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课件组合


(1)指标表示法和符号约定
指标表示法

笛卡尔张量

x、y、z 分别计作 x1、x2、x3, ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3,
G G G i , j, k

分别计作 e1 , e2 , e3 ,

G

G

G

/>
G G G K K K K a = ax i + a y j + az k = a1e1 + a2 e2 + a3e3

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

求和约定 在同一项中如有两个指标相同时,就表示对该指标从1到3求和,

自由指标和哑指标 重复出现的指标称为哑指标,改变哑指标的字母不改变表达式的 内容,

G ai ai = a12 + a2 2 + a32 = a

G G ai bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a ? b

ai ai = a j a j
矢量 a 也可表示为, ai i 是自由指标,可取1、2、3。

K K K K G ai ei = a1e1 + a2 e2 + a3e3 = a

K

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

克罗内克(Kronecker)符号

克罗内克(Kronecker)符号

δ ij = ?

?0 ?1

i≠ j

δ ij 符号具有以下重要性质:

i= j

δ ij = δ ji
δ ij a j = ai
δ ii = 3
δ ijδ jk = δ ik
δ ijδ ij = δ ii = 3

(δ12 = δ 21 , δ 31 = δ 13 )

( δ 1 j a j = δ11a1 + δ12 a2 + δ 13 a3 = a1 ,

δ 2 j a j = a2 , δ 3 j a j = a3 , δ ij a j = ai )
( δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3 )

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

置换符号 ε ijk

置换符号

ε ijk

ε ijk 有以下重要性质:

ε ijk

?0 ? =?1 ?? 1 ?

i、j、k 中有两个以上指标相同时
i、j、k 偶排列,123,231,312

ε ijk ε ist = δ jsδ kt ? δ jtδ ks

i, j, k 奇排列 ,213,321,132

ε ijk ε ijt = 2δ kt
ε ijk ε ijk = 2δ kk = 6

( ε ijk ε ijt = δ jjδ kt ? δ jt δ kj = 3δ kt ? δ kt = 2δ kt )

ε ijk δ ij = 0

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

矢量运算举例

矢量运算举例

δ ij = ei ? e j G G G G G G G G e1 × e2 = e3 = ε123e3 , e2 × e1 = ?e3 = ε 213e3 G G G ei × e j = ε ijk ek
G G G G G G G G G G e1 ? (e2 × e3 ) = e1 ? e1 = 1 = ε123 , e1 ? (e3 × e2 ) = e1 ? (?e1 ) = ?1 = ε132 K K K ε ijk = ei ? e j × ek

K K

K K K K K K a ? b = (ai ei ) ? (b j e j ) = ai b j (ei ? e j ) = ai b jδ ij = ai bi G e1 G G G G G G G a × b = ai ei × b j e j = ei × e j ai b j = ε ijk ai b j ek = a1 b1 G G ε ijk a j a k = a × a = 0
K K × b ) ? c = (ε (a K
ijk i

G e2

G e3

a2 b2

a3 b3

(

)

K K K K a b j ek ) ? ( cl el ) = ε ijk ai b j cl ( ek ? el )

a1 = ε ijk ai b j cl δ kl = ε ijk ai b j c k = b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定 G G G G G G G G v = i + 2 j ? 5 k , w = 3 i ? j + k 例题2. 已知, , 求: G G G G G G (1).v ? w; (2).v × w; (3). v ? v ;

(1).ai ai ; 解: (1).ai a i = a1 a1 + a 2 a 2 + a3 a 3
例题1. 展开下列求和式,

( 2).a jk a kj .

G G (4).e1 ? v ;

G G (5).e2 × v ;

G G G G G G (6).r × v , r = xi + yj + zk 是位置矢量.

(2).a jk akj = a1k ak 1 + a2 k ak 2 + a3k ak 3 = a11a11 + a12 a21 + a13 a31 + a21a12 + a22 a22 + a23 a32 + a31a13 + a32 a23 + a33 a33

解: v ? w = vi wi = v1 w1 + v 2 w2 + v3 w3 = 1 × 3 ? 2 × 1 ? 5 × 1 = ?4
.

G G

G G G G G e1 e2 i j k G G G G G a × b = ε ijk ai b j ek = a1 a2 v × w = 1 2 ?5 b1 b2 3 ?1 1 G G G = i (2 × 1 ? 1× 5) + j (?3 × 5 ? 1× 1) + k (?1× 1 ? 2 × 3) G G G = ?3 i ? 16 j ? 7 k

G e3 a3 b3

G G v ? v = vi vi = v1v1 + v2 v2 + v3v3 = 12 + 22 + 52 = 30

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

G G G G e1 ? v = e1 ? v j e j = δ 1 j v j = v1 = 1

G G G G G G e 1 ?v = i ? (i + 2 j ? 5k ) = 1

例题3. 证明 u × (v × w) = v (u ? w) ? w(u ? v )

G

G

G

G G G

G G G

G G G G G G G G G G G G e1 × v = i × (i + 2 j ? 5k ) = 2i × j ? 5i × k = 2k + 5 j
G G G i j k G G G G G r × v = x y z = (?5 y ? 2 z )i + ( z + 5 x) j + (2 x ? y )k 1 2 ?5

G G G G G G G e1 × v = e1 × vi ei = e1 × ei vi = ε1ij e j vi G G G G G G = ε123v2 e3 + ε132v3e2 = v y k ? vz j = 2k + 5 j

G G G ei × e j = ε ijk ek

证明:

G G G G G u × (v × w) = ε ijk u j (v × w) k = ε ijk u j ε klm vl wm = ε ijk ε lmk u j vl wm
= (δ ilδ jm ? δ imδ jl )u j vl wm = vi u j w j ? wi u j v j G G G G G G = v (u ? w) ? w(u ? v )
G G a × b = ε ijk ai b j = ε kij ai b j = ε ijk a j bk

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

哈密顿算子 一个具有微分及矢量双重运算的算子,
K ? K ? K ? ?=i + j +k ?x ?y ?z

哈密顿算子 利用哈密顿算子进行运算时,先进行微分运算,后进行矢量运算。

K ? K ?φ ?φ = ei (φ ) = ei ?xi ?xi
?a j ?ai K ?K ? ? K K K ?a j ??a = ? ? ei ?x ? ? ? (a j e j ) = (ei ? e j ) ?x = δ ij ?x = ?x i i i i ? ?

梯度

利用张量表示法哈密顿算子可写为

K ? ? = ei ?xi

散度

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

哈密顿算子

G ?a G ?a G ?a ε ijk ek j = ε kij ek j = ε ijk ei k ?xi ?xi ?x j

G G ? G G G ?a j G ?a j G ?a ? × a = ( ei ) × ( a j e j ) = ei × e j = ε ijk ek = ε ijk ei k ?xi ?xi ?xi G G?x j G
e1 ?a ?a G ?a G ?a ?a G ?a ? = e1 ( 3 ? 2 ) + e2 ( 1 ? 3 ) + e3 ( 2 ? 1 ) = ?x1 ?x 2 ?x3 ?x3 ?x1 ?x1 ?x 2 a1 e2 ? ?x 2 a2

G G 例题1. 分别写出 ?φ , ? ? ?φ , ? ? a , ? × a 在直角坐标下的表达式. K ?φ ?φ K ?φ K ?φ K = i+ j+ k 解: ?φ = ei ?z ?xi ?x ?y

e3 ? ?x3 a3

? ? ?φ =

? ?φ ? 2φ ? 2φ ? 2φ ( )= 2 + 2 + 2 ?xi ?xi ?x ?y ?z

旋度
G ? G ? G G ? ?φ ? ?φ ? ?φ ? ? ?φ = (ei ) ? (e j )φ = ei ? e j ( ) = δ ij ( )= ( ) ?xi ?x j ?xi ?x j ?xi ?x j ?xi ?xi

?a y ?a z ?a K ?a + ??a = i = x + ?y ?xi ?x ?z G G G G e1 e2 e3 i

G ? ?×a = ?x1 a1

? ?x2 a2

? ? = ?x3 ?x ax a3

G j ? ?y ay

G k ? ?z az

拉氏算子

G ?a G ?a ?a G ?a ?a ?a = i ( z ? y ) + j( x ? z ) + k( y ? x ) ?y ?z ?z ?x ?x ?y

G G G G G 例题2. r = x i + y j + z k 是位置矢量, r = r ,

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

证明: G r G G G G G G (1).?r = ; (2).? ? r = 3; (3).? × r = 0; (4)? (a ? r ) = a , a 是常矢量. r

(1). 证明:

G G ?r G xi r ?r = ei = ei = , r r ?xi

(3).

以上证明中用到

G G ? G G G ?x j G ?x j ? × r = ei × ( x j e j ) = ei × e j = ε ijk ek ?xi ?xi ?xi G G = ε ijk ek δ ji = ε iik ek = 0
G ? G ?x (a j x j ) = ei a j j ?xi ?xi G G = ei a jδ ij = ei ai = a G G

?r ? = x2 + y 2 + z 2 = ?x ?x
(2). ? ? r = ei

x x +y +z
2 2 2

, 即

?r xi = . ?xi r

(4). ?( a ? r ) = ei

G

G ? G G G ?x j ? ( x j e j ) = ei ? e j ?xi ?xi = ?xi = δ ii = 3 ?xi

= δ ij

?x j ?xi

G ?x ?y ?z ??r = + + =3 ?x ?y ?z

(1)指标表示法和符号约定

(1)指标表示法和符号约定

G 例题3. 证明 ? ? (? × a ) = 0, ? × ?s = 0.
G ? ? ?s G 证明: ? × ?s = ε ijk e (?s ) k = ε ijk ( ) ei i ?x j ?x j ?x k

G G ?a ? × a = ε ijk ei k ?x j

?a G G G ? ? ? (? × a ) = ei ? (ε jlm m e j ) ?xi ?xl = ε jlmδ ij = ε123 ? ?am ? ?am ( ) = ε mjl ( ) ?xi ?xl ?x j ?xl

? ?s ? ?s ? ?s ? ?s G G = e1[ε123 ( ) + ε132 ( )] + e2 [ε 231 ( ) + ε 213 ( )] ?x2 ?x3 ?x3 ?x2 ?x3 ?x1 ?x1 ?x3 ? ?s ? ?s G + e3 [ε 312 ( ) + ε 321 ( )] ?x1 ?x2 ?x2 ?x1

? ?a1 ? ?a1 ? ?a2 ? ?a2 ( ) + ε132 ( ) + ε 231 ( ) + ε 213 ( ) ?x2 ?x3 ?x3 ?x2 ?x3 ?x1 ?x1 ?x3 ? ?a3 ? ?a3 ( ) + ε 321 ( ) ?x1 ?x2 ?x2 ?x1

+ ε 312 =

? ?s ? ?s ? ?s G ? ?s G ? ?s G ? ?s = e1[ ( )? ( )] + e2 [ ( )? ( )] + e3 [ ( ) ? ( )] ?x2 ?x3 ?x3 ?x2 ?x3 ?x1 ?x1 ?x3 ?x1 ?x2 ?x2 ?x1 =0

? ?a2 ? ?a2 ? ?a3 ? ?a3 ? ?a1 ? ?a1 ( )? ( )+ ( )? ( )+ ( )? ( ) ?x1 ?x3 ?x1 ?x2 ?x2 ?x1 ?x2 ?x3 ?x3 ?x2 ?x3 ?x1

=0

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量
标量、矢量和张量 标量是一维的量,它只需1个数及单位来表示,如温度、密度。 二阶张量 矢量则不仅有数量的大小,而且有指定的方向,它必需由某一空间 坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示,矢量是三维的量。 三维空间中的二阶张量是一个9维的量,必须用9个分量才可完整的 表示,如应力,变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量,标量为零阶张量,而矢量为一阶张 量。 笛卡尔张量。 二阶张量有 9 个分量,二阶张量通常也可表示为矩阵形式,即 标量、矢量和张量

? p11 ? pij = ? p21 ?p ? 31

p12 p22 p32

p13 ? ? p23 ? p33 ? ?

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

二阶张量的代数运算 张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 a = aij,
b = bij ,若

二阶张量的代数运算 张量加减 设 a = aij 、 b = bij ,则

a=b


a ± b = aij ± bij
张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减,只有同阶的张量才 能相加减。

aij = bij
若两个张量在某一直角坐标系中相等,则它们在任意一个直角坐标 系中也相等。

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

二阶张量的代数运算 并矢 两个矢量

二阶张量的代数运算 张量乘积 设 a = aij 、 b = bkl ,分量相乘,

K K K K a = ai ei , b = b j e j 的并矢定义为
a1b2 a 2 b2 a3b2 a1b3 ? ? a2 b3 ? a3b3 ? ?

? a1b1 ? KK ab = ai b j = ? a2 b1 ?a b ? 3 1

cijkl = aij bkl
cijkl 是 4 阶张量.
可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。

也可写成

KK KK ab = (ai b j )ei e j
并矢是一个二阶张量。坐标单位矢量的两两并矢 ei e j 称为并基, 三维空间的二阶并基共有9个。 并矢运算不服从交换律。

KK

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

二阶张量的代数运算 张量数乘 二阶张量 a 乘以标量 λ ,

二阶张量的代数运算 点积和双点积

b = λa

,则

1). 张量点积

bij = λaij
张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。

KK KK 设 a = aij ei e j , b = bij e ,定义点积为 ie j
KK KK a ? b = (aij ei e j )? (bkl ek el )

KK KK = aij bkl δ jk ei el = aij b jl ei el
二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算,得到 一个新的二阶张量。

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

二阶张量的代数运算 点积和双点积 2). 二阶张量与矢量的点积

二阶张量的代数运算 点积和双点积

K K KK K K a ? b = (ai ei ) ? b jk e j ek = ai b jk δ ij ek = ai bik ek

K KK K K K b ? a = ( bij ei e j ) ? ( ak ek ) = bij ak eiδ jk = bij a j ei
矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。 3). 二阶张量的双点积

a ? b = aij b jl K a ? b = ai bik K b ? a = bij a j a : b = aij bij

KK KK a : b = (aij ei e j ) : (bkl ek el ) = aij bklδ ik δ jl = aij bij
二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 共轭张量
设 P 是一个二阶张量,则 p c 也为一个二阶张量,称为 P 的共轭张量。

共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 对称张量 若二阶张量分量

sij 之间满足

p = pij

p c = p ji
p12 p22 p32 p21 p22 p23 p13 ? ? p23 ? p33 ? ? p31 ? ? p32 ? p33 ? ?

sij = s ji
则称此张量为对称张量,可表示为
? s11 ? s = sij = ? s12 ?s ? 13 s12 s22 s23 s13 ? ? s23 ? s33 ? ?

? p11 ? P = pij = ? p21 ?p ? 31 ? p11 ? Pc = p ji = ? p12 ?p ? 13

一个对称张量,只有6个独立的分量。

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 反对称张量 若二阶张量分量 aij 之间满足

共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和,

aij = ?a ji
则称此张量为反对称对张量,可表示为

p=

1 (p + pc ) + 1 (p ? pc ) 2 2

? 0 ? a = aij = ? ? a12 ? a ? 31

a12

0
?a23

?a31 ? ? a23 ? 0 ? ?

容易验证上式右边第一项是对称张量,第二项是反对称张量。

一个二阶反对称张量只有3个独立的分量,对角线各元素均为零。

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

张量的微分运算 梯度

张量的微分运算 散度

K K 设矢量 a = ai ei ,则
?a j K K K ?K ? ? K ?a = ? ? ei ?x ? ?(a j e j ) = ?x ei e j i ? i ?
一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲,一个 n 阶张 量的梯度是 n + 1 阶张量。

KK 设二阶张量 p = pij ei e j ,
?p jk K ?p jk K ?K ? ? KK ? ?p = ? ? ei ?x ? ? ? ( p jk e j ek ) = ?x δ ij ek = ?x ek i ? i j ?

K ?a ?a = j ?xi

一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲,一个 n 阶张量的散度 是 n ? 1 阶张量。
??p = ?p jk ?x j

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

例题1. 设 u = u i + v j + w k ,求

G

G

G

G

G G u ? ?u.

?u G G G G ? G 解: ?u = ei (u j e j ) = j ei e j ?xi ?xi ?u G ?u G G G G ?u G G u ? ?u = uk ek ? ( j ei e j ) = δ ki uk j e j = ui j e j ?xi ?xi ?xi G ?u ?u ?u G ?v ?v ?v = i ( u + v + w ) + j (u + v + w ) + ?x ?y ?z ?x ?y ?z G ?w ?w ?w +v +w ) + k (u ?x ?y ?z

? G G ? ? G G G ? = (ui ei ) ? (e j (u ??) ) = ui ei ? e j = ui δ ij = ui ?x j ?x j ?x j ?xi ?u G ? G G G (u ??)u = ui (u j e j ) = ui j e j ?xi ?xi ?u j G G G 以上结果与 u ??u = ui e j 相同。 ?xi

?u G G G G u ??u = (u ??)u = u j i ?x j

(2)笛卡尔张量

(2)笛卡尔张量

例题2.

G G G GG 已知 u = ?byi + bxj , 其中b为常数,求 ?( ? uu ).

GG G ? GG ? G ? G ? (u j uk e j ek ) = δ ij (u j uk )ek = (u j uk )ek 解: ? ? (uu ) = ei ?xi ?xi ?x j ?u j G ?u G G G G G = uk ek + u j k ek = u (? ? u ) + u ? ?u ?x j ?x j ? G ? ? ? u = (?by ) + (bx ) = 0, 并由上题结果, ?x ?y ?u G G ? ?u ?u ? GG G G G G ? ? (uu ) = u ? ?u = (u ? ?)u = u j i ei = i ? u + v ? + ?x j ?y ? ? ?x

例题3. 写出下述方程在直角坐标系中的表达式 ? G GG G ( ρ u ) + ? ? ( ρ uu ) = ??p + ? ? τ + ρ g ?t 式中τ是偏切应力张量(二阶张量). 解: 将上述矢量用张量表示法写出,
? ? ?p ?τ ji ( ρ ui ) + ( ρ u j ui ) = ? + + ρ gi ?t ?x j ?xi ?x j ?τ ?τ ? ?( ρ uu) ? ( ρ vu) ? ( ρ wu) ?p ?τ ( ρ u) + + + = ? + xx + yx + zx + ρ g x ?t ?x ?y ?z ?x ?x ?y ?z ? ? ( ρ uv ) ? ( ρ vv ) ?( ρ wv ) ?p ?τ xy ?τ yy ?τ zy ( ρ v) + + + =? + + + + ρ gy ?t ?x ?y ?z ?y ?x ?y ?z ?τ ?τ ?p ?τ ? ?( ρ uw) ? ( ρ vw) ? ( ρ ww) = ? + xz + yz + zz + ρ g z ( ρ w) + + + ?z ?z ?x ?y ?z ?t ?x ?y

G ? ?v ?v ? j ?u + v ? ?y ? ? ?x

G? ?(?by ) ? (?by ) ? G ? ? (bx ) ? (bx ) ? = i ? ?by + bx ? + j ??by ?x + bx ?y ? ? ? x y ? ? ? ? G G G = ? b2 xi ? b2 yj = ?b2 r

GG ? ? ? (uu ) = (u j uk ) ?x j

(2)笛卡尔张量

例题4.设τ是对称张量,证明

G G G τ : ? u = ? ? ( τ ? u ) ? u ? (? ? τ )
(3) 各向同性张量 在连续介质力学中,通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无 关,即介质是各向同性的连续介质。表示这类力学性质的张量称为 各向同性张量,如流体粘性,电导率等。在数学上可作如下定义, 若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值,经过任一正交 坐标变换后均保持不变,则称此张量为各向同性张量。

?u j ?u G G G ?u G G 证明: τ : ?u = τ ij ei e j : ( l ek el ) = τ ij l δ ik δ jl = τ ij ?xk ?xk ?xi G GG G G G τ ? u = τ ij ei e j ? (uk ek ) = τ ij uk δ jk ei = τ ij u j ei G G ? G ? (τ ij u j )δ ik ? ? ( τ ? u ) = ek ? (τ ij u j ei ) = ?xk ?xk = ? (τ ij u j ) = u j + τ ij ?xi ?xi ?xi ?τ ij ?u j

?τ jk G ??τ = ek ?x j ?τ jk ?τ ?τ G G ?τ jk G ek ) = ul δ lk = ul jl = u j ij u ? (? ? τ ) = ul el ? ( ?x j ?x j ?x j ?xi ?τ ij ?u j ?τ ij ?u j G G G ? ? ( τ ? u ) ? u ? (? ? τ ) = u j + τ ij ?uj = τ ij = τ : ?u ?xi ?xi ?xi ?xi

(3) 各向同性张量

(3) 各向同性张量

零阶张量(标量)和任意阶零张量都是各向同性张量。零张量是指 全部分量值均为零的张量。 一阶张量(矢量)除零矢量外,都是各向异性张量。 二阶各向同性张量都可写成 三阶各向同性张量都可写成

四阶各向同性张量都可表示为

H ijkl = νδ ijδ kl + αδ ik δ jl + βδ il δ jk
其中 ν 、α 、β 都是标量常数。当 i、j 两指标对称时

λδ ij的形式,其中 λ为一标量常数。

σε ijk 的形式,其中 σ为一标量常数。

H ijkl = νδ ijδ kl + ? (δ ik δ jl + δ ilδ jk )
其中 ν 和 ? 都是标量常数。 H ijkl 对 k 和 l 也是对称的。

两点说明 矢量和张量的两种表示法-----实体表示法与分量表示法

自由指标和求和指标

G a G ai ei ai

GG σ ij ei e j

σ

?a G G ? × a = ε ijk k ei ?x j ?a G ? × a = ε ijk k ?x j

? ? ?p ?τ ji + + ρ gi ( ρ ui ) + ( ρ u j ui ) = ? ?t ?x j ?xi ?x j
1. 如果在方程的每一项中, 指标仅出现1次, 该指标是自由指标, 该方程代表了3个标量方程,同一方程各项的自由指标相同; 2. 如果在方程的某一项中, 指标出现2次,该指标是哑指标, 表示 分别对该指标取1,2,3, 并求和; 3. 在方程的任一项中,任何指标出现次数不能多于2。

σ ij

1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径 统计方法

第 一 部 分 流体力学的控制方程 第 一 章 流体力学的基本概念
把流体看作由运动的分子组成,认为宏观现象起源于分子运动,运 用力学定律和概率论预测流体的宏观性质。 对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程,给出 输运系数(μ,κ)的表达式。 对于单原子气体有成熟理论,对多原子气体和液体理论尚不完善。

1

2

1.1 连续介质假说

1.1 连续介质假说

连续介质方法 推导流体力学基本方程的两条途径 连续介质方法 把流体看作连续介质,而忽略分子的存在,假设场变量(速度、密 度、压强等)在连续介质的每一点都有唯一确定的值,连续介质遵 守质量、动量和能量守恒定律,从而推导出场变量的微分方程组。 流体力学采用连续介质的方法 当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时,可用统 计平均的方法定义场变量如下:

u = lim (
?V →ε

∑ v ?m ) ∑ ?m

?V

ρ = lim (
?V →ε

∑ ?m ) ?V
?

v
?m

ε 在微观上充分大统计平均才有确 定的值;宏观上充分小,统计平均 才能代表一点的物理量变化。

3

4

1.1 连续介质假说

1.1 连续介质假说

连续介质方法的适用条件

1 n

ε

L3
连续介质方法失效场合 火箭穿越大气层边缘,微观特征尺度接近宏观特征尺度; 研究激波结构,宏观特征尺度接近微观特征尺度。

n 为单位体积的分子数(特征微观尺度是分子自由程); L 为最小宏观尺度。 在通常温度和压强下,边长 2 微米的立方体中大约包含 2×108 个气 体分子或 2×1011 液体分子;在日常生活和工程中,绝大多数场合均 满足上述条件。 连续介质方法无论对气体和液体都适用。

5

6

1.1 连续介质假说

1.2 欧拉和拉格朗日参考系
流体质点 由确定流体分子组成的流体团,流体由流体质点连续无间隙地组 成,流体质点的体积在微观上充分大,在宏观上充分小。 流体质点是流体力学学科研究的最小单元。 当讨论流体速度、密度等变量时,实际上是指流体质点的速度和 密度。 欧拉参考系 着眼于空间点,在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。 独立变量 x, y, z, t,

u = u ( x, y , z , t ) ρ = ρ ( x, y , z , t )
当采用欧拉参考系时,定义了空间的场。 x, y, z 变化, t 不变; t 变化, x, y, z 不变时场参数的物理意义。

7

8

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

拉格朗日参考系 着眼于流体质点,描述每个流体质点自始至终的运动,即它的位置 随时间的变化,

拉格朗日参考系 在欧拉参考系中 x, y, z, t 是相互间无函数关系的独立变量。在拉格 朗日参考系中 x, y, z 不再是独立变量,他们都是时间 t 的函数, x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0) z - z0 = w (t - t0) 用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点,而用 t 来确定流体质点的不同 空间位置。 气象站和气象气球,鸟的迁徙等。

r = r ( x0 , y0 , z0 , t )
式中 x0 , y0 , z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。 独立变量 x0 , y0 , z0 , t。 T =T (x0 , y0 , z0 , t),

ρ=ρ(x0 , y0 , z0 , t)
x0, y0, z0 变化, t 不变; t 变化, x0, y0, z0不变时变量的物理意义。

9

10

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数 欧拉参考系:

u = u ( x, y , z , t )
某一空间点上的流体速度随时间的变化,称当地导 数或局部导数。

物质导数 流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数,随体 导数。 设场变量 α ,则
Dα 表示某一流体质点的 α 随时间的变化,即一 Dt

? ?u ? ? ? ? ?t ? x , y , z

拉格朗日参考系: u = u ( x 0 , y 0 , z 0 , t )

? ?u ? ? ? ? ?t ? x0 , y0 , z0 流体质点的速度随时间变化,即加速度。
在欧拉参考系下用

个观察者随同流体一起运动,并且一直盯着某一特定流体质点时所 看到的 α 随时间的变化。
Dα Dt

Du 表示流体质点的速度变化。 Dt

是拉格朗日参考系下的时间导数。

11

12

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

Dα 在欧拉参考系下的表达式(在欧拉参考系下推导) Dt

Dα Dt

在欧拉参考系下的表达式(在拉格朗日参考系下推导)

t 时刻,

α = α ( x, y , z , t )
α = α ( x, y, z, t ) 是流体质点的某物理量,式中 x, y, z 是流体质点的坐 标, x, y, z 不再是独立变量,而是 x0 , y0 , z0 , t 的函数。

t + δt 时刻, α = α ( x + δx, y + δy, z + δz , t + δt )
泰勒级数展开,

?t ?x ?y ?z Dα 1 = lim [α ( x + δ x, y + δ y , z + δ z , t + δ t ) ? α ( x, y , z , t ) ] Dt δ t →0 δ t ? ?α δ x ?α δ y ?α δ z ?α ? = lim ? + + + δ t → 0 ?t δ t ?x δ t ?y δ t ?z ? ? ?
= ?α ?α ?α ?α +u +v +w ?t ?x ?y ?z
13

α ( x + δ x, y + δ y , z + δ z , t + δ t ) ?α ?α ?α ?α = α ( x, y , z , t ) + δt + δx+ δy+ δz

α = α ( x, y, z, t ) = α [ x( x0 , y0 , z0 , t ), y ( x0 , y0 , z0 , t ), z ( x0 , y0 , z0 , t ), t ]
Dα ?α = ?t Dt + =
x0 , y0 , z0

?α ?t

+
x, y , z

?α ?x

y , z ,t

?x ?t

+
x0 , y0 , z0

?x ?y

x , z ,t

?y ?t

+
x0 , y0 , z0

?α ?z

x , y ,t

?z ?t

x0 , y0 , z0

?α ?α ?α ?α = +u +v +w ?t ?x ?y ?z
14

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

矢量和张量形式的物质导数

正交曲线坐标系
Dα ?α ?α ?α ?α = +u +v +w ?t ?x ?y ?z Dt ?α ?α = + uk ?t ?xk

Dα ?α ?α = + uk Dt ?t ?xk
Dα ?α = + (u ? ? )α Dt ?t
Dα Dt

?=

e ? e1 ? e ? + 2 + 3 h1 ?x1 h2 ?x2 h3 ?x3 u ? u1 ? u 2 ? + + 3 h1 ?x1 h2 ?x2 h3 ?x3

u ?? =

物质导数; 欧拉时间导数,称局部导数或就地导数,表示空间某一点 流体物理量随时间的变化;
?α ?x k

u ? ? u ? u2 ? D = + 1 + + 3 Dt ?t h1 ?x1 h2 ?x2 h3 ?x3 柱坐标 ? = eR ? eθ ? ? + + ez ?R R ?θ ?z ? uθ ? ? + + uz u ? ? = uR ? R R ?θ ?z ? D ? uθ ? ? = + uR + + uz Dt ?t ?R R ? θ ?z
16

?α ?t

uk

称对流导数或位变导数,流体物性随空间坐标变化而变化, 当流体质点空间位置随时间变化时,在流动过程中会取不同 的 α 值,因此也会引起 α 的改变。

上式把拉格朗日参考系中的时间导数和欧拉参考系中的就地导数和 对流导数联系起来。
15

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

正交曲线坐标系

球坐标 ? = er e ? eθ ? ? + + ω ?r r ?θ r sin θ ?ω u ? uθ ? ? u ?? = ur + + ω ?r r ?θ r sin θ ?ω u D ? ? uθ ? ? = + ur + + ω Dt ?t ?r r ?θ r sin θ ?ω ?φ , ? ? a , ? × a , ? 2φ , ? 2 a , (a ??)a
见 Appendix A,C

例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为 x = x0 e ?2t , y = y0 (1 + t ) 2 ,

z = z0 e 2t (1 + t ) ?2
1) 2) 3) 求以欧拉变数描述的速度场; 问流动是否定常; 求加速度。

解: 1) 设速度场的三个分量是

u , v, w

?x u= = ?2 x0 e ?2t ?t 2 y (1 + t ) 2 ?y v= = 2 y0 (1 + t ) = 0 ?t 1+ t 2 z e 2t (1 + t ) ?2 t ?z w= = 2 z0 e2t [(1 + t ) ?2 ? (1 + t ) ?3 ] = 0 ?t 1+ t
17 18

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

1.2 欧拉和拉格朗日参考系

消去以上表达式中的拉格朗日变数,

u = ?2 x , v =

2y 2 zt , w= 1+ t 1+ t

在拉格朗日参考系中求加速度,

2) 欧拉表达式中包括变量 t , 是不定常流动。 3)在欧拉参考系中求加速度

?2 x ? ax = 2 = (?2 x0 e ?2t ) = 4 x0 e?2t = 4 x ? t ?t

x = x0 e ?2t , y = y0 (1 + t ) 2 ,
z = z0 e 2t (1 + t ) ?2

ay =
az =

?2 y ? 2y = [2 y0 (1 + t )] = 2 y0 = ? 2t ?t (1 + t )2
t ? 4 z0 e 2 t t 2 z0 e 2 t 6 z0 e 2 t t ?2 z ? ? = ? 2 z0 e 2 t = + ? 2 3 3 4 ? t ?t ? (1 + t )3 ? ? (1 + t ) (1 + t ) (1 + t )
2 z0e 2t [2t (1 + t ) + (1 + t ) ? 3t ] 2 z0 e 2t (2t 2 + 1) 2 z (2t 2 + 1) = = (1 + t ) 4 (1 + t ) 4 (1 + t ) 2

ax = u

?u = ?2 x (?2) = 4 x ?x

ay =
az =

?v ?v ?2 y 2y 2 2y +v = + = ?t ?y (1 + t ) 2 1 + t 1 + t (1 + t )2
?w ?w 2 z 2 zt 2 zt 2t 2 z (1 + 2t ) +w = ? + = ?t ?z 1 + t (1 + t )2 1 + t 1 + t (1 + t ) 2
2

=

19

20

1.3

流线、迹线和脉线

1.3 流线、迹线和脉线
1.流线 流场中的一条曲线,曲线上各点的速度矢量方向和曲线在该点的切 线方向相同。 定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌;非定常流动中,通过 空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而变化,此时谈到流线 是指某一给定瞬时的流线。 1.流线 微分方程

u
dl

dl = dxi + dyj + dzk u =ui + vj + wk i u j v k w dl ×u = dx dy dz =0 dx dy dz = = u( x, y, z, t ) v( x, y, z, t ) w( x, y, z, t )
把时间当作常数积分以上方程组,即可得流线方程。 电力线,磁力线,用于理论分析。

21

22

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

例2. 设两维流动 u = x (1 + 2t ), v = y , w = 0 ,求通过(1,1)点的流线。

1.流线 参数方程

解:

dx dy dz = = = ds u v w
初始条件,s = 0 时,x = x0 , y = y0 , z = z0 (流线经过点 ( x0 , y 0 , z 0 )) 积分上式, x = x ( s ),y = y ( s ),z = z ( s ) 消去 s 即可得到流线方程。

? dx ? ds = x (1 + 2t ) ? dy ? =y ? ds

积分以上方程得,

? x = c1e (1+ 2t ) s ? s ? y = c2 e
由条件 s = 0 时, x = y = 1 解出 c1 = c2 = 1

消去
23

s 得,

? x = e (1+ 2t ) s ? s ?y = e
x = y 1+ 2t
24

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

2.迹线
由以上方程可以看出,通过(1,1)点的流线随时间变化而变化; 若求 t = 0 时通过(1,1)点的流线,让以上方程中 t = 0

流体质点在空间运动时描绘出来的曲线。 在定常流动情况下任何一个流体质点的迹线,同时也是一条流线, 即质点沿不随时间变化的流线运动。

?x = e ? s ?y = e
s

?

y=x

x = y 1+ 2t

25

26

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

例3.设两维流动 u = x (1 + 2t ), v = y, w = 0,求 t = 0 通过(1,1)点的迹线。

2.迹线 微分方程
dx dy dz = = = dt u w v

解:

? dx = x (1 + 2t ) ? ? dt ? ? dy = y ? ? dt

积分得,

请注意在以上方程组中 t 是自变量。 x, y, z 是流体质点的空间坐 标,因此都是

t 的函数。

? x = c1e t (1+t ) ? t ? y = c2 e
由条件 t = 0 时 x = y = 1,可解出 c1 = c 2 = 1

初始条件: t = 0 时,x = xo , y = yo , z = zo
举例

? x = e t (1+t ) ? t ?y = e
消去 t 得,
27

x = y 1+ ln y

28

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

3.脉线 从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色 液,该染色液形成一条纤细色线,称为脉线。 或另定义如下,把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时顺 序连接起来得到的一条线。 脉线又称烟线,染色线。
举例

3.脉线 求脉线方程 求 τ 时刻从点 x0 , y0 , z0 进入流场的流体质点的迹线方程,
dx dy dz = = = dt u w v

初始条件, t = τ 时,x = x0 , y = yo , z = zo

29

30

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

例4

设两维流动 u = x (1 + 2t ), v = y , w = 0 ,求通过(1,1)点的脉线。
? dx = x (1 + 2t ) ? ? dt ? dy ? =y ? ? dt

3.脉线 求脉线方程 积分上述方程得,
? x = x( x 0 , y 0 , z 0 , t , τ ) ? ? y = y ( x0 , y 0 , z 0 , t ,τ ) ? z = z ( x , y , z , t ,τ ) 0 0 0 ?

解:

积分得,

τ 固定 t 变化( ?∞ ≤ τ ≤ t )时,τ 时刻由点 ( x0 , y0 , z0 )注入流场
的一个流体质点的迹线;

? x = c1e t (1+t ) ? t ? y = c2 e
c1 由条件 t = τ 时 x = y = 1 可解出, = e ?τ (1+τ ) , c2 = e ?τ

t 固定τ变化(?∞ ≤ τ ≤ t )时, t 瞬时前不同时刻经由 ( x0 , y0 , z0 ) 点注入流场的不同流体质点在 t 时刻的不同空间位置,即脉线。
因此当τ取 ?∞ ≤ τ ≤ t 的值时,上述方程即给出

t

时刻的脉线。

? x = e t (1+t )?τ (1+τ ) ? t ?τ ?y = e
以上即通过(1,1)点的脉线参数方程。显然在不同时刻(t 取不同值 时)脉线形状也不同。

31

32

1.3

流线、迹线和脉线

1.3

流线、迹线和脉线

在 t = 0 时刻,

u = x (1 + 2t ), v = y, w = 0

? x = e ?τ (1+τ ) ? ?τ ?y = e
消去

y

x= y
脉线

1? ln y

x= y
流线

x = y1+ ln y
迹线

τ

得,

x = y 1?ln y

0

x

在非定常流动条件下,三种曲线一般是不重合的。 在定常流动条件下,三种曲线合而为一。

33

34

1.3

流线、迹线和脉线

4.流管 在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线,在某一瞬时通过该曲 线上各点的流线构成一个管状表面,称流管。若流管的横截面无限 小,则称流管元。 流管表面由流线组成,所以流体不能穿 过流管侧面流进流出,而只能从流管一 端流入,而从另一端流出。

1.4

雷诺输运定理

系统和控制体 系统 某一确定流体质点集合的总体。 随时间改变其空间位置、大小和形状;系统边界上没有质量交换; 始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中,通常把注意力集中在流动的系统上,应用质 量、动量和能量守恒定律于系统,即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组。

35

36

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

系统和控制体 控制体 流场中某一确定的空间区域,其边界称控制面。 流体可以通过控制面流进流出控制体,占据控制体的流体质点随时 间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程,通常把注意力集中在通过控制 体的流体上,应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体,即可得 到欧拉参考系中的基本方程组。

系统和控制体 通常力学和热力学定律都是针对系统的,于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程,而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的,因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式

37

38

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

对系统体积分的随体导数 对系统体积分的随体导数 动量定理 设 φ ( r , t ) 是单位体积流体的物理分布函数,而 N = ∫V φ dv 是系统体积 内包含的总物理量,则

F=

dk dt
V

DN D = φ dv Dt Dt ∫V

k = ∫ ρ udV
F= D ρ udV Dt ∫V

φ = ρ , ρ u,

1 ρ u ? u ? N = M (质量), k (总动量), G (总动能) 2

39

40

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

公式推导 系统和CV 在初始时刻 重合,CV固定不动
D DN φ dτ = Dt ∫ Dt τ

CSIII CSI I
dA1

公式推导

II
u
dA3

III
u
n

t

n

N (t +δ t )? N sys (t ) DN = lim sys Dt δ t →0 δt {N CV (t +δ t ) ? N I (t +δ t )+ N III (t +δ t )}? N CV (t ) = lim δt δ t →0 N CV (t +δ t )? N CV (t ) N (t +δ t ) N (t +δ t ) = lim    ? lim I + lim III δt δt δt δ t →0 δ t →0 δ t →0

t +δt

N CV (t +δ t ) ? N CV (t ) ?N CV ? = = ∫ φ dτ δt ?t ?t CV N (t +δ t ) 1 1 ? lim I = ? lim ∫ φ dτ = ? lim ∫ ?φ u ?ndAδ t = ∫ φ u ?ndA CS1 δt δ t →0 δ t →0 δ t I (t +δ t ) δ t →0 δ t CS1 N III (t +δ t ) = ∫ φ u ?ndA lim CS III δt
δ t →0

lim

δ t →0

DN ? = ∫ φ dτ + ∫ φ u ?ndA+ ∫ φ u ?ndA CS1 CS III Dt ?t CV

CSIII CSI I
dA1

∵CS1 + CSIII = CS DN ? = ∫ φ dτ + ∫ φ u ?ndA CS Dt ?t CV
t
41

II
u
dA3

III
u
n

n

t +δt
42

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

公式推导

∫ φ u ?ndA = ∫ ??(φ u )dV CS CV

CSIII
物理意义

CSI I
dA1

II
u
dA3

III
u
n

?φ DN ? dτ + ∫ φ u ?ndA = ∫ φ dτ + ∫ φ u ?ndA = ∫ CS CV ?t CS Dt ?t CV
D ?φ φ dV = ∫ [ + ? ? (φ u )]dV V ?t Dt ∫V D ?φ ? φ dV = ∫ [ + (φ uk )]dV V ?t Dt ∫V ?xk

DN ? = ∫ φ dτ + ∫ φ u ?ndA CS Dt ?t CV
t
DN Dt

n

t +δt

系统中的变量N对时间的变化率;

?φ ? dτ ? 固定控制体内的变量N对时间的变化率, ∫ φ dτ = ∫ ∫ φ dτ CV ?t ?t CV 由 φ 的不定常性引起 ; ?t CV

∫ φ u ?ndA CS

N 流出控制体的净流率,由于系统的空间位置和体积随 时间改变引起 .

43

44

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

例5. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为 u = ax, v = ay , w = ?2az 其中 a 为常数, 求在体积 ?1 ≤ x ≤ 1, ?1 ≤ y ≤ 1, ?1 ≤ z ≤ 1 中质量的随体导数。 解:
D ? ρ dτ = ∫ ρ dτ + ∫ ρ u ? ndA = ∫ ρ u ? ndA = ∫ ? ? ( ρ u )dτ Dt ∫ ?t τ τ A A τ

例6. 给定一流场的速度分布和密度分布为: x y z u = 3 , v = 3 , w = 3 , ρ = k ( r 3 ? 3t ) r r r 其中 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , k为非零常数,求

z

1). 在流场中某点的流体密度随时间的变化率; 2). 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率; 3). 在体积 0 < r ≤ a 中流体质量的随体倒数。
y

∫ ρu ? ndA = ∫ adA + ∫ adA + ∫ adA + ∫ adA
A A左 A右 A前 A后

?

A上



2adA ?

A下



2adA = 0
x

解: 1) 2)

∫ ? ? ( ρu )dτ = ∫ ? ? (axi + ayj ? 2azk )dτ = 0
τ τ

?ρ = ?3k ?t

A

a

? ? (axi + ayj ? 2azk ) =

? (ax) ? (ay ) ? (?2az ) + + =0 ?x ?y ?z

D ρ ?ρ ?ρ ?ρ ?ρ = +u +v +w Dt ?t ?x ?y ?z x x y y z z = ?3k + 3 3kr 2 + 3 3kr 2 + 3 3kr 2 r r r r r r x2 y 2 z 2 = ?3k + 3k ( 2 + 2 + 2 ) = ?3k + 3k = 0 r r r

ε
O



45

46

1 . 4 雷诺输运定理

1 . 4 雷诺输运定理

考虑到 u =

A
3) 在体积 0 < r ≤ a 中流体质量为,
M = ∫ ρ dτ = ∫ k (r 3 ? 3t ) dτ
τ τ

xi yj zk r + + = r3 r3 r3 r3
A

u ?n =

r r 1 ? = r3 r r2


a
n

ε
O


A+ Aε

k (r 3 ? 3t )u ? ndA = ∫ k (r 3 ? 3t )u ? ndA + ∫ k (r 3 ? 3t )u ? ndA
2π π

n



=

∫ ∫ k (a
0 0

3

? 3t )

1 2 a sin θ dθ dω ? a2

2π π

∫ ∫ k (ε
0 0

3

? 3t )

1

ε2

ε 2 sin θ dθ dω

DM ? = ∫ k (r 3 ? 3t )dτ + lim ∫ k (r 3 ? 3t )u ? ndA ε →0 ?t τ Dt A + Aε

= 4π k (a 3 ? 3 t ) ? 4π k (ε 3 ? 3 t ) = 4π ka 3 ? 4π kε 3
所以

? ? k (r 3 ? 3t )dτ = ∫ [k (r 3 ? 3t )]dτ = ∫ τ ? 3kdτ = ?4kπ a 3 ?t ∫ ? τ τ t

lim
ε →0


A+ Aε

ρ u ? ndA = 4π ka 3
n

A

a
n

ε
O

DM ? = ∫ k ( r 3 ? 3t ) dτ + lim ∫ ρ u ? ndA ε →0 ?t τ Dt A + Aε = ?4π ka 3 + 4π ka 3 = 0
47



48

1.5

速度分解定理

速度梯度张量

1.5 速度分解定理
M 为流场中一流体质点, M ′为 M 点邻域内另一任意流体质点,如 果速度场已知,则同一瞬时上述 M ′ 点对于 M 点的相对运动速度 可计算如下:

δ ui =

?ui δ xj ? ?x j
? ?u ? ?δu ? ? ?x ? δv ? = ? ?v ? ? ? ?x ?δw? ? ? ?w ? ? ? ?x ? ?u ?y ?v ?y ?w ?y ?u ? ?z ? ? ?v ? ?z ? ?w ? ? ?z ? ? ?δx ? ?δy ? ? ? ?δz ? ? ?

δu = u ′ ? u
δu =
?u ?u ?u δx+ δ y+ δz ?x ?y ?z ?u δu i = i δx j ?x j

M
r

′ δr M

u′

r′

u

? ?u ?u ?u ? δ u = ?x δ x + ?y δ y + ?z δ z ? ? ?v ?v ?v ? δv = δ x+ δ y + δ z ?x ?y ?z ? ? ?w ?w ?w δx+ δ y+ δz ?δ w = ? ? ?z x y ?

?

49

? ?u ? ?x ? ?ui ? ?v 或 ?u = ?x j ? ? ?x ? ?w ? ? ? ?x

?u ?y ?v ?y ?w ?y

?u ? ?z ? ? ?v ? 称速度梯度张量(二阶张量)。 ?z ? ? ?w ? ? ?z ? ?

50

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

速度梯度张量分解为两个张量 速度梯度张量分解为两个张量
?ui 1 ? ?ui ?u j ? 1 ? ?ui ?u j ? = ? + ? ?+ ? ? ? = sij + aij ? ? ?x j 2 ? ? ?x j ?xi ? 2 ? ?x j ?xi ? 1 ? ?u ?u ? sij = ? i + j ? ? 2? ? ?x j ?xi ? 1 ? ?u ?u ? aij = ? i ? j ? ? 2? ? ?x j ?xi ?

应变率张量

1 ? ?u ?u ? sij = ? i + j ? ? 2? ? ?x j ?xi ?

? ?u ? ? ?x ? 1 ? ?v ?u ? sij = ? ? ? + ? ? ? 2 ? ?x ?y ? ? 1 ? ?w ?u ? ? + ? ?2? ? ? ?x ?z ?

1 ? ?u ?v ? ? + ? ? 2? ? ?y ?x ? ?v ?y 1 ? ?w ?v ? ? + ? ? 2? ? ?y ?z ?

1 ? ?u ?w ? ? ? + ?? 2 ? ?z ?x ? ? 1 ? ?v ?w ? ? ? + ? ?? 2? ? ?z ?y ? ? ? ?w ? ? ?z ?

s ij 只有6个独立分量,除对角线元素外,非对角线元素两两对应相 等,可表示为 s ij = s ji ,是一个对称张量。该张量描述流体微团的 变形运动。

51

52

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

速度梯度张量分解为两个张量 旋转率张量
1 ? ?u ?u ? aij = ? i ? j ? ? 2? ? ?x j ?xi ?

旋转率张量
1 ? ?u ?w ? ? ? ? ?? 2 ? ?z ?x ? ? 1 ? ?v ?w ? ? ? ? ?? ? 2? ? ?z ?y ? ? ? 0 ? ? ?

? ?0 ? ? 1 ? ?v ?u ? ? ? ? ? aij = ? ? ? 2 ? ?x ?y ? ? 1 ? ?w ?u ? ? ? ? ?2? ? ? ?x ?z ?

1 ? ?u ?v ? ? ? ? ? 2? ? ?y ?x ? 0 1 ? ?w ?v ? ? ? ? ? 2? ? ?y ?z ?

反对称张量 aij 只有三个独立分量,可看作一个矢量的三个分量,

? a11 ? aij = ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? 0 ? ? a23 ? = ? ω3 ? a33 ? ? ? ?ω 2

?ω3 0

ω1

ω2 ? ? -ω1 ? 0 ? ?
1 ? ?v ?u ? ? ? ω3 = ? ? 2? ? ?x ?y ?

ω1 = ? ? ? ? 2? ? ?y ?z ?

1 ? ?w

?v ?

ω2 = ?

1 ? ?u ?w ? ? ? 2 ? ?z ?x ?

a ij 只有3个独立分量,对角线元素为零,非对角线元素两两互为负 数,可表示为 a ij = ? a ji ,是一个反对称张量。该张量描述流体微
团的旋转运动。

53

54

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

旋转率张量

旋转率张量

ω = ω x i + ω y j + ωz k
1 ? ?w ?v ? 1 ? ?u ?w ? 1 ? ?v ?u ? = ? ? ?i + ? ? ? j + ? ? ? k 2 ? ?y ?z ? 2 ? ?z ?x ? 2 ? ?x ?y ? i j k = 1 ? 2 ?x u ? ?y v ? 1 = ?×u ?z 2 w

? a11 a12 ? aij = ? a21 a22 ?a ? 31 a32

a13 ? ? 0 ? ? a23 ? = ? ω3 ? a33 ? ? ? ?ω 2

?ω3 ω 2 ? ? 0 -ω1 ? ω1 0 ? ?

? a12 = ?ω3,a23 = ?ω1,a31 = ?ω 2

a ij = ?ε ijk ω k
以 M M′ 间的位移

δr 和旋转张量 a 相乘,
1 rotu × δ r 2
56

a ? δ r = aijδ x j = ?ε ijkδ x jωk = ?δ r × ω =

55

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

应变率张量和旋转率张量各分量的意义 速度分解定理 相对伸长率

? 1 ? ?u ?u ? 1 ? ?u ?u ?u δ ui = i δ x j = ? ? i + j ? + ? i ? j ? ? ? ?x j ? ? 2 ? ?x j ?xi ? 2 ? ?x j ?xi 1 = sijδ x j + aijδ x j = s ? δ r + rot u × δ r 2

?? δ xj ? ?? ? ??

B u

C

u+

?u δx B ?x

C C′

只有

?u ≠0 ?x

δy
u

δu = δu D + δu R

?u δ xδ t ?u ?x = δ xδ t ?x

O

δx A

u+

?u δx ?x

δy
O

δx
(

A A′
?u δx)δt ?x

δu D = s ? δr

表示由于流体微团变形而产生的 M ′ 点相对于M点 的速度变化。

?u ,是x向直线相对伸长率。 ?x

1 δ uR = rot u × δ r 表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 M ′点相 2 对于M 点的速度变化。

y 和 z 向直线相对伸长率, ?v , ?w
?y ?z

应变率张量的对角线分量分别表示流体微团沿各坐标轴方向的相对伸 长率,称正应变速率分量。
58

57

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

应变率张量和旋转率张量各 分量的意义 相对体积膨胀率 只有
?u ≠0 ?x

B

u

C

u+

?u δx ?x

应变率张量和旋转率张量各分量的意义

B
δy

C C′

(

?u δy)δt ?y

旋转角速度

δy
u

?u δxδtδyδz ?u 1 d (δV ) 1 ?x = = δV dt δxδyδz δt ?x
速度梯度项同时有

O

δx A

u+

?u δx ?x

O δx A
(

A′

?u ?v 设只有 , ≠0 ?y ?x

B
δy
v

u+

?u δy ?y

C

Bδβ
δy

B′
( ?v δx)δt ?x

?u δ x )δ t ?x

ω = lim
OA

δα

?v ?w , ≠0 ?y ?z 1 d (δ V ) ?u ?v ?w = + + = ??u δ V dt ?x ?y ?z

0 ?v δ xδ t ?v ? x δα = tgδα = = δt δx ?x ?v ω = ?x
OA

δ t →0 δ t

u

δx

v+

A

?v δx ?x

A′

0

δx

δα

A

同样可推得,ω =
OB

应变率张量的对角线分量之和表示流体微团的相对体积膨胀率。
59

?u ?y

60

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

应变率张量和旋转率张量各分量的意义 旋转角速度 定义流体线OA和OB的角速度 ωOA 和 ωz 轴旋转的角速度(逆时针为正) 1 ?v ?u ωz = ( ? ) 2 ?x ?y

应变率张量和旋转率张量各分量的意义 角变形率
( ?u δy)δt ?y

ω

OB

的平均值为流体微团绕 Z

设只有

?u ?v , ≠ 0 ,OA 和 OB 间夹角减小了δγ ?y ?x

B

δβ

B′
( ?v δx)δt ?x

δγ = δα +δβ
令减小为正,X 轴和 Y 轴间夹角变形率, ?v ?u δt + δ t δγ ?y ] = ?v + ?u ? x γ = lim = lim [ δt ?x ?y δ t → 0 δt δ t → 0

δy
0

A′

流体微团绕 X 轴和 Y 轴旋转的角速度,

δx

δα

A

1 ?w ?v ωx = ( ? ) 2 ?y ?z 1 ?u ?w ωy = ( ? ) 2 ?z ?x
与旋转率张量对应的矢量 的角速度。

同样可推得Z 轴和 X 轴间,Y 轴和 Z 轴间夹角的变形率分别为,

ω 表示流体微团绕其内部某一瞬时轴旋转
61

?u ?w ?w ?v + , + ?z ?x ?y ?z
应变率张量的非对角线分量分别等于上述角变形率的一半,称剪切 应变速率分量

62

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

例7.设平面剪切运动的速度分布为 u = ay , v = w = 0 试求:

velocity gradient tensor,

速度梯度张量

1) 2)

流体微团旋转角速度 ω 应变率张量 旋转率张量 变形速度

rate-of-deformation tensor 应变率张量 rate-of-rotation tensor I.G.Currie Deformation-rate tensor Rate-of-shearing tensor Rate-of-rotation tensor
旋转率张量

sij

y

3)
4)
解: 1)

aij
u

s ijδ x j 和旋转速度 a ij δ x j

i j k ? × u = ? / ?x ? / ?y ? / ?z = ? ak ay
1 2 a 2

0

0

ω = ?×u = ? k

2)
63

a / 2 0? ? 0 sij = ? a / 2 0 0? ? ? ? 0 0? ? 0 ?

64

1.5

速度分解定理

1.5

速度分解定理

3) aij = ? ? a / 2

? 0 ? ? ? 0

a / 2 0? 0 0? ? 0 0? ?

以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一 个旋转运动,可以用下图直观的表示。

a / 2 0 ? ?δ x ? ? aδ y / 2? ? 0 ? a / 2 0 0 ? ?δ y ? = ? aδ x / 2 ? s δ x = 4) ij j ? ?? ? ? ? ? 0 0? ? 0 ?? ?δ z ? ? ? ? 0 ? ?
5) a ijδ x j = ? ?a / 2

u = ay
? aδ y ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ? ?

? aδ y / 2 ? ? s ij δ x j = ? ? aδ x / 2 ? ? 0 ? ? ?
? aδ y / 2 ? ? a ijδ x j = ? ? ?aδ x / 2 ? ? ? 0 ? ?

? 0 ? ? 0 ?
a 2

a / 2 0 ? ?δ x ? ? aδ y / 2 ? ? ? ? ? 0 0? ? ?δ y ? = ? ? aδ x / 2 ? ? 0 ? ? 0 0? ?? ?δ z ? ? ?
a 2 a 2

ω × δ r = ? k × (δ xi + δ yj + δ zk ) = δ yi ? δ xj

65

66

1.6

速度环量和涡量

1.6

速度环量和涡量

δl
u

涡量
? = ?×u

速度环量
Γ = u ? dl
L



L

?i = ε ijk

?uk ? ?uk ?u j ? =? ? ? ? ?x j ? ? ?x j ?xk ?

速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量,线积分沿逆时针方向 进行。

67

68

1.6

速度环量和涡量

1.6

速度环量和涡量

涡量 涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍,
? = 2ω

Stokes定理 涡通量:

n

流场内处处 ? × u = 0 则称有旋流动。

的流动称无旋流,或称势流。 ? × u ≠ 0 的流动



S

(? × u ) ? n ds = ? ? n ds
S



S

Stokes定理:

L
L

涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比,而与流体微团重心围绕 某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是否有旋与流体质点 的运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。

∫ ? ? nds = ∫ u ? dl
S

69

70

1.7

涡旋的运动学特性

1.7

涡旋的运动学特性

涡旋场是无源场 矢量恒等式,
? ? ? = ? ? (? × u ) = 0

∫ u ? ndA = ∫ ? ? udV
A V

?

涡管和微元涡管 涡线,流场中的一条曲线,曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点 的切线方向相同。 涡管,在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线,在某瞬时通过 该曲线上各点的涡线组成一管状表面,称涡管。涡管横截面无限小 时称微元涡管。

V →0 V 散度是流出单位体积控制体

? ? u = lim A

∫ u ? ndA

涡旋场内无源无汇。

的流体体积流量; 有源与有汇。

71

72

1.7

涡旋的运动学特性

1.7

涡旋的运动学特性

涡管的运动学特性 由 ? ? ? = 0 ,对图示涡管,
S2

涡管的运动学特性 由Stokes定理

L2

S2
1



V

??? dV =∫
S1

S1+Σ+S2

?? n ds
S2

Σ
S1

= ?∫ ?? n ds + ∫ ?? n ds = 0

∫ ? ? nds = Γ ∫ ? ? nds = Γ
S1
S2

L1
S1

Σ

2



S1

? ? nds = ∫

S2

? ? nds

Γ1 = Γ2

对一个确定的涡管,它的任一横截面上的涡通量是一个常数。该常 数称为涡管强度。

沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。

73

74

1.7

涡旋的运动学特性

涡线和涡管都不能在流体内部中断 由于涡旋场是无源场,可以推断,涡线和涡管都不能在流体内部中 断。( 如果发生中断,则在中断处取封闭曲面,通过封闭曲面的涡通 量将不为零,与无源场事实相矛盾 )。 涡线和涡管只能在流体中自行封闭,形成涡环,或将其头尾搭在固 壁或自由面,或延伸至无穷远。

1.8

应力张量

?F

n
?A

应力矢量
pn = lim ?F ? A → 0 ?A

下标 n 表示面元 ?A 的法线方向。 应力矢量方向与法线方向不一定重合。

75

76

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力矢量
p?n = ? pn

n

pn

应力矢量 应力矢量的投影
pn = (σ nn , σ nτ )

pn

n
?A

p n ,正侧流体对负侧流体的作用应力;

p ? n,负侧流体对正侧流体的作用应力。

p?n

?n

σ nn = p n ? n
σ nτ =
2 ( p n )2 ? σ nn

77

78

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力矢量 应力矢量的投影
p n = σ nx , σ  ny , σ nz

应力矢量 一点的应力状态

(

)

pn = pn ( n , r , t )

应力的双下标表示法: 第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向, 第 2 个下标表示应力投影方向。

过空间一点的三个相互垂直平面(可取三个坐标平面)上的应力矢量 或它们的九个分量完全描写了一点的应力状态。

79

80

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力矢量与应力张量 取四面体流体元,

z
C

pn
n
0

应力矢量与应力张量

?ABC → δ s ?OBC → δ sx = nxδ s ?OAC → δ s y = n yδ s ?OAB → δ sz = nzδ s

p? y

p? x
B

达朗贝尔原理:作用于四面体上的质量力(重力),表面力和惯性 力及其力矩应该平衡。 惯性力, ? ρ aδ V 重力,
ρ gδ V

A

y

x

p? z

( nx , n y , nz ) = [ cos( n, x), cos( n, y ), cos( n, z ) ]

表面力, pnδ s, p? xδ sx , p? yδ sy , p? zδ sz 当 δ V → 0 ,重力、惯性力为三阶无穷小量,表面力为二阶无穷小 量,因此仅需考虑表面力作用,忽略惯性力和重力影响。

81

82

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力矢量与应力张量

z
C

ΣF = 0 ?

pn
n
0

应力矢量与应力张量

pnδ s + p? xδ sx + p? yδ s y + p? zδ sz = 0 p? x = ? p x , p? y = ? p y , p? z = ? pz pnδ s = pxδ sx + p yδ s y + pzδ sz pn = p x nx + p y n y + p z nz

p? y

p? x
B

pn = p x nx + p y n y + pz nz ?σ nx = σ xx nx + σ yx n y + σ zx nz ? ?σ ny = σ xy nx + σ yy n y + σ zy nz ?σ = σ n + σ n + σ n xz x yz y zz z ? nz ? ? σ xx σ   ? σ nx ? xy σ xz ? σ ? = (n , n , n ) ? σ σ   σ ? ny x y z yx yy yz ? ? ? ? ?σ ? ? σ σ  σ ? ? nz ? ? zx zy zz ? σ ni = n jσ ji pn = n ? σ

A

y

x

p? z

83

84

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力张量

直角坐标系中一点的应力张量分量

σ ij



? σ xx σ  ? xy σ xz ? ? ? σ yx σ  yy σ yz ? ? σ σ σ ? ? zx zy zz ?

y
称应力张量。

σ yy
σ yz

y
x

σ yx

应力张量的对角线元素为法向应力分量,非对角线元素为切向应力 分量。 应力张量 σ与 n 无关,而只是空间点位置和时间的函数,由九个分 量(6个独立分量)组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应 力状态。

σ xy

z

y

σ xz σ xx x
σ zx
x

σ zy

z

σ zz

z
85 86

1.8

应力张量

1.8

应力张量

应力张量是对称张量 作用在流体团上的表面力的合力矩等于零。

应力张量是对称张量
? ? (σ xy + σ xy δ x )δ yδ z δ x + (σ xy ? σ xy δ x )δ yδ z δ x 2 2 ?x 2 ?x 2 ?σ yx δ y ?σ yx δ y δy δy )δ xδ z + (σ yx ? )δ xδ z =(σ yx + 2 2 ?y 2 ?y 2 ?σ yx δ y σ xy =σ yx +
σ yx
?y 2

Σ M =0
?σ yz δ y ?y 2

?σ yy δ y σ yy + ?y 2

σ yz +

σ yx +

?σ yx δ y ?y
?σ xy δ x ?x 2 ?σ xx δ x σ xx + ?x 2 ?σ xz δ x σ xz + ?x 2

2

Y

同理可证,

σ xy +

x z

σzx =σxz

  σ σzy yz=

?σ xy σ xy ? ? x δ2x

δy
δx
?σ yx δ y σ yx ? ? y 2

?σ xy σ xy + ? x δ2x

?z 2 ?σ δ z σ zz + zz ?z 2 ?σ δ z σ zx + zx ?z 2

σ zy +

?σ zy δ z

δy

应力张量的九个分量中只 有六个是相互独立的。

y x

δx

δz

87

88

1.8

应力张量

1.8

应力张量

例8.流体内某处的应力张量可表示为

σ =

?0 ?1 ? ?2 ?

1 2 0

2? 0? ? ? 1?

试求作用于平面 x + 3 y + z = 1 外侧(离开原点一侧)的应力矢量 及应力矢量的法向和切向分量。 解: 求该平面外侧的法向单位矢量,

σ nn

z

? ? ? 1 ? (1,3,1) ? = n ? pn = 11 ? ? ? ?

5 ? 11 ? ? 7 ? 1 29 = (5 + 21 + 3) = 11 11 ? 11 ? 3 ? ? 11 ?

F = x + 3y + z ?1
n= ?F i +3j +k i +3j +k = = ?F 11 1 + 32 + 1

y

2 = σ nτ = | pn |2 ?σ nn

52 + 7 2 + 32 29 2 6 2 ?( ) = 11 11 11

pn = n ? σ =

?0 1 2? x 1 1 ? (1,3,1) ? ?1 2 0 ? = 11 (5, 7,3) 11 ? ?2 0 1? ?
89 90

1.9

理想流体与静止流体的应力张量
理想流体与静止流体的应力张量
? σ nn 0? ? ? p 0? ?1 0?

1.9 理想流体与静 止流体的应力张量

一点的应力状态 在理想流体或静止流体中切应力为零
?σ nx = σ xx nx ? σ ni = σ ji n j ? ?σ ny = σ yy n y ?σ = σ n zz z ? nz

σ ij = ? ?

?σ nx = σ nn nx ? pn = σ nn n ? ?σ ny = σ nn n y ?σ = σ n nn z ? nz

? σ xx = σ yy = σ zz = σ nn = ? p

? ? ? ? σ nn ? ? = ? ? p ? = ? p ? 1 ? = ? pδ ij ?0 σ ? ?0 ? p? ? 0 1? nn ? ? ? ? ? ?

同一点各个不同方向上的法向应力是相等的; 取 ? p 是强调压强与作用面的法线方向是相反的; 在理想流体或静止流体中,只要用一个标量函数即压力函数 p 便完全 地描述了一点上的应力状态。
91 92

例9.圆球表面应力如下, 3?U 3?U σ rr = ? po + cosθ , σ rθ = ? sin θ , σ rω = 0
2a 2a

pr = σ rr er + σ rθ eθ

求圆球所受的力,以上表达中, p 0 ,U 为无 穷远处压强和流体速度, 为动力粘性系 数 , a 为圆球半径。 解: pr = σ rr er + σ rθ eθ + σ rω eω
F = ∫ pr dS
S

z

σ rr
P
θa

?
σ rω

σ rθ
y

3?U cosθ )(sin θ cos ω ex + sin θ sin ω e y + cosθ ez ) + 2a 3?U sin θ )(cos θ cos ω ex + cosθ sin ω e y ? sin θ ez ) + (? 2a 3?U z σ rr ez = ? p0 er + σ rω 2a = (? po +

x

ω

F= =

2π π

P

∫∫pa
r
0 0

2

sin θ dθ dω

θa

σ rθ
y

球坐标和直角坐标关系,

er = sin θ cos ω ex + sin θ sin ω e y + cos θ ez eθ = cos θ cos ω ex + cos θ sin ω ey ? sin θ ez eω = sin ω ex + cos ω ey
93

3?U 4π a 2 ez = 6π?Uaez 2a

x

ω

94

σrr
又解 :
F = ez ∫ (σ rr cosθ ? σ rθ sin θ ) 2π a sin θ a dθ
A

圆柱坐标中的应力分量
( pr )r + dr = (σ rr er + σ rθ eθ + σ rz ez )r + dr ( pθ )θ + dθ = (σ θ r er + σ θθ eθ + σ θ z ez )θ + dθ ( pz ) z + dz = (σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez ) z + dz

σrθ

σrz

dr


3?U cos 2 θ ?3?U = ez 2π a 2 ∫ [(? p0 cos θ + )?( sin 2 θ )]sin θ dθ 2 a 2a 0 3?U ) sin θ dθ = ez 2π a ∫ (? p0 cosθ + 2a 0
2

π

π

z

σ rr
P
θa

r

θ

? ? p sin 2 θ 3?U ?π cos θ ? = ez 2π a 2 ? 0 ? 2 2a ? ?0 = 6π?Ua ez

σ rω

x

σ rθ
y

dz

z

x

ω

95

96

例10. 试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力 的合力。计算中可取每个表面中心的应力作为 该表面的平均应力。已知单位矢量 er 和 eθ 均 是θ的函数,且
?er = eθ ?θ

同理

dr

?eθ = ?e r ?θ

r



θ

x

微元体中心的应力张量已知。 解: F = [(rpr ) r +δ r ? (rpr ) r ]dθ dz + [( pθ )θ +δθ ? ( pθ )θ ]dzdr
+ [(rpz ) z +δ z ? (rpz ) z ]drdθ
(rpr ) r +δ r ? (rpr )r = (rpr ) ? = (rpr )δ r ?r (rpr ) r +δ r ? (rpr )r = ? (rpr )δ r ?r
97
r+

dz

z

δr
2

+

? δr ? δr (rpr ) ? [(rpr ) δ r ? (rpr ) ] r+ 2 2 ?r ? r 2

?pθ dθ ?θ ? (rpz ) z +δ z ? (rpz ) z = ( rpz )dz ?z ?p ? ? F = [ (rpr ) + θ + (rpz )]dθ dzdr ?r ?θ ?z ? ? = { [(σ rr er + σ rθ eθ + σ rz ez )r ] + (σθ r er + σθθ eθ + σθ z ez ) ?r ?θ ? + [(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ]}drdθ dz ?z ?σ ?σ ? ? ? = { (rσ rr )er + (rσ rθ )eθ + (rσ rz )ez + θ r er + σθ r eθ + θθ eθ ?r ?r ?r ?θ ?θ ?σθ z ? ? ? ? σθθ er + ez + (rσ zr )er + (rσ zθ )eθ + (rσ zz )ez }drdθ dz ?θ ?z ?z ?z ( pθ )θ +δθ ? ( pθ )θ =
98

练习题
F ={ ?σ ?σ ? ? ? (rσ rr )er + (rσ rθ )eθ + (rσ rz )ez + θ r er + σθ r eθ + θθ eθ ?r ?r ?r ?θ ?θ ?σθ z ? ? ? ez + (rσ zr )er + (rσ zθ )eθ + (rσ zz )ez }drdθ dz ? σθθ er + ?θ ?z ?z ?z

1.1

x 2y 3z , v= , w= , 设速度场 u = 1+ t 1+ t 1+ t

整理得
?σ ? ? (rσ rr ) + θ r ? σ θθ + (rσ zr )]drdθ dz ?r ?θ ?z ?σ ? ? Fθ = [ (rσ rθ ) + θθ + σ θ r + (rσ zθ )]drdθ dz ?r ?θ ?z ?σ ? ? Fz = [ (rσ rz ) + θ z + (rσ zz )]drdθ dz ?r ?θ ?z Fr = [

(1) 求其加速度的欧拉描述; (2) 先求矢径表示式 r = r ( x0 , y0 , z0 , t ) ,再由此求加速度的拉 格朗日描述; (3) 求流线及迹线。 1.2 设
w = b( a 2 ? x 2 ? y 2 ), u = v = 0, 求应变率张量及旋转率张量。

1.3 在 P 点的应力张量如下
σ =? ?0
99

0 ? 2? 5 0? ? ?? 2 0 4 ? ? ? ?7
100

2 1? ?2 求 (1) 某点单位法向矢量为 n = ? , ? , ? 的平面上的应力矢量 pn 。

(2) 应力矢量在法向的分量; (3) n 与 pn 之间的夹角。

?3

3 3?

1.5 (教科书 2.8 (2.6) ) 计算下列二维流场在任意点 (1). uR = 0, uθ = ω R (2)
uR = 0, uθ = Γ 2π R

( R, θ )

的涡量,

1.4 (教科书 2.4 ,(2.3))已知流场 u = 16 x 2 + y, v = 10, w = yz 2 (1) 沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 ≤ x ≤ 10, y = 0; 0 ≤ y ≤ 5, x = 10; 0 ≤ x ≤ 10, y = 5; 0 ≤ y ≤ 5, x = 0.

上式中 R 和 θ 是柱坐标变量,ω ,Γ为常数。

1.6 (教科书1.8)

(2) 求涡量 ? ,然后求



? ? ndA
A

式中 A 是 (1) 中给出的矩形面积,n 是此面积的外单位法线矢量。

101

102

2.1 质量守恒
质量守恒定理
D Dt
D ? ?φ ? φ dV = ∫ ? + ? ? (φ u ) ?dV V ?t Dt ∫V ? ?



V

ρ dV = 0

第二章

流体力学基本方程

由雷诺输运定理,



V

? ?ρ ? ? ( ρuk )? dV = 0 ? + ? t ? x k ? ?
?u Dρ +ρ k =0 Dt ?xk Dρ + ρ? ? u = 0 Dt
2

积分区域V是任选的,要使积分恒等于零,只有被积函数等于零,

?ρ ? + ( ρ uk ) = 0 ?t ?xk ?ρ + ? ? ( ρu ) = 0 ?t
1

2.1 质量守恒

2.1 质量守恒

定常流动和不可压缩流体的连续方程 定常流动,
?ρ = 0 ?t

密度分层流动 不可压缩流体并不意味着密 度场为均匀场。

ρ = ρ2 ρ = ρ1

?ρ ? + ( ρ uk ) = 0 ?t ?xk
Dρ 不可压缩流体, = 0 Dt

?

? ( ρ uk ) = 0 ?xk

流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动,此时其密度分别保持为常 ?ρ ?ρ ≠ 0 , 数 ρ1或 ρ 2 ,因此 D ρ = 0,但 ≠ 0 。
Dt

?x

?y

?u Dρ +ρ k =0 Dt ?xk

?

?uk =0 ?xk

密度分层流动可能发生在大气中(由空气温度变化引起),也可能 发生在大洋中(由于水的含盐量变化引起)。

3

4

2.1 质量守恒

2.1 质量守恒

均质不可压缩流体 ( 密度处处相等的不可压缩流体 ) 设不可压缩流体且均质(密度不是 x、y、z 的函数),
Dρ = 0, ? ρ = 0 Dt

第二雷诺输运定理
D Dα ρα dV = ∫ ρ dV V Dt ∫ V Dt

由物质导数定义式
D ρ ?ρ = + u ??ρ Dt ?t ? ?ρ =0 ?t

? ? ( ρα ) ? ? D + ( ρα uk ) ? dV 证明: ∫ V ρα dV = ∫ V ? ?xk Dt ? ?t ?
(密度也不是 t 的函数)

所以均质不可压缩流体意味着 ρ = const 在绝大多数情况下,当不可压缩流体条件满足时密度为常数。

? ?ρ ? ( ρ uk ) ?α ?α ? = ∫ ?α +ρ +α + ρ uk ? dV V ? ? ? ? t t x xk ? k ? ? ?ρ ? ( ρ uk ) ? ? ?α ?α ? =∫ α? + + uk ? dV + ∫ V ρ ? ? dV V t x t xk ? ? ? ? ? k ? ? ? =∫ ρ
V

Dα dV Dt
6

5

2.1 质量守恒

2.1 质量守恒

例1. 试对柱坐标形式的微元六面体推导连续方程。 柱坐标和球坐标下的连续方程
?ρ 1 ? 1 ? ? ( R ρ uR ) + ( ρuθ ) + ( ρ uz ) = 0 + ?t R ?R ?z R ?θ
?ρ 1 ? 2 1 ? 1 ? ( r ρ ur ) + ( ρ uθ sin θ ) + ( ρ uω ) = 0 + ?t r 2 ?r r sin θ ?θ r sin θ ?ω

解: 系统质量变化率 = 控制体内质量变化率 + 经控制面净流出的质量流率 = 0

δR
R

δ t 时间内控制体内质量变化,
[ ρ Rδ Rδθδ z + = ? ( ρ Rδ Rδθδ z )δ t ] ? ρ Rδ Rδθδ z ?t

δθ θ

x

(见 Appendix C, pp. 506-507(436-437))

?ρ Rδ Rδθδ zδ t ?t

z

δz

z

控制体内质量变化率,
?ρ Rδ Rδθδ z ?t

7

8

2.1 质量守恒

2.1 质量守恒

经控制面净流出的质量流率

δ t 时间内沿 R 方向净流出控制体的质量,
( ρ uR Rδθδ zδ t ) R +δ R ? ( ρ uR Rδθδ zδ t ) R

δ t 时间内沿 θ 方向净流出控制体的质量,
δR
( ρ uθ δ Rδ zδ t )θ +δθ ? ( ρ uθ δ Rδ zδ t )θ ? δθ ? ? ? ? ? ? = ?( ρ uθ ) δθ + ? ( ρ uθ ) ? ?δ Rδ zδ t θ+ δθ ? ?θ ?θ + 2 ? 2 ? ? ? 2 ? δθ ? ? ? ? ? ? ? ?( ρ uθ ) δθ ? ? ( ρ uθ ) ? ?δ Rδ zδ t θ+ δθ 2 θ ? ? ? θ+ 2 ? ? ? ? 2 ? ( ρ uθ )δ Rδθδ zδ t = ?θ

δR
R

? δR? ? ? ?? ? δθ θ = ?( ρ u R R ) δ R + ? ( ρ u R R ) ? ? δθδ zδ t R R+ ? ?R ? R+δ R 2 ? 2 ? 2 ? ? ? z z δR? ? ? ? ? ? δz δθδ zδ t ? ?( ρ u R R ) δ R ? ? ( ρ u R R ) ? ? R+ ? ?R ? R+ δ R 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( ρ uR R)δ Rδθδ zδ t ?R 沿R 方向净流出控制体的质量流率 ? ( ρ uR R)δ Rδθδ z ?R =

x

δθ θ

x

z

δz

z

沿 θ 方向净流出控制体的质量流率
? ( ρ uθ )δ Rδθδ z ?θ
9 10

2.1 质量守恒

2.1 质量守恒

δt

时间内沿 z方向净流出控制体的质量,

连续方程

( ρ uz Rδθδ Rδ t ) z +δ z ? ( ρ uz Rδθδ Rδ t ) z = [( ρ uz )
z+

δz
2

δz ?? ? + ? ( ρ uz ) ? ]Rδθδ zδ t z δ ? z ? ? z+ 2
2

δR
R

? [( ρ uz )

z+

δz
2

δz ?? ? ? ? ( ρ uz ) ? ]Rδθδ zδ t ? ?z ? z+δ z 2
2

δθ θ

x

? = ( ρ uz ) Rδ Rδθδ zδ t ?z 沿 z 方向净流出控制体的质量流率

z

δz

z

?ρ ? ? Rδ Rδθδ z + ( ρ uR R)δ Rδθδ z + ( ρ uθ )δ Rδθδ z ?t ?R ?θ ? + ( ρ u z ) Rδ Rδθδ z = 0 ?z ?ρ 1 ? ? 1 ? + ( ρ uR R ) + ( ρ uθ ) + ( ρ u z ) = 0 ?t R ?R ?z R ?θ

? ( ρ u z ) Rδ Rδθδ z ?z
11 12

2.2

动量守恒定理

2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。 系统的动量, 作用在系统上的质量力, 作用在系统上的表面力,

微分形式的动量方程
D Du dV ρ udV = ∫ ρ V Dt ∫ V Dt



V

S

pn ds = ∫ n ? σ ds = ∫ ? ? σ dV
S V

? ? ? ?



V

ρ u dV
ρ f dV

ρ



Du dV = ∫ ? ? σdV + ∫ ρ fdV ? V V Dt

V



S

pn ds


ρ

V

? Du ? ρ ? ? ? σ ? ρ f ? dV = 0 ? ? Dt ?

?

由动量定理得积分形式的动量方程,
D ρ u dV = ∫ pn ds + ∫ ρ f dV S V Dt ∫ V

Du = ? ?σ + ρ f Dt

ρ
13

?u + ρ (u ? ? ) u = ? ?σ + ρ f ?t
14

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

用张量表示法表示动量方程

守恒形式的动量方程

ρ

Du = ? ?σ + ρ f Dt

ρ

ρ

Du j Dt

=

?σ ij ?xi

+ ρ fj

?u + ρ ( u ?? ) u = ? ? σ + ρ f ?t ?u ?u ?σ ρ j + ρ ui j = ij + ρ f j ?t ?xi ?xi

D ? ?φ ? φ dV = ∫ ? + ? ? (φ u ) ?dV V ?t Dt ∫V ? ?

D ρ udV = ∫ pn ds + ∫ ρ fdV S V Dt ∫ V



V

? ?( ρu ) ? + ? ? ( ρ uu ) ? dV = ∫ ? ? σdV + ∫ ρ fdV ? V V ? ?t ?

方程左边表示单位体积流体的动量变化率:第一项是当地加速度项, 由速度的不定常性引起;第二项是对流加速度项,由速度分布的不 均匀性引起,即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度 项是非线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度,表示作用在单位体积流体上的 表面力;第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
15



V

? ?( ρ u ) + ? ? ( ρ uu ) ? ? ? σ ? ρ ? ? ?t

? f ? dV = 0 ?

?

?( ρu ) + ? ? ( ρ uu ) = ? ? σ + ρ f ?t

?σ ? ( ρ u j ) + ?? ( ρuk u j ) = ?xij + ρ f j xk ?t i

16

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

例2. 教科书(1.6) 在以下习题求解中会用到下列公式,请参阅有关资料。 柱坐标与直角坐标

柱坐标与直角坐标

Z

A(R, θ, z)

?R = x 2 + y 2 ? y ? ? θ = arc tg x ? z=z ? ?
? x = R cosθ ? ? y = R sin θ ?z=z ?

Z

A(R, θ, z)

? uR = cosθ u + sin θ v ? ?uθ = ? sin θ u + cosθ v ?u =w ? z

Y
X

θ

R

u R eR + uθ eθ + u z ez = ui + vj + wk

Y
X

θ

u R = ui ? eR + vj ? eR + wk ? eR = cos θ u + sin θ v uθ = ui ? eθ + vj ? eθ + wk ? eθ = ? sin θ u + cos θ v u z = ui ? ez + vj ? ez + wk ? ez = w

R

17

18

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理
? ?θ ? ?θ

柱坐标与直角坐标
?? ? sin θ ? ?x = cosθ ?R ? R ? ? cos θ ?? + ? = sin θ ? ? y R R ? ? ? = ? ? ? ?z ?z
Z

柱坐标与直角坐标
? ?θ ? ?θ
A(R, θ, z)

u ?? = u

X

θ

Y
R

? ? ? +v +w ?x ?y ?z

?? ? sin θ ? ?x = cosθ ?R ? R ? ? cosθ ?? + ? = sin θ ?R R ? ?y ? ? = ? ? ? ?z ?z

?R = x 2 + y 2 ? y ? ? θ = arc tg x ? z=z ? ?

φ = φ ( R, θ , z ) R = R( x, y ), θ = θ ( x, y ), z = z ?φ ?φ ?R ?φ ?θ ?φ sin θ = + = cosθ ? ?x ?R ?x ?θ ?x ?R R ?φ ?φ ?R ?φ ?θ ?φ cosθ = + = sin θ + ?y ?R ?y ?θ ?y ?R R ?φ ?φ
?z = ?z

?φ ?θ ?φ ?θ

? sin θ ? ? ? ? cosθ ? ? ? ? = u ? cosθ ? + ? + v ? sin θ ?+ w R ?θ ? ? R ?θ ? ?R ?R ?z ? ? 1 ? ? = ( cosθ u + sin θ v ) + ( ? sin θ u + cosθ v ) +w ?R R ?θ ?z ? uθ ? ? = uR + + uz ?R R ?θ ?z

? ? uθ ? ? D ? = + u ?? = + u R + + uz Dt ?t ?t ?R R ?θ ?z

? u R = cos θ u + sin θ v ? ?uθ = ? sin θ u + cos θ v ?u =w ? z

19

20

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

[(u ? ?)u ]R = cosθ

(u ? ?)u + sin θ (u ? ?)v

?u ? ?v ? ? ?u uθ ?u ? ?v uθ ?v = cosθ ? uR + + uz ? + sin θ ? uR + + uz ? ?z ? ?z ? ? ?R R ?θ ? ?R R ?θ ?u ?v ? uθ ? ?u ?v ? ? = uR ? cosθ + sin θ + sin θ ? + ? cosθ ? ?R ?R ? R ? ?θ ?θ ? ? ?u ?v ? ? + uz ? cosθ + sin θ ? ?z ?z ? ? u ? ? = uR ( cosθ u + sin θ v ) + θ [ (cosθ u + sin θ v) ? (? sinθ u + cosθ v )] R ?θ ?R ?? ? sin θ ? ? ? ?x = cosθ ?R ? R ?θ + uz (cosθ u + sin θ v ) ? ?z ? cos θ ? ?? + ? = sin θ R ?θ ?R ?u ?u u ? ?u ? ? ?y = uR R + θ ? R ? uθ ? + uz R ? ? = ? ?R R ? ?θ ?z ? ? ?z ?z ? = uR ?uR uθ ?uR ?u u2 + + uz R ? θ ?R R ?θ ?z R
? u R = cos θ u + sin θ v ? ?uθ = ? sin θ u + cos θ v ?u =w ? z
21

又解:由附录A(P.499)
( a ? ?) a = + ?? ?a1 ? ?a ? a ? ? 1? ?a ? + a2 2 + a3 3 ? ? 2 ? ( h2 a2 ) ? ( h1a1 )? ?? a1 ?x1 ?x1 ? h2 ? ?x1 ?x2 h1 ? ?? ?x1 ?

?? a3 ? ? ? ( h1a1 ) ? ( h3a3 )? ? ? e1 + (???)e2 + (???)e3 ? ?x1 h3 ? ?x3 ? ??

对于柱坐标

a1 = uR x1 = R h1 = 1 e1 = eR

a2 = uθ x2 = θ h2 = R e2 = eθ

a3 = uz x3 = z h3 = 1 e3 = ez
22

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

?u ?u ? ? ?u eR ? [(u ? ?)u ] = ? uR R + uθ θ + uz z ? ?R ?R ? ? ?R uθ ? ? ?uR ? ? ?uR ?uz ? ? ? ( Ruθ ) ? + uz ? ? ? R ? ?R ?θ ? ?R ? ? ? ?z

球坐标与直角坐标

简化得
u ?u u2 ?u ?u eR ? [(u ??)u ] = uR R + θ R + u z R ? θ ?R R ?R ?z R
?? ?a1 ? ?a ? a ? ? 1? ?a ? + a2 2 + a3 3 ? ? 2 ? ( h2 a2 ) ? ( h1a1 )? ?? a1 ?x1 ?x1 ? h2 ? ?x1 ?x2 h1 ? ?? ?x1 ? + ?? a3 ? ? ? ( h1a1 ) ? ( h3a3 )? ? ? e1 + (???)e2 + (???)e3 ? ?x1 h3 ? ?x3 ? ??

? x = r sin θ cos ω ? ? y = r sin θ sin ω ? z = r cos θ ?
? 2 2 2 ? r= x +y +z ? 2 x + y2 ? ? θ = arc tg z ? y ? ω = arc tg ? x ?

z

θ

i

(r ,θ , ω )

r
y

x

ω

( a ??) a =

23

24

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

例3. 试对柱坐标形式的微元六面体, 建立运动方程. 球坐标与直角坐标 解: 系统动量变化率=作用在系统的力(表面力+质量力) 系统动量变化率 = 控制体内动量变化率 + 净流出控制体动量流率

?ur = sin θ cos ω u + sin θ sin ω v + cosθ w ? ? uθ = cos θ cos ω u + cos θ sin ω v + (? sin θ ) w ?u = ? sin ω u + cos ω v ? ω
? ? cosθ cos ω ? ? sin ω ? = sin θ cosω + + r ?x ?r ?θ r sin θ ?ω cosω ? ? ? cosθ sin ω ? = sin θ sin ω + + r ?y ?r ?θ r sin θ ?ω ? ? ? sin θ ? ? = cosθ + ? ? ? r ? ?θ ?z ?r ?

δ t 时间内控制体内动量变化,
? ? ? ρ uRδ Rδθδ z + ( ρ uRδ Rδθδ z )δ t ? ? ?t ? ? ? ρ uRδ Rδθδ z ? = ( ρ uR )δ Rδθδ zδ t ?t

δR
R

δθ θ

x

控制体内动量变化率, ? ( ρ uR )δ Rδθδ z ?t
25

δz

z

26

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

经控制面净流出的动量流率

沿R 方向净流出控制体的动量流率,

δ t 时间内沿 R 方向净流出控制体的动量,
( ρ uR uRδθδ zδ t ) R+δ R ? ( ρ uR uRδθδ zδ t ) R

δR
R

? ( ρ uRuR)δ Rδθδ z ?R

? ? δ R? = ?( ρ uR uR) R + ( ρ uR uR) R ? δθδ zδ t R+ R+ ? R ? 2 2 2 ? ? ? δ R? ? ?( ρ uR uR) R ? ( ρ uR uR) R ? δθδ zδ t R+ R+ ? R ? 2 2 2 ? ? = ( ρ uR uR)δ Rδθδ zδ t ?R

δθ θ

x

沿 θ 方向净流出控制体的动量流率, ? ( ρ uθ u )δ Rδθδ z ?θ 沿 Z 方向净流出控制体的动量流率,
? ( ρ u z Ru )δ Rδθδ z ?z

δz

z

27

28

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

系统总动量变化率
? ? ? ?? ? ( ρ uR) + ( ρ uR uR) + ( ρ uθ u ) + ( ρ uz Ru ) ? δ Rδθδ z ? ?r ?θ ?z ? ?t ? ?u ? ?u ? ?u ? ?ρ ( ρ uR R) + ρ RuR ( ρ uθ ) + ρ uθ = ? Ru + ρR + u +u ?t ?t ?R ?R ?θ ?θ ? + Ru ? ?u ? ( ρ uz ) + ρ uz R ? δ Rδθδ z ?z ?z ?

柱坐标中

u = uR eR + uθ eθ + uz ez 于是
Du ? ? ? uθ ? ?? = ? + uR + + uz ? (uR eR + uθ eθ + uz ez ) Dt ? ?t ?R R ?θ ?z ? u ?u u u ?e ?u ?u ? ? ?u = ? R + u R R + θ R + u z R ? eR + θ R R R ?θ ?R R ?θ ?z ? ? ?t u ?u u u ?e ?u ?u ? ? ?u + ? θ + uR θ + θ θ + uz θ ? eθ + θ θ θ R ?θ ?R R ?θ ?z ? ? ?t ?uz ? ?uz uθ ?uz ? ?uz + + uz +? + uR ? ez R ?θ ?r ?z ? ? ?t

? 1 ? ? ? ?ρ 1 ? ? ( ρ uR R ) + ( ρ uθ ) + ( ρ uz ) ? + = ? Ru ? + ?z R ?θ ? ? ? ?t R ?R ?u uθ ?u ?u ? ? ? ?u + ρ R ? + uR + + uz ? ?δ Rδθδ z ?R R ?θ ?z ? ? ? ?t Du Rδ Rδθδ z =ρ Dt
29

30

2.2

动量守恒定理

考虑到

?e ?eR = eθ , θ = ?eR ?θ ?θ

微元体所受的表面力 (见第一章例题),
?p ? ? ( RpR ) + θ + ( Rpz )]δθδ zδ R = FR eR + Fθ eθ + Fz ez ?R ?θ ?z ?σ ? ? FR = [ ( Rσ RR ) + θ R ? σ θθ + ( Rσ zR )]δ Rδθδ z ?R ?θ ?z ?σ ? ? Fθ = [ ( Rσ Rθ ) + θθ + σ θ R + ( Rσ zθ )]δ Rδθδ z ?R ?θ ?z ?σ ? ? Fz = [ ( Rσ Rz ) + θ z + ( Rσ zz )]δ Rδθδ z ?R ?θ ?z Fs = [

uθ uR ?eR uθ uR u u ?e uu = eθ , θ θ θ = ? θ θ eR R ?θ R R ?θ R

代入上式,
u ?u uu ? Du ? ?uR ?u ?u =? + u R R + θ R + u z R ? θ θ ? eR Dt ? ?t R ? ?R R ?θ ?z ?uθ uθ ?uθ ?uθ uθ uR ? ? ?uθ +? + uR + + uz + ? eθ R ? ?R R ?θ ?z ? ?t ?u u ?u ?u ? ? ?u + ? z + uR z + θ z + u z z ? ez R ?θ ?r ?z ? ? ?t

微元体所受的重力

FB = ρ gRδ Rδθδ z = ( g R eR + gθ eθ + g z ez ) ρ Rδ Rδθδ z

31

32

2.2

动量守恒定理

2.2

动量守恒定理

动量定理

微分方程

ρ

?p Du 1 ? ? = [ ( RpR ) + θ + ( Rpz )] + ρ g Dt R ?R ?θ ?z

ρ

?p Du ? ? Rδ Rδθδ z = [ ( RpR ) + θ + ( Rpz )]δθδ zδ R + ρ gRδ Rδθδ z Dt ?R ?θ ?z ?p Du 1 ? ? = [ ( RpR ) + θ + ( Rpz )] + ρ g ρ Dt R ?R ?θ ?z

ρ(

u ?u u2 ?uR ?u ?u + uR R + θ R + u z R ? θ ) ?t ?R R ?θ ?z R ?σ 1 ? ? = ρ g R + [ ( Rσ RR ) + θ R ? σ θθ + ( Rσ zR )] ?θ ?z R ?R ?u ?u ?u u ?u u u ρ ( θ + uR θ + θ θ + u z θ + R θ ) ?t ?R R ?θ ?z R ?σ θθ ? 1 ? = ρ gθ + [ ( Rσ Rθ ) + + σ θ R + ( Rσ zθ )] ?θ ?z R ?R ?u ?u u ?u ?u ρ ( z + uR z + θ z + u z z ) ?t ?R R ?θ ?z ?σ θ z ? 1 ? = ρ g z + [ ( Rσ Rz ) + + ( Rσ zz )] R ?z ?θ ?z

DuR uθ 2 ? Dt R

Duθ u R uθ + Dt R

Du z Dt

33

34

2.3

能量方程

2.3

能量方程

积分形式的能量守恒方程 系统总能量, 表面力作功功率, 质量力作功功率, 传热功率, 能量方程,

热力学第一定理 对于一个静止的热力学系统(或起始和终止状态处于静止的统):系 统内能的增加等于外力对系统所作的功与外界传递给系统的热量之 和。 设流体力学系统偏离平衡态不远:系统总能量的变化率(包括内能 和动能)等于外力对系统的作功功率与通过导热向系统的传热功率 之和。




V



S

1 ? 2 ? u ? p n ds
u ? ρ fdV

ρ ? e + u ? u ? dV

? ?

V

? n ? qds
S



D 1 ? ? ρ ? e + u ? u ? dV = ∫ u ? pn ds + ∫ u ? ρ fdV ? ∫ n ? qds S V S Dt ∫ V ? 2 ?

35

36

2.3

能量方程

2.3

能量方程

微分形式的能量守恒方程 第二雷诺输运定理 高斯定理
D 1 D? 1 ? ? ? ρ ? e + u ? u ? dV = ∫ ρ ? e + u ? u ? dV V Dt ∫ V ? 2 Dt ? 2 ? ?
S S V

守恒形式形式的能量方程

D ?φ φ dV = ∫ [ + ? ? (φ u )]dV V ?t Dt ∫V



S

u ? pn ds = ∫ u ? ( n ? σ ) ds = ∫ n ? ( σ ? u ) ds = ∫ ? ? ( σ ? u ) dV
S




n ? qds = ∫ ? ? qdV
V

D 1 ? ? ρ ? e + u ? u ? dV = ∫ u ? pn ds + ∫ u ? ρ fdV ? ∫ n ? qds S V S Dt ∫ V ? 2 ?

D? 1 ? e + u ? u ? dV = ∫ ? ? ( σ ? u ) dV + ∫ u ? ρ fdV ? ∫ ? ? qdV ∫V ρ Dt ? 2 ? ? V V V 1 ? D? ? ? ?ρ ? e + u ? u ? ? ? ? ( σ ? u ) ? u ? ρ f + ? ? q ? dV = 0 V 2 ? ? Dt ? ? ?



V

?? ? ? 1 1 ? ? ?? ?? ? ? ? ρ ? e + u ? u ? ? + ? ? ? ρ u ? e + u ? u ? ? ? dV = ∫ ? ? ( σ ? u ) dV + 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ?t ? ? V + ∫ u ? ρ fdV ? ∫ ? ? qdV
V V

ρ
ρ

D? 1 ? ?e + u ?u ? = ??( σ?u) + u ? ρ f ? ?? q 2 Dt ? ?
qi 1 D? ? ? (σ ij u j ) + ρ ui fi ? ? ? e + ui ui ? = 2 Dt ? ?xi ? ?xi
37

1 1 ?? ? ? ? ?? ?? ? ρ ? e + 2 u ? u ?? + ? ? ? ρ u ? e + 2 u ? u ?? = ? ? ( σ ? u ) + u ? ρ f ? ? ? q ?t ? ? ?? ?? ? ?

38

2.3

能量方程

2.3

能量方程

机械能方程 动量方程,
ρ
Dui ?σ ji = + ρ fi Dt ?x j

内能方程
ρ

ρ

D? 1 qi ? ? ( u jσ ij ) + ρ ui fi ? ? ? e + ui ui ? = ?xi Dt ? 2 ? ?xi

?σ ?q D? 1 ? ?u j σ ij + u j ij + ρ ui fi ? i ? e + ui ui ? = Dt ? ?xi ?xi 2 ? ?xi ?σ ji D ?1 ? ρ ? ui ui ? = ui + ρ ui fi Dt ? 2 ?x j ?

? ?? ?

两边同乘 u i ,

ρ ui

?σ ji Dui = ui + ρ ui f i ?x j Dt

ρ

?u j ?qi De = σ ij ? Dt ?xi ?xi

ρ

上述方程可看作在 i 方向的受力平衡式和速度作点乘,表示力的机 械功功率,所以上式是机械能守恒方程。
ρ
?σ ji D ?1 ? + ρ ui fi ? ui ui ? = ui Dt ? 2 ?x j ?
39

?u j ?qi ?e ?e ? + ρu k = σ ij ?xi ?xi ?t ?x k

方程左边表示内能的变化率,第一项是当地变化率,第二项是对流 变化率,是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。 公式右边是引起内能变化的动因,第一项表示由于表面力的作用引起 的机械能向内能的转换功率,第二项表示由于导热从外界向系统内部 的传热功率。
40

2.4

本构方程

2.4

本构方程
三点假设

应力和应变率(应力张量和应变率张量)之间的关系称本构方程。 三点假设

1. 运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量, 流体压强此时即为静力学压强,据此应力张量可表示为,

σ ij = ? pδ ij + τ ij
σ ij 应力张量 p 热力学压强

?u i 2. 偏应力张量 τ ij 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性 ? xj 齐次函数。 ?u τ ij = α ijkl k ?xl
比例常数 α ijkl 应是一个 4 阶张量。 这里假设应力张量是速度梯度张量的线性函数,而且只和速度梯度 张量有关,满足上述关系的流体称牛顿流体,不满足此关系的流体 则称非牛顿流体。

τ ij

偏应力张量。τ ij 由于流体运动而引起,当运动消失时趋于零, p 也趋于静力学压强。由于 δ ij , σ ij 均是对称张量,因此偏应力 张量 τ ij 也是对称张量。

41

42

2.4

本构方程

2.4

本构方程

三点假设 3.流体是各向同性的,α ijkl 是各向同性张量。

本构方程 偏应力与旋转无关

α ijkl = λδ ijδ kl + ? (δ ikδ jl + δ ilδ jk ) +ν (δ ikδ jl ? δ ilδ jk )
?u k ,考虑到 τ ij 对i 、j 两个指标是对称的,α ijkl 对指标 ?xl i、j 也应该是对称的,于是 α ijkl 可进一步简化为,

由 τ ij = α ijkl

τ ij = α ijkl

?uk = α ijkl ( skl + akl ) = α ijkl skl + α ijkl akl = α ijkl skl ?xl

由于α ijkl 对k,l 对称,而旋转率张量 a kl 对k,l反对称,因此

α ijkl = λδ ij δ kl + ? (δ ik δ jl + δ il δ jk )
α ijkl 对k,l也是对称的。

α ijkl a kl = 0
上式从数学上证明了偏应力与旋转无关,而只和变形有关。

43

44

2.4

本构方程

2.4

本构方程

本构方程
?λδ ijδ kl + ? (δ ikδ jl + δ ilδ jk )? ? k + l ? τ ij = ? ? ?x ?x 2 k ? ? l ? ?u ?u ? ?u = λδ ij k + ? ? i + j ? ? ?x ? ?xk ? j ?xi ? 1 ? ?u ?u ?

富立叶定律
q = ? k ?T qi = ? k ?T ?xi

σ ij = ? pδ ij + λδ ij

? ?u ?u j ?u k + ?? i + ? ?x ?x k ? j ?xi

? ? ? ?

? 需由实验确定,其物理意义也需要进一步解释。 上式中的λ 、

45

46

2.5 粘性系数

2.5 粘性系数
动力粘性系数 牛顿内摩擦定律

σ ij = ? pδ ij + λδ ij

? ?u ?u j ?u k + ?? i + ? ?x ?x k ? j ?xi

? ? ? ?

第二粘性系数 λ 和体积粘性系数 k 一点的平均正应力
?x k 1 ? ?x j ?xi ? p = ? (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 3 ?u ?u ?u ?u ? ? ?v ? ? ?w ? ? 1 ?? = ? ?? ? p + λ k + 2 ? ? + ? ? p + λ k + 2 ? ? + ? ? p + λ k + 2 ? ?? ?xk ?x ? ? ?xk ?y ? ? ?xk ?z ? ? 3 ??
? ?u 2 ?u ? = ??? p + λ k + ? k ? ? 3 ?xk ? x ? k ?u 2 ? ?uk ? =k k p ? p = ?λ + ? ? ?xk 3 ? ?xk ?

u = u ( y ), v = w = 0 du τ =? dy
不可压缩流体

σ ij = ? pδ ij + λδ ij

?u k

? ?u ?u j ? ? + ?? i + ? ?

? ?u ?u ? ?uk = 0 ? σ ij = ? pδ ij + ? ? i + j ? ? ?x ? ?xk ? j ?xi ? σ 13 = σ 31 = σ 32 = σ 23 = 0, σ 11 = σ 22 = σ 33 = ? p du dy 与牛顿内摩擦定律比较可看出,? 即动力粘性系数。

σ 12 = σ 21 = ?

式中 k = λ + ?,称体积粘性系数。

2 3

47

48

2.5 粘性系数

2.5 粘性系数

第二粘性系数

λ

和体积粘性系数

k

Stokes 假设 对单原子气体只有分子平动能量 p = p ,此时 k = 0; 对多原子气体和液体,通常情况下 k 也可认为近似为零;

?u 2 ? ?u ? p ? p = ?λ + ? ? k = k k 3 ? ?x k ?x k ?

根据气体分子运动理论
p 分子平动能量的度量;

p 分子总能量的度量,其中包括平动、转动、振动能量及其他能量;

k 平动能量转换为其他形式能量的一个度量,例如穿过激波时能量
从平动能量转变为振动能量,此时 k 不为零。

2 Stokes 假设 k = 0 ,此时只有一个粘性系数 ? ,而 λ = ? ? 。 3 ? ?u ?u ? ?u σ ij = ? pδ ij + λδ ij k + ? ? i + j ? ? ? ?x j ?xi ? ?xk ? ? ? ?u ?u ?u ? 2 σ ij = ? pδ ij ? δ ij ? k + ? ? i + j ? ? ? 3 ?xk ? ?x j ?xi ?

49

50

2.5 粘性系数

不可压缩流体

σ ij = ? pδ ij + λδ ij

?u k = 0 包含λ的项自动消失, ?x k
?u i j ? + σ ij = ? pδ ij + ? ? ? ?x ? ? j ?xi ? ? ?u ?

? ?u ?u j ?u k + ?? i + ? ?x ?x k ? j ?xi

? ? ? ?

2.6 Navier-Stokes方程
N-S 方程
j ij 动量方程, ρ Dt = ?x + ρ f j i

?ui ?u j + =2s ?x j ?xi

Du



?u k = ??u ?x k

ij k i + j ?? 本构方程, ?x = ?x ?? pδ ij + λδ ij ?x + ? ? ? ?x ? i i ? k ? j ?xi ?? ? ?



? ?

?u

? ?u

?u ??

=?

?p ? ? ?uk + ?λ ?x j ?x j ? ?xk
? ?u k ?λ ? ?x k

? ? ?+ ? ?xi

将本构方程代入动量方程,
ρ
Du j Dt =? ?p ? + ?x j ? x j

? ? ?u ?u j ?? i + ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?x j ?xi ?? ?
?? ?? + ρ f j ? ? ??

? ? ? ? ? ui ? u j + ?? ? ?+ ? ? ?xi ? ? ? ?x j ?xi

ρ
51

Du = ??p + ? ( λ? ? u ) + ? ? (2 ? s) + ρ f Dt
52

2.6

Navier-Stokes方程

2.6

Navier-Stokes方程

不可压缩流体(动力粘性系数为常数 ? = const.)
?p ? ? ? u k ? ? ? ? ? ui ? u j + + ?? ? ?+ ?λ ? Dt ?x j ?x j ? ?x k ? ?xi ? ? ? ?x j ?xi ? ? ? ?ui ?u j ? ? ? ? ?ui ? ? ? ?u j ? + =? +? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?x ?? ? ? x x x xi ? ?xi ? ?xi ? ? ? ? ? ? i ?? i ? j ? ? ? j

欧拉方程( ? = 0)
?? ?? + ρ f j ? ?? ?

ρ

Du j

=?

ρ

Du j Dt

=?

?p ? + ?x j ?x j

? ?u k ?λ ? ?x k

? ? ? ? ? ui ? u j + ?? ? ? ?+ ? ? xi ? ? ? ?x j ? xi

?? ?? + ρ f j ? ?? ?

ρ
ρ

Dui ?p =? + ρ fi ?xi Dt
Du = ??p + ρ f Dt

=?

? ?x j

? 2u j ? 2u j ? ?ui ? =? ? ?+? 2 ?xi ?xi 2 ? ?xi ?

ρ

Du j Dt

=?

? 2u j ?p +? + ρ fj 2 ?x j ?xi

Du ρ = ??p + ?? ? ?u + ρ f Dt
53 54

2.6

Navier-Stokes方程

柱坐标和球坐标系中N-S的方程 参见附录C, pp.506-507

例4. 从 N-S 方程出发,作出适当的假定,推导以下各方程。设不可 压缩流体。 ?u ?u 1 ?p ? 2u + v0 (t ) = ? +ν 2 (a) ?t ?y ?y ρ ?x dv 0 (t ) 1 ?p (b) =? + gy dt ρ ?y

(c)

?? + (u ??)? = ν? 2 ? ?t

(a) 设 解:

v = v 0 (t )

?u ?v ?u + =0 ? = 0 ? u = u( y , t ) ?x ?y ?x

55

56

2.6

Navier-Stokes方程

2.6

Navier-Stokes方程

X 方向的 N-S 方程

?u ?u ?u 1 ?p ? 2u ? 2u +u +v = ? +ν ( 2 + 2 ) + gx ?t ?x ?y ρ ?x ?x ?y

(b) Y 方向的 N-S 方程

?u ?u 1 ?p ? 2u + v0 ( t ) = ? +ν 2 ?t ?y ?y ρ ?x
(水平方向 g x =0)

?v ?v ?v 1 ?p ?2v ?2v +u +v =? +ν ( 2 + 2 ) + g y ?t ?x ?y ρ ?y ?x ?y
dv0 (t ) 1 ?p =? + gy dt ρ ?y

57

58

2.6

Navier-Stokes方程

2.6

Navier-Stokes方程

由不可压缩流体 (c)
?v ?v ?v 1 ?p ?v ?v +u +v =? +ν ( 2 + 2 ) ρ ?y ?t ?x ?y ?x ?y
2 2

?u ?v =? ? ?x ?y

对x求偏导

?u ?v ?v ?v ?v ?v ?v ?v ?u ?u ?v ?u ?u ?v ?v ?u + =? + =0, + =? + =0 ?x ?x ?x ?y ?y ?x ?x ?y ?y ?x ?y ?y ?y ?y ?y ?y

? ?v ? ?v ?u ?v ? ?v ?v ?v +v ( )+ ( )+u ( )+ ?x ?t ?x ?x ?x ?x ?x ?y ?x ?y =? 1 ? ?p ? ?v ?v ( ) +ν ( 2 + 2 ) ρ ?x ?y ?x ?x ?y
2 2

以上两方程可简化为,
? ?v ? ?v ? ?v 1 ? ?p ? ?2v ?2v ( )+u ( )+v ( )= ? ( ) +ν ( 2 + 2 ) ρ ?x ?y ?x ?t ?x ?x ?x ?y ?x ?x ?y

?u ?u ?u 1 ?p ? 2u ? 2u +u +v =? +ν ( 2 + 2 ) ρ ?x ?t ?x ?y ?x ?y

对y求偏导

? ?u ? ?u ? ?u 1 ? ?p ? ? 2u ? 2u ( )+u ( )+v ( )= ? ( ) +ν ( 2 + 2 ) ?y ?t ?y ?x ?y ?y ?y ?x ?y ρ ?y ?x

? ?u ? ?u ?u ?u ? ?u ?v ?u +v ( )+ ( )+u ( )+ ?y ?t ?y ?x ?y ?x ?y ?y ?y ?y =?

将以上两方程相减且注意到 ? z =

?v ?u ? 可得, ?x ?y

ρ ?y ?x

1 ? ?p ? ?u ?u ( ) +ν ( 2 + 2 ) ?y ?x ?y
2 2

?? z ?? z ?? z ? 2? ? 2? z +u +v =ν ( 2z + ) ?t ?x ?y ?x ?y 2
?? + (u ??)? = ν? 2 ? ?t
59 60

2.7

能量方程

2.7 能量方程
内能方程
ρ
?u j ?q j De = σ ij ? Dt ?xi ?x j

耗损函数

表面力作功功率

?u j ?u = ( ? pδ ij + τ ij ) = ? p k + τ ij σ ij ?xi ?xi ?xk ?xi
?p ?u k 压缩功功率,表示流体体积变化时,外部压强对单位体积 ?x k 流体作功的功率,这种转变是可逆的;

?u j

?u j

φ = τ ij

?u j ?xi

? ? ?u ?u ? ? ?u ?u = ?λδ ij k + ? ? i + j ? ? j ? ?x ? ?x ? x k ? ? i ? j ?xi ? ? ? ? ?u ?u ? ?u ? = λ? k ? + ?? i + j ? ? ?xk ? ? ?x j ?xi
2

?u 表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率,这 τ ij j 部分机械能向内能的转变是不可逆的,在一切流体和一切 ?xi 流动中总大于零。

? ?u j ? ? ? ?xi

61

62

2.7

能量方程

2.7

能量方程

能量方程其它形式 导热功率
? ?q j ?x j =? ? ?x j ? ?T ?k ? ? ?x j ? ? ? = ? ? ?x j ? ? ?T k ? ? ?x j ? ? ? ? ?
?u j ?q j De = σ ij ? Dt ?xi ?x j ?u j

连续方程,
Dρ 1 Dρ + ρ? ? u = 0 ? ? ? u = ? Dt ρ Dt p? ? u = ? p Dρ D ?1? = ρp ? ? ρ Dt Dt ? ρ ?

ρ

ρ

De = ? p ? ? u + ? ? ( k? T ) + φ Dt

?

?u σ ij = ?p k +φ ?xi ?xk ?q j ? ? ?T ? = ?k ?x j ?x j ? ? ?x j ? ? ? ?

内能方程
ρ
?u De ? = ?p k + Dt ?x k ?x j ? ?T ?k ? ?x j ? ? ? +φ ? ?

内能方程,
De + p? ? u = ? ? ( k ?T ) + φ ? Dt ? De D ? 1 ?? ρ ? + p ? ? ? = ? ? ( k ?T ) + φ Dt Dt ? ρ ?? ?

De ρ = ? p ? ? u + ? ? ( k? T ) + φ Dt

ρ

63

64

2.7

能量方程

能量方程其它形式
ρ?
? De ? Dt +p D ? 1 ?? ? ? ? = ? ? ( k ?T ) + φ Dt ? ρ ? ? ?

?1? 1 Tds = de + pd ? ? = dh ? dp ρ ?ρ? Ds De D ? 1 ? Dh 1 Dp = + p ? ?= ? T Dt Dt Dt ? ρ ? Dt ρ Dt

柱坐标和球坐标系中能量的方程 参见附录C, pp.507-508

ρT

Ds = ? ? (k?T ) + φ Dt ? ? ? Ds ? k ?T ? + φ = ρT ? ? Dt ?x j ? x j ? ?

? ?? ? ? ?? ?

以熵表示的能量方程

ρ

Dh Dp = + ? ? (k?T ) + φ Dt Dt ? ? ? Dh Dp ? k ?T ? + φ = + ρ ? ? Dt Dt ?x j ? x j ? ?

以焓表示的能量方程

65

66

2.8 牛顿流体的基本方程组

2.8 牛顿流体的基本方程组
基本方程组
? ? ?ρ ? ?t + ?x ( ρ uk ) = 0 k ? ? Du ?p ? ? ?uk ? ? ? ? ?ui ?u j ? ? j ? ρ =? + + ?? ? ?? + ρ f j ?+ ?λ ? ? ?x j ?x j ? ?xk ? ?xi ? Dt ? ? ? ?x j ?xi ? ? ? ? 2 ? ?ui ?u j ? ?u j ? De ? ?u ? ?u ? ? ?T ? ?ρ = ?p k + + ?+λ? k ? + ?? ? ?k ? ? ?x ? ?x k ?x j ? ? ? x x ? Dt j k ? ? ? ? j ?xi ? ?xi ? ? ? ? p = p ( ρ ,T ) ? ? ? e = e ( ρ , T )                      ? ?
67

基本方程组

7个标量方程,7个未知量 uj,ρ , p ,e, T ,方程组是封闭的;

λ,μ,κ等是 p 和 T 的函数;
e = CV T ; 对完全气体,状态方程和内能公式可分别写为 p = ρ RT ,

质量力是重力, f = g

68

2.8 牛顿流体的基本方程组

不可压缩流体(动力粘性系数μ为常数)

? ?uk ? ?x = 0 ? k ? 2 ? ρ Du j = ? ?p + ? ? u j + ρ f j ? Dt ?x j ?xi ?xi ?
当密度ρ为常数时,上述连续方程和 N-S 方程共 4 个标量方程,未 知量 uj、p 也是 4 个,方程组封闭。 流体动力学问题和热力学问题可分开求解。

2.9 边界条件
初始条件和边界条件 流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组,要确定 某种具体的流体运动,也就是要找出方程组的一组确定的解,还需 要给出初始条件和边界条件。

69

70

2.9 边界条件

2.9 边界条件

初始条件和边界条件 初始条件就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态,即 t = t0 时

曲面上的表面张力
?1 1? p1 ? p2 = σ ? + ? ? R1 R2 ?
R2 p1 - p2 是曲面两侧压强差; R1 R1、R2 是曲面在考虑点的两个主曲率半径; σ 为表面张力系数; 表面张力的合力指向凹面一侧,与压力差平衡。

p2

u (r , t0 ) = u0 (r ), p(r , t0 ) = p0 (r )

p1

ρ (r , t0 ) = ρ 0 (r ), T (r , t0 ) = T0 (r )
边界条件指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件,本节主要 研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触 面,其中至少有一种介质是我们所考虑的流体,并假设分界面两边的 物质互不渗透,原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。

71

72

2.9 边界条件

2.9 边界条件

液液分界面的边界条件 动力学边界条件
介质1

液液分界面的边界条件

n

运动学、热力学条件 界面两侧介质运动速度相等(无滑移条件、粘附条件),

作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡, ? 1 1 ? σ (1) ? n ? σ ( 2) ? n + σ ? ?R + R ? ?n = 0 ? 1 2 ? 正值, σ , σ 分别是介质 1、2 的应力张量。
(1) (2) σ nn ? σ nn +σ ? (1) (2) σn τ = σ nτ

介质2

上式中 n 指向介质 1, R1、R2 的曲率半径中心在 n 指向一侧时取
(1) (2)

u (1) = u ( 2 )
界面两侧温度和热流密度等,
介质1 介质2
(2)

n

? 1 1 ? + ?=0 ? R1 R2 ?

T (1) = T (2) ? ?T ? ? ?T ? ?k ? = ?k ? ? ?n ? ? ?n ?
(1)

分界面两侧的切向应力总是连续的;当界面曲率不为零时,表面张 力会导致法向应力的一个突跃。
73 74

2.9 边界条件

2.9 边界条件

液气分界面边界条件 液固分界面边界条件 在固体边界上给定的条件是固壁的运动,而不是固体中的应力,因 此应放弃应力边界条件, 由于气体密度和粘度都很低,它的运动 一般不会对液体产生显著影响,应当放 弃速度边界条件而采用应力边界条件,
气 液

n p0
p

u (1) = u (2) T (1) = T (2) ? ?T ? ?k ? ? ?n ?
(1)

σ nτ = 0
? ?T ? = ?k ? ? ?n ?
(2)

设 p 0 为大气压强,p 为液气边界面上的液体侧压强,自由面曲率 中心在气相一侧,液体的粘性可忽略时,法应力条件可写为

固壁静止时,

?1 1? p0 ? p = σ? ?R + R ? ? ? 1 2?

u 流=0

75

76

2.9 边界条件

2.9 边界条件

自由面的运动学边界条件 设自由面上一点 A 在 t 时刻的位置矢量为 r ,在该点的法向单位矢 量为 n , 经过 δt 时间后, A 点运动到点 r + δr ,则

自由面的运动学边界条件 液气边界最典型的是水与大气的分界面,即自由面。自由面的形状 通常是待求的内容。自由面本身是运动和变形的,设其方程为,

δ F = F (t + δ t , r + δ r ) ? F ( t , r )
= F (t , r ) + = ?F ?F ?F ?F δ t + δ x + δ y + δ z ? F (t , r ) ?t ?x ?y ?z

F ( x, y , z , t ) = 0
假定自由面上的流体质点始终保持在自由面上,则自由面上流体质 点的法向速度,应该等于自由面本身在该点的法向速度。

?F δ t + δ r ? ?F = 0 ?t

t +δt n

A
δr

自由面上 A 点在 t 时刻的法向速度为, ?F δ r ?n δ r ??F ? ?t U n = lim = lim = δ t →0 δ t δ t → 0 δ t ?F ?F
77

t

A

78

2.9 边界条件

2.9 边界条件

自由面的运动学边界条件 设 t 刻在 A 点的流体质点的速度为 u ,则流体质点的法向速度,

un = u ? n
流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度,
un = U n ? u? ?F ? ?F ?t = ?F ?F

自由面的运动学边界条件 假定自由面上的流体质点始终保持在自由面上,可把自由面的值 F 看作是流体质点的属性。则对在自由面上的流体质点来说,
DF =0 Dt

?F + u ? ?F = 0 ?t DF =0 Dt

上式即自由面的运动学边界条件,请注意上式中的速度是流体质点 的速度。
79 80

2.9 边界条件

2.9 边界条件

例5. 小球在理想流体中作缓慢匀速直线运动,试给出小球表面流体 速度 u , v, w 所必须满足的边界条件 。 解:取固定坐标系如图,球面方程为,
[ x ? x 0 (t )] 2 + y 2 + z 2 = a 2

又解: 取运动坐标系 o ' x ' y ' z ' 固结在小球上 , 球面方程 x' 2 + y ' 2 + z ' 2 = a 2

o
x0

dx u0 = 0 dt

x



F ' = x '2 + y '2 + z '2 ? a 2=0



F = [ x ? x0 (t )]2 + y 2 + z 2 ? a 2 = 0

物面流体速度(相对于动坐标系), u ? u 0 , v , w, 动坐标系和固定坐标系间关系为,
y′

物面边界条件为 ,
?F ?F ?F ?F +u +v +w =0 ?t ?x ?y ?z ? 2( x ? x0 ) u0 + u 2( x ? x0 ) + v 2 y + w 2 z = 0 ( x ? x0 )( u ? u0 ) + vy + wz = 0

x ' = x ? x 0 , y ' = y, z ' = z
u0 = dx0 dt

u0

o
x0

x

x′

式中: u0 =

dx0 (t ) , u、v、w 分别为物面上的流体速度。 dt
81 82

2.9 边界条件

2.9 边界条件

相对于动坐标的速度矢量和法向单位矢量,

例6. 试写出自由表面波动时的运动学边界条件 解:自由面方程, y = η ( x, z , t ) 令
y

ur = (u ? u0 )i + vj + wk ?F ' 2 x ' i + 2 y ' j + 2 z ' k n= = ?F ' ?F '
边界条件
ur ? n = 0 ?

F = y ? η ( x, z, t ) = 0

y = η ( x, z , t )

自由面的运动学边界条件
DF ?F ?F ?F ?F = +u +v +w =0 ? Dt ?t ?x ?y ?z

x
h

(u ? u0 ) x′ + vy′ + wz′ = 0
即,

( x ? x0 )(u ? u 0 ) + vy + wz = 0

?η ?η ?η ?u +v?w =0 ?t ?x ?z ?η ?η ?η ?η v= +u +w = + (u ? ?)η ?t ?x ?z ?t ?

83

84

2.9 边界条件

例7. 分别写出均匀来流绕流固体圆球,圆球状液滴和圆球状汽泡时 的边界条件。圆球半径为 a,取来流方向为对称轴。 解:设来流沿着 z 轴方向,由流动的对称性,
? uω = 0, =0 ?ω

2) 液滴 r = 0,
r = a,
P

ur , uθ 为有限值; ur = 0, u (1)θ = u (2)θ,

z
θa
P

z
θa

2σ = 0; x a r → ∞, ur = U cosθ , uθ = ?U sin θ , p = p∞。

σ (1) Rθ = σ (2) Rθ , σ nn内 ? σ nn外 +

ω

y

称轴对称流动。 1) 固体圆球:

x

ω

y

3)气泡

r = a,

uθ = 0, ur = 0

U

2σ a r → ∞,ur = U cosθ , uθ = ?U sinθ , p = p∞ r = a, σ Rθ = 0,p0 ? p =

U

r → ∞, ur = U cosθ , uθ = ?U sinθ , p = p∞

85

86

2.9 边界条件

2.9 边界条件

方程简化 例8 两无穷大平板间不可压缩流体的定常流动(充分发展层流),忽 略质量力影响。 解: v = w = 0 ?
u ?u ?u 1 ?p ? 2 u ? 2u +v =? +ν ( 2 + 2 ) ? ?x ?y ρ ?x ?x ?y

?

d 2u ?p = dy 2 ?x

?u =0 ?x ?u z方向无限长 ? =0 ?z ?u 定常流 ? =0 ?t u = u( y )

U
h

u
?

?v ?v 1 ?p ? 2v ? 2v ?p +v = ? +ν ( 2 + 2 ) ? =0 ?x ?y ρ ?y ?x ?y ?y
d 2u dp = dy 2 dx

y

x

边界条件:
?y = 0 u = 0 ? ?y = h u = U

87

88

2.9 边界条件

2.9 边界条件

方程简化 例9. 圆管内的充分发展流动(层流)。 解: uR = uθ = 0 1 ? ( RuR ) 1 ?uθ ?uz ?uz + + =0 ? =0 连续方程 R ?R R ?θ ?z ?z y ?u z 定常流动 ? =0 ?t a R ?u z 轴对称流动 ? =0 ?θ θ u z = uz ( R )
ρ(
u ?u u2 ?uR ?u ?u + uR R + θ R + u z R ? θ ) R ?t ?R R ?θ ?R uR ?p 2 ?uθ 2 =? + ? (? u R ? 2 ? 2 ) + ρ fR R R ?θ ?R
?uθ ?u u ?u ?u u u + uR θ + θ θ + u z θ + R θ ) ?t ?R R ?θ ?R R uθ 1 ?p 2 ?uR 2 ) + ρ fθ =? + ? (? uθ ? 2 + 2 R ?θ R R ?θ

ρ(

x

uz

z

ρ(

?uz ?u u ?u ?u + uR z + θ z + u z z ) ?t ?R R ?θ ?z ?p 2 = ? + ?? u z + ρ f z ?z
1 ? ? 1 ?2 ?2 (R ) + + R ?R ?R R 2 ?θ 2 ?z 2
90

式中 ? 2 =
89

2.9 边界条件

2.9 边界条件

例10 圆管,多孔壁,层流定常流动, Vw = Const
?p ? ? 0 = ?R ? ?p ? ? 0= ?θ ? 1 ? ?p ?u ? 0 = ? + ?[ ( R z )] ? ?z R ?R ?R ?

解: 轴对称流动 ? uθ = 0

V w = const .
uR
ux
R0

?uR =0 ?t ?uR 轴对称流动 ? = 0, ?θ

定常流动 ?

R

x

1 d du 1 dp (R z ) = R dR dR ? dz

uR

R = R0

= Vw 且为常数 ?

?uR =0 ?x

V w = const .

uR = uR ( R)
连续方程 ?u 1 ? ( RuR ) + x = 0 ? ux = f ( R) x + c R ?R ?x

边界条件 :

R = a , uz = 0 R = 0, uz为有限值

∴ uR = uR ( R), u x = u x ( R, x), uθ = 0, p = p ( R, x)

91

92

2.9 边界条件

2.9 边界条件

动量方程简化,
ρ(

连续方程
2

?u 1 ? ( RuR ) + x = 0 ?x R ?R

化简结果,

u ?u u ?uR ?u ?u + uR R + θ R + ux R ? θ ) R ?t ?R R ?θ ?x u ?p 2 ?uθ fR ρ ) =? + ? (? 2u R ? R ? + R 2 R 2 ?θ ?R

?uR ?p ? 1 ? ? ?uR ? uR ? =? +?? ?R ?? 2 ? ?R ?R ? R ?R ? ?R ? R ? ?u ?u ?u ?p 1 ? (R x ) ρ (uR x + u x x ) = ? + ? ?R ?x ?x R ?R ?R

ρ uR

?u x ?u u ?u ?u + uR x + θ x + ux x ) ?t ?R R ?θ ?x ?p 2 = ? + ?? u x + ρ f x ?z

ρ(

边界条件
R = R0 , ux = 0, uR = Vw R = 0,
2

式中

?2 =

1 ? ? 1 ? ? (R ) + + R ?R ?R R 2 ?θ 2 ?x 2
2

?ux = 0, uR = 0 ?R

柱坐标下的动量方程参阅附录C,pp.506-507。
93 94

练习题
教科书: 1.4, 1.7, 1.8, 1.9 (增加 Φ 证明大于零), 1.10 6.设流动速度分布为 u = yzt , v = zxt , w = 0. 粘度系数为 ? = 0.01 N ? s/m, 求各切应力。 7. 证明方程
?σ ij ? ? ρu j + ρu j u k = + ρ f j 可简化为 ?t ?x k ?xi

9. 试证明对于滞止焓 h0 有以下方程成立,
? ? ?p ? ?T + ( ρ h0 ) + ( ρ u j h0 ) = (τ ij ui + k ) + ρ fi ui ?t ?x j ?t ?x j ?x j

滞止焓

( )

(

)

1 h0 = h + u ? u 2

?σ ij ?u ?u ρ i + ρu j i = + ρ fi ?t ?x j ?x j

10.一个物质体系V 分为V1和V2两部分, Σ 是V1和V2的分界面, S 是V 的边界曲面, 设交界面Σ以速度 u 运动,在 Σ 两侧物理量 F 有一个跃 变.试导出推广的雷诺输运公式
D ?F FV ? ndS + ∫ ( F1 ? F2 )u ?ν dS ∫ FdV = V ∫ ?t dV + ∫ Dt V S Σ V1

8. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断 面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,
?ρ ? A + ( ρ Au ) = 0 ?t ?S

式中是 u 速度, ds 是流动方向的微元弧长.
95

式中 n和 ν 分别是 S 和 Σ 的法向单位 矢量,其指向如图所示, F1?? F2 为 Σ 两 侧 F 函数的跳跃.

Σ

ν
V2

S

n
96

11. 设物体表面是不可穿透的,且表面形状在初始时刻可用 F(x,y,z)=0 来表示,如果此物体从初始时刻开始做下列不同运动: (1). 以速度 U 做 等速运动, 速度沿 X 轴的负方向; (2). 以速度V= f (t) 做变速直线运动, 速度沿 X 轴的正方向.试写出在静止坐标系中粘性流体在物面上的速 度,物面在运动过程中的表达式,并计算速度在物面法线上的分量.

97

3.1 开尓文定理
沿物质周线的速度环量的随体导数 设由确定的流体质点组成的封闭物质线C(t),其位置和形状随流动而 变化.

第三章 控制方程的特殊形式

Γ=

C (t )

v ∫ u ? dr

G

G

DΓ D G G u ? dr = ∫ Dt Dt Cv (t ) G G G ? Du G G D(dr ) ? ? Du G G G ? = v ? dr + u ? = v ? dr + u ? du ? ∫? ∫ ? ? Dt Dt Dt ? ? C (t ) ? ? C (t )

其中
1

G G D (dr ) G ? Dr ? =d? ? = du Dt ? Dt ?
2

3.1 开尓文定理

3.1 开尓文定理

沿物质周线的速度环量的随体导数

G G G u = u (r , t ) 为单值函数,

欧拉方程 理想流体, G G G G ?u ρ + ρ (u ? ?)u = ??p + ρf ?t 设质量力有势且为单值函数, G f = ??G G G G ?u ?p + (u ? ?)u = ? ? ?G ρ ?t

C (t )

v ∫

G G u ? du =

? u2 ? d? ?=0 v ∫ 2? C (t ) ?

G DΓ ? Du G G G ? = v ? dr + u ? du ? ? ∫ ? Dt C (t ) ? Dt ? G Dui DΓ Du G = ∫ ? dr = v ∫ Dt ? dxi Dt Cv Dt C (t ) (t )

沿一条确定的由流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等 于该周线上的加速度的环量. 以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
3

4

3.1 开尓文定理

3.1 开尓文定理

正压流体 场论公式

ρ = ρ ( p)
等熵流动,不可压缩均质流体。
dp dp

G ? ?φ G ?φ G ?φ G ? G G G dr ??φ = (dxi + dyj + dzk ) ? ? i + j+ k? ?y ?z ? ? ?x ?φ ?φ ?φ dx + dy + dz = dφ = ?x ?y ?z

ρ = ρ ( p) ? d ∫

ρ ( p)

=

ρ

G dr ??φ ? d φ
式中dφ 表示对空间的全微分

dp dp G ?p dp G = = d∫ = dr ?? ∫ dr ? ρ ρ ρ ( p) ρ ( p) dp G ?p G = dr ?? ∫ dr ?

G 因为 dr 是任选的,所以对正压流体流场中任一点有,
?p

ρ

ρ

ρ
5

= ?∫

dp

ρ
6

3.1 开尓文定理

3.1 开尓文定理

开尓文定理 设理想、正压流体, 质量力有势且为单值函数,
G ?p ? Du =? ? ?G ? ρ Dt ? ? ? ?p = ? dp ∫ρ ? ? ρ

开尓文定理 设在封闭的物质线 C(t) 上张一曲面 A(t),则由 Stokes 定理, G G Γ = ∫ ? ? ndA
A(t )

?

G ? ?p ? G DΓ Du G = v ? dr = ? v ? dr ∫ ∫ ? ρ + ?G ? Dt C (t ) Dt ? C (t ) ? ? dp ? G ? dp ? =?v ? ?∫ + G ? ? dr = ? v + G? = 0 d ?∫ ∫ ∫ ρ ρ ? ? ? ? C (t ) C (t ) DΓ =0 Dt

DΓ =0 Dt

?

D Dt

A(t )



G G ? ? ndA = 0

对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线 上的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒.

7

8

3.1 开尓文定理

3.1 开尓文定理

讨论 1 开尔文定理成立的三个条件: 正压 , 理想 , 质量力有势; 放松其中任一条件, 开尔文定理不成立。 粘性,斜压与外力无势是引起速度环量和涡通量发生变化的三大因 素.

讨论 2 取 C(t) 是涡管横截面 A(t) 上并围绕涡管一周的封闭物质周线,则在 某一瞬时 ,

C (t )

v ∫ u ? dr = ∫

G

G

G G ? ? ndA

A(t )

D G G D u ? dr = ∫ Dt Cv Dt (t )

A(t )



G G ? ? ndA = 0

涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量, 即涡管强度, 不随时间改变. 在运动过程中, 涡管会发生变形:当涡管被拉伸时, 涡量增大, 涡管 被压缩时, 涡量减小, 以保持通过横截面的总的涡通量不变。

9

10

3.1 开尓文定理

3.1 开尓文定理

讨论 2
G 涡量场的散度为 0, ? ? ? = 0 , 由此得出在每一瞬时通过同一涡管任 意截面的涡通量处处相等, 即涡管强度在空间上守恒, 以上结论对任 意流体都是正确的。

讨论 3 涡旋不生不灭 若流体理想,正压,且外力有势 , 如果初始时刻在

某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻这部分流体皆无旋;反 之,若初始时刻该部分流体有旋,则以前或以后的任何时刻这部分 流体皆为有旋。

当满足开尔文定理成立条件时, 涡管强度不但具有空间上的守恒性, 而且具有时间上的守恒性。

11

12

3.1 开尓文定理

理想不可压缩流体在重力场作用下的流动 (1) 均匀来流定常不脱体绕流

3.2

伯努利方程

1. 沿流线或涡线成立的伯努利方程 兰姆方程

(2) 物体从静止状态开始运动
满足理想、正压、质量力有势; 第 1 种情况下, 流体质点来自无穷远处,无穷远处无旋, 所以整个 流场无旋; 第 2 种情况下, 初始时刻, 静止状态的流体无旋, 所以任意时刻流体 无旋。

设理想流体, G G ?u G G ρ + ρ (u ? ? )u = ??p + ρ f ?t G G G G G ? u ?u ? G (u ??)u = ? ? ? ? u × (? × u ) ? 2 ? G G G ?u ?p G G ? u ?u ? G +?? +f ? ? u × (? × u ) = ? ρ ?t ? 2 ?

13

14

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

1. 沿流线或涡线成立的伯努利方程 1. 沿流线或涡线成立的伯努利方程 设外力有势,正压流体,定常流动,
G G ?p dp ?u f = ??G, = ?∫ , = 0 ρ ρ ?t G G G u u ?u ? G G ?p G ? ? + ?? +f ? ? u × (? × u ) = ? ?t ρ ? 2 ? G G dp G ? u ?u ? G ?? ? ?G ? ? u × (? × u ) = ?? ∫ ρ ? 2 ? ? G G ? dp 1 G G ?? ∫ + u ?u + G? = u ×? ? ρ 2 ?

G G G G 上式两边同时点乘 dl , dl 平行于 u 或 ?

? dp 1 G G ? G G ?? ∫ + u ?u + G ? = u ×? ? ρ 2 ?

? ?

G ? dp u 2 ? ? dp u 2 ? dl ?? ? ∫ + + G ? = 0 ? d ? ∫ + + G ? = 0 2 2 ? ρ ? ? ρ ? dp u 2 ∫ ρ + 2 +G =C
伯努利方程,或伯努利积分;

?

C 称伯努利常数,C 沿同一条流线或涡线为常数;
当无穷远均匀来流绕流物体时,C 对每一根流线都相同,此时 伯努利方程三项和在全流场为常数。 伯努利方程成立条件:理想流体,外力有势,正压流体,定常流 动,沿流线或涡线。
15 16

3.2

伯努利方程

2 .势流伯努利方程 设理想、正压流体,外力有势, 2 .势流伯努利方程 势流, G G G ? = ? × u = 0 U u = ?φ
G G G ? dp u ? u ? G G ?u +??∫ + +G? = u ×? ρ 2 ?t ? ?

无旋流动(势流)
G ?u ? (?φ ) ? ?φ ? = = ?? ? ?t ?t ? ?t ?

φ 称速度势函数。

? ?φ ? dp ?φ ??φ ?? +∫ + +G? = 0 ? t 2 ρ ? ?

?φ dp ?φ ??φ + + + G = f (t ) ?t ∫ ρ 2
势流伯努利方程,柯西—拉格朗日积分。 f (t) 是时间的函数,在同一瞬时,在全流场它是同一个常数。
17 18

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

2 .势流伯努利方程 定常流动

dp ?φ ??φ ?φ + + + G = f (t ) 2 ?t ∫ ρ

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 机械能方程 设理想流体、外力有势,
G Du = ??p ? ρ?G Dt G G Du G G ρu ? = ?u ??p ? ρ u ??G Dt

∫ρ

dp

+

?φ ??φ +G = C 2

ρ

上式中 C 在全流场为常数, 且不随时间变化。在伯努利积分中的 C 只是沿同一条流线或涡线为常数 势流伯努利方程成立条件:理想、正压流体,外力有势,势流。

G 是外力场势函数,它只是空间位置的函数,不随时间改变,
G DG u ? ?G = Dt G G D ? u ?u ? DG G ρ ? ? = ? u ? ?p ? ρ Dt ? 2 ? Dt
19 20

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 能量方程
ρ
Dh Dp = + ? ? (k?T ) + φ Dt Dt

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 机械能方程 + 焓方程,
ρ
G G D? u ? u ? Dp G DG ? u ? ?p ? ρ ? ?h+ ?= 2 ? Dt Dt ? Dt

G G D ? u ?u ? G DG ? ? = ? u ? ?p ? ρ Dt ? 2 ? Dt Dh Dp ρ = Dt Dt

ρ

G G D? u ?u ? 1 ?p + G? = ?h+ 2 Dt ? ? ρ ?t

理想流体且无热传导时以焓表示的能量方程可写为,
Dh Dp ρ = Dt Dt

设定常流,
G G D? u ?u ? + G? = 0 ?h+ Dt ? 2 ?

一个流体质点在它的运动轨迹上总能量保持不变,定常流时流场 迹线和流线合二为一,因此上式也可认为总能量沿同一条流线保 持不变,

h+
21

G G G G u ?u p u ?u +G =C 或 e+ + +G = C 2 2 ρ

(沿流线)
22

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 在满足理想流体,无热传导,外力有势,定常流条件下,单位质量 流体的总能量沿同一条流线保持不变。 当流体内部处处无粘性无热传导时,可认为流动是等熵的,所以 上述定理也可叙述为, 当流动为等熵,定常且外力有势时,总能量沿流线不变。

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 伯努利方程的特殊形式方程 完全气体、可压缩等熵流

h = c pT = = cp

cp R p

RT

c p ? cV ρ

=

κ p κ ?1 ρ

h = e+
h+

p

G G u ?u +G =C ? 2 1 G G κ p +G = C (u ? u ) + 2 κ ?1 ρ

ρ

=

κ p κ ?1 ρ

(沿流线)

23

24

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

3.从能量方程出发推导的伯努利方程 伯努利方程的特殊形式方程 不可压缩流体

e+

p

ρ

+

G G u ?u +G =C 2

(沿流线)

例1.液体在两头开口的等横截面 U 形管中振荡,液柱长 L,液面上 方为大气压强 p a, 忽略粘性摩擦力和表面张力。求液柱运动规律。 解:液体是不可压缩的,故液体在同一瞬时的速度 v = v(t ) 处处 相等,只是时间的函数,且等于 dζ (速度正向从1指向2) v=?
dt ζ 是液面至平衡位置的距离。沿液柱从 1 到 2选

Dρ ?1? = 0 ? de = dq ? pd ? ? = dq = 0 ? Dt ?ρ?

De = 0(热传导为零) Dt

S 为流线长度,在1至2的一根流线上速度势为,

1

vζ v ζ

φ = ∫ vds
0

s

定常流动条件下,内能沿流线为常数。 G G G 外力为重力,Z 轴垂直向上, f = g = ? gk = ??G ? G = gz

势流伯努利方程
? ?φ ? 1 2 pa ? ?φ ? 1 2 pa + gz1 = ? ? + v2 + + gz2 ? ? + v1 + ρ ρ ? ?t ?1 2 ? ?t ?2 2

z1
z2

2
h

h+

G G u ?u +G =C ? 2 1 G G p (u ? u ) + + gz = C (沿流线) ρ 2
25

因为 z1 = h + ζ , z2 = h ? ζ ,v1 = v2
? s2 d 2ζ ? ?φ ? ? ?φ ? 2 gζ = ? ? ? ? ? = ∫ vds = ? 2 L dt ? ?t ? 2 ? ?t ?1 ?t s1

∫ u ? dl = ∫ ?φ ? dl = ∫ dφ
L L L

G

G

G

d 2ζ 2 g + ζ =0 dt 2 L

φ (M ) = φ (M 0 ) +

M

M0



G G u ? dl
26

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

d 2ζ 2 g ζ =0 + dt 2 L

ζ = c1 cos ? ?

? 2g ? L

? ? 2g ? t? ? + c2 sin ? ? L t? ? ? ? ?

例2. 在原静止的理想无界均质不可压缩流体中有一半径为 a 的气 球,初始时刻气球内部压强为 p0 ,气球表面的速度为零,若不考虑质 量力和表面张力的作用,无穷远处的压强为零,试在等温条件下确 定气球半径随时间的变化规律。
? c1 = A,c2 = 0
解: 取球坐标,坐标原点在球心,流体只有径向运动,所有物理量只 是 r 和 t 的函数, 4π r 2ur = c(t )  气球半径为 R(t),气球表面法向速度为 R 2 2  4π r u = 4π R R
r

初始条件

t = 0 时 ζ = A,
? t? ? ?

? 2g ζ = A cos ? ? ? L

dζ =0 dt

振动周期 速度
?



L 2g

dζ = dt

? 2g ? 2g sin ? ? L t? ? L ? ?

 ?φ R2 R ur = 2 = r ?r  R2 R (取无穷远处势函数为零) φ =? r
27 28

3.2

伯努利方程

3.2

伯努利方程

伯努利方程, ?φ 1 G G p + u ? u + = 0 (无穷远处压强为零) ?t 2 ρ 4 2 ?φ ?1 K K R R   + R2 R ), u = (2 RRR ?u = 4 ?t r r 代入伯努利方程, 4 2 1  2 + R2 R ) + 1 R R + p = 0 ? (2 RR ρ r 2 r4 令 r = R,得到气球运动方程,  + 3 R  2 = pb RR 2 ρ

pb 是气球表面压强。考虑到气球运动过程是等温的,且R = a, p = po ,

 ?φ R2 R ur = 2 = r ?r  R2 R φ =? r

pb R 3 = p0 a 3
3  + 3 R  2 = p0 a RR ρ R3 2  , 并加以整理, 两边同乘2 R 2 R

 + 3 R  2 = pb RR 2 ρ

 2 p a3 R d 3 2 (R R ) = 0 ρ R dt

 = 0,得 积分一次,并考虑到 R = a 时 R 2 = R3 R 2 p0 a 3

ρ

ln

R a

再积分一次, t= 1 2 p0 a
3


a

R

ρ

R 2 dR R ln a
30

3

29

3.3 克罗柯方程

3.3 克罗柯方程
热力学关系式

克罗柯方程 兰姆方程(理想流体),
G G G G ?u ?p ? u ?u ? G K + ?? +ρf ? ? u ×? = ? ?t 2 ρ ? ? G G G K ?p ? u ?u ? + ?? 定常流动,忽略质量力, u × ? = ? ρ ? 2 ? ?p G G G G ? = T ?s ? ? h ? u × ? + T ? s = ? h + 1 u ? u 2 ρ G G u × ? + T ?s = ?h0

?1? ?1? de = dq ? pd ? ? = Tds ? pd ? ? ρ ? ? ?ρ? p h=e+

ρ

(

)

? p? ?1? dh ? d ? ? = Tds ? pd ? ? ?ρ? ?ρ? dp ? = Tds ? dh

式中 h0 = h +

G G u ?u ,为滞止焓。 2

ρ

?

?p

ρ

= T ?s ? ?h

克罗柯方程反映了定常流中总能和熵的变化与涡量之间的相容关 系。条件:理想流体,定常流动,质量力作用可略去不计。

31

32

3.3 克罗柯方程

3.3 克罗柯方程

h+

均能流动 理想流体、绝热、定常流动,忽略质量力,由伯努利方程

G G u ?u +G =C 2

均能流动 G G u × ? = ?T ?s 1)无旋流动必是均熵的,即在流场中熵处处相等;定常流动条件 下 s = 常数; 2)非均熵流动必是有旋流动;
G G H G 3)均熵流动不一定是无旋的,此时可能 u = 0, ? = 0, u // ?

h0 = const. (沿流线)
在无穷远均匀来流条件下,滞止焓沿每一条流线相同,滞止焓在 流场中处处为常数,是为均能流动。克罗柯方程简化为 G G u × ? = ?T ?s

33

34

3.3 克罗柯方程

3.3 克罗柯方程

均能流动 平面流动和轴对称流动

G G u × ? = ?T ?s

克罗柯方程在空气动力学中占有重要地位 对于亚临界流动的情况,整个流场中物理量是连续分布的,可利用 开尔文定理判断流场有旋或无旋。在超临界流动情况下,流场中出 现了间断面。在间断面上,开尔文定理不再适用,而克罗柯定理却 可以回答流场是否有旋的问题。 物体在原静止空气中作超音速运动时,在整个流场中h0 等于同一 常数,可视为均能流动。 在绝热运动假设下,完全气体质点通过激波时,熵 s 有突跃,且 此突跃量与激波面与来流的夹角有关。在曲面激波的后面,流场 不再是均熵的,从而流动必是有旋的;但激波强度不大时,则激波 后的流场中的涡量也是不大的。

G G 平面流动和轴对称流动, u ⊥ ?
? ds ? U? + T ? ? = 0 ? dn ?

G G u × ? 垂直于流线, ?s 也应垂直于流线。

流动无旋,则必是均熵的;如流动均熵,则必是无旋的。

35

36

3.4 涡量方程

3.4 涡量方程
涡量方程 设ρ= const.,μ= const.,忽略质量力影响,
G ?u ? p? G ? 1 G G? G G + ? ? u ? u ? ? u × ? = ?? ? ? + ν ? 2 u ?t ρ ?2 ? ? ?

涡量方程 二元(平面)流动 对于二元流动,涡量 ? 垂直于流动平面且, G G (? ?? )u = 0 ?
G G G ?? G + (u ??)? = ν ? 2 ? ?t
G

对上式两边取旋度,
G G G ? p? G G ? ?u ? ? u ?u ? 2G ? ×? ? + ? ×?? ? ? ? × (u × ?) = ?? × ? ? ? + ν ? × ? u ? ?t ? ? 2 ? ?ρ? G G G G ?? ? ? × (u × ? ) = ν ? 2 ? ?t G G G G G G G G G G G G G G ? × (u × ?) = (? ? ?)u ? (u ? ?)? + u (? ? ?) ? ?(? ? u ) = (? ? ?)u ? (u ? ?)? G G G G G ?? G + (u ? ?)? = (? ? ?)u + ν ? 2? ?t
37

以上涡量方程中没有压强 p 出现,于是可在压强场未知情况下求 解速度场和涡量场。

38

3.4 涡量方程

3.4 涡量方程

已知涡量场求解压强场 已知速度场可利用以下方程求解压强场,
? p? G G G G 1 G G ? 2 ? ? = ? ? ? + u ? ? 2 u ? ? 2 (u ? u ) 2 ?ρ?

例3. 证明在有势外力场作用下,理想不可压缩均质流体在下两种运 动涡量满足方程 G (1).平面流动时有 (2). 轴对称流动时有
D? =0 ; Dt ? G ? D ?

? ? = 0 ,其中R 是空间点到对称轴的距离 Dt ? R ?

上式是一个泊松方程,她的推导留给读者自己完成。

证明: 动量方程,考虑到流体均质不可压缩及位势场, G ? p? Du = ?? ? ? ? ?G Dt ?ρ? 两边取旋度, G G ? p? D? G = (? ? ?)u ? ? × ? ? ? ? ? × ?G Dt ?ρ? G G D? G = (? ? ? ) u Dt
39 40

3.4 涡量方程

3.4 涡量方程

(1). 当流体做平面流动时 G G G i j k G G ? ? ?v ?u ? G ? ? ?= =? ? ? k = ?zk ?x ?y ?z ? ?x ?y ? u v 0 G ? G G G (? ? ? )u = ? z ( ui + vj ) = 0 ?z G D? =0 Dt

G G D? G = (? ??)u Dt

(2). 当流体作轴对称流动时。 取圆柱坐标系, Z 沿对称轴, ? = 0, uθ = 0 ?θ G G h1eR h2 eθ G ? ? 1 ?= ?θ h1h2 h3 ?R h1uR h2 uθ G G G eR Reθ ez = 1 ? R ?R uR ? ?θ 0

G h3ez ? ?z h3uz

y
R
θ

( R,θ , z)

x
G ?G ? eθ = ?θ eθ ?

z

? ? ?uR ?uz =? ? ?z ? ?z ?R uz

任一点的涡量都垂直于过该点和对称轴的平面(子午面),

41

42

3.4 涡量方程

练习题
? uθ ? ? D ? = + uR + + uz y ( R,θ , z) ?R R ?θ ?z Dt ?t ? ? ? θ = + uR + uz R ?t ?R ?z G z D?θ G D? ? ? ? ?? G eθ x = ? + uR + uz ? (?θ eθ ) = Dt ? ?t Dt ?R ?z ? G G G ? ? ?e G ? ?u ?θ ? G G G (? ? ? ) u = θ (uR eR + uz ez ) = θ uR R = θ uR eθ = R ?θ R ?θ R R ?θ ? D?θ ?θ ? G ? 1 D?θ ?θ ? G uR ? eθ = 0 ? ? ? ? 2 uR ? eθ = 0 ? R R ? Dt ? R Dt ? ? G G G D? G D ??? = (? ? ?)u ? ?=0 Dt Dt ? R ?

教科书3.2, 3.3 3. 证明理想气体,质量力有势时有
G G D ??? ?? ?G 1 ? ? = ? ? ? ? u + 3 ?ρ ? ?p Dt ? ρ ? ? ρ ρ ?

G ? 是涡量.

水平段长为 L2, 管中盛满了理想不可压 缩均质的水(如图示). C 处有一阀门, 当阀门打开后,管中的流动在各截面上 是均匀分布的. 求当铅直段中液面高为 h 时,管中的压强分布.

4.设等截面直角形管道,铅直段长为L1,

L1

C
L2

43

44

理想不可压缩流体流动―基本方程组 忽略流动的粘性和可压缩性,连续方程和N-S方程可化简为,

第二部分

理想不可压缩流体流动

?? ? u = 0 ? 1 ? ?u ? ?t + ( u ?? ) u = ? ρ ?p + f ?
如果ρ= 常数,上述4个方程包含4个未知数 u 、p,方程组是封闭 的。流体动力学问题和热力学问题可分开求解, 但压强和速度仍然 耦合在一起。

1

2

理想不可压缩流体流动—边界条件 法向无穿透条件,壁面上允许存在切向滑移速度 (固体壁面是流场 中的一条流线)。 粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件,由于理想流体动量方程 中失掉了高阶粘性项,欧拉方程比N-S方程低了一阶,她就不需要 象粘性流方程组那样多的边界条件。

势流 势流 流场中处处涡量为零,称势流, ? = 0 或 ?× u = 0 。 在重力场作用下的理想不可压缩流体,如果绕流物体的流动起始于 无旋流动,开尔文定理保证流动始终保持无旋,即势流。 速度势函数

u ?n =U ?n
固壁静止时,
u ?n = 0

? × u = 0 ? u = ?φ

φ 称速度势函数。

无穷远边界条件,

r → ∞, u → u∞
3 4

势流 势流 不可压缩流体 基本方程组

? 2φ = 0 → ? ? ?φ = 0 ?φ p 1 + + ?φ ? ?φ + gz = f (t ) ?t ρ 2
边界条件 在静止固壁上 , 无穷远处,

??u =0

在不可压缩流体条件下 φ 满足拉普拉斯方程 。

?φ =0 ?n

r → ∞ , u → u∞

5

6

势流 基本方程组 势流方程组与一般理想不可压缩流动方程组相比在数学上有了较大 的简化: 后者有四个方程,而前者两个方程。 欧拉方程是非线性方程,? φ = 0 是线性方程。势流伯努利方程也 是非线性的,但不存在求解困难。
2

势流 拉氏方程解的可叠加性

? 2φ = 0
如 φ 1 ,φ 2 是解,则

后者求解过程中,u, p 耦合在一起需联立求解,对于势流可分开求 解:先求出φ,u = ?φ ,再求解伯努利方程得到压强场。

φ = c1φ1 + c2φ2 也是解,其中 c1 ,c2 是不全为零的常数。

7

8

平面流动举例 桥墩,电线杆,烟囱,机翼等

第四章

二维势流

9

10

4.1 流函数

4.1 流函数
流函数 不可压缩流体平面流动的连续方程

流函数与涡量 对于 xoy 平面的二维流动 ,
? = ?z k
?z = ?z = ?v ?u ? ? ?x ?y ? ? 2ψ ? 2ψ ? ?v ? ?ψ ? ? ? ?ψ ? ?? ?? ? ? = ?? 2 + 2 ? ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?y ? ? ?x

?u ?v + =0 ?x ?y
?ψ ? u= ? ?y ? ? ? v = ? ?ψ ? ? ?x
流函数ψ 自动满足连续方程。

? z = ?? 2ψ

如流动无旋 则:

? 2ψ = 0

11

12

4.1 流函数

4.1 流函数

流函数性质 1 流函数与势函数 流函数ψ 从满足不可压缩流体平面流动的连续方程出发而定义,因 此适用于无旋和有旋流动,在无旋条件下ψ 满足拉氏方程。 势函数 φ 从满足无旋条件出发而定义,因此只适用于势流。在不可 压缩流体条件下φ 满足拉氏方程。

Ψ= const. 的线是流线。
ψ = ψ ( x, y )

平面任意相邻两点间的流函数变化,

?ψ ?ψ dx + dy = ? vdx + udy ?x ?y 若两点取在 ψ = const 的同一条曲线上, dψ =

dψ = ? v dx + u dy = 0

v ? dy ? ? ? = ? dx ?ψ u
ψ = const 表示一个流线族。
13 14

4.1 流函数

4.1 流函数

流函数性质 2 在两条流线间流动的流体流量等于这两条流线的流函数值之差。 通过 dl 的流体流量

流函数性质 3 流线和等势线相互正交

φ = const 的线称等势线。
ψ =ψ B B

δQ = ?vdx + udy Q = ∫ ? vdx + udy
A B

φ = φ ( x, y )
u dy

dl

dφ =

?φ ?φ dx + dy = udx + vdy = 0 ?x ?y

?

u ? dy ? ? ? =? v ? dx ?φ

=∫
B

B

?ψ ?ψ dx + dy ?x ?y A

v dx A ψ =ψA

u v ? dy ? ? dy ? ? ? ? ? +1 = ? ? +1= 0 v u ? dx ?φ ? dx ?ψ

= ∫ dψ = ψ B ? ψ A
A

即流线和等势线相互正交。

15

16

4.2 复位势和复速度

4.2 复位势和复速度
科西-黎曼条件
u= ?φ ?ψ ?φ ?ψ =? = , v= ?x ?y ?y ?x ?

复位势 构造复函数, F(z)= φ + i ψ

? ?φ ?ψ = ? ? ?x ?y ? ? ?φ = ? ?ψ ? ?y ?x ?
上式称柯西-黎曼条件。

z= x + i y
i = ?1

F(z) 的实数部分是速度势函数φ,虚数部分是流函数ψ 。 φ, ψ 满足柯西-黎曼条件,根据复变函数理论,F(z) 是解析函数。

17

18

4.2 复位势和复速度

4.2 复位势和复速度

y
复速度 因为 F(z) 是解析函数,因此其导数 的值与求导方向无关,只是 dz 平面点的函数。 dF ?F ?φ ?ψ
W ( z) = dz = ?x = ?x +i ?x
dF

柱坐标下的复速度



u
u

v

uR
θ

?u = uR cosθ ? uθ sinθ ? ?v = uR sinθ +uθ cosθ

x

W ( z ) = u ? iv
请注意 W(z) 的虚部是 ? v ,实际速度则是上述复速度的共軛值,

W = u ? iv = (uR cosθ ? uθ sinθ ) ? i (uR sinθ + uθ cosθ ) 1 = uR (cosθ ? i sinθ ) ? i uθ (cos θ + sin θ ) i W = (uR ? i uθ )e ? iθ

W = u + iv
复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其自身点乘,

WW = (u ? iv)(u +iv) = u + v = u ? u
2 2

1 = ?i, e ? iθ = cos θ ? i sin θ i
19 20

4.2 复位势和复速度

平面无旋运动和复位势 给定一个平面无旋运动
φ , ψ → F (z)

复位势的性质 复位势可以相差一个常数而不影响其所代表的流场性质; 解析函数之和仍为解析函数;复位势相加得到新的复位势。首先研 究一些基本流动的复位势,然后通过它们相加得到新的复合流动。

给定一个解析函数 F(z),即有一个平面无旋运动与 F(z) 对应 (并非 所有的Φ 和Ψ 都可以作出有物理意义的解释)。
F ( z) → φ , ψ

平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。 复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维流 动中去

21

22

4.3 均匀流

4.3 均匀流
F(z)= c z ( c为实数 )
W ( z) = dF = c = u ? iv dz

F(z)=- icz ( c为实数 ) U
W ( z) = dF = ?ic = u ? iv dz

V

?u = c ? ?v = 0 如沿 x 轴方向速度为 U, 则

?u = 0 ? ?v = c 如沿 y 轴方向速度为V 则

F = Uz

F = ? iV z

23

24

4.3 均匀流

α 为实数) F(z)= c e ? iα z (c、

4.4
点源

点源(汇)和点涡

W( z ) =

dF = ce ? iα dz = c cos α ? ic sin α = u ? iv

F( z ) = cln z (c大于0,实数)
α

z = x + iy =R eiθ (0 ≤ θ ≤ 2 π)

?u = c cos α ? ?v = c sin α
考虑如图所示速度,用速度的模和幅角表示为 Ve iα ,则

F(z)= Ve? iα z

25

26

4.4

点源(汇)和点涡

4.4

点源(汇)和点涡

点源:势函数,流函数
F( z ) = c ln( Reiθ ) = c ln R + icθ

点源:速度场
W( z ) = dF c c ? iθ = = e = ( uR ? iuθ ) e ? iθ dz z R

?φ = c ln R ? ?ψ = cθ

等势线: 以原点为中心的同心圆族。 流线: 从原点出发的射线族。

c ? ?u R = R ? ? ?u θ = 0
可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出,速度只有 R 方向 分量,离开原点愈远速度愈小。 原点是奇点,速度无穷大 R → 0, uR → ∞

27

28

4.4

点源(汇)和点涡

4.4

点源(汇)和点涡

点源:强度m 强度m定义为单位时间从点源释放出的流体流量(设垂直于流场为 单位高度)。围绕半径为 R 的圆作积分,


点汇 以– m 代替 m 就得到点汇的复位势,

m=

∫u
0

2π R

Rdθ =

∫ R Rdθ = 2πc
0

c

m c= 2π
F( z ) = m ln z 2π

?m ln z 2π ?m F( z ) = ln ( z ? z0 ) 2π F( z ) =

若点源在点 z0 , 则

F( z ) =

m ln ( z ? z0 ) 2π
29 30

4.4

点源(汇)和点涡

4.4

点源(汇)和点涡

点涡:势函数 流函数 点涡

F( z ) = ?ic ln z


θ

F( z ) = ?ic ln z

= ?ic ln( Reiθ ) = cθ ? ic ln R

?φ = c θ ? ?ψ = ? c ln R
等势线: 从圆点出发的射线族; 流线: 同心圆族。

31

32

4.4

点源(汇)和点涡

4.4

点源(汇)和点涡

点涡:强度 点涡:速度场
W( z ) = dF ic =? dz z c = ?i e? iθ = (uR ? iuθ )e? iθ R


θ

以速度环量来度量点涡强度,

Γ = ∫ u ? dl = ∫ uθ Rdθ =
0





∫ R Rdθ = 2πc
0

c

? c=

Γ 2π

?u R = 0 ? ? c uθ = ? R ?
速度只有θ方向分量,流动沿逆时针方向(c > 0)。 原点是奇点,速度无穷大。

F( z ) = ?i

Γ Γ ln z = ln z 2π 2πi

点涡位于点 z0 时,

F( z ) = ?i

Γ Γ ln( z ? z0 ) = ln( z ? z0 ) 2π 2π i

以 ?Γ 代替 Γ 即可得出顺时针旋转的涡。

33

34

4.4

点源(汇)和点涡

4.4

点源(汇)和点涡

自由涡和强制涡 自由涡

自由涡和强制涡 强制涡

Γ uθ = 2π R
速度随着 R 增加而减少; 沿任一不包括奇点在内的封闭曲线的速度环量为零,即除奇点外, 流动是无旋的。可以认为所有的环量和涡量都集中在奇点。

uθ = ω R

(ω为常数)

速度与 R 成正比,整个流体象刚体一样围绕中心旋转,旋转角速度 为ω。此种流场是处处有旋的。 一个典型的龙卷风流场在核心部分是强制涡流动,涡核周围的流动 则表现为自由涡。

35

36

4.5 绕角流动

4.5 绕角流动
F( z ) = Uz
n

势函数 流函数

F( z ) = UR e
n

n i nθ n

θ=

π
n

U, n 为实数 , n > 1/2

= UR cos nθ + i UR sin nθ ?φ = UR n cos nθ ? ? n ? ?ψ = UR sin nθ
零流线为θ=0,θ=π/n

π
n

z = Re



0 <θ< 2π

θ =0

这两条发自原点的射线构成交角为π/n 的角形区域,两条线之间 的流线由 R n sin nθ = c 决定。 等势线。

37

38

4.5 绕角流动

4.5 绕角流动

速度场
dF = nUz n?1 = nUR n?1ei(n?1 )θ W( z ) = dz = ( nUR n?1 cos nθ + inUR n?1 sin nθ )e ? iθ = (uR ? iuθ )e ? iθ
n ?1 ? ?uR = nUR cos nθ ? n ?1 ? ?uθ = ? nUR sin nθ

典型流动
n=1 n=

?
θ =0

θ =π

θ =0

θ=

π
n

n=2
θ= π
2

θ = 2π

π
n

π 0<θ < , u R > 0, uθ < 0 2n π π < θ < , uR < 0, uθ < 0 n 2n

θ =0

θ =0

n 应大于 ? ,小于 ? 时得到大于 2π的区域,没有物理意义。

U > 0 时沿流线的速度方向已表示在左图中。
39 40

4.5 绕角流动
?uR = nUR n?1 cos nθ ? ? n ?1 ? ?uθ = ? nUR sin nθ

4.5 绕角流动

角点处速度
2 2 u = uR + uθ = nUR n?1

n=2

θ =

π
2

题外话
θ =0

当 n > 1 时, R → ∞ , u → ∞ ,远处的流体沿着某边线以无穷大的 速度流来,然后沿另一条边线以无穷大速度流去,这实际上是不可 能存在的。
θ =0
θ = 2π

R→0 时 ?0, n > 1 ? u = ?U , n =1 ?∞ , n < 1 ?

n=1

θ =π

θ =0

n= ?

绕角流之所以具有普遍性是因为角点附近的流动反映了实际物体绕 流角点附近的流场,因此可以用来分析被绕流物体角点附近的流动 特性。
n ?1 ? ?uR = nUR cos nθ ? n ?1 u nUR sin nθ = ? ? ? θ

小于π角(n>1), 绕流角点处流速为零; 大于π角(n<1), 绕流角点处流速趋于无穷大,根据伯努利方程该点压 强趋于负无穷大; 等于π角(n=1), 直线流动,介于两者之间,角点处速度取有限值。

41

42

4.6 偶极子流动

偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇

4.6

偶极子流动
F( z ) = ? z

F( z ) =

ε 1+ m m m z+ε m z ln ( z + ε ) ? ln(z ? ε)= ln ln = 2π 2π 2π z ? ε 2π 1? ε ε / z <<1 z ?? ε ? ? ε ? ? ε 2 ?? ? m ? ? 1+ ? ?1+ + o ? 2 ?? ? = 2π ln ? z z z ?? ? ?? ? ?? ? ?
? ε 2 ?? m ? ε ? ε 2 ?? m ? ε ln ?1+ 2 + o ? 2 ?? = ? 2 + o ? 2 ?? 2π ? z ? z ? ? 2π ? z ? z ?? mε πz

m

= F( z ) =



ε i

?m

ε→0 m→∞

lim mε = π?
? z

x < 1时, ln(1+ x) = x+ o( x 2 )

F( z ) =

? 称为偶极子的强度,方向指向 x 轴负方向。

43

44

4.6 偶极子流动

4.6 偶极子流动

流函数
F( z ) = ? ?z ?( x ? iy ) = = 2 z zz x + y2

速度场
W(z) = dF ? ? = ? 2 = ? 2 e ?2 i θ dz z R ? = ? 2 (cos θ ? i sin θ ) e? i θ R = (uR ? i uθ ) e? i θ

ψ = ??

y x + y2
2

令ψ 为常数,
x2 + y2 + x2 + ( y + ?

ψ

y=0
2

? 2 ? ? ? ) =? ? 2ψ ? 2ψ ?

? ? u = ? 2 cos θ ? ? R R ? ?u = ? ? sin θ θ ? ? R2
流场中流线的方向可依据点源、点汇的位置来确定,也可根据 uR ,uθ 方向而定。
45 46

流线是圆心在 y 轴且圆周通过原点的圆族。

4.6 偶极子流动

4.6 偶极子流动

复位势 强度为μ,位于点 z 0 的偶极子的复位势,

F(z) =

? z ? z0

例1. 某一组合流动的流动复势是F ( z ) = (1 + i )ln( z 2 ? 1) + (2 ? 3i ) ln( z 2 + 4) 1 + , 试确定它是由哪些流体力学奇点迭加而成的? z 解:(1) 原流动复势可分解为, 2π 2π ln( z + 1) + ln( z ? 1) F ( z) = 2π 2π 2π i 2π i + ln( z + 1) + ln( z ? 1) 2π 2π 4π 4π ln( z ? 2i ) + ln( z + 2i ) + 2π 2π 6π i 6π i 1 ln( z + 2i) ? ln( z ? 2i ) + ? z 2π 2π

47

48

4.6 偶极子流动

奇点 点源 点源 点涡 点涡 点源 点源 点涡 点涡 偶极子

位置 强度 ?1 +1 ?1 +1 ?2i +2i ?2i +2i 0 +2π +2π ?2π ?2π     +4π +4π +6π +6π +1

4.7 圆柱的无环量绕流
叠加原理 势函数和流函数方程是线性的,它们的解具有可叠加性。依据这一 原理,上述基本流动的复位势函数可以叠加起来给出较为复杂的流 动问题的解。

49

50

4.7 圆柱的无环量绕流

4.7 圆柱的无环量绕流

均匀流与偶极子叠加
F(z) = Uz + ? z

圆柱无环量绕流的复势函数
2 取 ? = Ua

恰当选取偶极子的强度可使圆 z = a 成为一条流线。 圆方程

z = a eiθ ,代入上式,


? F(z) = Uae + e ? i θ a ? ? = (Ua + ) cos θ + i (Ua ? )sin θ a a ? 圆表面的流函数 ψ = (Ua ? )sin θ , 对于任意?,ψ 是一个变化的量。 a 选 ? = Ua 2 ,则在圆表面上ψ = 0 , 是一条流线。

F(z) = Uz +

? z
2

? a ) z

F(z) = U ( z +
φ = U (1 +

a2 ) R cosθ R2 2 a ψ = U (1 ? 2 ) R sin θ R

51

52

4.7 圆柱的无环量绕流

4.7 圆柱的无环量绕流

叠加流场是绕流圆柱的解

叠加流场是绕流圆柱的解 用一个半径为 a 的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入流场并与圆 R=a 的流线相重合,将不会对圆内的偶极子流动和圆外的均匀来 流形成干扰。移去金属壳内的偶极子流体,填充以固体材料形成 一个固体圆柱,圆外的流动将保持不变。 是为速度为 U 的均匀来流绕流 R= a 的圆柱流动的解。

? = Ua 时流场图如右所示。
可见看出圆 R= a 把流场分为两部 分:由于流体不可能穿越一条流线 流动,可以断定偶极子流动被包围 在圆内,而均匀来流则被排斥在圆 外。 偶极子向上游的流动由于受到均匀来流作用,折转方向流向下游; 均匀来流流线则发生弯曲,围绕圆 R= a 从圆外流过。

2

53

54

4.7 圆柱的无环量绕流

4.8 有环量圆柱绕流
达朗贝尔佯谬 圆柱不承受与气流垂直的升力,也不承受沿流动方向的阻力。 粘性对流动的影响(摩擦阻力和压差阻力)。 圆柱无环量绕流问题具有重要的理论意义。 复势函数 无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加,

F(z) = U ( z +
在圆柱表面

a2 iΓ ) + ln z + c z 2π
iΓ Γ iΓ θ+ ln(aei θ ) + c = 2aU cos θ ? ln a + c 2π 2π 2π

z = aeiθ

F(z) = U (aei θ + ae ? i θ ) +

令 c= ?

iΓ lna ,则在圆柱面 ψ=0 ,于是 2π
a2 iΓ z )+ ln 2π a z

F(z) = U ( z +

点涡的流线是同心圆,圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡 而改变。
55 56

4.8 有环量圆柱绕流

4.8 有环量圆柱绕流

F(z) = U ( z +

速度场
dF a2 iΓ 1 a2 iΓ e ? i θ W(z) = = U (1 ? 2 ) + = U (1 ? 2 e ?2i θ ) + dz z 2π z R 2π R ? a2 iΓ ? ? i θ = ?U (ei θ ? 2 e ? i θ ) + e R 2πR ? ? ? ? ? a2 a2 Γ ?? ? ? ?i θ = ?U (1 ? 2 ) cos θ + i ?U (1+ 2 ) sin θ + ?e R R 2 π R? ? ? ?? ? ? ? a2 u = U (1 ? 2 ) cos θ ? ? R R ? 2 ? u = ?U (1+ a ) sin θ ? Γ θ ? 2πR R2 ?

a2 iΓ z ) + ln z 2π a

速度场 在圆柱面上(R= a)
?u R = 0 ? ? Γ uθ = ?2U sin θ ? ? 2πa ?
? a2 u = U (1 ? 2 ) cos θ ? ? R R ? 2 ? u = ?U (1+ a ) sin θ ? Γ θ ? R2 2πR ?

uR = 0 , 即 un = 0 ,正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的

法向无穿透边界条件。

R → ∞ , uR = Ucosθ, uθ = ?U sin θ,满足无穷远处条件。

57

58

4.8 有环量圆柱绕流

4.8 有环量圆柱绕流

圆柱面上的驻点 速度为 0 的点,
uθ = 0 ? sin θ = ? Γ 4πUa
?uR = 0 ? ? Γ uθ = ?2U sin θ ? ? 2πa ?

圆柱面上的驻点

sin θ = ?
无环量流动

Γ 4πUa

Γ =0 θ = 0, π

?

sin θ = 0

?

59

60

4.8 有环量圆柱绕流

4.8 有环量圆柱绕流

圆柱面外的驻点 圆柱面上的驻点
Γ > 1 驻点不可能保持在圆柱面上,而是进入流体中。 4πUa

sin θ = ?
有环量流动
0<

Γ 4πUa
0< Γ <1 4πUa
Γ =1 4πUa

驻点方程
? a2 U (1 ? 2 ) cos θ = 0 ? ? R ? 2 ?U (1+ a ) sin θ = ? Γ ? R2 2πR ?
(1) (2)

Γ <1 4πUa

有两个驻点,分别位于3,4象限,且关于y轴 对称。
3 一个驻点, θ = π 2

Γ =1 4πUa

由(1) cos θ = 0 ? θ =
? a2 ? Γ U ? 1+ 2 ? = ? R ? 2πR Γ R2 ? R + a2 = 0 2πU
61

π 3 3 , π ,取 θ = π 代入(2), 2 2 2
uR = U (1 ? a2 ) cos θ R2 2 a Γ uθ = ?U (1+ 2 ) sin θ ? R 2πR
62

4.8 有环量圆柱绕流

4.8 有环量圆柱绕流

圆柱面外的驻点

R2 ?

Γ R + a2 = 0 2πU
Γ >1 4πUa

升力和阻力

2 R Γ ? 4πUa ? ? ?1± 1? ? = ? ? ? a 4πUa ? Γ ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 4πUa ? 2 ? ?? Γ ? = ?1± ?1? ? ? + ???? ? Γ 4πUa ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ?

x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。
存在向上的合力,称升力。

根号前取“一” 4π Ua / Γ → 0, R → 0 ,这是不可能的。 根号前取“+”号
2 R Γ ? 4πUa ? ? ?1+ 1 ? ? = ? ? ? a 4πUa ? ? Γ ? ? ? ?

Γ > 1 ? R/a > 1, 驻点在圆柱面外正下方。 4πUa
63 64

4.9

布拉修斯公式

4.9

布拉修斯公式

n
柱体受力分析 定常均匀来流绕流任意形状的柱体 周围流体对柱体的作用力可简化为作 用在柱体重心的力 X、Y 以及力矩M (取xoy坐标原点在柱体重心); 以C0 ,Ci 间的空间为控制体; 控制体内的流体受到C0 外流体的压强 p 的作用,同时受到柱体的 反作用力 -X,-Y,以及反力矩-M 的作用。
M
Ci

求圆柱受力和力矩的方法 压强积分方法 复变函数方法

Y

n
X

Co

65

66

4.9

布拉修斯公式

4.9

布拉修斯公式

n
动量定理
D ? ∑F = ∫ ρudV = ?t CV ∫ ρudV + CS ∫ n ? ( ρuu )dS = CS ∫ ρuδQ Dt V ∑F =
δ Q = n ? udS

动量定理

Y
CS CS



CS

ρuδQ

∫ ∑ Fy = ∫
∑ Fx =

ρuδQ ρvδQ

M
Ci

n
X

udy
vdx
Co

写成分量形式,

微元面受到压力,-pdy,pdx 流量微元, δQ = udy ? vdx 面积分,

dl
pdx

pdy

∫ ∑F = ∫ y
∑F = x

CS

ρu δQ ρvδQ



CS

= ?∫

Ci

+



C0

=



C0

CS

∫ ?Y+∫
?X ?
67

C0

pdy =

C0

∫ pdx = ∫

C0

ρu(udy ? vdx ) ρv (udy ? vdx )

C0

68

4.9

布拉修斯公式

4.9

布拉修斯公式

动量定理 伯努利方程, 并考虑到

布拉修斯公式

p= c?

ρ 2 2 (u + v ) 2

? X ? ∫ pdy =
C0 C0



C0

cd x =



C0

cdy = 0

∫ ?Y + ∫ pdx = ∫

C0

ρu (udy ? vdx) ρv(udy ? vdx)

若已知复速度 W(z), 则

1 ? ? X = ρ ∫ ?uvdx ? ( u 2 ? v 2 ) dy ? C0 2 ? ? 1 2 ? ? 2 Y = ? ρ ∫ ?uvdy + ( u ? v ) dx ? C0 2 ? ?

C0

i

1 ? ? X = ρ ∫ ?uvdx ? ( u 2 ? v 2 ) dy ? C0 2 ? ? 1 2 ? ? 2 Y = ? ρ ∫ ?uvdy + ( u ? v ) dx ? C0 2 ? ?

ρ ρ 2 W 2 dz = i ∫ ( u ? i v ) ( dx + i dy ) 2 ∫ C0 2 C0 1 1 ?? ? ? ?? = ρ ∫ ? ?uvdx ? (u 2 ? v 2 ) dy ? + i ?uvdy + (u 2 ? v 2 ) dx ? ? C0 2 2 ? ? ?? ??

与动量定理求出的柱体受力X,Y的表达式相比得,

ρ W 2 dz 2 ∫ C0 上式中X,Y是作用在柱体重心的力,方向分别沿 x 与 y 轴正向; C0 是包围柱体的任意曲面;W为复速度。 X ? iY = i
69 70

4.9

布拉修斯公式

4.9

布拉修斯公式

动量矩定理

n

∑M =



动量矩定理
CS

r × uρδQ
M

Y
X

n
udy
vdx
Co

此处只需要考虑 z方向分量方程,

利用伯努利方程, p = c ?
pdy

Ci

δQ = (udy ? vdx)
i r ×u = x u j y v
Ci

并考虑到 ,



C0

cdx =

1 ρ (u 2 + v2 ) 2



C0

c dy = 0

k 0 = k (vx ? uy ) 0

pdx

M =?

ρ

∫ 2C 0

[ (u 2 ? v 2 ) ( xdx ? ydy ) + 2uv ( xdy + ydx) ]



CS

= ?∫

+



C0

=



?M +
C0



C0

(xpdx + ypdy)=



C0

(vx ? uy )ρ(udy ? vdx)

?M +



C0

( xpdx + ypdy ) =



C0

(vx ? uy ) ρ(udy ? vdx )
71 72

4.9

布拉修斯公式

布拉修斯合力矩公式 以复速度作如下积分式,

M =?

ρ
2

C0

∫ [ (u

2

? v 2 ) ( xdx ? ydy ) + 2uv ( xdy + ydx ) ]

4.10 作用在圆柱上的力和力矩
罗伦级数 如 F(z) 在环形域 r0 < r < r1 处处解析, 该环形域中心在点 z 0 ,那么F(z)可用级数 表示为

ρ ρ 2 zW 2 dz = ∫ ( x + iy )( u ? iv ) ( dx + idy ) 2 ∫ C0 2 C0 ρ = ∫ ? (u 2 ? v 2 ) ( xdx ? ydy ) + 2uv ( xdy + ydx )? ? 2 C0 ? ρ +i ∫ ? (u 2 ? v 2 ) ( xdy + ydx ) ? 2uv ( xdx ? ydy )? ? 2 C0 ?
与由动量矩定理求出的力矩 M 的表达式比较可得,

z0

r0

r1

F( z ) = ??? +

( z - z0 )

b2

2

+

( z - z0 )

b1

+ a0 + a1 ( z - z0 ) + a2 ( z - z0 ) 2 + ???

ρ M = ? Re ? ∫ zW 2 dz ? ? c0 ? ? 2 ?
上式中 Re 表示取复变数的实部。M 是作用在柱体上的力矩,逆 时针方向为正;C0 为围绕柱体的任意曲面;W为复速度。
73 74

4.10 作用在圆柱上的力和力矩

4.10 作用在圆柱上的力和力矩

1 一个函数在 z 0 点的留数就是该函数对于 z0 的罗伦级数 项 z ? z0 的系数。

留数

作用在圆柱上的力

F(z) = U ( z +

a2 iΓ z )+ ln 2π a z

定常均匀来流绕流圆柱,圆柱半径为a,来流速度为U ,绕圆柱 环量为Γ(顺时针),则
? a 2 ? iΓ 1 W ( z ) = U ? 1? 2 ? + z ? 2π z ? 2 Γ2 U 2 a 2 U 2 a 4 iUΓ iUΓa 2 W 2 ( z) = U 2 ? + 4 + ? ? 2 2 z2 z πz πz 3 4π z

留数定理 如F(z)在曲线C内的区域中除有限个奇点 z1 , z 2 , z 3 ,...z n 外解析,则



C

F ( z ) dz = 2 π i ( R1 + R2 + ... + Rn )

式中 R 1 是 F(z) 在点 z1 的留数, R 2 是 F(z) 在点 z 2 的留数,等等。

75

76

4.10 作用在圆柱上的力和力矩

4.10 作用在圆柱上的力和力矩

作用在圆柱上的力 布拉修斯公式,

作用在圆柱上的力

X ? iY = i

ρ 2



C0

W 2 δz

ρ ? iUΓ X ? iY = i 2πi ? 2 ? π
有环量绕流

? ? = ? iρ U Γ ?

函数 W2 在 Co 内 的奇点只有一个, z = 0 点, 即点涡和偶极子的所 在点。 在 z=0 点的留数为 iUΓ π ,

ρ ? iUΓ ? X ? iY = i 2πi ? ? = ? iρ U Γ 2 ? π ?

?X = 0 ? ?Y = ρΓU
无环量绕流

(库塔-儒科夫斯基公式)

X = Y=0

77

78

4.10 作用在圆柱上的力和力矩

4.11
作用在圆柱上的力矩 镜像法

镜像法
a2 z0
?

2U 2 a 2 U 2 a 4 iU Γ iU Γa 2 Γ2 zW = U z ? + 3 + ? ? 2 2 4π z z z π πz
2 2
2 2 函数 zW 在 Co 内 的奇点只有 z = 0 点,该点留数为 ? 2U 2 a 2 ? Γ 2

Γ

?

M =?

? ? Re ? ∫ zW 2 dz ? ? ? C ? 0 ? ρ ? ? Γ 2 ?? M = ? Re ? 2π i ? ?2U 2 a 2 ? 2 ?? = 0 2 4π ?? ? ?

ρ



圆内 a z 点是圆外一点 z 0 的所谓镜像 0 点,它们的模的乘积等于圆半径的平 a2 = a 2; 它们的圆心处于同 方, z 0 z0 a2 一条直线上,即 z 0 和 有相同的 幅角。
z0

2

z0

a

?



2

没有力矩作用在圆柱上

如欲求圆柱外一位于 z 0 点,强度为 Γ 的点涡的复位势,可在圆 2 柱内 a z 点添加一强度为 ? Γ 的点涡,2个奇点在圆柱外共同产生 的复位势即所求的复位势,且保证圆柱面本身是一条流线。
0

79

80

4.11

镜像法

4.11

镜像法

镜像法 当物体外部流场中存在奇点(如点源、点涡等)时,在物体内部 适当位置布置奇点,称为外部奇点的镜像,使得由物体外部奇点 及其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一条流线的条件。

1. 以实轴为边界 假设奇点全在 y > 0 的上半平面内,当无物体边界时,其复速度势 为 f (z ), 当以实轴为边界时,这些奇点在上半平面产生的复位势为
F ( z) = f ( z) + f ( z)

式中 f (z ) 表示除 z 外其余复常数均取其共轭值。

81

82

4.11

镜像法

4.11

镜像法

1. 以实轴为边界 点涡的复位势
f (z) = ?
z0
?

1. 以实轴为边界
Γ

在实轴上,
z = z ? f ( z ) = f (z ) ?

z0

?

Γ

iΓ ln ( z ? z0 ) 2π ?Γ ? iΓ z0 f (z) = ln ( z ? z0 ) 2π iΓ iΓ ( z ? z0 ) ? iΓ F (z) = ln ( z ? z0 ) + ln ( z ? z0 ) = ln 2π 2π 2π ( z ? z0 )

F ( z ) = f ( z ) + f z = 实数

()

z0

?



即实轴是一条 ψ = 0 的流线。 在 y > 0 的区域内并未增加新的奇点,即在上半平面内 F (z ) 的奇点 和 f (z) 的奇点完全一样,是除原奇点外的解析函数。

这相当于在 Z0 的镜像点 z0 放置一个顺时针旋转的点涡。

83

84

4.11

镜像法

4.11

镜像法

2. 以虚轴为边界 设奇点全在 x >0 的平面内,当无物体边界时,其复位势为 f (z) ,当 以虚轴为边界时,这些奇点在右半平面内产生的复位势为

2. 以虚轴为边界 点涡的复位势

F ( z) = ?

F ( z ) = f ( z ) + f (?z )
在虚轴上 ? z = z ? f ( ? z ) = f ( z ) ? F ( z ) = f ( z ) + f ( z ) = 实数, 即虚轴是 ψ =0 的流线。

iΓ iΓ ln ( z ? z0 ) + ln ? z ? z 0 2π 2π iΓ iΓ =? ln ( z ? z0 ) + ln z + z 0 + c 2π 2π iΓ z ? z 0 =? +c ln 2π z + z 0

( (

)

)

? z0

?



z0

?

Γ

并且在 x > 0 的区域内并不增加新的奇点。

复位势可以增加或减少一个常数,而不影响流体运动,c可以略去。

85

86

4.11

镜像法

4.11

镜像法

3. 圆定理 设在无界流体中的复位势为 f (z ),且所有奇点位置 z0 > a ,当在流 场中有一个圆心在原点,半径为 a 的圆柱时,满足圆柱面是条流线 的复位势为 a2 F ( z) = f ( z) + f ( ) z 在圆周上,
a z 圆周是一条流线。 zz = a 2 ? z =
2

3. 圆定理 圆柱的无环量绕流 平行流的复位势

f ( z ) = Uz

圆柱无环量绕流的复速度势
? a2 F (z ) = U ? ?z + z ? ? ? ? ?

? a2 ? a2 ? ? ? =U f? z ? z ?

? f(

a ) = f ( z ) ? F ( z ) = f ( z ) + f ( z ) = 实数 z
a2 < a ,全在圆内,圆 z0

2

这正是4.7节所求得到的结果。

奇点位置 z 0 > a ,全在圆外,其镜像点位置 外未增加奇点。

87

88

4.11

镜像法

4.11

镜像法

3. 圆定理 圆柱的无环量绕流 均匀来流以攻角 α 绕流圆柱,

例2.设在 z = z 0 点有一强度为 Γ 的点涡,z 0 > a ,f ( z ) = Γ ln ( z ? z0 ) , 2π i 求存在半径为 a 的圆周 z = a 时的复位势。 解: F (z) = f (z) + f ? ? = ln ( z ? z0 ) + ln ? ? z0 ? 2π ? z ? z ? 2π ?
? z ? ? ? ? a2 a 2 ?? a2 ? ln ? ? z0 ? = ln ? ? 0 ? z ? ? ? = ln ? z ? ? ? ln z + ln ( ? z0 ) ? z z z0 ? ? z ? ? ? 0 ?? ? F (z) = ?
U
α

? a2 ?

? iΓ



? a2

?

f ( z ) = Uze?iα ? a2 ? a2 f ? ? = U eiα z ? z ? F ( z ) = U ( ze?iα + a 2 iα e ) z

iΓ iΓ ? a 2 ? iΓ ln ( z ? z0 ) + ln ? z ? ? ? ln z + c 2π 2π ? z0 ? 2π
Γ
?
?

a2 z0

Γ

?

z0

上式中常数可以删去。这正是我们在 介绍镜像法时举例提到的圆外点涡流 场的结果。去掉原点的电涡,仍是圆 外点涡流场的解。



a

89

90

4.11

镜像法

4.11

镜像法

例3.  设在无界的理想不可压缩均质流体中有一半径 为 a 的无穷长圆柱,在距圆柱中心轴为 d 处放置强 度为 ? 的偶极子,d > a, 求流动的复位势,并计算单 位长圆柱上所受的合力。设流体密度为ρ。 f ( z) = 解: 1)  
2

y
0 d

?

i

2) 运用布拉修斯公式

x
W =

F ( z) =

?
z?d

?

?
z?d
??z?
?

dF ? a2 ? =? + ( z ? d ) 2 d 2 ( z ? a 2 / d )2 dz iρ 2

? a2 d 2 ( z ? a2 / d )

a2 a2 ? + ? d d ? ?a ? ? ?z ? a2 ? = 2 =? ? =? ? 2 f ? ?= 2 2 d d ? ? a ? a2 ? ? z ? a ? d a ? zd ? ? z d z ? ? ? ? z d ? d ? ? ? ? a2 ? a2 ? ? F ( z) = f ( z) + f ? ? = ? 2 +c 2 ? z ? z?d d ?z? a ? ? ? d ? ?

X ? iY = iρ 2

z =a



W 2 dz =

iρ 2

? ? a2 ? ?? ? ? dz + 2 2 2 ∫ 2 ? (z ? d ) d (z ? a /d) ? z =a ? ?

2

= = =
91

? ? 2 2 1 ?? 2 ? a ?dz 2 2 2 2 ? d (z ? d ) ( z ? a / d ) ? z =a ? ?



这相当于在 z = d 点的对称点 z = x 轴正向的偶极子。

a2 a2 放一强度为 2 ?,而方向指向 d d

2 ?1 i ρ ? 2? 2 a 2 ? ? 2 2 ? dz ? ? ?? ?( z ? d ) ( z ? a / d ) ? ? d 2 ? z∫ 2? =a

i ρ ? 2? 2 a 2 ? ? ? ? ? 2π i R z = a 2 ? ?? d 2 ?? 2? d ?
92

4.11

镜像法

4.11

镜像法

见教科书 p.514

( ) 1 d m?1 R = lim [( z ? z0 ) m G ( z )] z → z0 ( m ? 1)! dz m?1 2 ?2 d ? d 1 = lim = lim R z = a 2 = lim ( z ? a 2 / d ) G(z)? 2 ? ? ? z → ad2 dz ( z ? d ) 2 z→ a 2 ( z ? d )3 z → ad dz ? d
( z ? d )2 z ? a 2 / d
2

G(z)=

1

例4

求图示点涡Γ在角形域内产生的复势与复速度。

解 1 先放入虚轴 ,

F1 ( z ) = f ( z ) + f (? z ) Γ Γ ln( z ? z0 ) + ln(? z ? z0 ) 2π i ?2π i Γ Γ ln( z ? z0 ) ? ln( z + z0 ) + c = 2π i 2π i =

y
Γ i

d

z0

=

?2

(a

2

/d ? d)

3

?2 d 3 = 2 ( a ? d 2 )3
2 2 3 2 2

x

? 4πρ? a d ?2d i ρ ? 2? a ? ? ? ?2π i 2 ?? ? = ( d 2 ? a 2 )3 2? d2 ?? (a ? d 2 )3 ? 4πρ? 2 a 2 d X= 2 , Y =0 ( d ? a 2 )3 X ? iY =

?

93

94

4.11

镜像法

4.11

镜像法

再放入实轴 , F ( z ) = F1 ( z ) + F1 ( z ) =

F ( z) =

Γ Γ ln( z ? z0 ) ? ln( z + z0 ) 2π i 2π i

解2

令 z = Reiθ ,

取变换 正实轴 虚轴

Γ Γ Γ ln( z ? z0 ) ? ln( z+z0 ) + ln( z ? z0 ) ?2π i 2π i 2π i Γ + ln( z+z0 ) + c 2π i ? z0i ( z ? z0 )( z + z0 ) Γ = +c ln 2π i ( z ? z0 )( z + z0 ) z ?z Γ = +c ln 2π i z 2 ? z
2 2 0 2 0

ζ = z 2 = R 2 e 2iθ = ρ eiν , θ=0 ? ν=0,仍为正实轴; π ? ν=π,变为负实轴; θ=
2
2 ζ 0 = z0

iz

0

奇点位置
y

?z0i

iz

z

Γ

0

Γ

z0
x

i

ζ = z2
2 ζ 0 = z0

?

ζ0
ξ

i

η

ζ

95

96

4.11
z ? z0 Γ Γ Γ F(z) = ln +c ln(ζ ? ζ 0 ) ? ln(ζ ? ζ 0 ), 2π i z 2 ? z02 2π i 2π i 2 z 2 ? z0 Γ Γ Γ 2 2 F ( z) = ln( z 2 ? z0 )? ln( z 2 ? z0 )= ln 2 2π i 2π i 2π i z 2 ? z0
2 2

镜像法

F (ζ ) =

注意

2 z0 = z02 2 z0 = ( x + iy ) 2 = ( x 2 ? y 2 + 2ixy ) = x 2 ? y 2 ? 2ixy ,

z02 = ( x ? iy ) 2 = x 2 ? y 2 ? 2ixy

y
Γ
i z 0

z

Γ

η

ζ

ζ = z2

x

2 ζ 0 = z0

?

ζ0
ξ

i

讨论:点涡在变换中强度保持不变。
97

4.12 保角变换

4.12 保角变换
保角变换
y

保角变换
y

dz
p

c

θ

z
1
3

η


c′
β =θ +α

dz

c

ζ
3′

θ

z
1
3

η


c′
β =θ +α

ζ
3′

p

p′

p′

1′

1′

2
2′

2′

x
dζ = Aeiα , dζ = Aeiα dz dz

ξ

2

x
ζ = f (z )

ξ

复变函数 ζ = f (z ) 把 z = x + iy 平面上的区域映射到 ζ = ξ + iη 平面 的某区域上去。 dζ 如果函数 f (z) 在 z 平面处处解析且 f ' ( z ) ≠ 0 ,则 的值与增 dz 量 dz 的方向无关,而只是点 Z 的函数。
1

ζ 平面线元 dζ 相对于dz长度伸长了A 倍,变为 dζ = A dz ,而且 曲线的方位旋转了 α 角。

由于dζ dz 只是 Z 的函数,过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数 和旋转了同样的角度,且旋转方向相同,于是过同一点的任意两 条曲线之间的夹角在变换后保持不变,这种映射称为保角映射。
2

4.12 保角变换

4.12 保角变换

保角变换中的势函数和流函数 保角变换中的势函数和流函数 保角变换 ζ = f (z ) 把 φ ( x, y ) 变换为 ζ 平面中的函数 φ (ξ ,η ) ,
ζ = f (z)
? z = F (ζ )

若 φ ( x, y ) , ψ ( x, y ) 在 z 平面满足科西 ? 黎曼条件, ?φ ?ψ ?φ ?ψ = , =? ?x ?y ?y ?x 则在保角变换条件下φ (ξ ,η ) , ψ (ξ ,η )在ζ 平面也满足科西 ? 黎曼条件,
?

ζ = ξ ( x, y ) + iη ( x, y ) = f ( z ) ?
z = x(ξ ,η ) + iy (ξ ,η ) = F (ζ )

?φ ?ψ ?φ ?ψ , = =? ?ξ ?η ?η ?ξ 于是在z平面, ? 2φ ? 2φ =0, + ?x 2 ?y 2 在ζ 平面, ? 2φ ? 2φ =0, + ?ξ 2 ?η 2
3

φ ( x, y ) = φ ? ? x (ξ ,η ) , y (ξ ,η )? ? = φ (ξ ,η )

φ ( x, y ) = φ (ξ ,η )

? 2ψ ? 2ψ =0 + ?x 2 ?y 2 ? 2ψ ? 2ψ =0 + ?ξ 2 ?η 2
4

同样

ψ (x, y )=ψ(ξ ,η )

势函数和流函数都是调和函数。

4.12 保角变换

4.12 保角变换

证明:保角变换 ζ = f ( z ) 将 φ (x, y),ψ (x, y)变换为 φ (ξ ,η ) ,ψ (ξ ,η )

已知: φ ( x, y ) , ψ ( x, y )在 z 平面满足 ?φ ?ψ ?φ ?ψ , = =? ?x ?y ?y ?x 求证: 在保角变换条件下φ (ξ ,η ) , ψ (ξ ,η )在ζ 平面满足 ?φ ?ψ ?φ ?ψ , = =? ?ξ ?η ?η ?ξ

(x, y) φ[ξ ( x, y ) ,η ( x, y )] = φ (x, y) ψ [ξ ( x, y ) ,η ( x, y )] = ψ 由科西黎曼条件 ?φ ?ξ ?φ ?ξ ?ξ ?x ?ξ ?y ?φ ?ψ ?φ ?ψ = , =? ? ?x ?y ?y ?x ?φ ?η ?ψ ?ξ ?ψ ?η + = + ?η ?x ?ξ ?y ?η ?y ?ψ ?ξ ?ψ ?η ?φ ?η =? ? + ?ξ ?x ?η ?x ?η ?y

5

6

4.12 保角变换

4.12 保角变换

ζ = ξ ( x, y ) + iη ( x, y ) = f ( z )是解析函数, ?ξ ?η ?ξ ?η
?x ?φ ?ξ ?φ ?ξ = ?y , ?y =? ?x 代入上式得, ?η ?φ ?ξ ?ψ ?ξ ?ψ ?η ? = + ?y ?η ?y ?ξ ?y ?η ?y ?ξ ?φ ?η ?ψ ?η ?ψ ?ξ + =? + ?y ?η ?y ?ξ ?y ?η ?y

?φ ?ξ ?φ ?ξ

?ξ ?φ ?η ?ψ ?ξ ?ψ ?η + = + ?x ?η ?x ?ξ ?y ?η ?y ?ξ ?φ ?η ?ψ ?ξ ?ψ ?η + =? ? ?y ?η ?y ?ξ ?x ?η ?x

要以上关于 ?φ ?ψ ? ?ξ ?η ?φ ?ψ + ?η ?ξ

?η ?ξ , 的线形方程组有非零解, ?y ?y ? ?φ ?ψ ? ?η ?ξ =0 ?φ ?ψ ? ?ξ ?η
2

?

整理得, ? ?φ ?ψ ? ?η ? ?φ ?ψ ? ?ξ ? ?? + =0 ? ? ? ? ?ξ ?η ? ?y ? ?η ?ξ ? ?y ? ?φ ?ψ ? ?η ? ?φ ?ψ ? ?ξ + +? ? =0 ? ? ? ? ?η ?ξ ? ?y ? ?ξ ?η ? ?y
7

? ?φ ?ψ ? ? ?φ ?ψ ? ? + ? +? ? =0 ? ? ?ξ ?η ? ? ?η ?ξ ? ?φ ?ψ ?φ ?ψ = , =? ?ξ ?η ?η ?ξ

2

?

8

4.12 保角变换

4.12 保角变换

保角变换中的复位势 保角变换中的复位势

φ ( x, y ) , ψ ( x, y ) 在 z 平面满足科西 ? 黎曼条件,
F ( z ) = φ ( x, y ) + iψ ( x, y ) 是解析函数,复位势。 在保角变换条件下φ (ξ ,η ) , ψ (ξ ,η )在ζ 平面也满足科西 ? 黎曼条件, F (ζ ) = φ (ξ ,η ) + iψ (ξ ,η ) 也是解析函数,复位势。反之亦然。

如果 ζ 平面内 F(ζ ) 已知,则 Z 平面内相应的复位势 F(z) 可通过 代入变换函数而求得,
F (ζ ) = F ? ? f ( z )? ? = F ( z)

应用保角变换的基本思想是把 Z 平面(物理平面)上比较复杂的外 形变换成 ζ 平面(映射平面)上简单的外形,如圆或无穷长平板, 而这些简单外形的流动复位势是已知的,于是通过反变换就可求得 物理平面复杂外形流动问题的复位势。

9

10

4.12 保角变换

4.12 保角变换

保角变换中的点源(点汇)和点涡 保角变换中的复速度
dF ( z ) dζ dF (ζ ) dζ W (ζ ) = = dz dz dζ dz dζ W ( z) = W (ζ ) dz W ( z) =

设 Γ 是封闭曲线 C 内所有涡的强度 ,m 是 C 内所有源的强度,则

G G m=v ∫ u ? ndl = v ∫ (udy ? vdx) G G Γ=v ∫ u ? dl = v ∫ (udx + vdy )
C C C C

C

物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换,而是相互成比 例,比例系数取决于变换函数。经过保角变换复速度的大小、方 向都改变了。

∫ W ( z)dz = v ∫ ( u ? iv )( dx + idy ) v
C C

dl
vdx

udy

=v ?( udx + vdy ) + i ( udy ? vdx ) ? ? = Γ + im ∫?
C

∫ W ( z)dz = Γ + im v
C

11

12

4.12 保角变换

4.12 保角变换

保角变换中的点源(点汇)和点涡

W (z) =

dζ W (ζ ) dz

例5   某一组合流动的流动复势是 1 , z 求沿 z = 3 的速度环量及通过该圆周的流体体积流量。 F ( z ) = (1 + i )ln( z 2 ? 1) + (2 ? 3i )ln( z 2 + 4) +

设 C z , Cζ 是 z 平面和 ζ 平面上的相应封闭曲线, Γz 和 mz 分 别是 C z 内一个点涡的强度和一个点源的强度,则

Γ z + imz = v ∫ W ( z ) dz = v ∫ W (z)
Cz Cz

dz dζ = v ∫ W (ζ )dζ = Γζ + imζ dζ C?

解: Γ+im =

z =3

∫ v

dF dz = dz

z =3

∫? v ?

? (1 + i )2 z (2 ? 3i )2 z 1 ? + ? 2 ?dz z2 ? 1 z2 + 4 z ?

Γ z = Γζ , mz = mζ
点涡、点源经保角变换后强度保持不变。 偶极子经保角变换后,强度和方向都会发生变化。这是因为虽然组 成偶极子的点源和点汇的强度不变,但它们之间的距离(线元)经 变换后,长度和方向都发生了变化。
13

各个奇点的留数, (1 + i )2 z (1 + i )2 z = (1 + i ) z = 1, lim 2 ( z ? 1) = lim z →1 z →1 z ?1 z +1 (1 + i )2 z (1 + i )2 z = (1 + i ) z = ?1, lim 2 ( z + 1) = lim z →?1 z ? 1 z →?1 z ?1

14

4.12 保角变换

4.13
(2 ? 3i )2 z (2 ? 3i )2 z ? ( z ? 2i ) = lim = 2 ? 3i z = 2i, lim 2 z →2 i z →2 i ( z + 2i ) z +4 (2 ? 3i )2 z (2 ? 3i )2 z z = ?2i, lim ? ( z + 2i ) = lim = 2 ? 3i 2 z →?2 i z →? i 2 z +4 z ? 2i Γ+i m = 2π i [1  + i + 1 + i + 2 ? 3i + 2 ? 3i] = 2π i(6 ? 4i ) = 8π + 12π i Γ=8π , m=12π 参考 << Fundamental Mechanics of Fluids >> , p.514。

茹柯夫斯基变换

茹柯夫斯基变换

z =ζ +

c2

ζ

( c 2 为实数)

在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换,

ζ →∞ ? z →ζ
在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同,速度的大小和 幅角都相等。

15

16

4.13

茹柯夫斯基变换

4.13

茹柯夫斯基变换

茹柯夫斯基变换
z =ζ + z c
2

奇点
z ?z? ± ? ? ? c2 2 ?2?
2

ζ

? ζ 2 ? zζ + c 2 = 0 ? ζ =
2

ζ = + ? ? ? c2 2 ?2?
为满足 z → ∞, ζ → z ,根号前取“+”,

?z?

dz c2 = 1? 2 ζ dζ ζ dz ζ →0 ? →∞ dζ z =ζ + ,

c2

ζ = 0 是奇点。该点通常位于物体内部,对研究物体外流动无影响。

17

18

4.13

茹柯夫斯基变换

4.13

茹柯夫斯基变换

ζ 平面通过

ζ = c 点的光滑曲线在
?

Z 平面变换为尖角

保角变换失效点
dz c = 1? 2 ζ dζ dz =0 ζ = ±c ? dζ
2

z =ζ +

c2

ζ
z 2c

ζ
ν2

ζ →
c →

ρ2

ν1 ?ν 2

ζ
ρ1

?c

c

ν1

? c → ? 2c

ζ = ±c 称临界点 ( critical points );
z =ζ + c
2

ζ

在临界点变换不保角。

ζ 与 c 和 ? c 点连线夹角(ν 1-ν 2); z 与 2c 和 ? 2c 点连线夹角(θ1 ? θ 2)。
? 2c

z
R2

θ1 ? θ 2

z

R1
θ1

θ2

2c

19

20

4.13

茹柯夫斯基变换

4.13

茹柯夫斯基变换

ζ 平面通过

ζ = c 点的光滑曲线在
c2

ζ 平面通过
Z 平面变换为尖角

ζ = c 点的光滑曲线在
π
?0=

Z 平面变换为尖角
z =ζ +

c2

z + 2c = ζ + z ? 2c = 1

ζ

+ 2c =
2

1

ζ

(ζ + c )

2

ζ
ν2

ρ2

ν1 ?ν 2

ζ
ρ1

ζ 2 , ν1 ?ν 2 =

π

ζ
ν2
ν1 ?ν2 =

ζ

ζ

(ζ ? c )
2

?c

c

ν1

2 2 3 π ζ 1 , ν 1 ? ν 2 = π ? 2π = ? 2 2 z2 , θ1 ? θ 2 = π (= π ? 0) z1 , θ1 ? θ 2 = ?π (= π ? 2π )

π

2 ζ2

z ? 2c ? ζ ? c ? =? ? z + 2c ? ζ + c ?

?
2

R1eiθ1 ? ρ1eiv1 ? =? ? R2 eiθ2 ? ρ 2 eiv2 ?

2

z
R2

θ1 ? θ 2

z

?c

ν1 ?ν2 =?

π
2

c
ζ1

ν1

R1 i(θ1?θ2 ) ? ρ1 ? 2i( v1?v2 ) =? ? e ? e R2 ? ρ2 ? R1 ? ρ1 ? = ? ? , θ1 ? θ 2 = 2 ( v1 ? v2 ) R2 ? ρ 2 ?
2

R1
θ1

z
θ1 ? θ 2 = π

θ2

θ2

z2 z1

θ1

? 2c

2c

? 2c

θ1 ? θ 2 = ?π

2c

21

22

4.13

茹柯夫斯基变换

4.13

茹柯夫斯基变换

圆变线段

圆变线段

z =ζ +

c2

ζ = ceiv
z =ζ + c2

z
ζ
= ceiv + c2 = ceiv + ce ? iv = 2c cos v ceiv
? 2c
2c
?c

ζ
c
c

ζ

在 ζ = ± c 变换的保角性被破坏了。

z
? 2c
2c
?c

ζ
c c

圆变换为线段,圆外区域变换为整个 Z 平面,圆内区域也变换为整 个平面 ( 圆外点 ζ0 和圆内点
c2

ζ0

对应于 Z 平面同一点),变换是

双值的。实际流动中,圆内区域在物体内部,上述双值性对研究物 体外流场不造成理论上的困难。

23

24

4.14 椭圆绕流

4.14 椭圆绕流
椭圆变圆

z
a? c2 a

ζ
a

ν

椭圆绕流复位势
Z

ζ = aeiv ,
茹柯夫斯基变换

a>c

a+

c2 a

ζ

z =ζ +

c2

ζ

= aeiv +

? c 2 ? iv ? c2 ? c2 ? e = ? a + ? cos v + i ? a ? ? sin v a a? a? ? ?

U
α

U
α

? ? c2 ? y2 x2 ? x = ? a + ? cos v + =1 2 2 a 2 ? ? ? ? ? c ? c2 ? ? ? ? 2 ?a + a ? ? ?a ? a ? ? ? y = ? a ? c ? sin v ? ? ? ? ? ? ? a? ? ? c2 c2 椭圆半长轴 a + ,半短轴 a ? ,长轴沿 x 轴,短轴沿Y 轴。 a a
25

设 Z 平面内均匀来流速度为U,相对于椭圆主轴攻角为α。因为 在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换,可知 ζ 平面内无穷远处 的相应速度也为U,攻角也为 α 。
26

4.14 椭圆绕流

4.14 椭圆绕流

椭圆绕流复位势 圆柱绕流复位势
? ? a F (ζ ) = U ? ζ e?iα + eiα ? ζ ? ?
2

椭圆绕流复位势

ζ

? a2 ? F (ζ ) = U ? ζ e? iα + eiα ? ζ ? ?

平面椭圆绕流复位势,
2 ?z ? Ua 2 eiα ?z? F ( z ) = U ? + ? ? ? c 2 ? e ? iα + 2 2 2 ? ? ? ? z ?z? ? ? + ? ? ? c2 2 ?2? 2 ? ?? ?? z ? a2 ?z? = U ? ze ? iα + ? 2 eiα ? e ? iα ? ? ? ? ? ? c 2 ?? ?? 2 ? ?2? ?c ?? ? ?? ?

U
α

第一部分为均匀来流复位势; 第二部分为椭圆引起的扰动流的复位势,在物面附近时影响显著, 当 z → ∞ 时趋于零。
27 28

4.14 椭圆绕流

4.14 椭圆绕流

椭圆绕流复位势 两个特例

驻点
ζ 平面圆柱绕流驻点
α +π α

ζ 0 = ae , ae


i (α +π )

?
α

ζ 0 = ± aeiα

α =0

α =

π
2

29

30

4.14 椭圆绕流

4.14 椭圆绕流

驻点
Z 平面椭圆绕流驻点,
z0 = ζ 0 + c2

驻点
Z 平面椭圆绕流驻点,
z0 = ζ 0 + c2

ζ 0 = aeiα ?
z0 = aeiα + c 2 ? iα e a 2 ? ? c ? c2 ? = ? a + ? cosα + i ? a ? ? sin α a? a? ? ?
α

ζ0

ζ0

ζ 0 = ?aeiα ?
z0 = ? aeiα ? c 2 ? iα e a

? ? c2 ? ? x = ? a + ? cos α a? ? ? ? 2 ? ? y = a ? c ? sin α ? ? ? a ? ? ?

?? ? ? c2 ? c2 ? = ? ?? a + ? cos α + i ? a ? ? sin α ? a a ? ? ? ?? ?
? ? c2 ? ? x = ? ? a + ? cosα a? ? ? ? 2 ? ? y = ? a ? c ? sin α ? ? ? a ? ? ?
31

α

32

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流
平板机翼绕流(无环量) 圆变线段
ζ 平面
Z 平面

绕流复位势

ζ 平面, F (ζ ) = U ? ζ e? iα +

?

c2

ζ = ce iθ
z =ζ + c2

ζ

= ce iθ + ce ?iθ = 2c cos θ

? ? ?? 2 ? c 2 eiα ?z? ? z 2 Z 平面, F ( z ) = U ?? + ? ? ? c ? + 2 ?2 ? z ?2? ?z? ? ?? + ? ? ? c2 ? 2 ?2? ?

ζ

? eiα ? ?

? ? ? ? ? ? ?

实轴上的一段线段 l = 4c

z

ζ

U
α

U
α

33

34

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

驻点
iα ζ 平面, ζ = ±ce

库塔条件
z =ζ + c2

ζ

Z 平面, ?

? x = ±2c cos α ?y = 0

z

ζ

在平板的前缘和后缘,出现了大于π 角的绕流,流体绕过平板的前 后缘时速度无穷大,压强负无穷大,这在物理上是不可能的。

U
α

U
α

35

36

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

库塔条件 起动涡
B

实际机翼的前沿设计为有限厚度,具有一定的曲率,因此在机翼前 沿实际速度是有限的。 后沿通常是尖的,可能出现大于π 角的绕流。实际流动应该如右图 所示。可以设想围绕机翼有一顺时针方向旋转的环量,环量大小正 好把后驻点移至后沿,与尖角点重合。 库塔条件:具有尖后沿的机翼在小攻角来流绕流条件下,流体会自 动调整使后驻点与后沿尖角点重合。

图1

A

图2

设机翼突然起动速度很快达到 U(从机翼上看,相当于突然有无穷 远来流绕过机翼),此时是无环量绕流(见图1),在机翼的后沿点A 流动速度很大,压强则很低。显然当机翼下面的流体绕过A点流向 后驻点B时,流动是由低压区流向高压区,因此流体将与物面分离, 产生逆时针方向旋转的涡(见图2) 。该涡是不稳定的,旋涡将在 尾部脱落,随流体一起向下游运动,称为起动涡。

37

38

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

附着涡

绕机翼环量的确定



Γ

z

ζ

为保持流体线上环量为零,当有逆时针方向旋转的涡剥落时,在机 翼上同时产生一个强度相等、旋转方向相反的涡,使机翼成为有负 环量的无旋流动, 后驻点将向后沿点移动,直至后驻点移到后沿点 为止,这时上下两股流体在机翼后沿汇合。

当 Z 平面内平板绕流的后驻点与平板后沿角点重合时,则ζ 平面圆 柱绕流的后驻点则应在圆柱后沿点,即 θ = 0 的点。

39

40

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

绕机翼环量的确定 速度为 U 、攻角为 α 的均匀来流绕流圆柱,且围绕圆柱有强度为 Γ 的顺时针方向旋转的环量时绕流复位势为,
? c 2 ? iΓ ζ ln F (ζ ) = U ? ζ e? iα + eiα ? + ζ ? ? 2π c 复速度,
W (ζ ) = U (e ? iα ? c2

绕机翼环量的确定 圆柱表面

W (ζ ) = U (e?iα ?

c2

ζ2

eiα ) +

iΓ 1 2π ζ

ζ = ce iθ

? ? iΓ e?iθ ? i(θ ?α ) c2 iΓ ? ? iθ ? i θ ?α = ?Ue ? Ue ( ) + W = U ? e? iα ? 2 eiα e?2iθ ? + e c c 2 π 2 πc? ? ? ? ? iΓ ? ? iθ ? = ? 2iU sin (θ ? α ) + e = ( u R ? iuθ ) e ? iθ 2π c ? ? ?
? uR = 0 ? ? Γ uθ = ?2U sin (θ ? α ) ? ? 2π c ?

ζ

2

eiα ) +

iΓ 1 2π ζ

驻点在 θ = 0 点,uθ = 0 ? ? 2U sin ( ?α ) =

Γ ? 2π c

Γ = 4π Uc sin α
41 42

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

Z 平面绕流平板的复位势(有环量)

由 Γ = 4πUc sin α 得复位势,

? ? iΓ ζ c2 ln F (ζ ) = U ? ζ e ?iα + eiα ? + ζ ? ? 2π c

平板绕流升力 由库塔—茹柯夫斯基定理,

Γ = 4π Uc sin α

? c2 ? ζ F (ζ ) = U ? ζ e? iα + eiα ? + i 2Uc sin α ln ζ c ? ?
?z? 2 代入 ζ = z + ? ? ?c 2 2 ? ?
2

Y = ρU Γ = 4πρU 2 c sin α
升力系数,

cl =
? ? ? ?+ ? ? ?

? ?? 2 ? c 2 e iα ? z ?z? F ( z ) = U ? ? + ? ? ? c 2 ? e ? iα + 2 2 ?2? ? z ?? ?z? ? ? + ? c2 ? ? ? 2 ?2? ?
2 ?1 ? z ?z? + i 2Uc sin α ln ? ? + ? ? ? c 2 ?c ? 2 ?2? ? ?

Y = 2π sin α 1 ρU 2 l 2

上式中 l = 4c,为平板机翼弦长。在小攻角条件下 sin α ≈ α

cl = 2πα
上式与实验测量结果吻合。
43 44

?? ?? ?? ??

4.15 库塔条件和平板机翼绕流

平板绕流升力 升力 Y 是指垂直于来流方向的力,沿 x方 向(平板方向)和 y 方向的力则分别为,
? Fx = ?4πρU c sin α ? ? 2 ? ? Fy = 4πρU c sin α cos α
2 2

Fx

Y
U
α

Fy

4.16 对称茹柯夫斯基翼型
ζ 平面偏心圆变换为 Z 平面内的对称翼型 ζ 平面圆半径为 a,圆心在点 ζ = ? m ,圆 半径 a = c + m = c(1 + ε ) ,通过茹柯夫斯基
变换得到对称茹柯夫斯基翼型。
Z 平面的翼型前沿圆滑,后沿为尖角,关 于实轴对称,因为 ζ 平面的圆通过 ζ =+ c 点,而 ζ =? c 点则位于圆内,且圆对于实 轴对称。

ζ
a
ν

ζ
R
?

?c

?

m

c

z

注意,沿 x 方向力是负力,即不是阻力,而是“引力”,该力推动平 板逆向前进。这是由平板前缘速度无穷大,压力为负无穷大造成 的。
2 ? ?c x = ?2πα ? ? ?c y = 2πα

t
l

Y = ρU Γ = 4πρU 2 c sin α

当 m = 0 时, Z 平面翼型将退化为实轴上的一条线段,因此当 ε << 1 时,Z 平面将是一个很薄的翼型,推论可知ε 控制着翼型的厚度。

45

46

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

几何尺寸的相互关系 厚度 t,弦长 l , 与 ζ 平面相关几何尺寸的关系如下,
c= l 4
z

满足库塔条件的速度环量

uθ = ?2U sin (θ ? α ) ?

绕流圆柱的速度环量
ζ
a
ν

uθ = ?2U sin (θ ? α )

Γ 2π c

ζ
R
?

ε=

t 4 t = 0.77 l 3 3l l? t? a = ? 1 + 0.77 ? l? 4?

当来流攻角为 α 时后沿点速度, 2U sin α
c

t
l

?c

?

m

翼型表面方程,
y = ±3.85 t x? ? ? x? ?1 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? l? ? ? l?
2

设顺时针方向环量Γ,在后沿点引起速度, Γ ? 2π a 要后沿点速度等于零则 U Γ =0 ? 2U sin α ? 2π a Γ =4π aU sin α 坐标的选取不影响上述结果。

α

α

具体推导过程见本节附录。

47

48

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

满足库塔条件的速度环量

ζ
a
ν

ζ
R
?

升力
c
t? ? Y = ρU Γ = πρU 2l ? 1 + 0.77 ? sin α l? ? Y t? ? cl = = 2π ? 1 + 0.77 ? sin α 1 l? ? ρU 2l 2

Γ =4 π aU sin α
l? t? 上式中 a = ?1 + 0.77 ? 4? l?

t? ? Γ = π Ul ? 1 + 0.77 ? sin α l? ?

?c

?

m

α 是均匀来流的攻角
t? ? Γ = πUl ?1 + 0.77 ? sin α l? ?

z

如 t = 0 则上式蜕变成为平板绕流公式。
t
l

cl = 2π sin α

49

50

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

升力

t? ? Y = ρU Γ = πρU 2l ? 1 + 0.77 ? sin α l? ?

复位势

? a 2 ? iΓ ζ ln F (ζ ) = U ? ζ e ? iα + eiα ? + ζ ? ? 2π a

由上式可以看出,在薄翼、小攻角条件下,升力与翼型厚度和来 流对翼型的攻角成正比,这在一定范围内和实验结果相符合。 当翼型过厚时,气流会在翼型表面脱体,形成低压的尾涡区,反 而使升力下降。攻角过大时,同样由于流体脱体而使升力徒然下 降,阻力急剧增高,称为失速。

? a 2 i α ? iΓ ? ζ + m ? F (ζ ) = U ?(ζ + m )e ?iα + e + ln? ? ζ +m ? ? ? 2π ? a ?
z? 2 以ζ = z+ ? ? ? ? c 代入可得到 z 平面的相应复位势; 2 ? 2? l? t? m t 式中 a = ?1 + 0.77 ? = ε = 0.77 U 4? l? c l
α
2

ζ
ζ′

ζ

m

ζ ′ =ζ +m

51

52

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

附录 复位势
ζ 平面圆表面一点,

ζ
ζ

ζ = R eiν
余弦定理,
? ?

a

?c
2 2

?

ν
m

R
?

a = R + m ? 2 Rm cos (π ? ν )
2

c

( c + m)

? ? m2 m = a 2 = R 2 ? 1 + 2 + 2 cosν ? R ? R ? m2 m2 R≥c ? ≤ = ε2 ≈ 0 R2 c2
2 1

m ?2 ? ? m ? c + m = R ? 1 + 2 cosν ? = R ?1 + cosν + O(ε 2 ) ? R ? ? R ? ?
53 54

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

附录 舍去高阶无穷小项 O (ε
2

),

? m ? c + m = R ?1 + cosν + O (ε 2 ) ? ? R ? ζ = R eiν

附录 翼型弦长 l
dx = 0 ? sinν = 0 ? dν ν = 0, π ? x = ± 2c ? l = 4c

c (1 + ε ) = R + cε cosν R = c? ?1 + ε (1 ? cosν )? ? c2 c 2 e ? iν z = ζ + = c? eiν + 1 + ε (1 ? cosν )? ? ? ζ c? ?1 + ε (1 ? cosν )? ?
舍去高阶无穷小项 O(ε 2 ) ,

? ? x = 2c cosν ? ? ? y = 2cε (1 ? cosν ) sin ν

t
l

2 ? ? iν = c? ?1 + ε (1 ? cosν )? ? eiν + c ? ?1 ? ε (1 ? cosν ) + O (ε )? e

z = c? ? 2cosν + i 2ε (1 ? cosν ) sinν ? ?
? ? x = 2c cosν ? ? ? y = 2cε (1 ? cosν ) sin ν
55 56

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

4.16 对称茹柯夫斯基翼型

附录 翼型厚度 t
dy =0 ? dν 2 sin ν + (1 ? cosν ) cosν = 0 ? 2π 4π cos 2ν = cosν ? ν = 0, , 3 3

附录
? ? x = 2c cosν ? ? ? y = 2cε (1 ? cosν ) sin ν

翼型表面方程 从 x, y 表达式中消去ν,

? ? x = 2c cosν ? ? ? y = 2cε (1 ? cosν ) sin ν

t
l

x ? ? x ? ? y = ± 2 cε ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2c ? ? 2c ?

2

t
l

l , c = , 上式可化为, 考虑到 cε = 4 3 3
y x? ? ? x? = ±3.85?1 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? t l? ? ? l?
2

t

ν = 0 ? y = 0,是为翼型后沿最小厚度;
ν=
2π 4π , 3 3 ? y=± 3 3 cε , 是为翼型最厚处 y 坐标; 2

t = 3 3cε ,

t 3 3 = ε (相对厚度) l 4
57 58

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型
ζ 平面偏心圆变换为Z 平面圆弧翼型
z =ζ + c2

圆弧机翼弯度
ζ

h = 2c (tg β ) = 2 m

平面圆的偏心距 m 控制着圆弧机翼的弯度 h 。 圆弧半径
R0 = 2c 2c = = sin 2 β 2 sin β cos β
π
2 ?β

z

2φ2 = π + 2β

π
2
h

ζ


ζ1
φ1
m

z1 , z2
?2c

c m m2 + c2 c m2 + c 2

=

m2 + c 2 ? c m? = c? + ? m ?m c ?

l
l = 4c

2φ1 =π ? 2β

2c

?c
π
2 +β

β

a

φ2

c
?2c
2φ1 =π ?2β

ζ2

β

2c

h

π
2

ζ1

m

φ1
φ2
β

a

圆弧长度

y0



?c
R0

c

ζ2
60

59

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型

圆弧圆心坐标
2c 2c y0 = ? =? =? 2tg β tg 2 β 1 ? tg 2 β

? m ? 2c ? 1 ? 2 ? c ? ? c m? ? = ?c ? ? ? m ?m c ? 2 c
2

圆弧方程
? ? c m? ? c m ?? x 2 + ? y + c? ? ? ? = c 2 ? + ? ?m c ? ? m c ?? ?
2 2

? c m? R0 = c ? + ? ?m c ?

? c m? y0 = ?c ? ? ? ?m c ?

化简并舍去高阶无穷小项,
π
2

ζ1

m

?2c

β
2φ1 =π ?2β

2c

h

φ1
φ2
β

a

?c

c

? ? c2 ? c2 ? x2 + ? y + ? = c2 ? 4 + 2 ? m? m ? ? ? l h 代入 c = , m = 4 2

2

?2c

β
2φ1 =π ?2β

2c h

y0



R0

y0



R0

ζ2

? l ? l ? l ? x 2 + ? y + ? = ?1 + ? 8 h 4 16 h2 ? ? ? ?
2 2 2

2

61

62

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型

附录: 速度环量
ζ 平面驻点在 A点,B点速度 uθ = 2U sin (α + β ) ,方向沿逆时针方向。

有环量绕流
Γ uθ = ?2U sin (θ ? α ) ? 2π c

η

使 Z 平面圆弧翼型的后沿点成为驻点,则 ζ 平面相应驻点应移至B 点,即 ζ = + c 点,
Γ = 2U sin (α + β ) 2π a Γ = 4π Ua sin (α + β ) m β ≈ tg β = , a = m2 + c 2 ≈ c c m? ? Γ = 4π Uc sin ? α + ? c? ?
A
U

无环量绕流
uθ = ?2U sin (θ ? α )

U

α ?c

m

α
β

A

B (c) ξ

ξ′

α

?c

m

α
β

c
B

θ = ?β ?
uθ = ?2U sin ( ? β ? α ) = 2U sin(α + β )

63

64

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型

升力

m? ? Γ = 4πUc sin ? α + ? c? ?

复位势
ζ 平面一点相对于原点坐标为 ζ ,而相对于圆 心的位置为ζ- i m ,以 ζ- i m 代替 ζ 代入圆 柱绕流复位势表达式即得ζ 平面复位势,
m
U

ζ′

ζ
ζ ′ = ζ ? im

m? 2h ? ? ? Y = ρU Γ = 4πρU 2c sin ? α + ? = 4πρU 2 c sin ? α + ? c? l ? ? ? 2h ? ? 2 Y = 4πρU c sin ? α + ? l ? ?

α

cl =

Y 2h ? ? = 2π sin ? α + ? 1 l ? 2 ? ρU l 2

? ? iΓ ? ζ ? im ? a2 F (ζ ) = U ?(ζ ? im )e ?iα + e iα ? + ln? ? ζ im ? ? ? 2π ? a ?

z

z h l 2h ? ?z? ? 2 以 ζ = + ? ? ? c , m = , a ≈ c = , Γ = π Ul sin ? α + ? 代入上式 2 2 4 l ? ?2? ?

2

机翼弯度的影响是增加升力。在有弯度的机翼绕流中,即使攻角 α = 0,仍有升力存在。 当 h = 0 时上式蜕变为平板绕流公式 cl = 2π sin α 。

即得到 Z 平面绕流圆弧翼型的复位势。
? a 2 ? iΓ ζ ln F (ζ ) = U ? ζ e ? iα + eiα ? + ζ ? ? 2π a

65

66

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型

复位势

例6  求图示复位势。 解:取 变换 z = ζ + c2

ζ

,  m2 + c 2 ,

z 平面上的圆弧变换为 ζ 平面上的偏心圆,圆半径

点源所在点 z0 变换为 ζ 0=0 ± 02 ? c 2 = ± ci, 取ζ 0 = ? ci.
2c
2m
?

2c
z =ζ +

c2

c2 + m2

Q
z

ζ ????? ? → 2 ζ= + (
z 2 z )?c2 2

?c

m

c
?

R

? ci

Q

ξ

67

68

4.17 圆弧翼型

4.17 圆弧翼型

在 ζ 平面内圆上一点相对于圆心位置为 ζ ? mi,ζ 0相对于圆心位置为 ?( m + c)i,于是ζ 平面复位势为, ? m2 + c 2 ? Q Q F (ζ ) = ? ( m + c)i ? ln [ (ζ ? mi) + ( m + c)i ] + ln ? 2π 2π ? ζ ? mi ? 考虑到 (ζ ? mi ) + ( m + c)i = ζ + ci ζ ? mi m2 + c 2 ? ( m + c) i ζ ? mi m +c ? ( m + c)i ? i (ζ ? mi ) + ζ ? mi ? m+c ? ? ? (m + c) i ? c( m ? c ) ? ζ? =? i ζ ? mi ? m+c ? ? ? =?
2 2

代入 ζ =

1 z ?z? + ? ? ? c 2,m = ? R ? R 2 ? 4c 2 ?   ? 2 2? ?2?

2

c +m
2

c ? ? 2 2 R ? R 2 ? 4c 2 ? c 2 ? ?z ??z z? ?z? 2 2 2 ? + ? ? c ci c i? ? + + ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ?2? ?2? ?2 ? R ? R 2 ? 4c 2 + c ? ?? Q ? ? ? +c 2 F ( z) = ln 2 2π z 1 ?z? 2 2 2 + ? ? ? c ? R ? R ? 4c i 2 2 ?2?

( (

) )

(

)

2

ζ

?c

m

c
ξ

=

Q ln 2π

? 2c R ? R 2 ? 4c 2 ? 4c 2 ? ( z + z ? 4c 2 + 2ci ) ? z + z 2 ? 4c 2 ? i i? ? R ? R 2 ? 4c 2 + 2 c ? ? ? ? ? z + z 2 ? 4c 2 ? R ? R 2 ? 4c 2 i
2c
2m
?

? ci ? Q

(

( (

)

) )

+c

2c
F (ζ ) =

F (ζ ) =

Q ? c( m ? c) ? ? ln ?(ζ + ci) ?ζ ? i m+c ? 2π ? ? ?

(ζ ? mi ) ? + c
?
F ( z ) = f ( z ) + f (a 2 z )
69

?

Q
z

Q ? c ( m ? c) ? ? i? ln ?(ζ + ci ) ?ζ ? m+c ? 2π ? ?

(ζ ? mi ) ? + c
?

?

R

70

4.18 茹柯夫斯基翼形

4.18 茹柯夫斯基翼形
ζ 平面偏心圆变换为

翼型方程
Z 平面翼型中心线是中心在 y 轴
t

z 平面茹柯夫斯基翼形
a

h l

t

h l

δ

的一段圆弧,上下表面可通过在 圆弧方程上加减厚度影响而得 出,
c

?c

?

m

y=

l2 ? l2 ? 2 l2 x? ? ? 2x ? ? ? x ? ± 0.385 t ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ?1 + 4 ? 16h 2 ? 8h l? ? ? l ?

2

ζ平面偏心圆圆心在第二象限,偏心距为 m,与 x 轴夹角为 δ; 负实轴方向的位移 m cosδ ,正虚轴方向的位移 m sinδ,z 平面机 翼有厚度和弯度。 Z 平面机翼特征尺寸,弦长 l,最大厚度 t,最大弯度 h

圆弧翼型 对称翼型

? l2 ? l2 ? l2 ? ?y+ ? ? = ? ?1 + ? x2 + ? 8h ? 4 ? 16h 2 ? ? ?
y = ±3.85 t x? ? ? x? ?1 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? l? ? ? l?
2

2

71

72

4.18 茹柯夫斯基翼形

4.18 茹柯夫斯基翼形

升力 对称茹柯夫斯基翼型的升力系数相对于平板翼形升力系数增加了 t 0.77 ,圆弧翼型的升力系数与平板翼型升力系数相比相当于把攻 l 2h 角α 增加到 α + ,综合两者影响得茹柯夫斯基翼型升力系数, l

P

复位势
ζ

ζ′

平面内一点相对于原点的坐标
U

为 ζ ,而相对于圆心的位置则 iδ iδ 为 ζ ? me 。 以 ζ ? me 代替 ζ 代入圆柱绕流复位势表达式得,

?c

?

m

δ

ζ

c
ζ ′ = ζ ? meiδ

t? ? 2h ? ? cl = 2π ? 1 + 0.77 ? sin ? α + ? l? ? l ? ?
平板翼型 对称翼型 圆弧翼型

α

cl = 2π sin α
t? ? cl = 2π ? 1 + 0.77 ? sin α l? ? 2h ? ? cl = 2π sin ? α + ? l ? ?
73

? a 2 e i α ? iΓ ζ ? meiδ + F(ζ ) = U ?( ζ ? meiδ ) e ? iα + ln( ) iδ ? ζ ? me ? 2π a ?
? a 2 ? iΓ ζ F (ζ ) = U ? ζ e ? iα + eiα ? + ln ζ ? ? 2π a

74

4.18 茹柯夫斯基翼形

4.18 茹柯夫斯基翼形

复位势 复位势 速度环量 平板机翼 圆弧翼型 对称翼型
Γ =4π cU sin α

如图 m cosδ 相当于对称翼形变换中负实轴方向的位移,m sinδ相 当于圆弧翼形变换中正虚轴方向的位移,于是

2h ? ? Γ = 4π Uc sin ? α + ? l ? ? t? ? Γ = 4π Uc ? 1 + 0.77 ? sin α l? ?

m cos δ = ?0.77

tc h l l tc , m sin δ = , c = , a = + 0.77 l 2 4 4 l
P

综合考虑弯度和厚度影响,速度环量
t? ? 2h ? ? Γ = 4πUc ? 1 + 0.77 ? sin ? α + ? l? ? l ? ?
z ?z? 2 将以上等式与 ζ = + ? ? ? c 代入 ζ 平面复位势表达式即可得 2 ? 2? 出 z 平面复位势。
75
2

ζ′
t

h l
?c
?

m

δ

ζ
c

m′ 4 t t = = 0.77 c 3 3l l

m′′ = h 2

76

4.18 茹柯夫斯基翼形

练习题
复位势 教科书 4.1, 4.4, 4.7, 4.12
5. 设复位势为 F ( z ) = m ln( z ? ) (1). 问流动是由哪些基本流动组成; (2). 求流线方程; (3). 求通过 z = i 和 z =
1 两点连线的流体体积流量. 2
1 z

6. 在点 (a, 0), ( -a, 0) 上放置等强度的点源, 2 2 2 (1). 证明圆周 x + y = a 上的任意一点的速度都与 y 轴平行,且此

速度大小与 y 成反比.
(2). 求 y 轴上的速度最大点; (3). 证明 y 轴是一条流线.
77 78

7. 已知速度势φ, 求相应流函数ψ. (1). φ = xy (2). φ =
x x + y2
2

b

b

小结
1。流函数、柯西黎曼条件、复位势、复速度

ρ U p∞

2。基本势流:均匀流、点源、点涡、绕角流动、偶极子 3。平面定常势流:布拉休斯公式;圆柱绕流(有攻角绕流复位势及 圆表面速度、库塔-茹柯夫斯基公式) 4。镜像法:实轴为边界,虚轴为边界,圆周定理 5。保角变换:茹柯夫斯基变换,幂函数 6。机翼理论:椭圆翼型、平板翼型、圆弧翼型、对称茹柯夫斯基翼 型、茹柯夫斯基翼型;库塔条件和环量的确定、升力、复位势。 留数的确定、留数定理

8. 求图示不脱体绕流平板上下表面压强, 压强系数和速度分布。

79

80

轴对称运动 鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对称运动。 要形成轴对称流动,物体外形必须是轴对称的,而且来流必须沿着 对称轴方向。 轴对称流动中,任一通过对称轴的平面上的流动图案都是相同的。 本章采用球坐标( r ,θ , ω )描述轴对称流动。由于轴对称,流动具 有如下特点,
? = 0, uω = 0 ?ω

第五章

轴对称运动

U

ω

r
θ

x

1

2

5.1 速度势

5.1
势函数

速度势

拉普拉斯方程 对于不可压缩流体,

在无旋流动中存在速度势 φ
u = ?φ = ?φ 1 ?φ er + eθ = u r er + uθ eθ ?r r ?θ

? 2φ = 0

?φ ? u = ? ? r ?r ? ? u = 1 ?φ θ ? ? r ?θ

1 ? ? 2 ?φ ? 1 ? ? ?φ ? ?r ?+ ? sin θ ?=0 r 2 ?r ? ?r ? r 2 sin θ ?θ ? ?θ ?

3

4

5.2

Stokes 流函数

Stokes 流函数

5.2

Stokes 流函数

不可压缩流体在球坐标下的连续方程
? 1 ? 2 1 r ur + (sin θ uθ ) = 0 r sin θ ?θ r 2 ?r

Stokes 流函数 平面流动的流函数满足连续方程。在三维流动中,一般无法找到一 个标量函数满足连续方程,但在轴对称运动条件下,这样的流函数 是存在的。

(

)

令 r 2 sin θ ur =

?ψ ?ψ , r sin θ uθ = ? 则 ψ 自动满足连续方程. ?θ ?r ψ 称 Stokes 流函数。

? 2 ? r sin θ u r + (r sin θ uθ ) = 0 ?r ?θ

(

)

1 ?ψ ? u = ? ? r r 2 sin θ ?θ ? ? u = ? 1 ?ψ θ ? r sin θ ?r ?
5 6

5.2

Stokes 流函数

5.2

Stokes 流函数

无旋流动的

Stokes 流函数方程
无旋流动的

平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程,Stokes流函数在无旋条 件下满足的方程不是拉氏方程。 设无旋流动 ? × u = 0
er 1 ? r 2 sin θ ?r ur = reθ ? ?θ ruθ r sin θ eω ? ?ω 0

Stokes 流函数方程

? 2ψ sin θ ? ? 1 ?ψ ? + 2 ? ?=0 ?r 2 r ?θ ? sin θ ?θ ?

? 2ψ ctgθ ?ψ 1 ? 2ψ ? 2 + =0 ?r 2 r ?θ r 2 ?θ 2

?ψ ? ? ? ? 1 ?? ? 2 ?=0 ? ?θ ? r sin θ ?θ ? 1 ? ? ?φ ? ?r ?+ ? sin θ ?=0 r 2 ?r ? ?r ? r 2 sin θ ?θ ? ?θ ? ? 2φ 2 ?φ ctgθ ?φ 1 ? 2φ + + 2 + =0 r ?θ r 2 ?θ 2 ?r 2 r ?r

? ? r ?ψ ?? ?r ? r sin θ ?r 1 ? ? 2 ?φ ?

求解 φ 的拉氏方程可得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。 在有旋流动中势函数不存在,只有应用流函数才能找到一个标量方 程来代替矢量形式的运动方程。

eω ? ? ?u ( ruθ ) ? r ? r ? ?θ ? ? ?r ? eω ? ? ? r ?ψ = ? ?? r ? ?r ? r sin θ ?r

? ? ? 1 ?ψ ? ? ?? ? 2 ?? = 0 ? ?θ ? r sin θ ?θ ? ?
7 8

5.2

Stokes 流函数

Stokes 流函数的性质
过对称轴的平面内任意两点流 函数值的差乘以 2π ,等于通 过以这两点的任意连线绕对称 轴旋转形成的旋转面的流量。
r
θ
A

B
dl
rdθ

5.3
dl
ur rdθ

势流方程的解
? ? ?φ ? 1 ? ? 2 ?φ ? 1 ?r ?+ ?=0 ? sin θ ?θ ? r 2 ?r ? ?r ? r 2 sin θ ?θ ?

dr



r sinθ

uθ dr

x

分离变量
φ = R ( r )T (θ )
?

dQ = u ? ndl 2π r sin θ = [ur rdθ ? uθ dr ] 2π r sin θ 1 ?ψ ? ? r ?ψ =? 2 dθ + dr 2π r sin θ r sin θ ?r ? ? r sin θ ?θ ? ?ψ ? ? ?ψ = 2π ? dθ + dr ? = 2π dψ ?r ? ? ?θ

T d ? 2 dR ? R d ? dT ? ?=0 ?r ?+ ? sin θ dθ ? r 2 dr ? dr ? r 2 sin θ dθ ?

两边同乘以

Q = 2π ∫ dψ = 2π (ψ B ? ψ A ) Q = 2π (ψ B ? ψ A )
A

B

r2 RT

1 d ? 2 dR ? 1 d ? dT ? ?r ?=? ? sin θ ? R dr ? dr ? T sin θ dθ ? dθ ?
9 10

5.3

势流方程的解

5.3

势流方程的解

分离变量 方程一边是 r 的函数,一边是 θ 的函数,要恒等必需两边均等于 常数,
1 d ? 2 dR ? ?r ? = l (l + 1) R dr ? dr ? 1 d ? dT ? ? ? sin θ ? = l (l + 1) T sin θ dθ ? dθ ?

勒让德方程
1 d ? dT ? ? sin θ ? + l (l + 1)T = 0 sin θ dθ ? dθ ? ? ? dx ? = = ? sin θ 令 x = cos θ ? ?θ ?x dθ ?x d ? ? (1 ? x 2 ) dT + l (l + 1)T = 0 dx ? dx ? ? ?

?

d ? dT ? 1 ? sin θ ? = l (l + 1) T sin θ dθ ? dθ ?

式中 l 可为整数也可为非整数。

1 d ? 2 dR ? 1 d ? dT ? ? sin θ ? ?r ?=? R dr ? dr ? T sin θ dθ ? dθ ?

上式为勒让德方程,通解为
Tl (θ ) = Cl Pl (cosθ ) + Dl Ql (cosθ )

11

12

5.3

势流方程的解

5.3

势流方程的解

勒让德方程

Tl (θ ) = Cl Pl (cosθ ) + Dl Ql (cosθ )

欧拉方程 R 的方程,
r2 d 2R dR + 2r ? l (l + 1) R = 0 dr dr 2

1 d ? 2 dR ? ? = l (l + 1) ?r R dr ? dr ?

散,所以应取 Dl = 0

Ql (cosθ ) 为第二类勒让德函数,当cosθ

= ±1 时对所有的 l 值发

Pl (cosθ ) 是第一类勒让德函数,当 l 不为整数时,其在cosθ = ±1 时 发散。 取 l = 0, 1, 2,

为欧拉方程,对于非负整数 l,存在两组独立的解,rl 和 r ? ( l +1),所 以欧拉方程通解可写为,
Rl (r ) = Al r l + Bl r l +1

Tl (θ ) = Cl Pl (cosθ )

( l 取整数。)

13

14

5.3

势流方程的解

势函数通

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