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圆锥曲线一个结论的推广


探究 2   已知双 曲线  一  一1 ( n >0 , 6 >0 ) , 在  实 轴上 有一定 点 M( x 。 , 0 )(  。 >n ) , P为 双 曲线 右 支 

上 一动 点 , 探究 l   P MI 取最 小值 时 P点 是否在 右顶 点.  

, Q l - 解   析   设P ( x ,   ) 是 双 曲

线 右 支 上 任 意 一 点, 则  
  l P M1  二 = ( z ~z 。 )  +Y   一z 。 一2  。 x +x   + 
5 2 z2 一b   一 ( 1 +  5 2 )  2


2 x o x +. z j —b   一  


- - -

2 C 。 一2 xo   S C +z  — b 。 .  





河南

薛灿 乐  

对 称轴 为 z一“ 7x 。 , 则 
在椭 圆  +  一1 ( n >6 >o ) 中, 若 F z 是右 焦 点 ,  
n2  
z 。一  

a2  
一  

a c2  
o一  

口2
,  

f2
、  

—  

z 。一  

P为 椭 圆上一动 点 , 当I   P F   l 取 最 小 值 时 P点 在 长轴 
的右顶 点 A  , 那 么若 在 z轴 上 取一 点 M ( z 。 . 0 ) ( O ≤  ① 当  。 >  时 ,   。 >“ , 二 次 函 数 的对 称 轴 在 

z 。 <n ) , l P M1 取 最小值 时 P是 否还在 右顶 点 A  z ? 在 
双 曲线 和抛物 线 中也有类 似 情形 , 笔 者 对 这个 问题 进 

[ n , +。 。 ) 上,  一“ _z 。 时1   P M1 。 取最小值 , 即1   P MI 取 
最 小值. 此 时 P 点不在 实轴 的右顶 点.   ② 当n <z 。 ≤  时 ,   。 ≤n , 二次 函数在 E a ,  

行 了一些 探讨 , 希 望 对 圆 锥 曲 线 的 性 质 有 更 多 的 
了解 .   探究 1   已知 椭 圆 x   z 十y   Z — l( n >6 >0 ) ,在 长 

轴上有 一定 点 M ( x 。 , 0 )( O ≤z 。 <n ) , P为 椭 圆上 一 
动点, 探究1   P MI 取 最小值 时 P点 是否在 右顶 点.  

+。 。 ) 上 递增 ,  —n时 f P Ml  取最 小值 , 即f P Ml 取最 
小 值. 此 时 P点 在实轴 的右顶 点 .   结 论  当点 M ( x 。 . 0 ) 中 a <x 。 ≤  时 动点 P 在 

Q  祭 析   设P ( x ,   ) 是 椭 圆 上 任 意 一 点 , 则  
I P MI   z 一(  —z 。 ) z +y z —  z 一2 X o X+  + 
b z ~  工z :( 1 一  ) X2 -2 z。 z+ z o 2 +5   一 

实轴 的右顶 点 时到 M 距离 最近 , 此 时右焦 点 F 。 ( c , 0 )  
也在 这个 范 围. 当 z 。 >L 时 I   P MI 取 最 小值 时 P点 不  在 长轴 的右顶 点 A   .   探究 3   已知抛物 线 Y   一2 p x(  > O ) , 在对 称轴 

z。 一2 x 0  +z   +b   .  

对称 轴为 z 一   z 。 , 则 
a2  

上 有一定 点 M ( x 。 , 0 )( z 。 >0 ) , P 为抛 物 线 上 一 动 
点, 探究I P MI 取最 小值 时 P点是 否在顶 点 .  

o 一 。 一   譬 X o ~    一 a C 2 _ 一   a   2 (   。 一   鲁 ) .  
。一 n 一

Q  析   设P ( x ,   ) 是 抛 物 线 上 任 意 一 点, 则  
I P MI  一 (  —z 。 )   +v 2 一z 2 —2 X o X + 
z   +2 声 z— z 。 + ( 2  一 2 z0 ) z+ 工   .  

① 当z 。 ≥  时,   z 。 ≥n , 二次 函数在 [ 一n , n ] 上  n  C。  
递减, z — 时 I P M  J  取 最小 值 , 即I P MI 取最 小值 . 此 

对 称轴 为  —z 。 一P,  

时 当 P点在 长轴 的右顶 点 A  .   ② 当z 。 <  时 ,  . T o <n , 二 次 函数在 [ 一n ,  ] 上 
n  f一  

① 当z 。 ≤  时 , 二 次 函数 的对 称 轴 在 ( 一o 。 , o l   上, 二 次 函数在 [ O , +。 。 ) 上递 增 ,  一0时 f P M  J 。 取 最  小值 , 即I P Ml 取最小 值. 此 时 P点 在顶点 处.   ② 当z 。 >P时 , 二次 函数 的对 称轴 在 [ O , +。 。 ) ,   —z 。 一P时 1   P Ml  取 最小 值 , 即I   P Ml 取 最小 值. 此 
时 P点 不在顶 点处 .  

没 有单 调性 , z=a   - z 。时 I   P MI   取 最小值 , 即I   P Ml 取  最 小值 . 此 时当 P点不 在长轴 的右 顶点 A   .   结论  当点 M ( x 。 , 0 ) 中  ≤  。 < 口时动 点 P 在 
长轴 的右 顶 点 A 时 到 M 距 离 最 近 , 此时右焦点 F   也在 这个 范 围. 当 0 ≤z 。 <一 C时 I   P Ml 取 最小 值 时 P   点 不在长 轴 的右顶点 A。 .  

结论

当点 M( x 。 , 0 ) 中0 <x 。 ≤p时 动点 P 在实 

轴 的右 顶点 时到 M 距离 最近 , 此 时 F(   , o ) 也 在此 范 

围. 当- z 。 >  时 , I P M1 取最 小值 时 P点不 在顶点 处.  
( 作者 单位 : 河 南省济 源第一 中学)  

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