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广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末模拟考试数学(理)试题


汕头市金山中学 2013 届高三上学期期末模拟考试 数学(理)试题
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题

共 40 分)

一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要

求的.) 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } 则 C U M ? A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
??? ? ???? ??? ? 2.若向量 B A =(2,3) C A =(4,7) , ,则 B C =

A. (-2,-4)

B. (2,4)

C.(6,10)

D.(-6,-10)

3.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. y ? ln ( x ? 2 ) B. y ? ?
x ?1

?1? C.y= ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

4.一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为
1 2? ? 8 3 5

,则正视图中 x 的值为 B. 4 C. 3 D. 2
x

3

3

A. 5

x

5.已知实数 a , b 满足 ? 1 ? a ? 1, ? 1 ? b ? 1 ,则函数
4 4 侧视图

y ?

1 3

x

3

? ax

2

? bx ? 5 有极值的概率是

正视图

A.

1 4

B.

1 2
5 13

C. , sinB=
16 65 3 5

2 3

D.

3 4

6. △ABC 中, 已知 cosA= A.
16 65

, cosC 的值为 则 ( D.
? 16 65


俯视图 图2

B.

56 65

C.



56 65

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 A.
4 9

B.

1 3
a

C.

2 9
b

D.

1 9
a b

8.设 a ? 0 , b ? 0 . A.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3 b ,则 a ? b B.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3 b ,则 a ? b C.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3 b ,则 a ? b D.若 2 ? 2 a ? 2 ? 3 b ,则 a ? b
a b a b

第Ⅱ卷 (非选择题
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

共 110 分)

9.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是______. 10.已知某位同学五次数学成绩分别是:121,127,123, a ,125,若其平均成绩是 124,则这组 数据的方差是_______.
2 11.已知递增的等差数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 , a 3 ? a 2 ? 4 ,则 a n ?

。 C

B 12.如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 A O · C =_______.

??? ??? ? ?

13.已知在锐角 ? ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则
AC 的取值范围为________.

AC cos A

? _______,

O A B (第 12 题) 与偶

n ? 14.设 N ? 2 ( n ? N , n ? 2 ) ,将 N 个数 x 1 , x 2 , ? x N 依次放入编号为

得到排列 P0 ? x 1 x 2 ? x N .将该排列中分别位于奇数 1, 2 , ? , N 的 N 个位置, 数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前
N 2

和后

N 2

个位置,得到排列
N 2

P1 ? x 1 x 3 ? x N ? 1 x 2 x 4 ? x N ,将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段

个数,

并对每段作 C 变换,得到 P 2 ;当 2 ? i ? n ? 2 时,将 P i 分成 2 i 段,每段

N 2
i

个数,

并对每段作 C 变换,得到 P i ? 1 ,例如,当 N ? 8 时, P 2 ? x 1 x 5 x 3 x 7 x 2 x 6 x 4 x 8 ,此时
x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置.

(1)当 n ? 16 时, x 7 位于 P 2 中的第___个位置; (2)当 N ? 2 ( n ? 8 ) 时, x 173 位于 P 4 中的第___个位置.
n

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分)
0 已知函数 f ( x ) ? A s in ( x ? ? )( A ? 0, ? ? ? π ) , x ? R 的最大值是 1,其图象经过点 M ?
? π 1 ? , ?. ? 3 2 ?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? ? 0 , ? ,且 f ( ? ) ?
? 2 ? ? π ?

3 5

, f (? ) ?

12 13

,求 f (? ? ? ) 的值.

16. (本小题满分12分)

2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5年平 均浓度不得超过35微克/立方米, PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随 机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的 监测数据,数据统计如下: PM2.5(微克/立方 组别 米) 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 (0,15] (15,30] (30,45] (45 ,60] (60,75] (75,90) 4 12 8 8 4 4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ) 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区 的环境是否需要改进?说明理由;

(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环 境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

17. (本小题满分 14 分) 某啤酒厂为适应市场需要,2011 年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011 年啤酒 生产量为 16000 吨,葡萄酒生产量 1000 吨。该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生产量比上一年减少 50%,葡萄酒生产量比上一年增加 100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低? (2)从 2011 年起(包括 2011 年) ,经过多少年葡萄酒的生产总量不低于 该厂啤酒与葡萄酒生产总量 之和的
2 3

?(生产总量是指各年年产量之和)

18. (本小题满分 14 分)

已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ;
2 (2)求数列 ?n a n ? 的前 n 项和 T n ;

n

?

n ?1 2

a n ? 1 ( n ? 1, n ? Z ) 。

? (3)若存在 n ? N ,使关于 n 的不等式 a n ? ( n ? 1 ) ? 成立,求常数 ? 的最小值。

19. (本小题满分 14 分 ) 设函数 f ( x ) ? ln x ?
a x ?1

在 ( 0 , ) 内有极值.( 注: e 是自然对数的底数.)
e 1 e

1

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若 0 ? x 1 ? 1 , x 2 ? 1 ,求证: f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? e ? 2 ? 20. (本小题满分 14 分)
1? ? 设函数 f ( x ) ? ? 1 ? ? ( n ? N , 且 n ? 1, x ? R ) . n? ? ? ? 1 ? ? 的展开式中二项式系数 最大的项; n?
f (2 x) ? f (2) 2
x x



(Ⅰ)当 x=6 时, 求 ? 1 ?

(Ⅱ)对任意的实数 x, 证明

> f ? ( x )( f ? ( x ) 是 f ( x )的导函数
k

);

1 ? ? (Ⅲ)是否存在 a ? N , 使得 an< ? ? 1 ? ? k ? k ?1 ?

n

< ( a ? 1 ) n 恒成立? 若存在, 试证明你的结论并求出 a 的

值;若不存在, 请说明理由.

★ 高三理科数学 参考答案 一、选择题(40 分) 题号 答案
1 2

1 C

2 A

3 A

4 C

5 C

6 A

7 D

8 A

二、填空题( 30 分) 9. ( ?
, 2 ) ? ( 2 , ?? ) 10.4

11. 2 n ? 1

12. 8

13. 2 ; ( 2 , 3 )

14. 6 ; 3 ? 2

n?4

? 11 .

三、解答题(80 分) 15.解: (1)依题意 有 A ? 1 ,则 f ( x ) ? s in ( x ? ? ) ,将点 M ( 而 0 ? ? ? ? ,?
?
3 ?? ? 3 5 5 6 , cos ? ? 12 13
3 2 4 1 ? ( ) ? , s in ? ? 5 5 1? ( 12 13 ) ?
2

?
3

,

1 2

) 代入得 s in (

?
3

??) ?

1 2



(4 ? , 分)? ? ? ,

?
2

,故 f ( x ) ? s in ( x ?

?
2

(6 ) ? c o s x ; 分)

(2)依题意有 c o s ? ? 而? , ? ? (0 ,
?
2

) ,? s in ? ?

5 13

, (10 分)
4 5 ? 5 13 ? 56 65

故 f (? ? ? ) ? c o s ( ? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? s in ? s in ? ?

3 5

?

12 13

?

.(12 分)

16.解:(Ⅰ) 众数约为 22.5 微克/立方米, 中位数约为 37.5 微克/立方米.(2 分) (Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为
7 .5 ? 0 .1 ? 2 2 .5 ? 0 .3 ? 3 7 .5 ? 0 .2 ? 5 2 .5 ? 0 .2 ? 6 7 .5 ? 0 .1 ? 8 2 .5 ? 0 . 1 ? 4 0 .5 (微克/立方米).(

因为 4 0 .5 ? 3 5 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区 的环境 需要改进.(5 分)

(Ⅲ) 记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”, P ( A ) ? 则 随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且? ~ B ( 2 ,
所以 P ( ? ? k ) ? C 2 (
k

9 10

.

9 10

).

9 10

) (1 ?
k

9 10

)

2?k

( k ? 0 ,1, 2 ) ,

所以变量 ? 的分布列为
?
p

0
1 100

1
18 100

2
81 100

E? ? 0 ?

1 100

? 1?

18 100

? 2?

81 100

? 1 .8 (天)或 E ? ? n P ? 2 ?

9 10

? 1 .8 (天).(12 分)

17. 解:设从 2011 年起,该车第 n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 a n 吨和 b n 吨,经过 n 年后啤酒和 葡萄酒各年生产量的总量分别为 A n 吨和 B n 吨。
n ?1 (1)设第 n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为 D n 吨,依题意, a n ? 1 6 0 0 0 (1 ? 5 0 % ) =

32000 2
n



b n ? 1 0 0 0 (1 ? 1 0 0 % )

n ?1

= 5 0 0 ? 2 , n ? N ) ··················2 分 ( , ··········· ······· ·········· ·······
n *

则 D n ? a n ? bn = 当且仅当
64 2
n n

32000 2
n

+500 ? 2 =500(
n

64 2
n

? 2 ) ? 500 ? 2
n

64 2
n

?2

n

? 8000 ,

? 2 ,即 n ? 3 时取等号,

故 2 0 1 3 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低,为 8 0 0 0 吨。 ············6 分 ··········· · ·········· · (2)依题意,
Bn An ? B n ? 2 3

,得 B n ? 2 A n ,

1 6 0 0 0[1 ? (

1 2

) ] ? 32000 ?

n

∵ An ?
1?
n

2

n

?1
n

1 2

2
2 ?1
n

, Bn ?

1 0 0 0[1 ? 2 ]
n

1? 2

? 1000(2

n

? 1) ,

∴ 1 0 0 0 ( 2 ? 1) ? 3 2 0 0 0 ?
n n

2

n

?2 ,

∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ 2 ? 6 4 ? 2 ,∴ n ? 6 ,
6

从第 6 年起,葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 18. 解: (Ⅰ)因为 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? na
? n 2 n ?1 2 a n ?1 ( n ? N )
?

2 3

。…12 分

n

所以 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1 ) a n ? 1 ? 两式相减得 na 所以
n

a n (n ? 2)

- -------1 分

?

n ?1 2

a n ?1 ?

n 2

an

( n ? 1) a n ?1 na
n

? 3(n ? 2 )

------------2 分

因此数列 ?na n ? 从第二项起,是以 2 为首项,以 3 为公比的等比数列 所以 na 故an
n

? 2 ?3

n?2

( n ? 2 ) ----3 分

?1 , n ? 1 ? ? ?2 n?2 ,n ? 2 ? ?3 ?n

------------4 分

2 n?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 n a n ? 2 n ? 3

0 1 n?2 当 n ? 2 时, T n ? 1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? ? ? ? ? 2 n ? 3 ,

------------5 分 ------------6 分 ------------7 分 ------------8 分

? 3T n ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? ? ? 2 ( n ? 1) ? 3
1

n?2

? 2n ? 3

n ?1



两式相减得 T n ?

1 2

? (n ?

1 2

)3

n ?1

(n ? 2)

又? T 1 ? a 1 ? 1 也满足上式, 所以 T n ?
1 2 ? (n ? 1 2
an n ?1

)3

n ?1

(n ? N )

?

------------9 分 ------------10 分

(Ⅲ) a n ? ( n ? 1 ) ? 等价于 ? ?



由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时, 设 f (n) ?
n ( n ? 1) 2 ?3
n?2

an n ?1

?
?

2 ?3

n?2

n ( n ? 1)

( n ? 2 , n ? N ), n ( n ? 1 )( 1 ? n ) 2 ?3
1 f (2)
n ?1

则 f ( n ? 1) ? f ( n ) ?
? 1 f ( n ? 1) ? 1 f (n)

? 0,
a1 2 ? 1 2

------------12 分 , ------------1 3 分 - -----14 分

,又

?

1 3



?

所求实数 ? 的取值范围为 ? ?
a x ?1

1 3

, ? min ?

1 3

19 解: (I)函数 f ( x ) ? ln x ?
f ?( x ) ? x
2

的定义域是 ( 0 ,1 ) ? (1, ?? ) ;
1 e 1 e
2

? (a ? 2) x ? 1 x ( x ? 1)
2

2

,当 x ? ( 0 , ) 时,有 x ( x ? 1 ) ? 0 ,所以,由上式分子是二次函数,

题意就转化为 g ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? 1 ? 0 在 x ? ( 0 , ) 有解且符合极值点要求,令
g ( x ) ? ( x ? ? )( x ? ? ) ? 0 ,不妨设 0 ? ? ?

1 e

,由 ? ? ? ? a ? 2 且 ?? ? 1 可得 ? ? e ;因此,只
1 e ? 2.

要 g (0 ) ? 1 ? 0 , g ( ) ?
e

1

1 e
2

?

a ? 2 e

? 1 ? 0 ,得 a ? e ?

(II)由 f ? ( x ) ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? ? ;由 f ? ( x ) ? 0 得 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? ? ;所以得 f ( x ) 在 ( 0 , ? ) 内递增,在 ( ? ,1 ) 内递减,在 (1, ? ) 内递减,在 ( ? , ?? ) 递增. 由 0 ? x 1 ? 1 ,则 f ( x 1 ) ? f (? ) ? ln ? ?
a

? ?1

,由 x 2 ? 1 得 f ( x 2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ?

a

? ?1

,所
1

以, f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) ,由 ? ? ? ? a ? 2 且 ?? ? 1 得 f ( ? ) ? f ( ? ) ? 2 ln ? ? ? ? 由 ? ? e , 2 ln ? ? ? ? 又
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? e ?
1 2 在 ? ? e 是递增的, 所以, ln ? ? ? ? 1

?



?
1 e

?

? 2 ln e ? e ?

1 e

? 2? e?

1 e

. 即


3

20 3 ? 1 ? 20.解(Ⅰ) :展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,第 4 项是 T 4 = C 6 ? ? ? 3 . n ? n ? 1 ? ? (Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ? 1 ? ? n ? ?
? 2 1 ? ? ?1 ? ? n ? ?
x
2x

2x

1 ? ? ? ?1 ? ? n? ?

2

1 ? ? ??1 ? ? n ? ?

2

1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? n? ? n? n ? ? ?
x

x

x

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? 2 f ? ? x ? n ? 2? n ? n? ? ? ? ?

证法二:
1 ? ? 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? n ? ?
2x

1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 n? ?

2

1 ? ? ?1 ? ? n ? ?

2x

1 ? ? ??1 ? ? n ? ?

2

1 ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? n? ? n? ?

x

而 2 f ?? x ? ? 2 ?1 ?
?

?

1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ln ? 1 ? ? ,故只需对 ? 1 ? ? 和 ln n ? n ? n ? ? ?

x

1 ? ? ? 1 ? ? 进行比较。 n ? ?

令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1 ? ,有 g ? ? x ? ? 1 ? 由
x ?1 x

1 x

?

x ?1 x

? 0 , x ? 1 ,因为当 0 ? x ? 1 时,g ? ? x ? ? 0 ,g ? x ? 单调递减; 1 ? x ? ? ? 时,g ? ? x ? ? 0 , 得 当

所以在 x ? 1 处 g ? x ? 有极小值 1 ,故当 x ? 1 时, ? x ? ? g ? 1 ? ? 1 , 从而有 x ? ln x ? 1 , g g ? x ? 单调递增, 亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x ,故有 ? 1 ?
? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ln ? 1 ? ? 恒成立。所以 f n ? n ? ?

?2x? ?

f

?2? ?

2 f ? ? x ? ,原不等式

成立。 (Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1
1 ? ? 有?1 ? ? m ? ?
m

? Cm ? Cm
0 1

? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m ? 1 ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ?m ? ? m ? ? m ? ? m ?
2 k

2

k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1?? ? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1? ? 2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2! k! m! ?m ? ?m ? ?m ?
? 2? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 2 ? k ?1? 1 ? 1 ? m ?1? ? ? ?1 ? ??? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? ??? ? ?1 ? ?? ?1 ? ? 2!? m ? k !? m ?? m ? m ? m !? m ? m ? ? ?

m

? 2?
? 2?

1 2!
1

?

1 3!
?

?? ?
1 3? 2

1 k!

?? ?
1

1 m!

2 ?1

?? ?

k ? k ? 1?

?? ?

1 m ? m ? 1?

1 1 ? ?1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3, ? ? 3? 2 ? ? 2 3? m ? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?

又因 C m
k

1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 0 ? k ? 2 , 3, 4 , ? , m ? ,故 2 ? ? 1 ? ? m ? ?m ? ? ? ? 1 ? ? m ?
m

k

m

? 3
k

∵ 又 当 m ? 1时 , 有 2 ? ? 1 ?
n

? 3 ,从而有 2 n ?
k

1 ? ? ? ? 1 ? k ? ? 3 n ? n ? N , n ? 1 ? 成立, ? k ?1 ?

n

1 ? ? 即存在 a ? 2 ,使得 2 n ? ? ? 1 ? ? ? 3 n 恒成立。 k ? k ?1 ?


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