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(精选 详解)2013届高三数学名校试题汇编(第2期)专题06 数列

时间:2013-02-26


一.基础题
1. 【山东省东阿县第一中学 2012-2013 学年度上学期考试】 等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 15 ? a5 , 若 则 a5 等于 A.3 【答案】C 【解析】因为等差数列 a2 ? a8 ? 2a5 ? 15 ? a5 ? a5 ? 5 ,因此选 C 2. 【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】 已知数列{ an }的前 n 项和为 sn , 且, s n ? 2an ? 2 则 a2 等于 ( A. 4 B.2 C.1 ) D. ? 2 ( B.4 ) C.5 D.6

3. 北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中 】 是等差数列 【 则 A. 15 ( ) B. 18 C. 9 D. 12

的前 项和, 若



4.【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 在正项等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a3 ? 4 , a4 a5a6 ? 12 , an?1an an?1 ? 324 ,则 n ? A. 11 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C
3 3 3 【解析】由 a1a2a3 ? 4 ? a1 q3 与 a4a5a6 ? 12 ? a1 q12 可 得 q ? 3 , an?1 ? an ? an?1 ? a1 ? q3n?3 ? 324 ,
9

因此 q

3 n ?6

? 81 ? 34 ? q36 ,所以 n ? 14 ,故选 C.

5. 【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知

a2 ? 3, a6 ? 11, 则 S7 等于(
A.13 B.35 C.49

) D.63

6.【河南中原名校 2012—2013 学年度第一学期期中联考】[在等比数列 {an } 中,若 a3=-9,a7= -1,则 a5 的值等于( ) A.3 或-3 B.3 【答案】C

C.-3

D.不存在

【解析】 a52 ? a3a7 ? 9 ,∴ a5 ? ?3 ,又 a3 , a5 , a7 同号,∴ a5 ? ?3 ,答案为 C 7. 【 北 京 东 城 区 普 通 校 2012-2013 学 年 第 一 学 期 联 考 试 卷 】 若 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 ,

an?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 a3 ?

;前 5 项的和 S5 ?

.

二.能力题
8. 【 天 津 市 新 华 中 学 2011-2012 学 年 度 第 一 学 期 第 二 次 月 考 】 等 差 数 列 {a
n

}中,如果

a1 ? a4 ? a7= 39, a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为
A. 297 【答案】C 【解析】由 a1 ? a4 ? a7=39 ,得 3a4 =39,a4 =13 .由 a3 ? a6 ? a9 =27 ,德 3a6 =27,a6 =9 .所以 B. 144 C. 99 D. 66

S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9 ? (13 ? 9) = = =9 ?11=99 ,选 C. 2 2 2

9.【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】 已知数列 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为 A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7

10.【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足

S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的项为
a1 a2 a15

A.

S6 a6

B. S 7
a7

C. S 9
a9

D. S 8
a8

11.【云南玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考】数列{an}的通项公式是 an= 前 n 项和为 10,则项数 n 为( A.120 B.99 C.11 ) D.121

1 n ? n ?1

,若

12.【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】要在如下表所示的 5×5 正方形的 25 个空格中填入自 然数,使得每一行,每一列的数都成等差数列,则填入标有※的空格的数是( ) A.309 B.142 C.222 D.372

13.【河南中原名校 2012—2013 学年度第一学期期中联考】[数列

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , ,? 的前 100 项 的和等于 . 2 2 3 3 3 4 4 4 4 191 【答案】 14 1 1 1 1 n( n ? 1 ) ? 100 , 所 以 【 解 析 】 S100 ? 1?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? k ? , ( k ? n) , 又 由 2 3 4 n 2
[来源:学#科#网]

n(n ? 1) ? 200 , 13 ? 14 ? 182 , 14 ?15 ? 210 ,
1 1 1 1 1 191 S100 ? 1?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? 13 ? ? 9 ? ? 2 3 4 13 14 14
14.【山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】已知等差数列 {an } 的前 n 的和为 Sn , 且 a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 则 Sn 取得最大值时的 n= .

15. 【天津市新华中学 2011-2012 学年度第一学期第二次月考】 数列{a n }中, a 1 =1, n?1 ? 2an ? 3 若 a (n≥1) ,则该数列的通项 a n =________.

16. 【 2013 年 浙 江 省 高 考 测 试 卷 】 设 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 ,则 S6 ? a22 ? a32 ? a42 ? a52

三.拔高题
17.【广东省惠州市 2 013 届高三第三次调研考试】

数列{ an } 中, an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则数列{ an }前 12 项和等于( A.76 【答案】B B.78 C. 80

) D.82

【解析】 an?2 ? an ? (?1)n (2n ?1) ? (2n ? 1) , 取 n ? 1, 9 及 n ? 2 , , , 5, 6 10
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a11 ? a12 ? 78 .故选 B. 18.【2013 年浙江省高考测试卷】设数列 {an } ( A.若 an 2 ? 4n , n ? N * ,则 {an } 为等比数列
2 B.若 an ? an?2 ? an?1 , n ? N * ,则 {an } 为等比数列



C.若 am ? an ? 2m?n , m, n ? N * ,则 {an } 为等比数列 D.若 an ? an?3 ? an?1 ? an?2 , n ? N * ,则 {an } 为等比数列

19.【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】 f 是点集 A 到点集 B 一个映射,且对任意

( x, y) ? A ,有 f ( x, y) ? ( y ? x, y ? x) .现对集 A 中的点 P (an , bn ),(n ? N * ) ,均有 n
,则 Pn?1 (an?1 , bn?1 ) = f (an , bn ). 点 P 为( 0,2 ) | P2011P2012 | = 1 【答案】 21006 【解析】由题意知 .

P (0, 2), P (2, 2), P (0, 4), P (4, 4), P (0,8)? , 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 1 2 3 4 5
, 从 而

PP2 ? 2, P2 P3 ? 2 2, P3 P4 ? 22 , P4 P5 ? 4 2 1 P2 0 P
1

Pn Pn?1 ? 2 ? (

n ?1

2 )

, 所 以

? 2 ?2 0 ( 1

2 1

0 1 22 ? )

0

.

21

0

0

6

20.【2012 年秋湖北省部分重点中学期中联考】设{an}是集合{2s+2t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所 有的数从小到大排列成的数列,即 a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12……,将数列{an} 中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形 数表: 3 5 6 9 10 12 ………… …… 则第四行四个数分别为 ;且 a2012= (用 2s+2t 形式表示) .

21.【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】 已知:数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n , (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求: a1 , a2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的
*

前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)

S n ? 2an ? n
……………2 分

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a2 ? 3

22.【北京东城区普通校 2012-2 013 学年第一学期联考试卷】(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 * , bn ? f (an ) ( n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . x ?1
2

23.【北京东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷】 (本小题满分 14 分). 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a1 ? 3 , S n 和 S n?1 满足等式 S n ?1 ? (Ⅰ)求 S2 的值; (Ⅱ)求证:数列 {

n ?1 S n ? n ? 1, n

Sn } 是等差数列; n

(Ⅲ)若数列 {bn } 满足 bn (Ⅳ)设 C n ?

? an ? 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;

Tn 20 . ,求证: C1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? 2 n ?3 27 2

?

3n 2 ? 4n 1 7 1 20 ? ? ? ? . 9 27 9 27 27
数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? ⑴求数列 {an } 的通项公式;

…………14 分

24.【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】

1 an ? 1 . 2

25. 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检】 本题满 分 12 分) 【 ( 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 ,

an ? an?1 ? 2an?1 ? 1
(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求出 ?an ? 的通项公式. ? an ? 1 ?

26.【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】 (本题 12 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项 和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . b2

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

[来源:学科网]

2 7.【云南师大附中 2013 届高三适应性月考卷(三)】(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=2,3Sn= 5an ? 4an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (I)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 bn=n·n,求数列{bn}的 前 n 项和 Tn. a

28.【江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考试卷】 (本小题满分 14 分)已知各项均为正数 的数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? an an?1 , 且 a2
2 2

? a4 ? 2a3 ? 4 ,其中 n ? N * .

(1) 求数列 {an } 的通项公式;

nan ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 b1 , bm , bn 成等比 (2n ? 1) ? 2 n 数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
(2) 设数列 {bn } 满足 bn ? (3) 令 cn ?

(n ? 1)2 ? 1 5 1 ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,其中 n ? N * ,证明: ? S n ? . 16 2 n(n ? 1)an?2
2

2 ? 2an ? an an?1 ,即 (an?1 ? an )(2an ? an?1 ) ? 0 又 an ? 0 ,所以有 2an ? an?1 ? 0 ,即 2an ? an?1

解析:(1) 因为 an?1

所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. 由 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 得 2a1

从而,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 (n ? N ? ) .
n

? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 .

nan m 2 1 n n ) ? ( ), ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n ? 1) ? 2 2n ? 1 2m ? 1 3 2n ? 1 m2 n 即 . ? 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
(2) bn ?

29.【江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考试卷】 (本小题满分 13 分)已知函数 的图像经过点 A (4, 2) 、 (16, 4) .P , P , P ,?, P ,? B f ( x) ? xk ? b(其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数) 1 2 3 n 是函数 f ( x ) 图像上的点, Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,?是 x 正半轴上的点. (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 设 O 为坐标原点,?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角形, 1 2 n .... 记它们的边 长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,求数列 {an } 的通项公式; (3) 在(2)的条件下,数列 {bn } 满足 bn ? 解析: (1) ? (2)由 ?

an 4 ,记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明: S n ? . n 2 3

? 2 ? 4k ? b ? 4 ? 16 ? b
k

? b ? 0, k ?

1 ? f ( x) ? x . 2

?y? x ? ? y ? 3x ?

?x?

1 2 ? a1 ? . 3 3

30.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三综合练习(一)(本小题满分 13 分) 】 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n ? n ,数列 {b n } 满足 b1 ? 3b2 ? 3 2 b3 ? ? ? 3 n ?1 bn ? a n ,
2

n ? N *.
(1)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)求数列 {b n } 的前 n 项 和 Tn .

? bn ?

2 3
n ?1

(n ? N * )

………………………10 分

1 2(1 ? ( ) n ) 3 ? 3? 1 (2) Tn = 1 3n?1 1? 3
且 a2 ? 5 , a5 ? 11 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

………………………… 13 分

31.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三综合练习(一) 】已知数列 {an } 是一个等差数列,

1 (n ? N* ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

32.【广东省华南师大附中 2012-2013 学年度高三第三次月考】 (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an ?1 ?

an ( n ? 1 ) 数列 {bn } 满 足 bn ? ln an , 数 列 {cn } 满 足 , an ? 1

cn ? an ? bn.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)试比较 (an ? 1) 与 bn 的大小,并说明理由;

(3)我们知道数列 {an } 如果是等差数列,则公差 d ? 数列 {cn } 中,

cn ? cm c ?c (n ? m) 不是一个常数, n m (n ? m) 是否会小于等于一个常数 k 呢?若 但 n?m n?m

an ? a m (n ? m) 是一个常数,显然在本题的 n?m

会,求出 k 的取值范围;若不会,请说明理由.

34.【河北省邯郸市 2012 届高三 12 月教学质量检测】 (本小题满分 12 分)在数列 ?a n ? 中,已知

35.【浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考】 (本题 14 分 )已知等比数列 {a n } 满足 an?1 ? an ? 9 ? 2 n?1 , n ? N * . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若不等式 S n ? ka n ? 2 对一切 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取

值范围.

36.【2012 学年浙江省第一次五校联考】 (本小题满分 14 分)
2 若 {a n } 是各项均不为零的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 , n ? N .数
?

列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(Ⅰ)求 an 和 Tn ; (Ⅱ) 是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值; 若不存在,请说明理由.

由 m ? N ? , m ? 1 ,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 ,………………13 分 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列.………………14 分 37.【辽宁省铁岭市 2012-2013 学年度六校第三次联合考试】 (本小题满分 12 分)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,数列 {b n } 的前 n 项和为 Tn , {b n } 为 等差数列且各项均为正数, a1 ? 1,a n ?1 ? 2Sn ?1(n ? N *), b 1 ? b 2 ? b 3 ?15 (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若 a1 ? b1 ,a 2 ? b 2 ,a 3 ? b3 成等比数列,求
1 1 1 ? ? …+ T1 T2 Tn

38.【湖北省武汉市部分学校 2013 届高三 12 月联考】 (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 an ?1 (n ? N * ). 2

? 1, n ? 1 ? 解: (1) an ? ? 2 n ? 2 ?n ?3 , n ? 2 ?

……………… 6 分

[来源:学&科&网]

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