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2013年北京市海淀区高三二模数学理科答案

时间:2013-05-07


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5
6 A 7 B 8 D

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2;

10. c ? b ? a

11. (1, 3) 14.②③; 2 ? 2

3 ?1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ? 0 所以 x ?

π 4

π ? kπ, k ? Z 4 π 4

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

所以函数的定义域为 {x | x ? kπ+ , k ? Z} (II)因为 f ( x ) ? 1 ?

cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1 ? (cos x ? sin x)
? 1 ? sin x ? cos x

π = 1 ? 2 sin( x ? ) 4
分 又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z

……………………8

π 2

π 2

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 3π π ? x ? 2kπ ? 解得 2kπ ? 4 4 π 又注意到 x ? kπ+ , 4


2kπ ?

……………………11 分

理科答案 第 1 页,共 7 页

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) , 4 4

k ? Z …………………13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P( A) ? 1 ? 0.5 ? 0.75

…………………4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 …………………6 分

? 的分布列为 ?
5 50% 0 ?45 2% ?145

P

50% ? 2% ? p

p
…………………8 分

所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?

…………………11 分 …………………12 分

8 725

8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 725

17.解: (I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC …………………1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以平面 EFH / / 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) …………………6 分 …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分

理科答案 第 2 页,共 7 页

因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y, z )

??? ?

z P E A F x H B C y

?

??? ? ??? ? 因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)
??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ? ,即 ? , ?z ? 0 ? HP ? n ? 0 ? ?
令 x ? 3, 则 y ? ?3, 所以 n ? ( 3, ?3,0)

?

…………………8 分

? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
所以直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值为 (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为在直角三角形 PHA 中, EH ? PE ? EA ? 在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等 18.解: (I) 因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ?

…………………10 分

3 4

…………………11 分 …………………12 分

1 PA ? 2 , 2

…………………13 分

1 PB ? 2 2
…………………14 分 …………………2 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

1 | t | et ,其中 t ? 0 2 1 1 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2
所以 S '(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0, ??) 上递增, 当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et , …………………4 分

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ……………7 分 2
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)
(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | et ,其中 t ? a 2 1 当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? (a ? t )et 2
理科答案 第 3 页,共 7 页

因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ,令 S '(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

…………………8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 a ? ? 2 , 2 e
所以 a ? 3 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 …………………10 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 综上所述, ln 2 ? 2 ? a 19.解:(I)因为椭圆 M : …………………12 分 …………………13 分

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点, 所以 a ? 3, b ? 1 ,椭圆 M 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

…………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 2

1 x2 x2 1 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3
因为 x12 (3 ? x12 ) ? 所以 S ?AOB

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? , 2 2 3 6 3 ,当且仅当 | x1 |? 时, S ?AOB 取得最大值为 ………………7 分 ? 2 2 2

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t
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? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 (3k ? 1) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ? y2 ? 1 ?3 ?
2 2 当 ? ? 4(9k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

即 3k 2 ? 1 ? t 2 ①

方程有两个不同的解

?6kt x ? x2 ?3kt ? 2 , 1 2 2 3k ? 1 3k ? 1 y ? y2 t ? 2 所以 1 , 2 3k ? 1
又 x1 ? x2 ?

…………………8 分

y1 ? y2 1 ? 2 ? ? 1 ,化简得到 2 又 2 3k ? 1 ? 4t x ?x k 0? 1 2 2
代入 ① ,得到 0 ? t ? 4 又原点到直线的距离为 d ?



…………………10 分

|t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 k2 ?1
化简得到 S?AOB =

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
…………………12 分

1 3(4t ? t 2 ) 4

因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ? 综上, ?AOB 面积的最大值为 20.(I)解:法 1:

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2
…………………14 分

3 2

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1
…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1;
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①如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ? 当a ?

1 5 或a ? 2 2

1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此时第 4 列和为负,不符合题意. ② 如果首先操作第一行 …………………6 分

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综上: a ? 0, ?1 …………………9 分

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实 数。证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij ( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) ,各行的数字之和分别 为 a1 , a2 ,?, am , 各 列 的 数 字 之 和 分 别 为 b1 , b2 ,?, bn , A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,

B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

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K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

?

|

?

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然, S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行 和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上 升 立。 , 导 致 矛 盾 , 故 结 论 成

…………………13 分

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