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1.2.3 弦切角定理 课件 (人教B版选修4-1)


1.2.3 弦切角定理

1.通过对弦切角定理的探究,体会分类思想、特殊化思想和 化归思想在数学思想中的作用.

2.理解弦切角定理,能应用定理证明相关的几何问题.

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关键词:弦切角定理、弦切角定理的推论

知识点一


弦切角的概念

定义:顶点在圆周上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角.

如图所示,∠ACD和∠BCD都是弦切角.

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【推敲引申】 弦切角必须具备三个条件: 1. (1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点);

(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线);
(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦). 三者缺一不可,例如图中,∠CAD很像弦切角,但它不是弦切 角,因为AD与圆相交,∠BAE也不一定是弦切角,只有已知A E切圆于点A,才能确定它是弦切角.

弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所 2.
成的角.因此,弦切角与圆周角存在密切关系.

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【例1】 判断下列各图形中的角是不是弦切角,并说明理由:

分析:此题利用弦切角的定义来判断.
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解:以上各图中的角都不是弦切角.

图(1)中,缺少“顶点在圆上”的条件;
图(2)中,缺少“一边和圆相交”的条件; 图(3)中,缺少“一边和圆相切”的条件; 图 (4) 中,缺少 “ 顶点在圆上 ” 和 “ 一边和圆相切 ” 两个条 件. 【反思感悟】 弦切角的三要素:(1)顶点在圆周上; (2)一边与圆相交;(3)一边与圆相切.

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如图所示,AB、CB分别切⊙O于D、E,找出图中所 【例2】 有弦切角.

解:∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角. 【反思感悟】 考查对弦切线的概念的理解.

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知识点二

弦切角定理及其推论

定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. 推论:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.

【推敲引申】 1.弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对 的夹在弦切角内部的一条弧.如图所示,弦切 角∠BCD 所夹的弧是 的弧是 . ,弦切角∠ACD 所夹

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2.弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似,同样是按圆 心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明.

①圆心在弦切角∠BAC 一边上;②圆心在弦切角∠BAC 外部; ③圆心在弦切角∠BAC 内部.

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【例3】如图所示,AB为⊙ O的直径, C为⊙O上一点, AD和过C

点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.
证明:方法一:如图所示,连接OC. ∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD,∴OC∥AD. 由此得∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO, ∴∠CAD=∠CAO.

故AC平分∠DAB.

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方法二:∵CD为⊙O的切线,连接CB,如图所示,

由弦切角定理知∠ACD=∠B.①
又∵AB为直径,C为⊙O上一点, ∴∠ACB=90°, ∴∠B+∠CAB=90°.② 又∵AD⊥CD, ∴∠DAC+∠ACD=90°.③ 由①②③知∠DAC=∠CAB,

∴AC平分∠DAB.

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【反思感悟】 本题方法一是课本证法,是利用切线性质以及

平行线性质,而方法二巧妙地使用弦切角以及直径所对圆周角
为直角达到证题目的,各有千秋.

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【探究学习】 对弦切角与所夹弧的关系的探究 【例 4】 如图所示,DE 切⊙O 于 A,AB、AC 是⊙O 的弦,若 = ,那么∠DAB 和∠EAC 是否相等?为什么?

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分析:由于 弧,而 ∠EAC. =



分别是两个弦切角∠DAB 和∠EAC 所夹的

,连接 BC,易证∠B=∠C,于是得到∠DAB=

解:∠DAB=∠EAC.连接 BC, 因为 = ,所以∠ACB=∠ABC.

又因为∠BAD=∠ACB 且∠CAE= ∠ABC, 所以∠BAD=∠CAE.
【反思感悟】 若弦切角所夹的弧相等,则弦切角相等.
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高考在线

【点击考点】 这部分知识近几年才从初中知识中分离出来,在高考中已有所 涉及,题目难度不大.

【剖析考题】 (2010·课标全国卷)
【例 5】 如图,已知圆上的弧 = ,

过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点,证明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD.
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证明:(1)因为



,所以∠BCD=∠ABC.

又因为 EC 与圆相切于点 C, 故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB, BC CD 故 = ,即 BC2=BE×CD. BE BC

【反思感悟】 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周 角、弦切角、三角形相似、弧、弦之间的关系,题目难易适

中,重在考查对平面几何中基本知识的掌握.
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【例6】 如图,已知 MN是⊙ O 的切线, A 为切点, MN 平行于弦 C D,弦AB交CD于E,求证:AC2=AE·AB.

分析: 欲证 AC2=AE· AB, 只需证此三条线段所在的△ACE 与△ ABC 相似,连结 BC.

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证明:连 BC. MN∥CD?∠MAC=∠ACD MN切⊙O于A?∠MAC=∠B
? ? ? ? ?

?∠ACD=∠B ∠CAE=∠CAB

? ? ? ? ?

AC AE ?△ACE∽△ABC? = ?AC2=AB· AE. AB AC
反思感悟:此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等, 再利用三角形相似证比例中项,这样类型的题较常见.

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【规律方法总结】 弦切角的运用
在运用弦切角时,首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切 角,然后运用弦切角进行相关的计算、论证.弦切角的运用主 要体现在以下几个方面: (1)证明角相等

由弦切角定理可直接得到角相等,在与弦切角有关的几何问题
中,往往还需借助其他几何知识来综合解答,由弦切角得到的 角相等只是推理论证中的一个条件.

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(2)证明直线平行

弦切角定理构建了角与角的相等关系,而
直线的平行是以角的关系为基本条件的, 因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推 理论证直线的平行.如图所示,若 CD 切 圆 O 于点 M ,弦 AM 与弦 BM 相等,则由∠ CMA =∠ B ,∠ A =∠ B 得到∠ CMA =∠ A,从而CD∥AB.

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(3)证明线段相等

借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)
以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形, 从而证得线段相等. (4)证明三角形相似 在圆中有丰富的相等的角,利用这些相等的角我们能找出许多 与圆有关的相似三角形,进而能得到许多线段的数量关系.因 而,充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形

性质定理、弦切角定理等结论,架设与三角形有关问题的桥
梁,达到解决问题的目的.

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由此可见,弦切角是很重要的与圆相关的角.其主要功能在于

协调与圆相关的各种角(如圆心角、圆周角等),是架设圆与三
角形全等、三角形相似、与圆相关的各种直线 ( 如弦、割线、 切线)位置关系的桥梁,因而弦切角也是确定重要圆几何定理 的关键环节(如证明切割线定理).

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