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等差数列第一课时习题(有答案)-数学高一必修5第二章数列2.2人教A版

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人教 A 版 数学习题 必修 5 第二章 2.4 第一课时

第二章

数列

2.4 等差数列 测试题
知识点一: 等差数列的定义与通项公式 1.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数列是( A.公差为 2 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 ) B.公差为 5 的等差数列 D.公差为 n 的等差

数列 )

2.已知等差数列{an}的首项 a1=4,公差 d=-2,则通项公式 an=( A.4-2n C.6-2n 3.已知数列{an},c 为常数,以下说法中正确的是( A.{an}是等差数列时,{can}不一定是等差数列 B.{an}不是等差数列时,{can}一定不是等差数列 C.{can}是等差数列时,{an}一定是等差数列 D.{can}不是等差数列时,{an}一定不是等差数列 4.已知等差数列{an}中,a1=2,且有 a5+a7=2a4+4,则 a3=( A.2 B.4 C.6 D.8 ) ) B.2n-4 D.2n-6 )

5.在首项为 81,公差为-7 的等差数列中,值最接近零的项是( A.第 11 项 C.第 13 项 B.第 12 项 D.第 14 项

6.(2013· 重庆高考)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=________. 7.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2· a4=12,a2+a4=8,则此数列的通项公式为________. a2-a1 8.若 x≠y,两个数列:x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则 b3-b2 =________. 9.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断 153 是不是这个数列的项,如果是, 是第几项? 10.假设某市 2012 年新建住房 400 万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增加 50 万平方米.那么从哪一年年底开始,该市每年新建住房的面积开 始大于 820 万平方米? 第 1 页共 1 页

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11.已知函数 f(x)=

3x ,数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2 且 n∈N*)确定. x+3

?1? (1)求证:?x ?是等差数列; ? n?

1 (2)当 x1=2时,求 x100.

12.已知两个等差数列:①3,7,11,…,139;②2,9,16,…,142,求它们的所有公共项.

知识点二: 等差中项与等差数列的性质 13.lg( 3+ 2)与 lg( 3- 2)的等差中项是________. 14.(2014· 威海高二检测)已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是( A.2 ) B.3 C.6 D.9 1 5 1 ,6x,x,则 a101=( x+1 )

15.等差数列{an}中,前 3 项依次是 1 A.503 2 B.133 2 C.24 D.83

16.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,若 a5+a6+a7+a8+a9=0,则( A.a5=6 C.a7=0 D.a9=0 17.若{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9=( A.39 B.20 C.19.5 D.33 B.a6=0

)

)

18.(2014· 青岛高二检测)在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列,则其公差为( b-a A. n C. b-a n+1 B. D. a-b n+1 b-a n-1

)

19. 设数列{an}、 {bn}都是等差数列, 且 a1=25, b1=75, a2+b2=100, 则 a37+b37 等于( A.0 B.37 C.100 D.-37 )

)

20.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( 第 2 页共 2 页

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A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根

21.等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 22.已知{an}为等差数列,a5+a7=4,a6+a8=-2,则该数列的正数项共有________项.

【参考答案】
1 【解析】 【答案】 【解析】 2 【答案】 【解析】 3. 由{an}的通项公式 an=2n+5 得,首项 a1=7,公差 d=2. A an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=-2n+6. C {an}是等差数列,公差为 d 时,{can}的公差为 dc,也一定是等差数

列,故 A 不对;{an}不是等差数列时,若 c=0,则{can}是等差数列,故 B 不正确; {can}是等差数列,c=0 时,{an}不一定是等差数列,故 C 不正确;从而选 D. 【答案】 【解析】 D 由 a5+a7=2a4+4 得

2a1+10d=2a1+6d+4, 4 ∴d=1,由 a1=2 得 an=2+(n-1)×1=n+1, ∴a3=4. 【答案】 B 【解析】 由 an=a1+(n-1)d 得 an=-7n+88,

88 4 令 an≥0,解得 n≤ 7 =127. 5 而 a12=4,a13=-3, 故 a13 的值最接近零. 【答案】 C 【解析】 6 由题意得该等差数列的公差 d= 9-2 7 = , 5-1 4

7 所以 c-a=2d=2. 7 【答案】 2 第 3 页共 3 页

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【解析】 7

a4=12, ?a2· ?a2=2, ?a2=6, 由? 得? 或? ?a2+a4=8, ?a4=6, ?a4=2,

∵d<0,∴a2=6,a4=2, ∴d=-2,∴an=10-2n. 【答案】 an=10-2n 【解析】 y-x 设两个数列的公差分别为 d1,d2,则 a2-a1=d1= 4 ,b3-b2=d2

8.

y-x a2-a1 5 = ,故 = . 5 b3-b2 4 【答案】 【解】 5 4 设首项为 a1,公差为 d,因为 a15=33,a61=217,

9.

?a1+14d=33, ?a1=-23, 则? 解得? ?a1+60d=217, ?d=4, 所以 an=-23+4(n-1)=4n-27, 令 an=4n-27=153,得 n=45,故 153 是此数列的第 45 项. 【解】 设从 2011 年年底开始,n 年后该市每年新建的住房面积为 an 万平方米. 由题意,得{an}是等差数列,首项 a1=400,公差 d=50. 则 an=a1+(n-1)d=350+50n.

10

47 令 350+50n>820,解得 n> 5 . 由于 n∈N*,则 n≥10. 即从2021年年底开始,该市每年新建住房的面积大于820万平方米. 【解】 (1)证明:xn=f(xn-1)= 3xn-1 (n≥2 且 n∈N*), xn-1+3

1 xn-1+3 1 1 ∴x = =3+ , 3xn-1 xn-1 n 11 1 1 1 即x - =3(n≥2 且 n∈N*). n xn-1
?1? ∴?x ?是等差数列. ? n?

n-1 n+5 1 1 1 (2)x =x +(n-1)×3=2+ 3 = 3 ,
n 1

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100+5 1 = =35,∴x100= . x100 3 35 1

两个等差数列 5,8,11,…和 3,7,11,…都有 100 项,则它们有多少个共同的项? 法一 设两个数列分别为{an}与{bk}.

则 a1=5,d1=8-5=3,通项公式 an=5+(n-1)· 3=3n+2; b1=3,d2=7-3=4,通项公式 bk=3+(k-1)· 4=4k-1. 设数列{an}的第 n 项与{bk}的第 k 项相同, 则 an=bk,即 3n+2=4k-1, 4 ∴n=3k-1.而 n∈N*,k∈N*, ∴k 必须为 3 的倍数. 设 k=3r(r∈N*),得 n=4r-1, ?1≤3r≤100, 1 101 由条件知? 解得2≤r≤ 4 . ?1≤4r-1≤100, 又∵r∈N*,∴1≤r≤25, ∴共有 25 个共同的项. 法二 由法一知两数列的通项公式分别为 an=3n+2,bk=4k-1.

设共同项构成新数列{cn},则 c1=11. 由于数列{an},{bk}为等差数列, ∴数列{cn}仍为等差数列,且公差为{an},{bk}公差的最小公倍数,即 d=12. ∴cn=11+(n-1)· 12=12n-1. 又∵a100=302,b100=399, ∴cn=12n-1≤302,∴n≤25.25, ∴知两数列有25个共同项. 【解】 数列①的通项公式为 an=4n-1(n≤35,且 n∈N*).数列②的通项公式

为 bm=7m-5(m≤21,且 m∈N*). 令an=bm, 即4n-1=7m-5, ∴4(n+1)=7m.∵4与7互质, ∴m是4的倍数. 令 12 依题意, m = 4k(k ≤ 5 ,且 k ∈ N*) ,∴ n + 1 = 7k , n = 7k - 1. 这样当 k = 1,2,3,4,5 时相应的 n = 6,13,20,27,34,m=4,8,12,16,20.故两数列的公共项是23,51,79,107,135. 13 【解析】 lg( 3+ 2)+lg( 3- 2)=lg(3-2)=0,所以 lg( 3+ 2)与 lg( 3-

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2)的等差中项是 0. 【答案】 【解析】 14 0 由题意 2m+n=10,2n+m=8,两式相加得

m+n 3m+3n=18,∴m+n=6,∴ 2 =3. 【答案】 B 【解析】 5 1 1 ∵2×6x= +x, x+1

15

1 5 ∴x=2,∴a1=3,a2=12, 1 2 ∴d=12,∴a101=83. 【答案】 D 【解析】 ∵{an}为等差数列,∴a5+a9=a6+a8=2a7,

16

∴a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,∴a7=0. 【答案】 【解析】 C ∵a1+a4+a7=3a4=45,∴a4=15.

∵a2+a5+a8=39,∴3a5=39,∴a5=13. 17 ∴d=a5-a4=-2,∴a6=a5+d=11, a3+a6+a9=3a6=3×11=33. 【答案】 【解析】 【答案】 【解析】 D ∵a1=a,an+2=b,∴b=a+(n+1)d,∴d= C ∵{an}与{bn}为等差数列,∴{an+bn}为等差数列. b-a . n+1

18

又 a1+b1=100,a2+b2=100, 19 ∴{an+bn}的首项为 a1+b1,公差为 100-100=0, ∴a37+b37=(a1+b1)+(37-1)d=100. 【答案】 20 【解析】 C 由于 a4+a6=a2+a8=2a5,即 3a5=9,

∴a5=3,方程为 x2+6x+10=0,无实数解.

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【答案】 【解析】

A ∵a5=a2+3d,∴3d=6,∴a6=a3+3d=7+6=13,或∵a3+a5=a2

21 +a6,∴7+a2+6=a2+a6,∴a6=13. 【答案】 【解析】 13 ∵a5+a7=2a6=4,a6+a8=2a7=-2,

∴a6=2,a7=-1,∴d=a7-a6=-3, 22 ∴an=a6+(n-6)d=2+(n-6)×(-3)=-3n+20. 20 令 an≥0,解得 n≤ 3 ,即 n=1,2,3,…,6,该数列的正整数项共有 6 项. 【答案】 6

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