 列元素的代数余子式记为 f (x) ,则关于 x 的不等式 x ? 3 ?1
. . .

6.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3 x ,它的一个焦点是 ( 10 ,0) ,则双曲线的标准方程是 7.若直线 3 x ? 4 y ? m ? 0 与圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 有公共点,则实数 m 的取值范围是
2 2

8 . 记 直 线 ln : nx ? (n ? 1) y ? 1 ? 0 ( n ? N ) 与 坐 标 轴 所 围 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 为 S n , 则
*
n ??

lim ( S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ) ?

.

b c 若 9. ?ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a 、 、 , a 在 角 B、

1 ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ? , b ? 则 4

.

??2 ? x ? y ? 2 ? 10.已知实数 x, y 满足约束条件 ? ?2 ? x ? y ? 2 ,则不等式所围成的区域面积为 ? x2 ? y 2 ? 1 ?
11.方程 x cos x ? 0 在区间 ?? 3,6? 上解的个数为 .

.

12.某人从分别标有 1、2、3、4 的四张卡片中任意抽取两张,并按如下约定记录抽取结果:如果出现两个 偶数或两个奇数,就将两数相加的和记录下来;如果出现一奇一偶,则记下它们的差的绝对值,则出 现记录结果不大于 3 的概率为 . 13.如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点, N 是函数 y ? g (x) 图像上的点,且 M , N 两点之间的距离 MN 能 取到最小值 d ,那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离.按这个定义,函数 f ( x) ? x 和

g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是

.

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14.数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

4a n ? 2 ? (n? N ) . an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {a n } 是常数数列; ②“数列 {a n } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {a n } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ;

3k ? 2k ?1 ? ④只要 a1 ? k ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; k n ?? 3 ?2
其中正确命题的序号为 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的, ; 选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
( )

16.已知 a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33, 则 a 与 b 的夹角为

( A)

?
6

( B)

?
3

(C )

2? 3

(D)

5? 6

17.已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ?

?m(1? | x |), x ? ?? 1,1? x ? 其中 m ? 0 ,若方程 f ( x) ? 恰有 5 个 ?x 3 ?? cos 2 , x ? ?1,3? ?
( )

实数解,则 m 的取值范围为

4 ( A) ( , ??) 3

4 (B) [ , ??) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 8 (D) [ , ] . 3 3

1 18.从集合 ? ,2,3,4, ? ,2013?中任取 3 个元素组成一个集合 A ,记 A 中所有元素之和被 3 除余数为的概率
为 Pi (0 ? i ? 2) ,则 P0 , P1 , P2 的大小关系为 ( )

( A) P0 ? P ? P2 1

( B) P0 ? P ? P2 1

(C ) P0 ? P ? P2 1

( D) P0 ? P ? P2 1

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三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长是 2 ,体积是 16 , M , N高考试题库 分别是棱

BB1 、 B1C1 的中点.
(1)求异面直线 MN 与 A1C1 所成角的大小(结果用反三角表示) ; ( 2 ) 求 过 A1 , B, C1 的 平 面 与 该 正 四 棱 柱 所 截 得 的 多 面 体
A1

D1 N

C1 B1

A1C1 D1 ? ABCD 的体积.

M D C A

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2) 若向量 n 与 q ? (1, 0) 共线, 向量 p ? ? 2 cos 2

??

?

??

?

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 . 4

?

?

? ?

? ? ? C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

? ?

C ? , cos A ? ,其中 A 、C 为 ?ABC 的内角,且 A 、B 、 2 ?

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21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? ( x ? a ) | x | ?b (1)当 a ? 2, b ? 3 ,画出函数 f ( x) 的图像,并求出函数 y ? f ( x) 的零点; (2)设 b ? ?2 ,且对任意 x ? (??,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满 分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1) a, b 之间插入 2011 个数, 在 使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? , 且它们的和为 2013 , 求的最小值. (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列

S1 , S 2 , S3 ,?, S n ,求 Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n S n ( n ? N ? ).
c a (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明:数列 ? ? ? ? a? ? c? ? 的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
n n

?

Xn 中

?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满

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分 8 分.

x2 y2 9 y2 2 (1)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 与双曲线 C2 : 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F、F2 , M 是椭圆 C1 与双 1 8 a b 曲线 C2 的公共点,且 ?MF1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程;
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (2) 如图, “盾圆 D ” 已知 的方程为 y ? ?
2

上的任意一点 M 到 F ? 1, 0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 , 求证: d1 ? d 2 为定值; (3) 由抛物线弧 E1 :y ? 4 x( 0 ? x ?
2

(0 ? x ? 3) ? 4x .设 “盾圆 D ” ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4)

y

o

3

x

x2 y2 2 ) (1) 与第 小题椭圆弧 E2 : 2 ? 2 ? 1 3 a b

2 所合成的封闭曲线为 “盾圆 E ” “盾圆 E ” .设 上的两点 A、B ? x ? a) 3 关于 x 轴对称, O 为坐标原点,试求 ?OAB 面积的最大值.


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浦东新区 2013 年高三年级二模数学(文科)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) ;本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2 ; 2.1; 3.20; 4.4; 5. (?1,4) ;

y2 6. x ? ? 1; 9
2

7. [0,10] ;

8.

1 ; 2

9.4;

10. (文) 8 ? ? ; 14.①④。

11.4;

12. (文)

2 ; 3

13. (文) 2 ? 1 ;

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的, ; 选对得 5 分,否则一律得零分. 15. A ; 16. C ; 17. B , (文) C ; 18. B 。

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. 解: (1)连结 BC1 ,? BC1 // MN ,

? 直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角等于直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.
连结 BD, BD ? AC ? O ,连结 C1O ,

??BC1O 是直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.???????????2 分 ?BC1O 中, BO ? 2, C1 B ? 2 5 ,????????????????4 分
sin ?BC1O ? 10 10 . ,??BC1O ? arcsin 10 10 10 .????????6 分 10

? 直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角等于 arcsin

(2)? 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长是 2 ,体积是 16 ,

? AA1 ? 4 .???????????????????????????8 分
1 1 8 VB ? A1B1C1 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ; 3 2 3 8 40 ,????????11 分 ?VA1C1D1 ? ABCD ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 16 ? ? 3 3 40 .??????????????12 分 ? 多面体 A1C1 D1 ? ABCD 的体积为 3
(文) (1)连结 BC1 ,? BC1 // MN ,

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??BC1 A1 就是异面直线 MN 与 A1C1 所成角.?????????????2 分
在 ?BC1 A1中, A1C1 ? 2 2, BC1 ? A1 B ? 2 5 ,????????????4 分

? cos ?BC1 A1 ?

10 10 ,??BC1 A1 ? arccos . 10 10 10 . ??????????6 分 10

所以异面直线 MN 与 A1C1 所成角为 arccos

20. 解: (1)设 n ? ( x, y ) .由 m ? n ? ?1 ,得 x ? y ? ?1 ①?????????2 分 又向量 n 与向量 m 的夹角为 由①、②解得 ?

?

?? ?

?

??

3? 2 2 ,得 x ? y ? 1 ②???????????4 分 4

? ? ? x ? ?1 ? x ? 0 或? ,? n ? (?1,0) 或 n ? (0, ?1) .??????5 分 ?y ? 0 ? y ? ?1 ?

(2)向量 n 与 q ? (1, 0) 共线知 n ? (?1,0) ;?????????????????6 分 由 2B ? A ? C 知 B ?

?

?

?
3

,

A?C ?

2? 2? .?????????7 分 , 0? A? 3 3

? ? ? ? C ? n ? p ? ? ?1 ? 2 cos 2 , cos A ? ? ? cos C , cos A ? , ???????????8 分 2 ? ?
? ? 2 ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ??????????9 分 ? n ? p ? cos 2 C ? cos 2 A ? ? 2 2

1? 1 ?? ? 4? ?? ? ? 1 ? ?cos 2 A ? cos ? ? 2 A ? ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? .???11 分 2? 2 3? ? 3 ?? ?
?0 ? A ? 2? ? ? 5? ?? 1 ? , ? 2A ? ? , ??1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,????12 分 3 3 3 3 3? 2 ?



? ? 2 ?1 5 ? ? 1 ?? 5 ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,即 n ? p ? ? , ? ,??????????13 分 2 3? 4 ? ?2 4 ?

? ? ? 2 5? ? ? n? p ?? , ? .??????????????????????14 分 ? ? 2 2 ?
21.解: (1) f ( x) ? ?

? x2 ? 2x ? 3 ? 2 ?2 x ? x ? 3 ?
2

x?0 x?0

,???????????????2 分

画图正确.????????????????????????????4 分 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,此时无实根;

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当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1 , x ? 3(舍) .
2

所以函数的零点为 x ? ?1 .?????????????????????6 分 (2)由 f ?x ? <0 得, ( x ? a ) | x |? 2 . 当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式恒成立.?????????????8 分 当 0 ? x ? 1 时, a ? x ?

2 2 .令 g ( x) ? x ? ,则 g ( x) 在 0 ? x ? 1 上单调递增, x x

∴ a ? g max ( x) ? g (1) ? ?1 ;????????????????????10 分 当 ?1 ? x ? 0 时, a ? x ?

2 2 ,令 h( x) ? x ? , x x

则 h( x) 在[- 2, 0) 上单调递减,所以 h( x) 在 ?1 ? x ? 0 上单调递减. ∴

a ? hmax ( x) ? h(?1) ? ?3 .???????????????????12 分

综合 a ? ?1 .??????????????????????????14 分 (文) (2)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式恒成立;?????????8 分 当 0 ? x ? 1 时, a ? x ?

2 2 ,令 g ( x) ? x ? ,则 g ( x) 在 0 ? x ? 1 上单调递增, x x

∴ a ? g max ( x) ? g (1) ? ?1 ;????????????????????10 分 当 x ? 0 时, a ? x ?

2 2 ,令 h( x) ? x ? , x x

则 h( x) 在[- 2, 0) 上单调递减, (??, ? 2] 单调递增; ∴ a ? hmax ( x) ? h(? 2) ? ?2 2 .?????????????????12 分 综合 a ? ?1 .??????????????????????????14 分 22.解: (1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 .???2 分 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 ,的最小值为 2 ;???????????4 分 (2)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d ) 2 ? (a ? 2d ) 2 ? a ? 3d ??5 分 设 三 角 形 的 三 边 长 为 3d , 4d ,5d , 面 积 S d ?

1 2 ? 3d ? 4d ? 6d 2 (d ? Z ) , S n ? 6n , 2

T2 n ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S 2 n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n) 2 ]

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n 2 ? 6n .????????????7 分
由 T2 n ? 6 ? 2 n ?1 得 n 2 ?

1 n ? 2n , 2

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n(n ? 1) 1 ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 2 2 1 1 经检验当 n ? 2,3,4 时, n 2 ? n ? 2n ,当 n ? 1 时, n 2 ? n ? 2n .???9 分 2 2 n ?1 综上所述,满足不等式 T2 n ? 6 ? 2 的所有 n 的值为 2、3、4.?????10 分
当 n ? 5 时, 2 n ? 1 ? n ? (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 ,???11 分 ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
2

n?2

? 5 X n ? 2 .????12 分
X n?2

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??

?.
2

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.?????14 分

?

1 1 2 2 5 ?? 5 ? 1 ? ? 1 ? 5 ? ? , 5 ?? 5 ? 1 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ? ? ? 因为 X 1 ? ? ?? ? ? =1 X 2 ? ? ?? ? ? =1 ?? ?? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

? X 3 ? X 1 ? X 2 ? 2 ? N ? ,????????????????????15 分
由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N ? , X n ?1 ? N ? ? X n ? 2 ? N ? , 故对于任意的 n ? N 都有 X n 是正整数.???????????????16 分 (文) (2)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d ) 2 ? (a ? 2d ) 2 , ? a ? 3d .?5 分 设三角形的三边长为 3d , 4d ,5d , 面积 S d ?
?

1 ? 3d ? 4d ? 6d 2 (d ? Z ) , S n ? 6n 2 ,????????????7 分 2

当 n 为偶数时, Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ? 6(?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n 2 )

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n) ? 3n 2 ? 3n ;
当 n 为奇数时, Tn ? Tn ?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 6n 2 ? ?3n 2 ? 3n ;??9 分 综上, Tn ? (?1) n (3n 2 ? 3n) .????????????????????10 分

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(3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .???????????????11 分
2

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 ,???12 分 ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? .??13 分 ?a? ? c? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
? X n +X n ?1 ? X n ? 2 , 则有
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
X n ?1

n?2

? 5 X n ? 2 .?????14 分
X n?2

?

Xn

? +?
2

? ??
2

?

2

.????????15 分

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.?????16 分

?

23. 解: (1)由 ?MF1F2 的周长为 6 得 a ? c ? 3 , 椭圆 C1 与双曲线 C2 : 9 x ?
2

9 y2 ? 1 有相同的焦点,所以 c ? 1 , 8 x2 y2 ? ? 1 椭圆 C1 的方程;???????4 分 4 3

即 a ? 2,b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

(2)证明:设“盾圆 D ”上的任意一点 M 的坐标为 ( x, y ) , d 2 ?| x ? 3 | .???5 分
2 当 M ? C1 时, y ? 4 x (0 ? x ? 3) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1 | , ( x ? 1) 2 ? y 2 ?| 7 ? x | ,

即 d1 ? d 2 ?| x ? 1 | ? | x ? 3 |? ( x ? 1) ? (3 ? x) ? 4 ;??????????7 分
2 当 M ? C2 时, y ? ?12( x ? 4) (3 ? x ? 4) , d1 ?

即 d1 ? d 2 ?| 7 ? x | ? | x ? 3 |? (7 ? x) ? ( x ? 3) ? 4 ;??????????9 分 所以 d1 ? d 2 ? 4 为定值;??????????????????????10 分 (3)显然“盾圆 E ”由两部分合成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类,由“盾圆 E ” 的对称性,不妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上) : 当 x?

2 6 2 5 时 , y?? , 此 时 r? , 3 3 3

y

1 cos ? ? ? ;????????11 分 5 1 当 ? ? cos ? ? 1 时, A 在椭圆弧 E2 上, 5 x2 y2 ? ? 1 得, 由题设知 A(1 ? r1 cos ? , r1 sin ? ) 代入 4 3 3(1 ? r1 cos ? ) 2 ? 4(r1 sin ? ) 2 ? 12 ? 0 ,
整理得 (4 ? cos 2 ? )r1 ? 6r1 cos ? ? 9 ? 0 ,
2

o

x

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——浦东新区数学(文科)

3 3 或 r1 ? (舍去). ?12 分 2 ? cos ? cos ? ? 2 1 当 ? 1 ? cos ? ? ? 时 A 在抛物线弧 E1 上, 5 2 由方程或定义均可得到 r1 ? 2 ? r1 cos ? ,于是 r1 ? , 1 ? cos ? 2 1 3 1 综上, r1 ? ( ? 1 ? cos ? ? ? )或 r1 ? ( ? ? cos ? ? 1 ) ; 1 ? cos ? 5 2 ? cos ? 5 相应地, B(1 ? r2 cos ? ,? r2 sin ? ) ,????????????????14 分 1 当 ? 1 ? cos ? ? ? 时 A 在抛物线弧 E1 上, B 在椭圆弧 E2 上, 5 r1 2 2 ? cos ? 2 1 11 ? ? ? (1 ? ) ? [1, ] ;????????15 分 r2 1 ? cos ? 3 3 1 ? cos ? 9 1 当 ? cos ? ? 1 时 A 在椭圆弧 E2 上, B 在抛物线弧 E1 上, 5 r1 3 1 ? cos ? 3 1 9 ? ? ? (1 ? ) ? [ ,1] ;????????16 分 r2 2 ? cos ? 2 2 2 ? cos ? 11 1 1 当 ? ? cos ? ? 时 A 、 B 在椭圆弧 E2 上, 5 5 r1 3 2 ? cos ? 2 ? cos ? 9 11 ? ? ? ? ( , ) ;??????????17 分 r2 2 ? cos ? 3 2 ? cos ? 11 9 9 11 r 综上 1 的取值范围是 [ , ] .???????????????????18 分 11 9 r2
解得 r1 ? (文) (3)因为“盾圆 E ”关于 x 轴对称,设 A( x1 , y1 ) 于是 B( x1 ,? y1 ) , 所以 ?OAB 面积 S ? x1 y1 ,?????????????????????11 分 按 A 点位置分 2 种情况: ①当 A( x1 , y1 ) 在抛物线弧 y ? 4 x ( 0 ? x ?
2

设 OA 所在的直线方程 y ? kx ( k ? 0 ) ,

2 )上时, 3

? y ? kx (k ? 6 ) 4 4 4 4 ? 联立 ? 2 2 ,得 A( 2 , ) ,同理 B( 2 ,? ) , k k k k ? y ? 4 x (0 ? x ? 3 ) ?
4 6 16 ;??????14 分 (k ? 6 ) ,所以 0 ? S ? 3 9 k x2 y2 2 ? ? 1( ? x ? 2) 上时, ②当 A( x1 , y1 ) 在椭圆弧 4 3 3 ? y ? kx (0 ? k ? 6 ) 2 3 2 3k ? 于是联立 ? x 2 y 2 ,得 x1 ? ; , y1 ? 2 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 1( 3 ? x ? 2) ? 12k 3 即 S ? x1 y1 ? (0 ? k ? 6 ) ,由 4k ? ? 4 3 , 2 4k ? 3 k 3 当且仅当 k ? 等号成立,所以 S ? 3 ,?????????????17 分 2
?OAB 面积 S ? x1 y1 ?

浦东新区 2013 高三数学二模(文科)

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——浦东新区数学(文科)

综上等腰 ?OAB 面积的最大值为 3 .????????????????18 分

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