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12.2(1)圆的标准方程

时间:2009-11-29


圆的标准方程

问题: 问题:求圆心是C(a ,b),半径 的圆的方程. 是r的圆的方程.

y r C O 化简 查漏补缺 M(x,y)

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求曲线方程的一般步骤是: 求曲线方程的一般步骤是:
建系设点 找几何条件 列式 x

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是 ,半径是 的圆的标准方程是 圆心是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是 ,半径是 的圆的标准方程是 圆心是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

记忆: 圆的标准方程有哪些特点? 记忆: 圆的标准方程有哪些特点? ① 是关于 ,y的二元二次方程; 是关于x 的二元二次方程 的二元二次方程; 方程明确给出了圆心坐标和半径; ② 方程明确给出了圆心坐标和半径; ③ 确定圆的方程必须具备三个独立条件即 a,b,r. .

例1:看图写出下列圆的方程: :看图写出下列圆的方程:
y

r
O y
C(a,b)

(x-a)2+(y-a)2=a2
y

r

x
C(a,a)

x2+y2=r2

x

(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
x

O

练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径: 练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1)(x(1)( -1)2 + y2 = 6 (2)(x+1) +(y(2)( +1)2 +( -2)2 = 9 (3)(x+a)2 + y2 = a2 (3)( + )
(1,0) (-1,2) - , 6 3

(-a,0)

|a|

例2.已知圆C经过P(5,1),圆心C ( 8,3) , 求圆C的方程.
解:设圆的方程为( x 8) + ( y 3) = r
2 2 2

y
C(8,3) ( ) P(5,1) ( )

Q 点P (5,1)在圆上, 代入圆的方程得
r 2 = 13
x

0

故所求圆的方程为: ( x 8) 2 + ( y 3) 2 = 13

也可用两点间距离公式求r 也可用两点间距离公式求

练习:已知A ( 4,),B ( 6,),求以AB为直径 9 3 的圆的方程.
Y A(4,9)

解:设AB的中点为(a, b)
B(6,3)

0

X

4+6 9+3 则a = = 5, b = = 6. 2 2

设圆的方程为( x 5) 2 + (= (6 2= ) 22 ,+ (3 B (6,3)代入得r 2 . AB y 6) 4r 把点 9) 2 = 2 10

故所求圆的方程为( x 5) + ( y 6) = 10
2 2

练习:求过点C (1,1)和D(1,3),圆心在x轴 上的圆的方程.
解:依题意设所求圆的方程为( x a) + y = r .
2 2 2

(1 a) +1 = r 解方程组 2 2 2 (1 a) + 3 = r
2 2

2

得a = 2, r = 10,
2

故所求圆的方程为( x 2) + y = 10.
2 2

例3.求以C (1,3)为圆心,并和直线3 x 4 y 6 = 0 相切的圆的方程.
y
C(1,3)

解:设所求圆的方程为 : ( x 1) 2 + ( y 3) 2 = r 2
圆心C (1,3)到直线3 x 4 y 6 = 0
x

0

的距离
r= | 3×1 4 × 3 6 | 32 + 4 2
2

3x-4y-6=0

= 3,
2

故所求圆的方程为 : ( x 1) + ( y 3) = 9

练习: ) 求圆心在 ( -1,2 ),且与y轴相切的圆 (1 的方程; ( 2 ) 求圆心在直线y = x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;

(1) 解:因圆与y轴相切, 故圆的半径为1,
y C(-1,2)

设所求圆的方程为 : ( x + 1) + ( y 2) = r
2 2 2

x -1 0

所求圆的方程为: ( x +1) + ( y 2) = 1
2 2

练习: ) 求圆心在 ( -1,2 ),且与y轴相切的圆 (1 的方程; ( 2 ) 求圆心在直线y = x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;
Y 2

(2)解:依题意得所求圆的方程为
y=x

-2 C(-2,-2)

C(2,2) 0 2 -2
X

(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意 该圆拱跨度AB=20m, 拱高 图,该圆拱跨度 该圆拱跨度 , 拱高OP=4m,在建 , 造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱A 需用一个支柱支撑, 造时每隔 需用一个支柱支撑,求支柱 2P2 的长度(精确到0.01m) 的长度(精确到
y

x

如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图. 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨 m, =4m,在建造时每隔4m 4m需用一个 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑, 的长度(精确到0.01m) 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) 解:建立坐标系如图所示, 建立坐标系如图所示, 圆心在y轴上 轴上. 圆心在 轴上. 设圆心坐标是(0,b), 圆的 设圆心坐标是 半径是r 半径是 , 则圆的方程是 x 2+( y -b)2 =r 2. 都在圆上,所以它们的坐标(0,4) (10,0)都是 (0,4), 因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都是 圆的方程的解. 圆的方程的解.所以有
10 2 + ( 0 b ) 2 = r 2 解之得: 解之得:b = -10.5 , r2=14.5 2 2 2 2 0 + (4 b ) = r
y

x

如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图. 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨 m, =4m,在建造时每隔4m 4m需用一个 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑, 的长度(精确到0.01m) 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y (续) 所以圆的方程是: 所以圆的方程是: x2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2
x

把点P 的横坐标x 代入圆的方程, 把点 2的横坐标 = -2 代入圆的方程,得 (-2) 2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 因为P 因为 2 的纵坐标 y > 0 ,所以 y = 14.5 ( 2) 10.5
2 2

≈14.36 -10.5 = 3.86(m) 的长度约为3.86m. 答:支柱A2P2的长度约为 支柱 .

(1)圆心为 圆心为C(a ,b),半径为 的圆的标准方程为 圆心为 ,半径为r的圆的标准方程为 (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 当圆心在原点时, 当圆心在原点时,a = b = 0,圆的标准方程为: ,圆的标准方程为: x 2+ y 2= r 2 (2)由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 三个参数, (2)由于圆的标准方程中含有 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆; 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆; 对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径 或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程.

小结

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