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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题及答案


2015 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各 题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加 其他中间档次.

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分. ) 1 .若对于任意实数 , 恒成立,则实数 的最小值为 . 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分 配方案种数为 150 . 3 . 若 -4 . , 则 4 .已知顶 角为 3 . 5 .设 合 中的元素的个数为 6.已知点 , 的等 腰三角形 的底边长 为 ,腰长为 ,则 的值 为 N, 504 . 所在平面内, .当 , 为锐角, * ,则集 在 Rt△ , 取得最小值时, . 7.已知正三棱锥 的半径为 1 . 8.函数 的值域为 . 的底面的边长为 6,侧棱长为 ,则该三棱锥的内切球 9.已知 是椭圆 的两个焦点, 分别是该椭圆的左顶点和上顶点, 点 在线段 上,则 的最小值为 . 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 为 7 . 二、解答题(本大题共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分. ) 11 . 设 平 面 点 集 .若 ,求 的最小值. . , 解 作出平面点集 令 ,则 、 所表示的平面区域, , 表示直线 中的点 表示如图阴影部分 的纵截距. 时, 易知:直线 值. 因为点 在圆 经过区域 取得最小 ……………(5 分) 上,设它的坐标为 ,结合图 形可知 . 又点 即 在曲线 上,所以有 , . 分) ………………………………………( 10 设 ,则 ,代入得 ,解 得 或 ( 舍 ) , 即 . ………………………………………(15 分) 结合 ,并注意到 ,解得 , . 所 以 , 点 的 坐 标 为 , 的 最 小 值 为 . ………(20 分) 12.设 是数列 的前 项之积,满足 的通项公式; N. * (1)求数列 (2)设 ,求证: . 解 (1)易知 , ,且由 ,得 , 即 , 即 . ……………(5 分) 所以 ,故 . …(10 分) …………………………………… (2)由(1)得 . 一方面, ; ………… …(15 分) 另一方面, . 又 . 所以 (20 分) . ……………………………………… 13.过直线 切线, 为切点,直线 上一动点 ( 不在 轴交于点 轴上)作抛物线 . 的两条 分别与 (1)证明直线 (2)证明△ 证明 (1)设 抛物线 ,故 的过点 恒过一定点; 的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值. , , 的切线方程为 . : .而 过 ① ①式说明直线 恒过点 . ………………………………………(5 分) 同理可证得直线 故直线 又 所以直线 (10 分) 过 ,代入 恒过定点 . 恒过点 两点,则直线 中,得 . 的方程为: . ……………………………………… . (2)直线 : 与 轴交于 . 抛

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