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3.2.13.2.1《几类不同增长的函数模型》课件1


学习目标

通过一些实例,来感受一次函数、 二次函数、指数函数、对数函数以及幂函 数的广泛应用;结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模 型意义,理解它们的增长差异性.

教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”) 有一大群喝 水、嬉戏的兔 子,但是这群 兔子曾使澳大 利亚伤透了脑 筋.
1859年,有

人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳 洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不 断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚, 数量达到75亿只.

教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”)
可爱的兔子变得可 恶起来,75亿只兔子吃 掉了相当于75亿只羊所 吃的牧草,草原的载畜 率大大降低,而牛羊是 澳大利亚的主要牲口. 这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消 灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载 液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算 松了一口气.

教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”)
一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间 条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一 定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限环境 (空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种 群增长到一定程度后不增长,曲线呈“S”型. 可用指数函数描 述一个种群的前期增 长,用对数函数描述 后期增长的.

基本概念 1.数学模型: 就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得 出的关于实际问题的数学描述.
2.数学模型方法: 是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模 型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

范例讲解 例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元. 方案二:第一天回报10元,以后 每天比前一天多回报10元. 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回 报比前一天翻一倍. 请问你会选择哪种投资方案?

范例讲解 例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:
140 120 方案一:每天回报40元, 100 y ? 40( x ? N * ) 常函数 80 60 方案二:第一天回报10元,以后40 20

解:设第x天所得回报是y元

y

y ? 0.4 ? 2x?1
y ? 10x

y ? 40

x 每天比前一天多回报10元, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y ? 10 x( x ? N * ) 正比例函数 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天 翻一倍, y ? 0.4 ? 2 x -1 ( x ? N * ) 指数型函数 进行描述

y
140 120 100 80 60 40 20 2 4 6

y ? 0.4 ? 2

我们看到,底为 2的指数函数模 型比线性函数模 型增长速度要快 x ?1 得多.从中你对 “指数爆炸”的含 义有什么新的理 解?

y ? 10x

y ? 40

8

10

12

x

x/天
1 2 3 4 5 6 7 8

方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 10 20 30 40 50 60 70 80

方案二
y/元

方案三
增加量/元

y/元 增加量/元 y/元 增加量/元

10 10 10 10 10 10 10 10 … 10

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
107374182.4

9 … 30

40 … 40

90 … 300

102.4 …
214748364.8

从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外, 还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出 来吗? 累计回报表
天数 方案 一 二 1
40 10 0.4

2
80 30 1.2

3
120 60 2.8

4
160 100 6

5
200 150 12.4

6
240 210

7
280 280

8
320 360 102

9
360 450 204.4

10
400 550

11
440 660



25.2 50.8

409.2 816.8

根据以上分析,你认为该作出何种选择? 结论:投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案; 投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天) 以上,则应选择第三种投资方案.

★ 解答例题的过程实际上就是建立函数模型的过程, 建立函数模型的程序大概如下:

实际应用问题

审 题 (设)

分析、联想、抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

解答数学问题

寻找解题思路
(解)

构建数学模型
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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范例讲解 例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制 定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到 10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万 元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过 5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励 模型:

y ? 0.5 x, y ? log 7 x ? 1, y ? 1.002
其中哪个模型能符合公司的要求?

x

范例讲解 分别做出函数 y ? 5, y ? 0.25 x,

y ? log 7 x ? 1, y ? 1.002 的图象.
x

▲ 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案?

y

y ? 0.25 x

y ? 1.002

x

8 7 6 5 4 3 2 1 0

y ?5 y ? log 7 x ? 1

200

400

600

800

1000

x

①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;

范例讲解
分析步骤: (1)确定奖金总数不超过5万的模型:

①通过函数图像直观的观察
②利用函数的值域来确定 结论: y ? log 7 x ? 1 符合要求。 (2)计算按模型 y ? log 7 x ? 1奖励时,奖金是

否不超过利润的25%

范例讲解 令 f ( x) ? log 7 x ? 1 ? 0.25 x, x ? [10,1000 ] 作出函数 f ( x) 的图象:

y

1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x

f(x)=log7x+1-0.25x

y
? 50 ? 100 ? 150 ? 200 ? 250 ? 300
f(x)=log7x+1-0.25x

200

400

600

800

1000

1200

x

根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间 [10,1000]内的确在x轴的下方. 这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.

范例讲解
由图象可知它是递减的,因此

f ( x) ? f (10) ? ?0.3167 ? 0


log 7 x ? 1 所以,当x∈[ 10,1000 ] 时, ? 0.25. x 说明按模型 y ? log 7 x ? 1 奖励,奖金不会
超过利润的25%。 综上所述,模型 y ? log 7 x ? 1确实能符合 公司要求。

log 7 x ? 1 ? 0.25 x

一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异

一次函数y=kx+b(k>0)、 指数函数y=ax(a>1)、 对数函数y=logax (a>1)、 幂函数y=xn (n>0) 在(0,+∞)上都是增函数.
为便于研究它们的增长差异,不妨以一次函数 y=2x+1、指数函数y=1.5x、对数函数y=log1.5x、幂 函数y=x1.5例,观察在(0,+∞)上的图像变化趋势及增 长差异情况.

一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
y

一次函数y=kx+b(k>0)、 指数函数y=ax(a>1)、 对数函数y=logax (a>1)、 幂函数y=xn (n>0) 在(0,+∞)上都是增函数.
o

指数曲线

幂函数曲线 直线

D C B

对数曲线 A

x

一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
y
指数曲线 幂函数曲线 直线

通过图像和表格,容 易看出,随着x的增大, 各、函数值的变化及相 应增量规律为: ⑴直线型均匀上升,增量恒定;
o

D C B

对数曲线 A

⑵指数型急剧上升,增量快速增大; ⑶对数型缓慢上升,增量逐渐减少;

x

⑷幂函数型虽上升较快,但随着x的不断增大上升趋势 远不如指数型,几乎有些微不足道,其增量缓慢递增.

在区间(0,+∞)上,尽管 y ? a (a ? 1) , y ? log a x(a ? 1) n 和 y ? x (n ? 0) 都是增函数,但它们的增长速 度不同,而且不在同一个"档次"上,随着x的增 x 大, y ? a (a ? 1) 的增长速度越来越快 , 会超过 n 并远远大于的 y ? x (n ? 0) 增长速度,而 y ? log a x(a ? 1) 的增长速度则越来越慢.因此, 总会存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,就有
x

log a x ? x ? a .
n x

随堂练习:P101练习

课堂小结
函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,不 同的变化规律需要不同的函数模型来描述. 学习了常数 函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变 化趋势及增量差异: 实际 问题 读懂问题 基础 将问题 抽象化

数学 模型 关键

解决 问题

过程

目的

几种常见函数的增长情况: 常数函数 一次函数 指数函数

没有增长

直线上升

指数爆炸

作业:P107习题3.2 T1、2


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