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09年高二理科数学下册第一次月考试卷2

时间:2016-06-16


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09 年高二理科数学下册第一次月考试卷 数学(理科)试题
一、选择题(5×8=40) 1.一物体的运动方程是 s=3+t ,则在一小

段时间[2,2.1]内的平均速度为(
2


y

A.0.41

B.3

C.4

D.4.1

y ? f ?? x?
b

2. 函数 f ( x ) 的定义域是开区间 ? a, b ? ,导函数 f ?( x ) 在 ? a, b ? 内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间内有极小值点( )
a
O

x

B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3 3.曲线 y ? x 与直线 y ? x 所围成的图形的面积等于
A.

A. 1 个



) D.2

?

1

?1

( x ? x3 )dx

B.

?

1

?1

( x3 ? x)dx

C.2

? ( x ? x )dx
3 0

1

?

0

?1

( x ? x3 )dx
? ?? ? 4?

4.设 P 为曲线 C: 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? , y ? x ? 2x ? 3 上的点,
2

则点 P 横坐标的取值范围为





A. ? ?1 , ? ? 2

? ?

1? ?

B. ? ?1 , 0?

C. ?0, 1?

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

5.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为





A. e 2

9 4

B. 2e 2

C. e2

D.

e2 2

6.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密),接收方由密文 ?明 文(解密).已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d ,例如, 明文 1, 2,3, 4 ,对应密文 5,7,18,16 ,当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文 为( ) B. 7,6,1, 4 C. 6, 4,1,7 D. 1,6, 4,7

A. 4,6,1,7

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π ,则下列命题正确的是 2 2 2 A. sin x ? x B. sin x ? x π π
7.若 0 ? x ?





C. sin x ?

3 x π

D. sin x ?


3 x π

8. 设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

二、填空题(5×7=35) 9.函数 f ( x) ? 12 x ? x3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是 10.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 。 。 .

11.由曲线 y ? x2 与 y ? 2 ? x2 围成的平面图形的面积是:

12. 一物体 以 v ? 9.8t ? 6.5(m / s) 的速度下落,则下 落后的第二个 4 s 内 所经过 的路程 为 。

13.已知 f ( x ? 1) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为: f ( x) ? 2
3 2

14.已知 a>0,方程 x ? 3a x ? a ? 0 有三个实根,则 a 的取值范围:



4) (2 0) (6 4) , 15.如图, 函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC , 其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,,
则 f ( f (0)) ? _________;函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? _________. y 4 3 2 1 O A C

三、解答题(12+12+12+13+13+13=75) 16.一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v(t)=t -4t+3(m/s)运动,求: ⑴在 t=4s 时所走的路程; ⑵在 t=4s 时的位移。
2

B 1 2 3 4 5 6

x

17.已知函数 f ( x) ? ax ?
2

4 ax ? b , f (1) ? 2 , f ' (1) ? 1 3

⑴求 f ( x ) 的解析式;

⑵求 f ( x ) 在(1,2)处的切线方程。

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18.已知抛物线 y ? x2 ? 2x 及直线 x=0,x=a(其中 a>0),y=0 所围成的平面图形的面积为 求 a 的值。

4 , 3

19. 如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等腰 梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面 积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.

D

C
4r

20.已知函数 f ( x) ?

1 3 m mx ? (2 ? ) x 2 ? 4 x ? 1, g ( x) ? mx ? 5 . 3 2

A

2r

B

(1)当 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)是否存在 m ? 0 ,使得对任意的 x1 、 x2 ? [1, 2] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,若存在,求 m 的 范围; 若不存在,请说明理由.

21. 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件:① 直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点;②对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为 曲线 S 的“上夹线”. ⑴已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x .求证: y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线”. ⑵观察下图:

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y y=x+ 1 y=x y=x -sinx y=x -1

y y=2x -2sinx y=2x -2 y=2x
O

O

x

x

y=2x+ 2
根据上图,试推测曲线 S : y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程,并给出证明.

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2009 年衡阳市第八中学高二第一次月考数学(理科)参考答卷 一、选择题(5×8=40) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 B

二、填空题(5×7=35) 9: -16 ; 10: [ , + ? ) , 11:

1 e

8 ; 12: 261.2(m) 3
-2

;13: f ( x) =

2 ; x+ 1

14: (

2 ,+ ? ) ; 2

15: 2 ;



三、解答题(12+12+12+13+13+13=75) 16. v(t ) > 0 ? t 2

4t + 3 > 0 ? t
3 1

1或t > 3

(1) S = (2) S =

蝌(t
0

1

2

- 4t + 3)dt -

(t 2 - 4t + 3)dt +

?

4

3

(t 2 - 4t + 3)dt = 4

ò

4

0

(t 2 - 4t + 3)dt =

4 3

3 2 5 x - 2x + 17. 2 2 (2) x - y + 1 = 0

(1) f ( x) =

18. S ?

?

a

0

(2 x ? x 2 )dx ?

2 a 4 4 或者 ? (2 x ? x 2 )dx ? ? ( x 2 ? 2 x)dx ? 0 2 3 3

19.解:(I)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图),则点 C 的 横坐标为 x . 点 C 的纵坐标 y 满足方程

y

x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 0) ,解得 y ? 2 r 2 ? x 2 (0 ? x ? r ) r 2 4r 2

D

C

S?

1 (2 x ? 2r )?2 r 2 ? x 2 2

? 2( x ? r )? r 2 ? x 2 ,其定义域为 ? x 0 ? x ? r? .
A

2 2 2 (II)记 f ( x) ? 4( x ? r ) (r ? x ), 0 ? x ? r ,则 f ?( x) ? 8( x ? r )2 (r ? 2 x) .

O

B

x

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令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 所以 f ?

1 r r r .因为当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? r 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 2

1 ?1 ? r ? 是 f ( x) 的 最 大 值 . 因 此 , 当 x ? r 时 , S 也 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 2 ?2 ?

?1 ? 3 3 2 f ? r? ? r . 2 ?2 ?
即梯形面积 S 的最大值为 20 .

3 3 2 r . 2
解 : ( 1 )

1 m ? f ( x) ? mx3 ? (2 ? ) x 2 ? 4 x ? 1, ? f ?( x) ? mx2 ? (4 ? m) x ? 4 ? (mx ? 4)( x ?1). 3 2 4 4 4 当 m ? 0时, f ?( x) ? m( x ? )( x ? 1). ①若 ? 1即0 ? m ? 4, 当x ? (??,1] ? [ , ??) 时有 m m m 4 f ?( x) ? 0,当 x ? (1, 时有 ) f ? (x ) ? 0 ?当0 ? m ? 4时, f (x ) 的单调递增区间为 (??,1] 和 m 4 [ , ?? ); m
②若 m ? 4时f ?( x) ? 4( x ?1)2 ? 0. ? m ? 4时, f ( x)的单调递增区间为(??, ??). ③ 若

0? 4 m

4 4 ? 1,即4 ? m, 当x ? (??, ) ? (1, ??) m m ( f
4 ]和[1, ??); m






f ?(

? 当x) ?

时有 0? x? ,

,x

1

)

(

?当m ? 4时, f ( x)的单调递增区间为(??,
( 2



4 4 m ? 0时, f ?( x) ? mx 2 ? (4 ? m) x ? 4 ? m( x ? )( x ? 1)且 ? 1. m m

?当x (

时有 ?

?1

f

,?

x

?)

? m ? 0时, f ( x)在[1,2]上单调递减, g ( x) ? mx ? 5在[1,2]上单调递减.
2 ? x ? [1, 2]时, f ( x),min ? f (2) ? m ? 1. 依 题 意 g ( x)max ? g (1) ? m ? 5. 3 2 g ( x) max ? f ( x) min ? (m ? 5) ? ( m ? 1) ? 1, 解 得 m ? ?9 . 综 上 所 述 , 存 在 3

m ? (??, ?9)时, 对任意的x1, x2 ?[1, 2]都有g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1成立.
' 21.解 ⑴由 f ( x) ? 1 ? 2 cos x ? 1 得 cos x ? 0 ,

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当x??

?
2

时,cos x ? 0 ,此时

y1 ? x ? 2 ? ?

?
2

? 2 , y2 ? x ? 2 sin x ? ? ? 2 ,
2

?

? ? ? ? y1 ? y2 ,所以 ? ? ,? ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ? 2 2 ? 3? 3? 3? ? 2 , y2 ? x ? 2 sin x ? ?2, 当x? 时, cos x ? 0 ,此时 y1 ? x ? 2 ? 2 2 2 ? 3? 3? ? y1 ? y2 ,所以 ? , ? 2 ? 是直线 l 与曲线 S 的一个切点; ? 2 2 ?
所以直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; 对任意 x∈R, g ( x) ? F ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2 sin x) ? 2 ? 2 sin x ? 0 ,所以 g ( x) ? F ( x) 因此直线 l : y ? x ? 2 是曲线 S : y ? ax ? b sin x 的“上夹线”. ⑵推测: y ? mx ? n sin x(n ? 0) 的“上夹线”的方程为 y ? mx ? n ①先检验直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切,且至少有两个切点:

? n sin ? x 设 : F ( x) ? m x

F ' ( x) ? m ? n cos x , ∴ 令 F ' ( x) ? m ? n cos x ? m , 得 :

x ? 2k? ?

?
2

(k∈Z)

当 x ? 2k? ? ( 2k? ?

?
2

? n sin 上 x 的点 时 , F (2k? ? ) ? m(2k? ? ) ? n 故 : 过 曲 线 F ( x) ? m x

?

?

2

2

?
2

, m(2k? ? ) ? n )的切线方程为:y-[ m(2k? ? ) ? n ]= m [ x -( 2k? ?

?

?

?
2

2

2

)],

化简得: y ? mx ? n . 即直线 y ? mx ? n 与曲线 y ? mx ? n sin x 相切且有无数个切点. 不妨设 g ( x) ? mx ? n ②下面检验 g(x) ? F(x)? g(x)- F(x)= n(1 ? sin x) ? 0(n ? 0) ∴直线
y ? mx ? n 是曲线 y ? F ( x) ? mx ? n sin x 的“上夹线”.

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