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【智博教育原创专题】与三角形“四心”相关的向量问题

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向量经典专题复习 冷世平整理 【题型 1】与三角形“四心”相关的向量问题 ???? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ???? 1.已知向量 OP 则 ?PP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0, OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ?1, 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 2P 3 是 形。 三角 ?

??? ???? ? ???? 【分析】对于本题中的条件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1 ,容易想到,点 O 是 ?PP 1 2P 3 的外心,而另一个条 ???? ???? ? ???? ? 件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 ,表明点 O 是 ?PP 1 2P 3 的重心。故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的 重心也是外心,则该三角形一定是正三角形。 2.已知 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ? AB AC ? OP ? OA ? ? ??? ? ? ???? ? (? ?[0, ??)) , 则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的 ? AB AC ? ? ? A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ???? ??? ? ???? ??? ? ? ? ??? ? ???? ??? ? AC AB AC AB ? 是 AB 方向上的单位向量, ???? 是 AC 方向上的单位 【解析】由已知得 AP ? ? ? ??? ? ? ???? ? , ??? ? AB AC AC ? | AB | ? ? 向量,根据平行四边形法则知构成菱形,点 P 在 ?BAC 的角平分线上,故点 P 的轨迹过 ?ABC 的内 心,选 B 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ???? 3.在直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,1) 和点 B(?3, 4) ,若点 C 在 ?AOB 的平分线上,且 OC ? 2 ,则 ???? OC ? _____ ???? 【解析】点 C 在 ?AOB 的平线上,且 OC ? 2 ,则存在 ? ? (0, ??) 使 ??? ? ??? ? ???? OA OB 3 4 3 9 10 ???? 10 3 10 OC ? ? ( ??? ,? OC ? (? , )。 ? ? ??? ? ) ? ? (0,1) ? ? ( ? , ) ? ( ? ? , ? ) , 而,可得 ? ? 5 5 5 5 3 5 5 OA OB ??? ? ??? ? ??? ? ???? 4.已知 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) , ? ?[0, ??) ,则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ??? ? ??? ? ???? 【解析】由已知得 AP ? ? ( AB ? AC ) ,设 BC 的中点为 D ,则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的 中线 AD 所在的射线上,故 P 的轨迹过 ?ABC 的重心,选 C 。 5.已知 O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC ) OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? [0, ?? ) ,则动点 P 的轨迹一定通过 ?A