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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第3讲 函数的奇偶性与周期性(含解析)新人教A版

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第 3 讲 函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)等 于( A.3 ). B.1 C.-1 D.-3
x

解析 由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1,

f(x)=2x+2x-1,f(-1)

=-f(1)=-3.
答案 D 2.已知定义在 R 上的奇函数,f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 ).

解析 (构造法)构造函数 f(x)=sin -f(x),所以 f(x)=sin 答案 B

π π π x,则有 f(x+2)=sin? 2 x+2 ?=-sin x= ? ? 2 2

π x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π=0,故选 B. 2

3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式 一定成立的是 2π? ? 2π? A.f? ?cos 3 ?>f?sin 3 ? π? ? π? C.f? ?sin 6?<f?cos 6? B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ( ).

解析 当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|, 2π 1 2π 显然当 x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当 x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos =- ,sin = 3 2 3 1? ?1? ? 3? 2π? ? 2π? 3 1 ? > ,又 f? ?-2?=f?2?>f? 2 ?,所以 f?cos 3 ?>f?sin 3 ?. 2 2 答案 A
?1-2 x,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0, ?


(

).

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增
-x

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
-(-x)

解析 当 x>0 时, f(-x)=2 -1=-f(x); 当 x<0 时, f(-x)=1-2


=1-2x=-f(x). 当

x=0 时,f(0)=0,故 f(x)为奇函数,且 f(x)=1-2 x 在[0,+∞)上为增函数,f(x)=2x-1 在(-∞, 0)上为增函数, 又 x≥0 时 1-2 x≥0, x<0 时 2x-1<0, 故 f(x)为 R 上的增函数.


1

答案 C 5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=4 -1,则 f(- 5.5)的值为( A.2 ) B.-1
0.5

x

1 C.- 2

D.1

解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=4 -1=1. 答案 D
?1,x为有理数, ? 6.设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, ?

(

).

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

解析 显然 D(x)不单调,且 D(x)的值域为{0,1},因此选项 A、D 正确.若 x 是无理数, -x,x+1 是无理数;若 x 是有理数,-x,x+1 也是有理数.∴D(-x)=D(x),D(x+1) =D(x).则 D(x)是偶函数,D(x)为周期函数,B 正确,C 错误. 答案 C 二、填空题 7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1 +a|,∴a=0. 答案 0 8.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 解析 因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,所以当 x=-1 时,y=-2,即 f(- 1)+(-1)2=-2,得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1 9.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则 使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析 由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由 y=

f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0
的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

2

答案 (-2,0)∪(2,5) 10. 设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? ________. 解析 ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ∴f(|2x|)=f??

?x+1?的所有 x 之和为 ? ?x+4?

?x+1?, ? ?x+4?

??x+1??, ?? ??x+4??

又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ∴|2x|=? 即 2x=

?x+1?, ? ?x+4?

x+1 x+1 或 2x=- , x+4 x+4
2 2

整理得 2x +7x-1=0 或 2x +9x+1=0, 设方程 2x +7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x +9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 ? 9? 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +?- ?=-8. 2 ? 2? 答案 -8 三、解答题 11. 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对任意 x, y, f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解 (1)因为对定义域内任意 x,y,f(x)满足 f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令 x=y=1,得 f(1) =0,令 x=y=-1,得 f(-1)=0. (2)令 y=-1, 有 f(-x)=-f(x)+xf(-1), 代入 f(-1)=0 得 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)是(- ∞,+∞)上的奇函数. 12. 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时, f(x)<0,f(1) =-2. (1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数.
3
2 2

(2)解 任取 x1<x2,则 x2-x1>0,所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=

f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6.
所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 13.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1] 时,f(x)=2 -1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 解析 (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称, 则 f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2) 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=2 (3) ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,
2-x

x

-1,x∈[1,2].

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 014]上的所有 x 的 2 2 个数. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)解 当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)= (-x)=- x. 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
4

1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x. 2 2 1 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)= (x-2). 2 又∵f(x)是以 4 为周期的周期函数 1 ∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),∴-f(x)= (x-2), 2 1 ∴f(x)=- (x-2)(1<x<3). 2

?2x,-1≤x≤1, ∴f(x)=? 1 ?-2?x-2?,1<x<3.
1 由 f(x)=- ,解得 x=-1. 2 ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 ∴f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 2 1 2 015 令 0≤4n-1≤2 014,则 ≤n≤ . 4 4 又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z), 1 ∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=- . 2

1

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